Anlyysi B Derivtt j integrli Pertti Koivisto Kevät 7
Alkusnt Tämä moniste on trkoitettu oheislukemistoksi Tmpereen yliopistoss pidettävälle kurssille Anlyysi B. Monisteen tvoitteen on tuke luentojen seurmist, hrjoitustehtävien rtkisemist j tentteihin vlmistutumist. Moniste sisältää melko kttvsti kurssill käsiteltävät sit, mutt pikoitellen lisäselitykset j mhdollinen lisämterili helpottnevt tekstin seurmist j esitettyjen sioiden ymmärtämistä. Moniste ei vrsinisesti ole trkoitettu kttvksi itseopiskelupketiksi. Monisteen rkenne j sisältö pohjutuvt Riemnn-integrlin määrittelyä lukuun ottmtt suurelt osin jo edesmenneen Seppo Vepsäläisen ikoinn Tmpereen yliopistoss pitämiin luentoihin. Sisältöä on jonkin verrn muokttu kevyempään suuntn j myös rkenteess on tehty muutoksi. Kurssin menestyksellinen seurminen edellyttää Tmpereen yliopiston opintojksoll Anlyysi A (j sen esitietoin olevill opintojksoill) esitettyjen sioiden hyvää hllint. Jos kurssill trvittvt esitiedot ovt päässeet unohtumn ti niiden hllinnss on muust syystä puutteit, myös esitietojen kertmiseen pitää vrt riittävästi ik (kurssin Anlyysi B seurmisen ohess). Kosk moniste on suor jtko kurssin Anlyysi A vstvlle monisteelle, mtemtiikn opiskelun luonnett koskevien huomutusten oslt näissä lkusnoiss tyydytään viittmn kurssin Anlyysi A monisteen lkusnoihin. Lopuksi esitän kiitokset kikille, jotk ovt kommenteilln, ehdotuksilln j neuvoilln uttneet minu tämän monisteen teoss. Pertti Koivisto
Sisältö Esitietoj. Supremum j infimum.......................... Rj-rvo j jtkuvuus......................... 4 Funktion derivtt 7. Määritelmiä j perusominisuuksi.................. 7. Yhdistetyn funktion derivtt.....................3 Käänteisfunktion derivtt...................... 5.4 Rollen luse j välirvoluse...................... 3.5 Integrlilskennn perusluse..................... 37 3 Derivoituvn funktion ominisuuksi 4 3. l Hospitlin sääntö........................... 4 3. Funktion monotonisuus......................... 47 3.3 Funktion äärirvot........................... 5 4 Pint-lt j porrsfunktiot 59 4. Al- j yläsumm............................ 59 4. Porrsfunktio.............................. 6 4.3 Porrsfunktion integrli........................ 63 5 Riemnn-integrli 66 5. Al- j yläintegrli........................... 66 5. Riemnn-integrli j Riemnn-integroituvuus............ 7 5.3 Integroituvi funktioit......................... 77 5.4 Perusominisuuksi........................... 8 5.5 Integrlien rviointi......................... 9 5.6 Integrlilskennn välirvoluse................... 95 5.7 * Riemnnin summ.......................... 98 6 Integrli j derivtt 4 6. Integrli ylärjns funktion..................... 4 6. Integrlifunktio............................ 7 * Integrointimenetelmiä 6 7. Määräämätön integrli........................ 6
7. Osittisintegrointi............................ 7.3 Sijoitusmenetelmä eli muuttujnvihto................ 7 7.4 Rtionlifunktiot............................ 36 7.5 Trigonometriset funktiot........................ 47 7.6 * Algebrlliset funktiot......................... 55
Esitietoj. Supremum j infimum Joukon pienintä ylärj (supremum) j suurint lrj (infimum) on käsitelty jo kurssill Anlyysi A. Kerrtn vielä luksi supremumin j infimumin määritelmät j perusominisuuksi sekä esitetään muutmi myöhemmissä todistuksiss trvittvi putuloksi. Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A ylärjojen joukoss on pienin, niin se on joukon A pienin ylärj eli supremum (merkitään sup A). Määritelmä.. Olkoon A R, A. Jos joukon A lrjojen joukoss on suurin, niin se on joukon A suurin lrj eli infimum (merkitään inf A). Täydellisyysksioomn nojll jokisell epätyhjällä ylhäältä rjoitetull joukon R osjoukoll on pienin ylärj. Vstvsti jokisell epätyhjällä lhlt rjoitetull joukon R osjoukoll on suurin lrj. Seurv luse kuv infimumin j supremumin suhdett yksinkertisess erikoistpuksess. Luse.. Olkoot A j B epätyhjiä joukon R osjoukkoj. Jos A B, niin inf B inf A sup A sup B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Yleisesti joukon A supremumin ti infimumin ei trvitse kuulu joukkoon A. Jos ne kuitenkin kuuluvt joukkoon A, niin joukon A ylä- j lrjoin ne ovt vstvsti joukon A suurin lkio mx A j pienin lkio min A. Tulos on voimss myös kääntäen, mikä nähdään seurvst luseest.
