ANALYYSIN TEORIA A JA B

ANALYYSIN TEORIA A JA B Kikki luseit ei ole muotoiltu smll tvll kuin luennoill. Ilmoit virheistä yms osoitteeseen mikko.kngsmki@ut. (jos et ole vrm, onko kyseessä virhe, niin ilmoit mieluummin). 1. Yleistä, luvut Merkinnällä A B trkoitetn, että A on B:n ito ti epäito osjoukko. Siis A B pois mhdollisuutt, että A = B. ei sulje 1.1. Luonnolliset luvut N = {1, 2, 3,...}. Luonnollisten lukujen joukoss on määritelty yhteenj vähennyslsku. Penon ksioomt P0 On olemss luonnollinen luku 1 N. P1 Jokisell n N on olemss seurj, n + 1 N. P2 Luku 1 ei ole minkään luonnollisen luvun seurj P3 Jos luvuille n, k N on n + 1 = k + 1, niin n = k. P4 Jos A N siten, että 1 A j n A = n + 1 A, niin A = N. P4 on induktioksioom, jok tk induktiotodistuksen pätevyyden. Esimerkki 1.1.1 (Bernoullin epäyhtälö). Jos x R : x 1 j n N, niin (1 + x) n 1 + nx. 1.2. Kokonisluvut Z = {..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,...}. Kokonislukujen joukoss jokisell luvull n on yhteenlskun vst-lkio, n. 1.3. Rtionliluvut Q = { m n : m Z, n N}. Rtionlilukujen joukoss jokisell q 0 on kertolskun käänteislkio q 1. Rtionliluvut muodostvt järjestetyn kunnn, eli täyttävät relilukujen yhteydessä esitettävät kunt- j järjestysksioomt (A0-9 j B1-4). Esimerkki 1.3.1. On jnoj, joiden pituudet eivät ole rtionlisi, esimerkiksi neliön, jonk sivujen pituus on 1 lävistäjä on 2 Q. 2. Reliluvut R Relilukujen joukko on Dedekind-täydellinen järjestetty kunt, eli se täyttää A. Kunt-ksioomt, B. Järjestysksioomt, j C. Täydellisyysksioomn. Se, että R täyttää nämä ksioomt ei ole teoreem, vn relilukujen määritelmä. 2.1. Kunt-ksioomt. A0. R:ssä on kksi lskutoimitust, yhteen- j kertolsku (merkitään x + y j x y ti xy), x + y R j xy R kikill x, y R. A1. x + y = y + x kikill x, y R. (Yhteenlskun vihdntlki) A2. x + (y + z) = (x + y) + z kikill x, y, z R. (Yhteenlskun liitäntälki) A3. R:ssä on yhteenlskun neutrlilkio, eli e R siten, että e + x = x kikill x R. Luse 2.1.1. Yhteenlskun neutrlilkio on yksikäsitteinen. Kutsutn yhteenlskun neutrlilkiot "nollksi, j merkitään sitä 0. A4. Jokisell x R on olemss yhteenlskun vst-lkio, eli y R siten, että x + y = 0. Luse 2.1.2. Kullkin x R on vin yksi yhteenlskun vst-lkio. Luvun x R vst-lkiot merkitään x. A5. xy = yx kikill x, y R. (Kertolskun vihdnnisuus) 1

2 ANALYYSIN TEORIA A JA B A6. x(yz) = (xy)z kikill x, y, z R. (Kertolskun liitännäisyys) A7. On olemss kertolskun neutrlilkio e R \ {0} siten, että ex = x kikill x R. Huomutus: A7:ss os e 0 on os määritelmää. Se tk, että R {0}. Luse 2.1.3. Kertolskun neutrlilkio on yksikäsitteinen. Annetn kertolskun neutrlilkiolle nimi "yksi"j merkki 1. A8. Jokisell x R \ {0} on kertolskun käänteislkio, eli luku y R siten, että xy = 1. Luse 2.1.4. Kullkin x R \ {0} on vin yksi kertolskun käänteislkio. Annetn x:n kertolskun käänteislkiolle merkki x 1. A9. x(y + z) = xy + xz kikill x, y, z R. (osittelulki) Huom: Kunt-ksioomt A2 j A6 oikeuttvt merkinnät x + y + z j x y z. Luse 2.1.5. Jos x + y = x + z, niin y = z. Luse 2.1.6. Yhtälöllä + x = b, missä x on muuttuj, on yksikäsitteinen rtkisu x = b. Luse 2.1.7. x 0 = 0 kikill x R. Luse 2.1.8. Jos xy = 0, niin x = 0 ti y = 0. Luse 2.1.9. Jos xy = xz j x 0, niin y = z. Luse 2.1.10. Yhtälöllä x = b on yksikäsitteinen rtkisu x = 1 b, kun 0. Lemm 2.1.11. ) ( x)y = (xy) b) ( x)( y) = xy c) ( x) = x d) (x 1 ) 1 = x 2.2. Järjestysksioomt. B1. R:ssä on määritelty reltio <, eli "pienempi kuin"siten, että kikille x, y R tsn yksi seurvist pitää pikkns: x < y, x = y ti y < x. B2. Jos x < y j y < z, niin x < z. (Trnsitiivisuus) B3. Jos x < y, niin kikille z R on x + z < y + z. B4. Jos 0 < x j 0 < y, niin 0 < xy. Merkitään: x > y : y < x x y : x < y ti x = y x y : x > y ti x = y. Luse 2.2.1. Jos x y j y x, niin x = y. Luse 2.2.2. ) Jos x > 0, niin x < 0. b) Jos x 0, niin x x > 0. c) 1 > 0. Huom: Aksioom B2 oikeutt merkinnän x < y < z. Luse 2.2.3. ) Jos x > 0 j y < 0, niin xy < 0 b) Jos x < 0 j y < 0, niin xy > 0 c) Jos x > 0, niin x 1 > 0. Jos x < 0, niin x 1 < 0. d) Jos x < y j z > 0, niin zx < zy e) Jos x < y j z < 0, niin zx > zy. Seurus 2.2.4. ) x < y zx < zy, kun z > 0 b) x < y zx > zy, kun z < 0. Lemm 2.2.5. ) Jos x, y > 0, niin x > y x 2 > y 2. b) x < y j z < u x + z < y + u.

ANALYYSIN TEORIA A JA B 3 2.3. N, Z j Q relilukujen osjoukkon. Luonnolliset luvut voidn upott R:ään kuvuksell f : N R, jolle f(1 N ) : = 1 R, j f(n N + 1 N ) : = f(n N ) + 1 R. Luse 2.3.1. Edelläminittu f on lskutoimitukset j järjestyksen säilyttävä injektio. Huom: Esimerkiksi 4 R x = (1 R + 1 R + 1 R + 1 R )x = 1 R x + 1 R x + 1 R x + 1 R x = x + x + x + x, joten luonnollisen luvun j reliluvun tulo voidn tulkit sekä monikerrksi, että ksioomn A0 mielessä pelkkänä tulon. Kokonisluvut upotetn R:ään funktioll g : Z R, jolle g(m Z ) := f(m N ), kun m > 0, g(0 Z ) := 0 R, j g(m Z ) := g( m Z ), kun m < 0. Luse 2.3.2. Edelläminittu g on lskutoimitukset j järjestyksen säilyttävä injektio. Rtionliluvut upotetn R:ään kuvuksell h : Q R, jolle h( m n g(m) ) :=, kun m Z j n N. f(n) Luse 2.3.3. Edelläminittu h on lskutoimitukset j järjestyksen säilyttävä injektio. j Huom: Merkitään x 1 := x j x n+1 := x n x, kun n N x 0 = 1, kun x 0, j x n := 1 x n, kun n Z. Luse ) (x m ) n = x (mn) b) x (m+n) = x m x n silloin, kun kikki potenssit on määritelty. 2.4. Supremum, inmum j täydellisyysksioom. Määritelmä 2.4.1. ) Luku G R on joukon A R ylärj, jos x G kikill x A. b) Luku M R on joukon A pienin ylärj, eli supremum, jos M G kikille joukon A ylärjoille G, merkitään M = sup A. c) Joukko A R on ylhäältä rjoitettu, jos sillä on ylärj. C Täydellisyysksioom. Jokisell ylhäältä rjoitetull joukoll A R on pienin ylärj, sup A R. Esimerkki 2.4.2. Joukoll {q Q : q 2 < 2} ei ole supremumi Q:ss. Esimerkki 2.4.3. On olemss x R siten, että x 2 = 2. Esimerkki 2.4.4. Joukon supremum on 2. { 2x 1 x + 1 : x R +} Luse 2.4.5. Luku M R on joukon A R supremum jos, j vin jos ) x M kikill x A j b) ε R + y A : M ε < y.

