Levy8 ja RS hm 7.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q Piteen P koodinaatit voidaan laa emokoodinaattien ja avlla, jotka ovat nomeeatt välille,,,,,, 8 8,,,,, y y y y y 8 8 ( miä fnktiot,,,, 5, 6, 7 ja 8 ovat levyelementin kvadaattiet motofnktiot, jotka kootvat nkkafnktioita (, ( (, ( (, ( (, ( ( ja ivfnktioita
Levy8 ja RS hm 7.. 5(, 5 6(, 6 7(, 7 8(, 8 ( Alla on nkkafnktioiden kvaajat.5.5.5.5 - -.5 -.5 - -.5 -.5.5 -.5 -.5.5.5.5 - -.5 -.5 - -.5 -.5.5 -.5 - ja itten ivfnktioiden 5, 6, 7 ja 8 kvaajat
Levy8 ja RS hm 7...5.5.5.5 - -.5 -.5 - -.5 -.5.5 -.5 -.5.5.5.5 - -.5 -.5 - -.5 -.5.5 -.5 - Helpoti homaat, että edellä olevilla fnktioilla on taakin ominai, että niiden avo omalla olmlla on ja milla olmilla. Liäki kaikkien motofnktioiden mma elementin aleella on. Vataavati elementin aleella iitymäkenttä lataan olmiitymien avlla,,,, q q q 8 5,,,, v q q q 8 6 ( Lähdetään itten etimään venymän laeketta elementin aleella. ätä vaten deivoidaan iitymän laeke emokoodinaattien hteen y, y y, y (5 joka voidaan laa matiiimodoa
Levy8 ja RS hm 7..,, y,,, y J,,,, y, y (6 miä matiii J on kvaken Jacobin matiii. Kahdekanolmien levyelementin tapakea 8 8 8,, i i, i i, i i i i i 8 8 8 y y y, y y, y i i, i i, i i i i i joten Jacobin matiii kahdekanolmielle levyelementille on (7 8 8 i, i i, yi i i J (8 8 8 i, i i, yi i i Matiii ei ole vakio elementin aleella. Vataavati iitymille ja v aadaan, 5 6 7 8,,,, 8, q,,,, 8, q v q, 8 v,,, 8, v,,, 8, q q q (9 joten iitymien deivaatat emokoodinaattien hteen voidaan kijoittaa,,,, 8,,,,, 8, qgq v,,, 8, v,,, 8, ( koka iitymän deivaatta koodinaattien ja y hteen on, J J,,, 8,, y J J J,,, 8, q (
Levy8 ja RS hm 7.. miä J on Jacobin matiiin deteminantti ja vataavati iitymän v deivaatta koodinaattien ja y hteen v, J J,, 8, v, y J J J,, q 8, ( Lakemalla edellä olevat matiiitlot aadaan,,,, 8, q, y, y, y, y 8, y ( ja v,,, 8, v q, y, y, y 8, y ( joten venymäkomponentit elementin aleella aadaan edellä eitetyn peteella motoon,,,, 8, y v, y, y, y 8, yqbq v y, y,, y,, y,, y 8, y 8, (5 Matiiia B kttaan elementin kinemaattieki matiiiki, jonka avlla aadaan piteen P venymäkomponentit kn elementin olmiitymät tnnetaan. Homaa myö, että edellä oleva eity poikkeaa Chandpatlan kijan mkaieta eityketä. ämä joht iitä, etten heti kekinyt, miten kijan notaatio opii otaatioymmetieen tapakeen. Jäykkyymatiii Lineaaieti kimmoien kappaleen, joa on yleinen jännitytila, kimmoenegia aadaan laekkeeta σ ε U U dv dv V V Jo piteen P jännitykomponentit voidaan laa E y σ Dε DBq Bq y (6 (7 5
Levy8 ja RS hm 7.. niin aadaan elementin kimmoenegia latta modoa U qbdbqdv qt da t J dd BDB q q BDB q (8 V joten elementin jäykkyymatiii (6. 6 on A ke t B DB J d d (9 miä t on elementin vakioki oletett pak. Jäykkyymatiii laketaan nmeeieti käyttäen yleenä Gain integointia ja piteen näytteenottoa. Ekvivalenttiet olmkomitket ilavkomitken aihettama ekvivalenttinen olmkomit Laketaan enin tilavkomitken f aihettama ekvivalenttinen olmkomit. ätä vaten lataan tilavkomitken potentiaali WP fdv t fda V A ( miä t on elementin vakiopak. Siitymä elementin aleella voidaan laa q q q, 8 q v, q 8 q5 q6 q 6 joten tilavkomitken potentiaali ( 6