Luse.. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. () Jos joukoss A on suurin luku M, niin sup A M. (b) Jos joukoss A on pienin luku m, niin inf A m. Todistus. Ks. Anlyysi A. Huomutus. Weierstrssin min-mx-luseen nojll suljetull välillä [, b] jtkuvn funktion f kuvjoukoss f([, b]) on suurin j pienin lkio. Seurv luse nt vihtoehtoisen tvn tutki joukon supremumin j infimumin olemssolo. Luse on hyödyllinen puväline todistettess täsmällisesti supremumin j infimumin ominisuuksi. Luse.3. Olkoon A epätyhjä joukon R osjoukko. Tällöin () sup A G (i) x A: x G, (ii) ε > : x A: x > G ε, (b) inf A g (i) x A: x g, (ii) ε > : x A: x < g + ε. Todistus. Ks. Anlyysi A. Riemnn-integrlin määrittelyssä erityistä merkitystä on tilnteell, joss yhden joukon kikki lkiot ovt pienempiä ti yhtäsuuri kuin jonkin toisen joukon lkiot. Tällöin trkstelln sellisi epätyhjiä joukkoj A R j B R, että b A j b B. Seurvksi esitetään luseiden muodoss muutm tällisi joukkoj koskev tulos. Tuloksi hyödynnetään myöhemmissä todistuksiss. Intuitiivisesti tulokset tuntuvt luonnollisilt, j ne voidn suhteellisen helposti todist täsmällisesti esimerkiksi luseen.3 vull. Itse täsmälliset todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi.
Luse.4. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B. Todistus. Hrjoitustehtävä. Luse.5. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun jokist positiiviluku ε > kohti on olemss selliset lkiot A j b B, että b < ε. Todistus. Hrjoitustehtävä. Hyödyntämällä lukujonon rj-rvon perusominisuuksi sdn luseen.5 seuruksen välittömästi seurv tulos. Seurus.6. Olkoot A R j B R sellisi epätyhjiä joukkoj, että b kikill A j kikill b B. Tällöin sup A inf B täsmälleen silloin, kun on olemss selliset lukujonot ( n ) j (b n ), että n A, b n B j lim n lim b n. n n Lisäksi tällöin sup A inf B lim n ( lim b n ). n n Todistus. Hrjoitustehtävä. 3
. Rj-rvo j jtkuvuus Kurssill Anlyysi A esitetyt lukujonon rj-rvo sekä funktion rj-rvo j jtkuvuutt koskevt tulokset oletetn jtkoss tunnetuksi. Tvnomisten lskusääntöjen ohell trvitn esimerkiksi suljetull välillä jtkuvien funktioiden ominisuuksi (mm. Bolznon luse j Weierstrssin min-mx luse). Lisäksi hyödynnetään polynomi- j juurifunktioiden, eksponentti- j logritmifunktioiden sekä trigonometristen funktioiden j niiden käänteisfunktioiden jtkuvuustuloksi sekä joitkin kurssill Anlyysi A johdettuj rj-rvotuloksi. Tällisi ovt esimerkiksi rj-rvot (.) lim x x sin x j lim x sin x x. Eksponentti- j logritmifunktioiden oslt on syytä plutt mieleen myös logritmin normlit lskusäännöt sekä kv (.) log x log x log (x >, >, ), joll -kntinen logritmi sdn plutetuksi (luonnolliseksi) logritmiksi, j yleinen muunnoskv f(x) g(x) e log f(x)g(x) e g(x) log f(x) (f(x) > ). Muunnoskvn erikoistpuksin tulevt käyttöön myös yleisen eksponenttifunktion määritelmä (.3) x e x log (x R, > ) j yleisen potenssifunktion määritelmä (.4) x e log x (x >, R). Lisäksi trvitn rj-rvo (.5) lim x e x x. 4