4 ANALYYSIN TEORIA A JA B Luse 2.4.6. Ylhäältä rjoitetun joukon supremum on yksikäsitteinen. Luse 2.4.7. Jos joukoss A R on suurin luku M, niin M = sup A. Määritelmä 2.4.8. ) Luku g R on joukon A R lrj, jos g x kikill x A. b) Luku m R on joukon A suurin lrj, eli inmum, jos g m kikille joukon A lrjoille g, merkitään M = inf A. c) Joukko A R on lhlt rjoitettu, jos sillä on lrj. d) Joukko A R on rjoitettu, jos se on sekä ylhäältä, että lhlt rjoitettu. Luse 2.4.9. ) Alhlt rjoitetull joukoll on inmum b) Alhlt rjoitetun joukon inmum on yksikäsitteinen c) Jos joukoss A on pienin luku m, niin m = inf A. d) Luku m on joukon A inmum jos, j vin jos 1) m x kikill x A 2) ε R + y A : y < m + ε. 2.5. Arkhimedeen luse. Luse 2.5.1 (Arkhimedeen luse). Kikille x R on olemss n N siten, että n > x. Huom: Arkhimedeen luse voidn muotoill myös: Kikille x, y R + on olemss n N siten, että ny > x. Järjestettyä kunt, joss Arkhimedeen luse on tosi, snotn Arkhimedeen kunnksi. Kikki järjestetyt kunnt eivät ole Arkhimedeen kunti. Luse 2.5.2. Rtionlilukujen joukko on Arkhimedeen kunt. Luse 2.5.3. Khden eri reliluvun välissä on in rtionliluku. Seurus 2.5.4. Jokist reliluku voidn rvioid mielivltisell trkkuudell rtionliluvuill, eli Q on tiheä R:ssä. Seurus 2.5.5. Khden eri rtionliluvun välissä on in irrtionliluku. Seurus 2.5.6. Mitä thns rtionliluku voidn rvioid mielivltisell trkkuudell irrtionliluvuill. Seurus 2.5.7. Khden eri reliluvun välissä on äärettömän mont rtionliluku j äärettömän mont irrtionliluku. 2.6. Itseisrvo, kolmioepäyhtälö j topologi. Määritelmä 2.6.1. Reliluvun x itseisrvo on { x, kun x 0 x := x, kun x < 0. Huom: x on x:n etäisyys 0:st. x y on x:n etäisyys y:stä. Lemm 2.6.2. ) x 0 x R b) x = 0 x = 0 c) x = x d) x x x e) xy = x y f) x 2 < y 2 x < y Luse 2.6.3 (Kolmioepäyhtälö, eli -ey.). Kikille x, y R on Seurus 2.6.4. x y x ± y x + y. n x k n x k x 1, x 2,..., x n R. Määritelmä 2.6.5. Olkoon, b R : < b Tällöin

ANALYYSIN TEORIA A JA B 5 ) ], b[ := {x R : < x < b} on voin väli, b) [, b] := {x R : x b} on suljettu väli, c) [, b[ := {x R : x < b} j ], b] := {x R : < x b} ovt puolivoimi välejä, d) [, [ := {x R : x}, ], [ := {x R : < x}, ], b[ := {x R : x < b}, [, b] := {x R : x b} j ], [ := R ovt rjoittmttomi välejä. Huom: ], b[ ei ole erityistpus välistä ], b[, sillä R. Määritelmä 2.6.6. Avoint väliä ]x ε, x + ε[ snotn pisteen x ε-ympäristöksi, j merkitään B(x, ε). Huom: y B(x; ε) x y < ε. Määritelmä 2.6.7. Joukko A R on voin, jos jokisell x A on olemss ε R + siten, että B(x, ε) A. Joukko B R on suljettu, jos R \ B on voin. Huom: Joukon ei ole pkko oll joko suljettu ti voin, esimerkiksi [, b[ ei ole kumpkn. Luse 2.6.8. ) j R ovt sekä suljettuj, että voimi b) Avoin väli on voin joukko c) Suljettu väli on suljettu joukko d) Puolivoin väli ei ole voin eikä suljettu. Luse 2.6.9. ) Mikä thns vointen joukkojen yhdiste on voin. b) Avointen joukkojen äärellinen leikkus on voin. Seurus 2.6.10. ) Suljettujen joukkojen mikä thns leikkus on suljettu. b) Suljettujen joukkojen äärellinen yhdiste on suljettu. Määritelmä 2.6.11. Piste x R on joukon A R ksutumispiste, jos kikill ε R + joukoss B(x, ε) \ {x} on äärettömän mont joukon A pistettä. Huom: Seurvt ovt yhtäpitäviä: (1) x on joukon A ksutumispiste (2) kikill ε joukoss [B(x, ε) \ {x}] A on äärettömän mont pistettä (3) kikill ε joukoss [B(x, ε) \ {x}] A on äärettömän mont joukon A pistettä (tämä on luennoll esitetty määritelmä) (4) kikill ε joukoss [B(x, ε) \ {x}] on joukon A piste (5) kikill ε on [B(x, ε) \ {x}] A Huom: x:n ei trvitse oll joukon A piste ollkseen sen ksutumispiste. Luse 2.6.12. Epätyhjä joukko on suljettu jos, j vin jos se sisältää kikki ksutumispisteensä. 3.1. Määritelmä j perusominisuuksi. 3. Lukujonon rj-rvo Määritelmä 3.1.1. Lukujono on jono relilukuj: x 1, x 2,.... Sitä merkitään (x n ) n=1, ti (x n ) n N, ti vin lyhyesti (x n ). Huom: Lukujono voidn jtell kuvuksen f : N R. Määritelmä 3.1.2. Lukujonon (x n ) n=1 rj-rvo on x R, jos ε R + n(ε) N : n > n(ε) x n x < ε. Merkitään tällöin x = lim n x n. Lukujono, joll on rj-rvo snotn suppenevksi (eli konvergoivksi ). Jos lukujono ei suppene, sitä snotn hjntuvksi, eli divergoivksi.

6 ANALYYSIN TEORIA A JA B Huom: Merkitään joskus n(ε): n ε. Huom: lim x n ε R + n(ε) N : x n B(x, ε), kun n > n(ε). n Luse 3.1.3. Suppenevn lukujonon rj-rvo on yksikäsitteinen. Luse 3.1.4. lim n x n = x jos, j vin jos ε R + joukoss R \ B(x, ε) on enintään äärellinen määrä jonon (x n ) lkioit. Luse 3.1.5. Suppenev lukujono on rjoitettu. Toisin snoen, jos (x n ) suppenee, on olemss m, M R siten, että m x n M kikill n N. Luse 3.1.6. Jos lim n x n = x j lim n y n = y, niin ) lim n (x n + y n ) = x + y b) lim n (x n ) = x R c) lim n (x n y n ) = xy x d) lim n n yn = x y, kun y 0. Lemm 3.1.7. ) lim n x n = x lim n (x n x) = 0 b) lim n x n = x lim n x n+k = x k N c) lim n x n = x = lim n x n = x (Huom: impliktio, ei ekvivlenssi ) d) lim n x n = 0 lim n x n = 0. Seurus 3.1.8. Jos (x n ) suppenee j (y n ) hjntuu, niin ) (x n + y n ) hjntuu j b) (x n y n ) hjntuu, kun lim n x n 0. Huom: lim n x n = 0 ei riitä tkmn, että (x n y n ) suppenee. Luse 3.1.9. Jos lim n x n = x j x n M R kikill n N, niin x M. Seurus 3.1.10. Jos lim n x n = x j x n m R kikill n N, niin x m. Luse 3.1.11. Jos lim n x n = lim n y n = x j x n z n y n kikill n > n 0 N, niin lim n z n = x. Esimerkki: lim n n p = 1, kun p R +. Luse 3.1.12. Jos (x n ) suppenee, niin ε R + n(ε) N : n > n(ε) = x n+p x n < ε p N. Huom: Luse 3.1.12 snoo, että suppenevt lukujonot ovt Cuchy-jonoj. Seurus 3.1.13. Jos (x n ) suppenee, niin ε R + n(ε) N : m, n > n(ε) = x m x n < ε. Huom: Seurus 3.1.13 on vin toinen muotoilu sille, että suppenev lukujono on Cuchy-jono. Seurus 3.1.14. Jos on olemss ε R + siten, että kikille k N on olemss m, n > k siten, että x m x n ε, niin lukujono (x n ) ei suppene. Esimerkki 3.1.15. lim n α n = 0, kun 0 < α < 1. Esimerkki 3.1.16. lim n n n = 1.

ANALYYSIN TEORIA A JA B 7 3.2. Monotoniset jonot. Määritelmä 3.2.1. Lukujono (x n ) on ) nousev, jos x n+1 x n kikill n N b) idosti nousev, jos x n+1 > x n kikill n N c) lskev, jos x n+1 x n kikill n N d) idosti lskev, jos x n+1 < x n kikill n N e) monotoninen, jos se on nousev ti lskev f) idosti monotoninen, jos se on idosti nousev ti idosti lskev. Huom: Joskus nousev jono snotn ksvvksi j lskev pieneneväksi ti väheneväksi. Luse 3.2.2. Nousev lukujono suppenee, jos j vin jos se on ylhäältä rjoitettu. Seurus 3.2.3. Lskev lukujono suppenee jos, j vin jos se on lhlt rjoitettu. Luse 3.2.4. Jos n b n, lim n b n n = 0, j [ n+1, b n+1 ] [ n, b n ] kikill n N, niin leikkuksess n=1[ n, b n ] on tsn yksi piste. Esimerkki 3.2.5. On olemss rj-rvo lim n (1 + 1 n )n. Tätä rj-rvo snotn Neperin luvuksi, j merkitään e. 3.3. Cuchyn yleinen suppenemiskriteerio. Määritelmä 3.3.1. Jono (x n ) on Cuchy-jono, jos kikill ε R + on olemss n(ε) N siten, että x m x n < ε, kun m, n > n(ε). Luse 3.3.2. Lukujono suppenee jos, j vin jos se on Cuchy-jono. Seurus 3.3.3. R on Cuchy-täydellinen. Huom: Järjestetty kunt (ti yleisemmin metrinen vruus) on Cuchy-täydellinen, jos sen Cuchy-jonot suppenevt. Täydellisyysksioom snoo, että R on Dedekind-täydellinen. Järjestetylle kunnlle K pätee: K on Dedekind-täydellinen = K on Cuchy-täydellinen K on Cuchy-täydellinen K on Dedekind-täydellinen K on Dedekind-täydellinen K on Cuchy-täydellinen j Arkhimedeen luse on tosi K:ss 3.4. Osjonot j Bolzno-Weierstrssin luse. Määritelmä 3.4.1. Olkoon (n k ) idosti ksvv jono luonnollisi lukuj (eli n 1 < n 2 < n 3 < < n k < ). Määrittelemällä y k := x nk sdn jonon (x n ) osjono (y k ) = (x nk ). Luse 3.4.2. Jos lukujono suppenee, niin myös sen jokinen osjono suppenee smn rj-rvoon kuin lkuperäinen jono. Seurus 3.4.3. Lukujono ei suppene, jos ) sillä on hjntuv osjono b) sillä on kksi eri rj-rvoihin suppenev osjono. Luse 3.4.4 (Bolzno-Weierstrss). Rjoitetull lukujonoll on suppenev osjono. Seurus. Rjoitetull relilukujoukoll, joss on äärettömän mont pistettä, on ksutumispiste. Huom: Luennoll ei esitetty edellistä seurust, eikä sitä trvitse tietää kokeess, todistus on smnlinen kuin Bolzno-Weierstrssin luseelle.