Levy8 ja RS hm 7.. f fy V f A A y f 8 f f y f WP q t f da q t da q t J d d q f 8 f f 8 8 y ( Ekvivalenttinen olmkomit laketaan nmeeieti käyttäen Gain integointia ja tavallieti piteen näytteenottoa. aaien enapaineen aihettama ekvivalenttinen olmkomit akatellaan elementin enaa olmlta olmlle. Mt enat menevät vataavalla tavalla. 7 q 6 (,y q 5 p q ( 6,y 6 y 8 q 5 6 (,y q q q q p p p. Elementille kohdit enapaine, jonka komponentit globaalia koodinaatitoa ovat Paine voidaan mttaa viivakomitkeki ketomalla elementin pakdella t. Komitken potentiaali on y WP pt d d q d ( miä integointi lotetaan enaviivan 6 yli. Koka iittää kn intepolointi kokee vain enaviivaa, niin ovitetaan viivalle ykilotteinen intepolointi. 7
Levy8 ja RS hm 7.. q q q 5 v q ( 6 q q q miä ykilotteiet kvadaattiet motofnktiot ovat (5 Renaviivan piteet intepoloidaan 6 i i i 6 i i i y y y y y diffeentioimalla aadaan,,, 6 i, i i d d d d d J d,,, 6 i, i y i dy y d y d y d y d J d koka d d dy, niin d J J d y y y WP q t J J d (6 8
Levy8 ja RS hm 7.. joten taaien enapaineen aihettama ekvivalenttinen olmkomitvektoi aadaan y p f t J Jy d (7 y y jonka komponentit laketaan yleenä nmeeieti kahden tai kolmen piteen näytteenotolla. Komitken voimakomponentit ijoittelmmataan enaviivan 6 tapakea elementin vapaateita q q q q q q vataaville globaalivapaateille. 5 6 Rotaatioymmetinen elementti Jo lakettavan kappaleen moto on pyöähdyymmetinen ja myö iihen kohditva lkoinen komit on pyöähdyymmetinen, niin käyttämällä otaatioymmetiiä elementtejä, äätetään lakentamallia homattavati aitoon kolmilotteieen lakentamalliin veattna. Kten kvata homataan, on akeli nyt kovatt akelilla ja y akeli akelilla. akatellaan itten pyöähdyymmetien mallin venymäkomponenttien määitytä. 9
Levy8 ja RS hm 7.. w + w, P P' w +, Kvaa yhtenäiellä viivalla on mekitty oakaidetta, jonka pit on komittamattomana ja koke on. Ulkoien komitken vaiktketa piteen P iitymä on (,w. Venymän määitelmän nojalla,, ww, w w, (8 Koka käytetään pienten venymien teoiaa, jolloin tan, niin leikkamodonmto aadaan aadaan lakemalla yhteen alla olevan kvan klmat ja, joten, P P' w w, w,, w,, (9 Venymäkomponentit ovat täyin amat kin taotapakea, mtta vielä pitää homioida kehän ntainen venymä. Kvan peteella
Levy8 ja RS hm 7.. (+ +, ( Homataan, että kehän ntainen venymäkomponentti aa epämäääien modon oigoa. Yhditämällä edellä olevat komponentit aadaan ne ladottna ε, w /,, w, ( Joiain elementtimenetelmän kijoia latomijäjety on eilainen eli kaki viimeitä komponenttia on vaihtant paikkaa. Piteen P jännitykomponentit aadaan nyt yhteydetä E σ Dε ε ( miä kimmomatiii D aadaan kolmilotteieta kimmomatiiita poitamalla kaki iviä ja kaki aaketta ekä vaihtamalla leikkajännityken ja kehäjännityken paikkaa. Käitellään tää neliolmien otaatioymmetien levyelementin laekkeet. Kahdekanolmien elementin vataavat laekkeet on helppo johtaa vetaamalla ja 8 olmien taoelementin laekkeita.