Seurvksi esitetään vielä kertuksen muutm tulos, joihin tulln viittmn myöhemmin. Tulokset on todistettu kurssill Anlyysi A. Aluksi pri funktion rj-rvo koskev lusett. Luse.7. Olkoon lim f(x) A. Jos tällöin on olemss sellinen δ M >, x että f(x) M x U δ M (), niin A M, j jos on olemss sellinen δ m >, että f(x) m x U δ m (), niin A m. Luse.8. Olkoon lim f(x) A. Jos A >, niin on olemss sellinen δ >, x että f(x) > x U δ(), j jos A <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < x U δ(). Käänteisfunktioit tutkittess joudutn nytkin rjoittumn tietyn tyyppisiin funktioihin. Täsmällisesti otten hyödynnetään tieto, että jos funktio on jollkin välillä idosti monotoninen j jtkuv, niin funktioll on käänteisfunktio, jok myös on idosti monotoninen j jtkuv. Luse.9. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti ksvv j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [A, B] on käänteisfunktio f : [A, B] [, b], jok on välillä [A, B] idosti ksvv j jtkuv. Luse.. Olkoon f : [, b] R sellinen idosti vähenevä j jtkuv funktio, että f() A j f(b) B. Tällöin funktioll f : [, b] [B, A] on käänteisfunktio f : [B, A] [, b], jok on välillä [B, A] idosti vähenevä j jtkuv. 5
Huomutus.. Luseet.9 j. voidn yleistää koskemn minkä thns tyyppistä väliä I. Lopuksi kerrtn vielä tsisen jtkuvuuden määritelmä j suljetull välillä jtkuvien funktioiden tsist jtkuvuutt koskev perustulos. Tulost hyödynnetään jtkuvien funktioiden Riemnn-integroituvuuden todistmisess. Määritelmä.3. Funktio f on tsisesti jtkuv välillä I, jos jokist positiiviluku ε > kohti on olemss sellinen δ >, että f(x ) f(x ) < ε in, kun x, x I j x x < δ. Luse.. Suljetull välillä [, b] jtkuv funktio on tällä välillä tsisesti jtkuv. 6
Funktion derivtt. Määritelmiä j perusominisuuksi.. Määrittelyjä Määritellään luksi, mitä funktion derivtll j derivoituvuudell trkoitetn. Määritelmä.. Funktio f on derivoituv pisteessä x, jos rj-rvo lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss. Kyseistä rj-rvo snotn tällöin funktion f derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Huomutus. Derivtn määritelmä tässä muodoss esitettynä sisältää oletuksen, että funktio f on määritelty pisteen x josskin ympäristössä (piste x mukn luettun). Huomutus. Muit mhdollisi derivtn merkitsemistpoj ovt esimerkiksi d dx f(x), Df(x), D xf(x). Huomutus. Osmäärää f(x + h) f(x) h snotn funktion f erotusosmääräksi pisteessä x. Huomutus.. Derivtn määritelmässä esiintyvä rj-rvo voidn esittää myös muodoss f(y) f(x) lim. y x y x 7
Esimerkki.. Olkoon f(x) x (x ). Määritetään f () j f ( ). Olkoon < h <. Tällöin f( + h) f() h +h h h +h h + h, kun h, j f( + h) f( ) h ( ) +h h h +h h + h, kun h. Siis f () f ( ). Esimerkki.. Osoitetn, että funktio f(x) x ei ole derivoituv pisteessä x. Olkoon h. Tällöin f( + h) f() h + h h h h, jos h >,, jos h <. Siis rj-rvo lim h f( + h) f() h ei ole olemss j f ei ole derivoituv pisteessä x. Esimerkki.3. Osoitetn, että vkiofunktion derivtt on in noll eli D(c) kikill c R. Olkoon f(x) c (c R). Jos nyt h, niin erotusosmäärä f(x + h) f(x) h c c h kikill x R. Tällöin myös erotusosmäärän rj-rvo on, kun h, eli f (x) kikill x R. 8