8 ANALYYSIN TEORIA A JA B 3.5. Rjtt ksvvt j vähenevät jonot. Määritelmä 3.5.1. ) Jono (x n ) ksv rjtt, jos jokisell M R on olemss n M N siten, että n > n M = x n > M, merkitään tällöin lim n x n =. b) Jono (x n ) vähenee rjtt, jos jokisell m R on olemss n m N siten, että n > n m = x n < m, merkitään lim n x n =. Huom: (1) lim n x n = ei ole erityistpus tvllisest rj-rvost, sillä R. (2) Merkintä n tulisikin luke mieluummin "kun n ksv rjtt" kuin "n:n lähestyessä ääretöntä". (3) Rjtt ksvv/vähenevä lukujono ei suppene, vn hjntuu. Luse 3.5.2. Jos lim n x n = lim n y n = j lim n z n = z R, niin ) lim n (x n + y n ) = b) lim n (x n ± z n ) = c) lim n (x n y n ) = d) lim n z n xn = 0. Huom: Esimerkiksi seurvien rj-rvoist edellisen luseen oletuksin ei ole tieto: x (x n y n ), n yn j xn z n. 4.1. Funktio. 4. Funktion rj-rvo Määritelmä 4.1.1. Jos f : A B on funktio, niin ) A on f:n määrittely- eli lähtöjoukko b) B on f:n mlijoukko c) jos A 1 A, niin f(a 1 ) := {f(x) : x A 1 } on joukon A 1 kuvjoukko d) jos B 1 B, niin f 1 (B 1 ) := {x A : f(x) B 1 } on joukon B 1 lkukuv e) jos f(a) = B, niin f on surjektio f) jos x 1 x 2 = f(x 1 ) f(x 2 ), niin f on injektio g) f on bijektio, jos se on sekä surjektio, että injektio. Määritelmä 4.1.2. ) Jos f : A B on funktio j A 1 A, niin funktio g : A 1 B : x f(x) on funktion f rjoittum joukkoon A 1, merkitään g = f A1. b) Jos f : A B j g : B C ovt funktioit, niin g f : A C : x g(f(x)) on g:n j f:n yhdistetty kuvus c) Jos f : A B on bijektio, vst jokist y B yksikäsitteinen x A siten, että f(x) = y. Tällöin f:n käänteisfunktio on f 1 : B A : y x, kun f(x) = y. Esimerkki: (1) χ A (x) := { 1 kun x A 0 kun x A on joukon A krkteristinen funktio. (2) id : A A : x x on identtinen kuvus joukoss A

4.2. Funktion rj-rvo. ANALYYSIN TEORIA A JA B 9 Määritelmä 4.2.1. Joukko B(x, ε) \ {x} on pisteen x punkteerttu ε-ympäristö, j sitä merkitään B (x, ε). Määritelmä 4.2.2. Reliluku on funktion rj-rvo pisteessä x 0, jos f : A B on määritelty jossin pisteen x 0 punkteertuss ympäristössä, j ε R + δ ε R + : x A j 0 < x x 0 < δ ε = f(x) < ε. Merkitään tällöin lim x x0 f(x) =. Huom: (1) Funktioll voi oll rj-rvo pisteessä x 0, vikk se ei olisikn määritelty siinä pisteessä. (2) Käytännössä luku todistetn funktion rj-rvoksi (yleensä) pluttmll epäyhtälön f(x) < ε totuus epäyhtälön α x x 0 < βε totuuteen, jolloin δ ε :ksi käy βε α. Tällöin pitää muist trkstell, millä ehdoill lkuperäinen epäyhtälö on tosi (eikä mitä seuruksi sen totuudest on). Ei knnt kuitenkn opetell meknisi menetelmiä, sillä poikkeuksellisiss tilnteiss niistä ei ole pu. Luse 4.2.3. Jos funktioll on rj-rvo, niin se on yksikäsitteinen. Luse 4.2.4. Seurvt ovt yhtäpitäviä: ) lim x x0 f(x) = b) ε R + δ ε R + : x B (x 0, δ ε ) = f(x) B(, ε) c) ε R + δ ε R + : f (B (x 0, δ ε )) B(, ε). Huom: edellisen luseen b- j c-koht ovt vin toisi muotoiluj rj-rvon määritelmälle. Luse 4.2.5. Jos rj-rvo lim x x0 f(x) on olemss, niin on olemss α R + siten, että f on rjoitettu joukoss B (x 0, α). Luse 4.2.6. Jos lim x x0 f(x) = j lim x x0 g(x) = b, niin ) lim x x0 (f + g)(x) = + b b) lim x x0 (cf)(x) = c c R c) lim x x0 (fg)(x) = b f d) lim x x0 g (x) = b, kun b 0. Seurus 4.2.7. Jos on olemss rj-rvo lim x x0 f(x) = j ei ole olemss rj-rvo lim x x0 g(x), niin ) Ei ole olemss rj-rvo lim x x0 (f + g)(x) b) Jos 0 niin ei ole olemss rj-rvo lim x x0 (fg)(x) Luse 4.2.8. Jos lim x x0 f(x) = j lim x x0 g(x) = b j on olemss α R + siten, että f(x) g(x) kikill x B (x 0, α), niin b. Luse 4.2.9. Jos lim x x0 f(x) = lim x x0 g(x) =, j on olemss α R + siten, että f(x) h(x) g(x) kikill x B (x 0, α), niin lim x x0 h(x) =. Luse 4.2.10 (Jonokrkteristio). Seurvt ovt yhtäpitäviä: ) lim x x0 f(x) = b) kikille jonoille (x n ) n=1, joill on x n x 0 n N j lim n x n = x 0 pätee: lim n f(x n ) =. Luse 4.2.11 ("Cuchy"). Rj-rvo lim x x0 f(x) on olemss jos, j vin jos ε R + δ ε R + : x, y B (x 0, δ ε ) = f(x) f(y) < ε. Seurus 4.2.12. Jos on olemss ε R + siten, että kikille δ R + on olemss x, y B (x 0, δ), joille f(x) f(y) ε, niin rj-rvo lim x x0 f(x) ei ole olemss.

10 ANALYYSIN TEORIA A JA B 4.3. Yleistyksiä. Määritelmä 4.3.1. ) Jos f on määritelty joukoss ]x 0 α, x 0 [ jollin α R +, j ε R + δ ε R + : x 0 ε < x < x 0 = f(x) < ε, niin on f:n vsemmnpuoleinen rj-rvo pisteessä x 0, merkitään lim f(x) =. x x 0 b) Jos f on määritelty joukoss ]x 0, x 0 + α[ jollin α R +, j ε R + δ ε R + : x 0 < x < x 0 + ε = f(x) < ε, niin on f:n oikenpuoleinen rj-rvo pisteessä x 0, merkitään lim f(x) =. x x 0+ Luse 4.3.2. lim x x0 f(x) = jos, j vin jos lim x x0 f(x) = j lim x x0+ f(x) =. Määritelmä 4.3.3. Funktio f : A R on ) nousev, jos x < y = f(x) f(y) b) idosti nousev, jos x < y = f(x) < f(y) c) lskev, jos x > y = f(x) f(y) d) idosti lskev, jos x > y = f(x) > f(y) e) monotoninen, jos se on nousev ti lskev, j f) idosti monotoninen, jos se on idosti nousev ti idosti lskev. Luse 4.3.4. Välillä ], b[ määritellyllä nousevll funktioll on vsemmnpuoleinen rj-rvo lim x b f(x) jos, j vin jos f on ylhäältä rjoitettu. Määritelmä 4.3.5. ) Funktio f ksv rjtt x:n lähestyessä x 0 :, jos M R δ M R + : 0 < x x 0 < δ M = f(x) > M, merkitään lim x x0 f(x) =. b) Funktio f vähenee rjtt x:n lähestyessä x 0 :, jos m R δ m R + : 0 < x x 0 < δ m = f(x) < m, merkitään lim x x0 f(x) =. Määritelmä 4.3.6. ) Funktioll f : R R on rj-rvo x:n ksvess rjtt, jos ε R + n ε N : x > n ε = f(x) < ε, merkitään lim x f(x) =. b) Funktio f : R R ksv rjtt x:n ksvess rjtt, jos merkitään lim x f(x) =. Smn tpn määritellään lim f(x) =, lim x M R n M N : x > n M = f(x) > M, f(x) =, lim x 5.1. Määritelmä j perusominisuuksi. f(x) = j lim x 5. Funktion jtkuvuus f(x) =. x Määritelmä 5.1.1. Funktio f : A R on jtkuv pisteessä x 0 A, jos se on määritelty jossin x 0 :n ympäristössä, j kikille ε R + on olemss δ ε R + siten, että f(x) f(x 0 ) < ε in, kun x x 0 < δ ε. Luse 5.1.2. Seurvt ovt yhtäpitäviä: (1) lim x x0 f(x) = f(x 0 ) (2) ε R + δ ε R + : x x 0 < δ ε = f(x) f(x 0 ) < ε (eli f on jtkuv)