Levy8 ja RS hm 7.. eliolminen pyöähdyymmetinen levyelementti akatellaan kvan neliolmita pyöähdyymmetitä levyelementtiä. q 6 q 8 q 7 q 5 (, P (, P q w (, q (, q q Piteen P koodinaatit voidaan laa emokoodinaattien ja avlla,,,,,,,,,, ( miä fnktiot,, ja ovat levyelementin bi lineaaiet motofnktiot (, (, (, (, ( Vataavati elementin aleella iitymäkenttä lataan olmiitymien avlla,,,,, q q q q 5 7,,,,, w q q q q 6 8 (5
Levy8 ja RS hm 7.. Lähdetään itten etimään venymän laeketta elementin aleella. ätä vaten deivoidaan iitymän laeke emokoodinaattien hteen,, (6 Deivaatat voidaan laa matiiimodoa,,,,, J (7,,,,, miä matiii J on kvaken Jacobin matiii J (8 Matiii on ama kin taotapakea knhan kovataan äteellä ja y kokedella. Vataavati iitymille ja w aadaan, q q q q 5 7,,,,, q,,,,, q w q q q q, 6 8 w,,,,, w,,,,, q q q q (9 koka iitymän deivaatta koodinaattien ja hteen on,,,,,, J J q (,,,,,, niin lakemalla matiiitlo aadaan,,,,, q (,,,,,
Levy8 ja RS hm 7.. miä J on Jacobin matiiin deteminantti ja vataavati iitymän w deivaatta koodinaattien ja hteen w q (,,,,, w,,,,, joten venymäkomponentit elementin aleella aadaan edellä eitetyn peteella motoon,,,,, w,,,,, qbq (, w,,,,,,,,, / / / / / Matiiia B kttaan elementin kinemaattieki matiiiki, jonka avlla aadaan piteen P venymäkomponentit kn elementin olmiitymät tnnetaan. Kinemaattien matiiin viimeiellä ivillä oleva on piteen P koodinaatti, joka laketaan intepoloimalla, Jäykkyymatiii Lineaaieti kimmoien kappaleen, joa on yleinen jännitytila, kimmoenegia aadaan laekkeeta σ ε U U dv dv V V ja jo piteen P jännitykomponentit voidaan laa ( E σ Dε DBq Bq (5 niin aadaan elementin kimmoenegia latta modoa U q B DBqdV q da J dd B DB q q B DB q (6 V A
Levy8 ja RS hm 7.. joten elementin jäykkyymatiii on k B DB Jdd (7 e Jäykkyymatiii laketaan nmeeieti käyttäen yleenä Gain integointia ja piteen näytteenottoa. Ekvivalenttiet olmkomitket ilavkomitken aihettama ekvivalenttinen olmkomit Laketaan enin tilavkomitken f aihettama ekvivalenttinen olmkomit. ätä vaten lataan tilavkomitken potentiaali WP dv da V f f (8 A Siitymä elementin aleella voidaan laa q q q, q w, q (9 q5 q6 q 7 q 8 joten tilavkomitken potentiaali f f f f f V WP q da da f q J d d f q q f (5 A A f f f f 5
Levy8 ja RS hm 7.. Ekvivalenttinen olmkomit laketaan nmeeieti käyttäen Gain integointia ja piteen näytteenottoa. aaien enapaineen aihettama ekvivalenttinen olmkomit akatellaan elementin enaa olmlta olmlle. Mt enat menevät vataavalla tavalla. q 6 (, p q 8 (, q 7 q (, q 5 (, q q q q (, q da d d d l d q q (, p p p. Elementille kohdit enapaine, jonka komponentit globaalia koodinaatitoa ovat Komitken potentiaali on WP da d A p q p (5 miä integointi lotetaan enaviivan yli, joka ii pyöähtää akelin ympäi. Koka iittää kn intepolointi kokee vain tätä enaviivaa, niin ovitetaan viivalle ykilotteinen intepolointi. q w q q q q (5 miä 6
Levy8 ja RS hm 7.. Renaviivan pit on l, joten d l d ja potentiaali (5 p p WP q l d p q f (5 joten taaien enapaineen aihettama ekvivalenttinen olmkomitvektoi aadaan l p p p p p f (55 Komitken voimakomponentit ijoittelmmataan enaviivan tapakea elementin vapaateita q q q q vataaville globaalivapaateille. 7