ANALYYSIN TEORIA A JA B 11 (3) ε R + δ ε R + : x x 0 < δ ε = f(x) B(f(x 0 ), ε) (4) ε R + δ ε R + : x B(x 0, δ ε ) = f(x) B(f(x 0 ), ε) (5) ε R + δ ε R + : f (B (x 0, δ ε )) B(f(x 0 ), ε). Huom: Kohdt 1-5 ovt vin erilisi muotoiluj jtkuvuuden määritelmälle. Luse 5.1.3. Jos funktiot f j g ovt jtkuvi pisteessä x 0, niin ) (f + g) on jtkuv pisteessä x 0 b) (cf) on jtkuv pisteessä x 0 kikill vkioill c R + c) (fg) on jtkuv pisteessä x 0 d) ( f g ) on jtkuv pisteessä x 0, jos g(x 0 ) 0. Seurus 5.1.4. Jos f on jtkuv j g epäjtkuv x 0 :ss, niin (f + g) on epäjtkuv x 0 :ss. Jos lisäksi f(x 0 ) 0, niin (fg) on epäjtkuv x 0 :ss. Luse 5.1.5. Jos f on jtkuv x 0 :ss j lim n n = x 0, niin lim n f( n ) = f(x 0 ). Luse 5.1.6. Jos lim x x0 f(x) =, j g on jtkuv pisteessä, niin lim x x0 (g f)(x) = g(). Luse 5.1.7. Jos f on jtkuv x 0 :ss j g on jtkuv f(x 0 ):ss, niin (g f) on jtkuv x 0 :ss. Määritelmä 5.1.8. Jos A on voin, niin funktio f : A R on jtkuv joukoss A, jos f on jtkuv jokisess pisteessä x A. Luse 5.1.9. Jos A on voin, niin f : A R on jtkuv jos, j vin jos jokisen voimen joukon B R lkukuv f 1 (B) on voin. Määritelmä 5.1.10. ) Funktio f on vsemmlt jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ) b) Funktio f on oikelt jtkuv pisteessä x 0, jos lim x x0+ f(x) = f(x 0 ). Luse 5.1.11. Funktio on jtkuv pisteessä x 0, jos j vin jos se on sekä vsemmlt, että oikelt jtkuv pisteessä x 0. Määritelmä 5.1.12. Funktio on jtkuv suljetull (j rjoitetull) välillä [, b], jos se on jtkuv joukoss ], b[, vsemmlt jtkuv pisteessä b j oikelt jtkuv pisteessä. 5.2. Bolznon luse j jtkuvien funktioiden välirvoluse. Lemm 5.2.1. Jos f on vsemmlt jtkuv pisteessä x 0, j f(x 0 ) > 0, niin on olemss α R + siten, että f(x) > 0 kikille x ]x 0 α, x 0 ]. Seurus 5.2.2. Jos f on oikelt jtkuv pisteessä x 0, j f(x 0 ) > 0, niin on olemss α R + siten, että f(x) > 0 kikille x [x 0, x 0 + α[. Jos f on jtkuv pisteessä x 0 j f(x 0 ) > 0, niin on olemss β R + siten, että f(x) > 0 kikille x B(x 0, β). Luse 5.2.3 (Bolzno). Jos f : [, b] R on jtkuv, f() < 0 j f(b) > 0, niin on olemss c ], b[ siten, että f(c) = 0. Seurus 5.2.4. Jos f : [, b] R on jtkuv, f() > 0 j f(b) < 0, niin on olemss c ], b[ siten, että f(c) = 0. Seurus 5.2.5 (Jtkuvien funktioiden välirvoluse, eli JFVAL). Jos f : [, b] R on jtkuv j f() < y < f(b), niin on olemss c ], b[ siten, että f(c) = y. Luse 5.2.6. Jos f : [, b] R on jtkuv joukoss [, b], niin se on rjoitettu. Luse 5.2.7. Jos f : [, b] R on jtkuv joukoss [, b], se svutt suurimmn j pienimmän rvons, sekä kikki niiden välissä olevt rvot.

12 ANALYYSIN TEORIA A JA B 5.3. Funktioit j käänteisfunktioit. Luse 5.3.1. Jos I on voin väli (myös ], [, ], b[ j ], [), j f : I f(i) on jtkuv j idosti nousev, niin f:llä on käänteisfunktio, jok on myös jtkuv. Luse 5.3.2. Polynomit ovt jtkuvi. Luse 5.3.3. Rtionlifunktiot P (x) Q(x) (P j Q ovt polynomej) ovt jtkuvi niissä pisteissä, joiss Q(x) 0 (eli koko määrittelyjoukossn). Luse 5.3.4. Funktio n x on jtkuv määrittelyjoukossn, kun n N. Luse 5.3.5. Järjestetyssä kunnss K seurvt ovt yhtäpitäviä: (1) K on Dedekind-täydellinen (2) Arkhimedeen luse on tosi K:ss j K on Cuchy-täydellinen (3) nousevll rjoitetull jonoll on rj-rvo (4) sisäkkäisten suljettujen välien leikkus on epätyhjä (5) Bolznon luse on tosi K:ss (6) JFVAL on tosi K:ss (7) Bolzno-Weierstrssin luse on tosi K:ss (8) (Heine-Borelin luse on tosi K:ss (ei sisälly kurssiin)) (9) suljetull K:n välillä jtkuv funktio svutt mksimins (10) äärettömällä rjoitetull joukoll on ksutumispiste (Luennoll on todistettu vin, että koht 1 implikoi loput (eli toisinsnoen reliluvuille, joill Dedekind-täydellisyys on ksioom pätee myös kohdt 2-10)). 6.1. Derivtt. 6. Differentililskent Määritelmä 6.1.1. Jos funktio on määritelty jossin pisteen x 0 ympäristössä j rj-rvo f(x) f(x 0 ) f(x + h) f(x) lim = lim = x x 0 x x 0 h 0 h on olemss, niin on f:n derivtt pisteessä x 0, merkitään =: f (x 0 ). Huom. Jtkoss ei in erikseen snot, että funktion tulee oll määritelty jossin pisteen ympäristössä ollkseen derivoituv siinä. Luse 6.1.2. Luku R on funktion f : A R derivtt pisteessä x A, jos j vin jos jossin x:n ympäristössä on f(x + h) f(x) = h + h g(h), missä g on funktio, jolle g(0) = lim h 0 g(h) = 0. Luse 6.1.3. Jos f : A R on derivoituv pisteessä x 0 A, niin se on myös jtkuv pisteessä x 0. Luse 6.1.4. Jos f:llä j g:llä on derivtt pisteessä x 0, niin ) (cf) (x 0 ) = cf (x 0 ) c R b) (f + g) (x 0 ) = f (x 0 ) + g (x 0 ) c) (fg) (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) + f(x 0 )g (x 0 ) d) ( ) 1 (x 0 ) = g (x 0 ) g [g(x 0 )] 2, kun g(x 0) 0 e) kun g(x 0 ) 0. ( ) f (x 0 ) = f (x 0 )g(x 0 ) f(x 0 )g (x 0 ) g [g(x 0 )] 2,

ANALYYSIN TEORIA A JA B 13 Luse 6.1.5. Jos f : A R on bijektio, sillä on derivtt pisteessä x 0 A, f (x 0 ) 0, j käänteiskuvus f 1 on määritelty jossin pisteen y 0 := f(x 0 ) ympäristössä, niin f 1 :llä on derivtt pisteessä y 0 j (f 1 ) (y 0 ) = 1 f (x 0 ). Luse 6.1.6. Jos f on derivoituv pisteessä x 0 j g on derivoituv pisteessä f(x 0 ), niin yhdistetty kuvus g f on derivoituv pisteessä x 0 j (g f) (x 0 ) = f (x 0 )g (f(x 0 )). Huom. Ylläolevss merkintä (g f) (x 0 ) trkoitt yhdistetyn funktion derivtt pisteessä x 0. Oikenpuoleinen merkintä g (f(x 0 )) trkoitt funktion g derivtt pisteessä f(x 0 ). 6.2. Derivtn käsitteen yleistyksiä. Määritelmä 6.2.1. ) Luku R on funktion f oikenpuoleinen derivtt pisteessä x 0, jos f on määritelty joukoss [x 0, x 0 + α[ jollkin α R +, j f(x 0 + h) f(x 0 ) lim =, h 0+ h merkitään tällöin = f (x 0 +). b) Luku b R on funktion f vsemmnpuoleinen derivtt pisteessä x 0, jos f on määritelty joukoss ]x 0 α, x 0 [ jollkin α R +, j Luse 6.2.2. f(x 0 + h) f(x 0 ) lim = b, h 0 h merkitään tällöin b = f (x 0 +). f (x 0 ) = f (x 0 +) = j f (x 0 ) =. Määritelmä 6.2.3. ) Funktio on derivoituv voimess joukoss A, jos se on derivoituv jokisess A:n pisteessä b) Funktio f on jtkuvsti derivoituv joukoss A, jos se on derivoituv joukoss A j funktio A R : x f (x) on jtkuv A:ss c) Jos f on derivoituv joukoss A j f : A R : x f (x) on derivoituv pisteessä x 0 A, niin (f ) (x 0 ) =: f (x 0 ) on f:n toinen derivtt pisteessä x 0. Huom. Vstvll tvll määritellään kolms jne. derivtt. 6.3. Rollen luse, Dierentililskennn välirvoluse j hiemn äärirvoist. Luse 6.3.1. ) Jos f (x 0 ) > 0, niin on olemss α R + siten, että x 0 α < x < x 0 = f(x) < f(x 0 ) j x 0 < x < x 0 + α = f(x 0 ) < f(x) b) Jos f (x 0 ) < 0, niin on olemss β R + siten, että x 0 β < x < x 0 = f(x) > f(x 0 ) j x 0 < x < x 0 + β = f(x 0 ) > f(x). Luse 6.3.2. Jos funktioll f on mksimi pisteessä x 0 j f on derivoituv x 0 :ss, niin f (x 0 ) = 0. Luse 6.3.3 (Rolle). Jos f : [, b] R on jtkuv joukoss [, b], derivoituv joukoss ], b[ j f() = f(b), niin on olemss c ], b[ siten, että f (c) = 0. Luse 6.3.4 (Dierentililskennn välirvoluse, eli DVAL). Jos f : [, b] R on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[, niin on olemss c ], b[ siten, että f f(b) f() (c) =. b Luse 6.3.5 (Integrlilskennn perusluse, eli IPL). Jos f : [, b] R on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[ siten, että f (x) = 0 kikill x ], b[, niin f on vkiofunktio. Seurus 6.3.6. Jos f on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[ siten, että f (x) M kikill x ], b[, niin f(x) f() + M(x ) kikill x ], b[.

14 ANALYYSIN TEORIA A JA B Seurus 6.3.7. Jos f : [, b] R on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[ siten, että f (x) 0 kikill x ], b[, niin f on nousev välillä [, b]. Seurus 6.3.8. Jos f : [, b] R on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[ siten, että f (x) 0 kikill x ], b[, niin f on lskev välillä [, b]. Määritelmä 6.3.9. ) Funktioll f : A R on mksimi pisteessä x 0 A, jos f(x) f(x 0 ) kikill x A. b) Funktioll f : A R on minimi pisteessä x 0 A, jos f(x) f(x 0 ) kikill x A. c) Funktioll f : A R on lokli mksimi pisteessä x 0 A, jos on olemss α R + siten, että funktioll f B(x0,α) on mksimi pisteessä x 0. d) Funktioll f : A R on lokli minimi pisteessä x 0 A, jos on olemss α R + siten, että funktioll f B(x0,α) on minimi pisteessä x 0. Seurus 6.3.10. Funktioll f : [, b] R voi oll mksimi/minimi pisteessä x 0 [, b] vin, jos jokin seurvist pätee: ) x 0 = b) x 0 = b c) f ei ole derivoituv pisteessä x 0 d) f (x 0 ) = 0. Luse 6.3.11. Jos f (x 0 ) = 0 j f (x 0 ) > 0, niin f:llä on lokli minimi pisteessä x 0. Luse 6.3.12. Funktioll voi oll mksimi/minimi niissä pisteissä, joiss sillä on lokli mksimi/minimi. 6.4. Yleistetty dierentililskennn välirvoluse j L'Hospitlin sääntö. Luse 6.4.1 (Yleistetty dierentililskennn välirvoluse, eli YDVAL). Jos f j g ovt jtkuvi välillä [, b], derivoituvi välillä ], b[ j g (x) > 0 kikill x ], b[, niin on olemss c ], b[ siten, että f (c) f(b) f() g = (c) g(b) g(). Luse 6.4.2 (L'Hospitl). Jos f(x 0 ) = g(x 0 ) = 0, rj-rvo f(x) lim x x 0 g(x) on olemss, lim x x0 f (x) = j lim x x0 g (x) = b 0, niin f(x) lim x x 0 g(x) = b. Huom. L'Hospitlin luse voidn todist heikommillkin oletuksill. 7.1. Riemnnin integrli. 7. Integrlilskent Määritelmä 7.1.1. Äärellinen joukko D = {x k } n k=0 on välin [, b] jko, jos = x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = b. Jon D = {x k } n k=0 normi on D := mx (x k x k 1 ). 1 k n Jko D 2 on jon D 1 hienonnus, jos D 1 D 2. Määritelmä 7.1.2. Jos f : [, b] R on rjoitettu j D = {x k } n k=0 on välin [, b] jko, niin f:n lsumm välillä [, b] on n σ(f, D) := g k (f, D)(x k x k 1 ),

ANALYYSIN TEORIA A JA B 15 missä g k (f, D) := inf{f(x) : x k 1 x x k }. Vstvsti f:n yläsumm on n Σ(f, D) := G k (f, D)(x k x k 1 ), missä G k (f, D) := sup{f(x) : x k 1 x x k }. Lemm 7.1.3. Jos f : [, b] R on rjoitettu, D 1 on välin [, b] jko j D 2 on D 1 :n hienonnus, niin σ(f, D 1 ) σ(f, D 2 ) j Σ(f, D 2 ) Σ(f, D 1 ). Lemm 7.1.4. Jos D 1 j D 2 ovt välin [, b] jkoj j f : [, b] R on rjoitettu, niin σ(f, D 1 ) Σ(f, D 2 ). Toisin snoen jokinen f:n lsumm on pienempi ti yhtä suuri kuin mikä thns f:n yläsumm. Määritelmä 7.1.5. Jos f : [, b] R on rjoitettu, niin f:n lintegrli on j f:n yläintegrli on σ(f) := sup{σ(f, D) : D on välin [, b] jko } Σ(f) := inf{σ(f, D) : D on välin [, b] jko }. Huom. Lemmn 7.1.3 nojll määritelmän supremumit j inmumit ovt olemss, sillä jokisell välin [, b] joll D on σ(f, D) (b ) sup f(x) = Σ(f, {, b}) x [,b] j Σ(f, d) (b ) inf f(x) = σ(f, {, b}). x [,b] Määritelmä 7.1.6. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos j vin jos σ(f) = Σ(f), jolloin sen (Riemnn-)integrli on f(x) dx := Σ(f). Luse 7.1.7. Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv, jos kikill ε R + on olemss välin [, b] jko D ε siten, että 7.2. Perusluseit. Σ(f, D ε ) σ(f, D ε ) < ε. Lemm 7.2.1. Jos A j B ovt ylhäältä rjoitettuj epätyhjiä relilukujoukkoj, niin ) sup(a + B) = sup A + sup B, missä A + B := {x + y : x A, y B} b) sup ca = c sup A, kun c 0 j ca := {cx : x A}. c) sup ca = c inf A, kun c 0. Luse 7.2.2. Jos α : [, b] R j β : [, b] R ovt (rjoitettuj j) integroituvi, niin α + β on integroituv j α(x) + β(x) dx = α dx + β dx. Luse 7.2.3. Jos α : [, b] R on (rjoitettu j) integroituv j c R, niin cα on integroituv j cα(x) dx = c α(x) dx. Seurus 7.2.4. Jos funktiot f k : [, b] R ovt (rjoitettuj j) integroituvi j c k R, niin n c kf k on integroituv j n c k f k (x) dx = n c k f k (x) dx.

16 ANALYYSIN TEORIA A JA B Luse 7.2.5. Jos f : [, b] R on (rjoitettu j) integroituv j niin m = inf f(x), j M = sup f(x), x b x b m(b ) f(x) dx M(b ). Luse 7.2.6. Jos f : [, b] R j g : [, b] R ovt (rjoitettuj j) integroituvi siten, että f(x) g(x) kikill x [, b], niin f(x) dx g(x) dx. Huom Edeltävissä luseiss on minittu erikseen oletuksen, että funktion tulee oll rjoitettu. Tämä kuitenkin sisältyy oletukseen, että funktio on Riemnn-integorituv, j siksi sitä ei jtkoss enää erikseen minit. Määritelmä 7.2.7. Funktion f : A R positiivios on funktio { f(x), kun f(x) 0 f + : A R : x 0 muulloin, j negtiivios on funktio f : A R : x { f(x), kun f(x) 0 0 muulloin. Huom. f+ 0 j f 0. Lisäksi f = f + f j f = f + + f. Luse 7.2.8. Jos f : [, b] R on integroituv, niin f + : [, b] R j f : [, b] R ovt integroituvi. Luse 7.2.9. Jos f : [, b] R on integroituv, niin myös f : [, b] R : x f(x) on integroituv j f(x) dx f(x) dx. Luse 7.2.10. Jos α : [, b] R j β : [, b] R ovt integroituvi, niin αβ : [, b] R : x α(x)β(x) on integroituv. Luse 7.2.11 (Integrlilskennn välirvoluse, eli IVAL). Jos f : [, b] R on integroituv, m = inf x b f(x) j M = sup x b f(x), niin m 1 b f(x) dx M. Seurus 7.2.12. Jos f : [, b] R on jtkuv j integroituv, niin on olemss c [, b] siten, että f(c) = 1 b f(x) dx. Luse 7.2.13 (Yleistetty integrlilskennn välirvoluse, eli YIVAL). Jos f : [, b] R j h : [, b] R ovt integroituvi, h 0 j h(x) dx, niin m missä m = inf x b f(x) j M = sup x b f(x). f(x)h(x) dx h(x) dx M, Määritelmä 7.1.6 koskee vin funktioiden integrli niiden koko määrittelyjoukoss. Funktiolle tietenkin voidn määritellä integrli pienemmässäkin joukoss

ANALYYSIN TEORIA A JA B 17 Määritelmä 7.2.14. Funktio f : A R on integroituv yli välin [, b] A, jos f [,b] on integroituv määritelmän 7.1.6 mielessä. Tällöin f:n Riemnn-integrli yli välin [, b] on f(x) dx := f [,b] (x) dx. Esimerkiksi funktion fr + R : x 1 x Riemnn-integrli yli välin [1, 2] R + on sm kuin rjoittumn f [1,2] : [1, 2] R integrli yli välin [1, 2]. Luse 7.2.15. Jos f : [, b] R on rjoitettu j c ], b[, niin f on Riemnn-integroituv yli välin [,b] jos, j vin jos f on integroituv yli välien [, c] j [c, b]. Lisäksi tällöin Määritelmä 7.2.16. f(x) dx = c f(x) dx + c f(x) dx. ) Jos f : A R on funktio j A, niin f(x) dx := 0. b) Jos f : [, b] R on Riemnn-integroituv, niin b f(x) dx := f(x) dx. Luse 7.2.17. Jos f : R on integroituv, j on väli, jok sisältää pisteet, b j c, niin c f(x) dx = f(x) dx + olivtp pisteet, b j c missä järjestyksessä hyvänsä. 7.3. Jtkuvien funktioiden integroituvuus. c b f(x) dx, Määritelmä 7.3.1. Funktio f : A R on tsisesti jtkuv, jos ε R + δ ε R + : x, y A, x y < δ ε = f(x) f(y) < ε. Luse 7.3.2. Jos f : [, b] R on jtkuv joukoss [, b], niin f on tsisesti jtkuv joukoss [, b]. Luse 7.3.3. Jos f : [, b] R on rjoitettu j jtkuv, niin se on Riemnn-integroituv. 7.4. Lebesguen ehto. (Ei trvitse ost). Määritelmä 7.4.1. Joukko A R on nollmittinen, jos kikill ε R + on olemss välit ] k, b k [, k N siten, että A ] k, b k [ j (b k k ) := lim n (b k k ) < ε. n Luse 7.4.2 (Lebesguen ehto). Rjoitettu funktio f : [, b] R on Riemnn-integroituv jos, j vin jos sen epäjtkuvuuspisteiden joukko on nollmittinen. Luse 7.4.3. Seurvt ovt riittäviä ehtoj rjoitetun funktion f : [, b] R Riemnn-integroituvuudelle: ) f:n epäjtkuvuuspisteiden joukko on numeroituv b) f on monotoninen c) f on rjoitetusti heilhtelv, eli on olemss M R siten, että kikille välin [, b] joille D = {x k } n k=0 pätee n f(x k ) f(x k 1 ) M. Lebesguen ehdon todistus yms, ktso Tom Apostol: "Mthemticl Anlysis".

18 ANALYYSIN TEORIA A JA B 7.5. Primitiivi. Määritelmä 7.5.1. Olkoon f : [, b] R funktio. Jos on olemss funktio F : [, b] R siten, että F (x) = f(x) kikill x ], b[, F (+) = f() j F (b ) = f(b), niin F on funktion f primitiivi eli ntiderivtt. Huom. Primitiivi voidn määritellä smn tpn yleisemmin esimerkiksi voimess joukoss määritellylle funktiolle. Huom. Primitiivi ei ole yksikäsitteinen: Jos F on f:n primitiivi, niin kikill c R myös F + c on f:n primitiivi. Luse 7.5.2. Jos F on funktion f primitiivi, niin {F + c : c R} on kikkien f:n primitiivien joukko. Luse 7.5.3. Jos F on funktion f : [, b] R primitiivi j G on funktion g : [, b] R primitiivi, niin F + G on f + g:n primitiivi, j αf on αf:n primitiivi kikill α R. 7.6. Riemnn-integrli j primitiivi. Luse 7.6.1. Jos f : [, b] R on Riemnn-integroituv, niin funktio on jtkuv. F : [, b] R : x x f(t) dt Luse 7.6.2. Olkoot f j F kuten edellisessä luseess j f lisäksi jtkuv pisteessä x 0 ], b[. Tällöin F on derivoituv pisteessä x 0 j F (x 0 ) = f(x 0 ). Luse 7.6.3. Jos f : [, b] R on jtkuv, niin sillä on primitiivi F : [, b] R : x x f(t) dt. Luse 7.6.4 (Anlyysin perusluse). Jos f[, b] R on jtkuv, niin missä F on jokin f:n primitiivi. f(x) dx = F (b) F () =: / b F (x), Huom. Anlyysin perusluse ktt vin jtkuvt funktiot. On olemss myös epäjtkuvi integroituvi funktioit. Huom. Määritelmä 7.1.6 on integrlin määritelmä, äskeinen luse kertoo vin, kuink eräissä poikkeustpuksiss integrli voidn lske helpommin. Huom. Äskeisen luseen motivoimn primitiiviä snotn usein määräämättömäksi integrliksi j merkitään f(x) dx = F (x). 7.7. Osittisintegrointi. Luse 7.7.1. Jos f : [, b] R on derivoituv j f integroituv, niin f (x) dx = f(b) f(). Luse 7.7.2. Olkoot u : [, b] R j v : [, b] R derivoituvi j u j v integroituvi. Tällöin 7.8. Muuttujnvihto. uv dx = / b uv u v dx. Luse 7.8.1. Olkoon f : [, b] R jtkuv j x : [α, β] [, b] : t x(t) jtkuvsti derivoituv idosti nousev bijektio. Tällöin β f(x) dx = x (t)(f x)(t) dt. α

7.9. Epäoleelliset integrlit. I: Rjoittmton väli ANALYYSIN TEORIA A JA B 19 Määritelmä 7.9.1. ) Jos funktio f : [, [ R on Riemnn-integroituv yli jokisen välin [, b] [, [ j rj-rvo lim b f(x) dx = L on olemss, niinf:llä on epäoleellinen integrli L yli välin [, [, merkitään tällöin f(x) dx := L, j snotn, että integrli f(x) dx suppenee b) Smnkltisin oletuksin määritellään epäoleellinen integrli f(x) dx = lim f(x) dx funktiolle f : ], b] c) Jos f : R R on integroituv yli jokisen välin [, b] R, j jollkin c R rj-rvot lim c f(x) dx j lim b ovt olemss, niin f:llä on epäoleellinen integrli f(x) dx := lim c c f(x) dx + lim b f(x) dx c f(x) dx. Huom. Kohdss c epäoleellisen integrlin olemssolo j rvo eivät riipu pisteen c R vlinnst. Huom. Jos esimerkiksi lim b f(x) dx =, niin merkitään f(x) dx =. Tällöin kuitenkin epäoleellinen integrli hjntuu, ei suppene. Huom. Epäoleelliset integrlit plutuvt funktioiden rj-rvoihin. Luse 7.9.2. Jos funktioll f : [, [ R on f(x) 0 j f on integroituv yli jokisen välin [, b] [, [, niin seurvt ovt yhtäpitäviä: (1) f(x) dx suppenee (2) on olemss M R siten, että kikill b on f(x) dx M, Luse 7.9.3. Jos f : [, [ R j g : [, [ R ovt funktioit siten 0 f(x) g(x) kikill x j integrlit f(x) dx j g(x) dx ovt olemss kikill b, niin (1) g(x) dx suppenee = f(x) dx suppenee (2) f(x) dx hjntuu = g(x) hjntuu. Luse 7.9.4 (Osmäärätesti). Jos f : [, [ R j g [, [ R ovt integroituvi yli jokisen välin [, b] [, [ j kikill x on f(x) 0 j g(x) > 0, niin f(x) (1) Jos lim x = A > 0, niin g(x) f(x) (2) Jos lim x = 0, niin g(x) f(x) (3) Jos lim x =, niin g(x) Määritelmä 7.9.5. Integrli g(x) dx suppenee g(x) dx suppenee = g(x) dx hjntuu = f(x) dx suppenee f(x) dx suppenee f(x) dx hjntuu. f(x) dx suppenee itseisesti, jos integrli f(x) dx supppenee.

20 ANALYYSIN TEORIA A JA B Huom. Tässä määritelmässä on ehto vähemmän kuin luennoll esitetyssä (ehto on nyt seurvn luseess). Luse 7.9.6. Jos f : [, [ R on integroituv yli jokisen välin [, b] [, [ j integrli f(x) dx suppenee itseisesti, niin se suppenee. Luse 7.9.7. Jos ) f(x) dx j g(x) dx suppenevt, niin f(x) + g(x) dx suppenee cf(x) dx suppenee kikill c R. b) II: Rjoittmton funktio Määritelmä 7.9.8. rj-rvo (1) Jos f : ], b] R on integroituv yli jokisen välin [c, b] ], b] j lim c + c f(x) dx = L on olemss, niin L on f:n epäoleellinen integrli yli välin ], b], merkitään L =: f(x) dx. (2) Smnkltisin oletuksin funktiolle f : [, b[ R on f(x) dx := lim c b c f(x) dx. (3) Funktioll f : ], b[ R on epäoleellinen integrli, jos on olemss α ], b[ siten, että f on α integroituv yli jokisen välin [β, α] ], α] j [α, γ] [α, b[ j rj-rvot lim β + f(x) dx β γ j lim γ b f(x) dx ovt olemss,. Tällöin α f(x) dx := lim β + α β f(x) dx + lim γ b γ α f(x) dx. Huom. Määritelmän kohdss 3 epäoleellisen integrlin olemssolo j rvo eivät riipu pisteen α ], b[ vlinnst. Huom. Aiempien luseiden knss nlogiset tulokset pätevät myös määritelmän 7.9.8 epäoleellisille integrleille. 8. Relilukusrjt 8.1. Srj j sen summ. Määritelmä 8.1.1. ) Olkoon (x k ) relilukujono. Sen n:s ossumm on n x k. b) Ossummien jono ( n (S n ) n=1 = x k) n=1 on lukujonon (x k ) määrittelemä srj, merkitään sitä x k. c) Lukujonon (x k ) määrittelemä srj suppenee (eli konvergoi), jos ossummien jonoll (S n ) n=1 on rj-rvo S R, tällöin rj-rvo S snotn srjn x k summksi d) Jos srj ei suppene, se hjntuu (eli divergoi) e) Suppenevn srjn n:s jäännöstermi on R n := S S n = k=n+1 x k. Huom. Merkinnällä x k trkoitetn joskus srj j joskus sen summ. Yleensä merkitys selviää siyhteydestä. Huom. Älä koskn käytä lskuiss srjn summ, ellet tiedä että se suppenee. Huom. Srjt plutuvt määritelmänsä vuoksi lukujonojen rj-rvoihin. Huom. Srjt ovt nlogisi epäoleellisten integrlien knss: Srj k suppenee jos, j vin jos epäoleellinen integrli f(x) dx suppenee, missä f(x) := 1 k, kun k x k + 1. Toislt epäoleellinen integrli g(x) dx suppenee jos, j vin jos srj k+1 1 g(x) dx k suppenee.

ANALYYSIN TEORIA A JA B 21 Luse 8.1.2. Jos srjt x k j y k suppenevt, j niiden summt ovt S x j S y, niin ) srj (x k + y k ) suppenee, j sen summ on S x + S y b) kikill c R srj cx k suppenee, j sen summ on cs x. Seurus 8.1.3. Jos srj x k suppenee j y k hjntuu, niin srj (x k + y k ) hjntuu. Lemm 8.1.4. Kun q 1, geometrisen srjn k=0 qk n + 1:s ossumm on on n q k = 1 qn+1. 1 q k=0 Luse 8.1.5. Geometrinen srj k=0 qk suppenee jos, j vin jos q < 1, jolloin sen summ on 1 1 q. Huom. Geometrisen srjn indeksit lkvt 0:st. Myös srjoj k=0 qk, missä c R on vkio, snotn geometrisiksi. Niiden summn lskemiseen sovelletn lusett 8.1.2. Huom. Määritellään 0 0 := 1. Luse 8.1.6 (Cuchyn kriteeri). Srj x k suppenee jos, j vin jos kikill ε R + on olemss n(ε) N siten, että n > n(ε), p N = n+p k=n+1 x k < ε. Esim. Hrmoninen srj 1 k hjntuu. Luse 8.1.7. Jos srj x k suppenee, niin lim k x k = 0 j lim n R n = 0. Huom. lim k x k = 0 ei tk srjn x k suppenemist (esimerkiksi hrmoninen srj hjntuu, vikk lim k 1/k = 0. Seurus 8.1.8. Jos lim k x k 0 ti lim k x k, niin srj x k ei suppene. Luse 8.1.9. Olkoon p N. Srj x k suppenee jos, j vin jos srj k=p x k suppenee. Tällöin p 1 x k = x k + x k. Luse 8.1.10. Olkoon l=1 x l suppenev srj, (k m ) m=1 idosti nousev jono luonnollisi lukuj (k 1 < k 2 < k 3 < < k m < k m+1 < ), j k=p k 1 y 1 :=x 1 + x 2 + x k1 = y 2 :=x k1+1 + x k1+2 + + x k2 =. y m :=x km 1+1 + x km 1+2 + + x km =. l=1 k 2 l=k 1+1 k m l=k m 1+1 Tällöin myös srj m=1 y m suppenee, j sen summ on m=1 y m = l=1 x l. Huom. Toiseen suuntn ei void päätellä: uudelleen ryhmitellyn srjn suppenemisest ei (ilmn lisäehtoj) seur lkuperäisen srjn suppeneminen. Luse 8.1.11. Jos srj x 2k 1+x 2k suppenee j lim k x k = 0, niin srj x k suppenee. x l x l x l

22 ANALYYSIN TEORIA A JA B 8.2. Positiivitermiset srjt. Määritelmä 8.2.1. Srj x k on positiiviterminen, jos x k 0 kikill k N. Luse 8.2.2. Positiiviterminen srj x k suppenee jos, j vin jos on olemss M R siten, että S n = n x k M kikill n N. Luse 8.2.3 (Mjornttiperite). Jos 0 x k y k kikill k N j srj y k suppenee, niin myös srj x k suppenee. Seurus 8.2.4 (Minornttiperite). Jos 0 x k y k kikill k N j srj x k hjntuu, niin myös srj y k hjntuu. Suppenemistestejä: Luse 8.2.5. Jos x k 0 j y k > 0 kikill k N j ) lim k x k y k b) lim k x k y k c) lim k x k y k = > 0, niin y k suppenee = 0, niin y k suppenee = =, niin y k hjntuu = x k suppenee x k suppenee x k hjntuu. Luse 8.2.6 (Cuchyn juuritesti). Jos x k 0 kikill k N j on olemss < 1 j k 0 siten, että k > k 0 = k x k <, niin srj x k suppenee. Luse 8.2.7 (Cuchyn suhde- eli osmäärätesti). Jos x k > 0 kikill k N j on olemss < 1 j k 0 N siten, että k > k 0 = x k+1 x k <, niin srj x k suppenee. Seurus 8.2.8. ) Jos x k 0 kikill k N j lim k k x k =: < 1, niin srj x k suppenee x b) Jos x k > 0 kikill k N j lim k+1 k x k =: b < 1, niin srj x k suppenee. Luse 8.2.9 (Integrlitesti). Jos f : [1, [ R on vähenevä, ei-negtiivinen j integroituv jokisell välillä [1, ], 1, niin f(x) dx suppenee f(k) suppenee. 1 Positiivitermisiä srjoj koskevi luseit: Luse 8.2.10. Jos x k 0 kikill k N, srj x k suppenee j α : N N on bijektio, niin myös srj x α(k) suppenee j sen summ on x α(k) = x k. Luse 8.2.11 (Cuchyn tulo). Jos positiivitermiset srjt x k j y k suppenevt, niin myös srj ( k ) x 1 y 1 + (x 1 y 2 + x 2 y 1 ) + (x 1 y 3 + x 2 y 2 + x 3 y 1 ) + = x l y k+1 l suppenee j sen summ on ( k ) ( ) ( ) x l y k+1 l = x k y k. l=1 Luse 8.2.12. Jos x k 0 kikill k N, (k m ) m=1 on idosti nousev jono luonnollisi lukuj (vrt luse 8.1.10) j y 1 := x 1 + x 2 + + x k1 y 2 := x k1+1 + x k1+2 + + x k2.y m := k m l=k m 1+1 x l, l=1

ANALYYSIN TEORIA A JA B 23 niin m=1 y m 8.3. Itseisesti suppenevt srjt. suppenee x k suppenee. Määritelmä 8.3.1. Srj x k suppenee itseisesti, jos srj x k suppenee. Määritelmä 8.3.2. Merkitään jonolle (x k ) x + k := { x k, jos x k 0 0 muulloin j x k := { x k, jos x k 0 0 muulloin. Huom. x k = x + k x k, 0 x+ k x k, x k = x + k x k j 0 x k x k. Luse 8.3.3. Srj x k suppenee itseisesti srjt x+ k j x k suppenevt. Luse 8.3.4. Itseisesti suppenev srj suppenee. Seurus 8.3.5. Jos srj x k suppenee, mutt ei itseisesti, niin srjt x+ k j hjntuvt. Luse 8.3.6. Jos srj x k suppenee itseisesti j α : N N on bijektio, niin srj suppenee itseisesti (j siis suppenee myös sellisenn). Lisäksi x α(k) = x k. x k x α(k) Luse 8.3.7. Jos srj x k suppenee, mutt ei itseisesti, niin kikille c R srjn termit voidn järjestää uudelleen (eli on olemss bijektio α c : N N jne) siten, että uuden srjn summksi tulee c. Srj voidn myös järjestää uudelleen siten, että uusi srj hjntuu. Luse 8.3.8 (Leibnitz 1 ). Jos (x k ) on idosti vähenevä jono positiivisi relilukuj siten, että lim k x k = 0, niin srj ( 1) k+1 x k suppenee, sen n:s jäännöstermi R n on smnmerkkinen kuin ( 1) n j R n x n+1. 9. Funktiojonot j -srjt 9.1. Pisteittäinen j tsinen suppeneminen. Määritelmä 9.1.1. Olkoot f k : A R funktioit. Funktio f : A R on jonon (f k ) pisteittäinen rj-rvo, jos kikill x A on lim k f k (x) = f(x). Huom. Pisteittäinen rj-rvo plutuu lukujonojen rj-rvoon, sillä kun x A on vlittu, on (f k (x)) relilukujono. Määritelmä 9.1.2. Funktiojono (f k ), f k : A R suppenee tsisesti kohti funktiot f : A R, jos ε R + k(ε) N x A : k > k(ε) = f k (x) f(x) < ε. 1 Nimen voi kirjoitt sekä Leibniz että Leibnitz, L itse kuulemm käytti edellistä muoto, mutt muut jälkimmäistä, jok oli vkiintunut 1900-luvulle sti.

24 ANALYYSIN TEORIA A JA B Huom. Luennoll esitettiin määritelmä puhekielisemmässä muodoss: ε R + k(ε) N : k > k(ε) = f k (x) f(x) < ε x A. Ajtus on kuitenkin sm: pisteittäisessä suppenemisess kullekin x:lle j ε R + voidn vlit k(ε) siten, että f k (x) f(x) < ε, tsisess suppenemisess on kullekin ε R + olemss k(ε) N siten, että f k (x) f(x) < ε jokisell x A. Luse 9.1.3. Jos funktiojono (f k ) suppenee tsisesti kohti funktiot f, se suppenee myös pisteittäin kohti funktiot f. Luse 9.1.4. Funktiojono (f k ), f k : A R, suppenee tsisesti kohti funktiot f : A R jos, j vin jos ( ) lim sup f k (x) f(x) = 0. k x A Luse 9.1.5 (Cuchyn ehto tsiselle suppenemiselle). Funktiot f k : A R suppenevt tsisesti kohti jotin funktiot jos, j vin jos ε R + k(ε) N : k, m > k(ε) = f m (x) f k (x) < ε x A. Luse 9.1.6. Jos I R on väli, funktiot f k : I R ovt jtkuvi j suppenevt tsisesti kohti funktiot f : I R, niin f on jtkuv. Luse 9.1.7. Jos funktiot f k : A R ovt integroituvi yli välin [, b] A j suppenevt tsisesti kohti funktiot f : A R, niin f on integroituv yli välin [, b] j f(x) dx = lim k f k (x) dx. Huom. Integroituvuus tässä trkoitt tvllist integrli (määritelmän 7.1.6 mukist), ei epäoleellist integrli. Oletuksiin siis sisältyy, että funktiot f k ovt rjoitettuj. Seurus 9.1.8. Edellisen luseen oletuksin, kun x 0 [, b], funktiot suppenevt tsisesti kohti funktiot F k : [, b] R : x F : [, b] R : x x x 0 f k (t) dt x x 0 f(t) dt. Huom. Seuruksen funktiot F k eivät välttämättä ole funktioiden f k primitiivejä (sillä kikill integroituvill funktioill ei sellisi ole olemss). Luse 9.1.9. Olkoot funktiot f k : [, b] R jtkuvsti derivoituvi siten, että derivtt f k : [, b] R suppenevt tsisesti kohti funktiot g : [, b] R j jollkin x 0 [, b] jono (f k (x 0 )) suppenee. Tällöin funktiot f k suppenevt tsisesti, j niiden rjfunktiolle f(x) := lim k f k (x) on f (x) = lim k f k(x) = g(x). 9.2. Funktiosrjt. Määritelmä 9.2.1. Funktioiden f k : A R ossummien S n (x) := n f k(x) jono snotn funktiosrjksi, j merkitään f k(x). Funktiosrj f k(x) suppenee pisteittäin, jos ossummien jono (S n (x)) n=1 suppenee pisteittäin. Jos ossummien jono suppenee tsisesti, niin funktiosrj suppenee tsisesti. Huom. Merkinnällä f k(x) trkoitetn joskus srj (riippumtt siitä suppeneeko se vi ei), j joskus suppenevn srjn summ. Huom Funktiosrjn suppeneminen plutuu funktiojonon suppenemiseen.

ANALYYSIN TEORIA A JA B 25 Luse 9.2.2. Joukoss A pisteittäin suppenev funktiosrj f k(x) suppenee tsisesti jos, j vin jos jäännöstermifunktiolle on lim n sup x A R n (x) = 0. R n (x) := f k (x) n k= 1 f k (x) = k=n+1 f k (x) Huom. Äskeisessä luseess tpus { R n (x) : x A} ylhäältä rjoittmton äärettömän monell n N tulkitn siten, että sup x A R n (x) 0. Huom. Jos et tiedä, että srj suppenee pisteittäin, älä käytä äskeistä lusett. Jäännöstermi nimittäin on määritelty vin suppeneville srjoille. Luse 9.2.3 (Weierstrssin "M-testi"). Jos funktioille f k : A R on olemss M k R siten, että f k (x) M k kikill x A j k N j srj M k suppenee, niin srj f k(x) suppenee tsisesti. Luse 9.2.4. Jos funktiot f k [, b] R ovt jtkuvi kikill k N j srj f k(x) suppenee tsisesti, niin sen summfunktio S : [, b] R : x f k (x) on jtkuv. Luse 9.2.5. Jos funktiot f k : [, b] R ovt integroituvi j srj f k(x) suppenee tsisesti, niin summfunktio S(x) = f k(x) on integroituv j f k (x) dx = f k (x) dx. Huom. Kuten funktiojonoille, on myös srjoille edellisen luseen oletuksin voimss, että kun x 0 [, b], funktiot n x F n : [, b] R : x f k (t) dt x 0 suppenevt tsisesti kohti funktiot x F : [, b] R : x f k (t) dt. x 0 Luse 9.2.6. Jos funktiot f k [, b] R ovt jtkuvsti derivoituvi, srj f k (x) suppenee tsisesti j jollkin x 0 [, b] srj f k(x 0 ) suppenee, niin srj f k(x) suppenee tsisesti, on derivoituv j ( f k (x)) = f k(x). 9.3. Potenssisrjt. Määritelmä 9.3.1. Jos x 0 R j k R kikill k = 0, 1, 2,..., niin muoto k (x x 0 ) k olev srj snotn potenssisrjksi. k=0 Luse 9.3.2 (Abel). Jos potenssisrj k=0 k(x x 0 ) k suppenee pisteessä x 1 x 0, niin se suppenee kikill x R, joill on x x 0 < x 1 x 0. Huom. Jokinen potenssisrj suppenee pisteessä x 0. Luse 9.3.3. Jos on olemss M R siten, että k (x 1 x 0 ) k M kikill k = 0, 1, 2,..., niin srj k=0 k(x x 0 ) k suppenee kikill x R, joill on x x 0 < x 1 x 0.

26 ANALYYSIN TEORIA A JA B Seurus 9.3.4. Jos srj k=0 k(x 1 x 0 ) k hjntuu, niin srj k=0 k(x x 0 ) k hjntuu kikill x R, joill on x x 0 > x 1 x 0. Määritelmä 9.3.5. Olkoon k=0 k(x x 0 ) k potenssisrj j E := { x x 0 : srj k=0 k(x x 0 ) k suppenee pisteessä x}. Potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde on { kun E on ylhäältä rjoittmton R := sup E muulloin. Luse 9.3.6. Jos R on potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde, niin srj suppenee, kun x x 0 < R j hjntuu, kun x x o > R. Huom. Potenssisrjn suppeneminen kun x x 0 = R on in selvitettävä erikseen. Esimerkiksi srj xk ei suppene pisteissä ±1, srj xk k suppenee pisteissä ±1 j srj 2 xk k hjntuu pisteessä 1 j suppenee pisteessä 1. Jokiselle näistä srjoist on R = 1. Luse 9.3.7. Olkoon k=0 k(x x 0 ) k potenssisrj j R sen suppenemissäde. ) Jos M R : k M kikill k = 0, 1, 2,..., niin R 1 b) Jos m R + : m k kikill k = 0, 1, 2,..., niin R 1 c) Jos m, M R + : m k M kikill k = 0, 1, 2,..., niin R = 1. Luse 9.3.8. Potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde on 0 jos { k k : k n} on ylhäältä rjoittmton n N R = jos lim n sup k k n k = 0 1/ jos lim n sup k k n k = R +. Huom. Jos tulkitn, että ylhäältä rjoittmtomn joukon supremum on, lim n =, 1/0 = j 1/ = 0, luseen kv R:lle s yksinkertisemmn muodon: R = 1 lim n sup k n k k. Huom2. Prempi kuitenkin oll tulkitsemtt niin. Ajttele edellisen huomutksen kv enemmänkin muistisääntönä. Lemm 9.3.9. ) Jos relilukusrjlle k=0 k on lim n sup k k n k < 1, niin se suppenee. b) Jos relilukusrjlle k=0 k on lim n sup k k n k > 1, niin se hjntuu. Luse 9.3.10. ) Jos rj-rvo lim k k k on olemss ti lim k k k =, niin potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde on 0 jos lim k k k = R = jos lim k k k = 0 1/ jos lim k k k =. b) Jos rj-rvo lim k+1 k k on olemss ti lim k+1 k k =, niin potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde on 0 jos lim k+1 k k = R = jos lim k+1 k k = 0 1/b jos lim k+1 k k = b. Luse 9.3.11. ) Jos R R + on potenssisrjn k=0 k(x x 0 ) k suppenemissäde j α ]0, R[, niin srj k=0 k(x x 0 ) k suppenee tsisesti joukoss [x 0 α, x 0 + α].