Esimerkki.4. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Osoitetn, että kikill x R j kikill n Z +. Kosk f (x) n x n y n x n (y x)(y n + y n x + + yx n + x n ) kikill x, y R j kikill n Z + (hrjoitustehtävä), niin huomutuksen. j polynomifunktion jtkuvuuden nojll f (x) lim y x f(y) f(x) y x y n x n y x lim y x lim y x (y n + y n x + + yx n + x n ) x n + x n x + + xx n + x n n x n kikill x R j kikill n Z +. Esimerkki.5. Osoitetn, että kikill x R. D(sin x) cos x Plutetn luksi trigonometrist mieleen kv (.) sin x sin y cos x + y sin x y x, y R. Käyttämällä kv (.) sekä hyödyntämällä kosinin jtkuvuutt j rj-rvo sin x lim x x (ks. (.), s. 4) sdn (kikill x R) lim h sin(x + h) sin x h cos x+h lim h h sin h sin h lim h h cos(x + h ) }{{}}{{} x cos x cos x. 9
Käyttämällä kvn (.) sijst kv cos x cos y sin x + y sin x y voidn vstvll tvll osoitt (hrjoitustehtävä), että kikill x R. D(cos x) sin x Esimerkki.6. Osoitetn, että lim x cos x x. Olkoon f(z) cos z. Tällöin lim x cos x x lim x cos( + x) cos x f () sin. Esimerkki.7. Osoitetn, että kikill x R. D(e x ) e x Hyödyntämällä potenssin lskusääntöjä j rj-rvo (ks. (.5), s. 4) sdn lim h kikill x R. e x+h e x h lim x lim h e x e h e x h e x x ( e lim e x h ) h }{{ h } e x e x.. Toispuoleiset derivtt Erotusosmäärän rj-rvon sijst voidn trkstell vin erotusosmäärän oikenpuoleist ti vsemmnpuoleist rj-rvo. Tällöin sdn vstvsti vin oikenpuoleinen ti vsemmnpuoleinen derivtt.
Määritelmä.. Mikäli rj-rvo f (x+) lim h + f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f oikenpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Vstvsti mikäli rj-rvo f (x ) lim h f(x + h) f(x) h on äärellisenä olemss, snotn sitä funktion f vsemmnpuoleiseksi derivtksi pisteessä x. Esimerkki.8. Funktiolle f(x) x (ks. esimerkki., s. 8) f (+) j f ( ). Esimerkki.9. Olkoon >. Määritetään funktion f(x) x (x ) oikenpuoleinen derivtt pisteessä x. Jos h +, niin f( + h) f() h ( + h) h h h h, kun >,, kun,, kun < <. Täten f, kun >, (+), kun. Kun < <, niin f (+) ei ole olemss. Huomutus.. Kosk erotusosmäärän rj-rvo plutuu erotusosmäärän toispuoleisiin rj-rvoihin, funktio f on derivoituv pisteessä x täsmälleen silloin, kun f (x ) j f (x+) ovt äärellisenä olemss j yhtä suuret.
Määritelmä.3. Funktio f on derivoituv voimell välillä ], b[, jos f on derivoituv välin jokisess pisteessä. Määritelmä.4. Funktio f on derivoituv suljetull välillä [, b], jos f on derivoituv välin jokisess sisäpisteessä j lisäksi f (+) j f (b ) ovt äärellisenä olemss. Määritelmä.5. Funktio f on derivoituv välillä [, b[, jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (+) on äärellisenä olemss, j f on derivoituv välillä ], b], jos f on derivoituv välillä ], b[ j f (b ) on äärellisenä olemss. Huomutus. Jos f on derivoituv välillä I, snotn kuvust f : I R (jonk smt rvot välillä I ovt derivtt f (x)) funktion f derivttfunktioksi (ti lyhyesti derivtksi) välillä I. Huomutus. Derivtt f (x) j derivttfunktion (eli derivtn) rj-rvo lim f (y) y x ovt kksi eri käsitettä (ks. esimerkki.). Esimerkki.. Olkoon 3, jos x, f(x), jos x <. Funktio f ei ole derivoituv pisteessä x, sillä f ( ) lim h f( + h) f() h lim h 3 h lim h h ei ole äärellisenä olemss. Toislt f (x) kikill x, joten lim f (x) x lim f (x) x + lim f (x). x
Huomutus. Jos derivttfunktio f on jtkuv välillä I, snotn, että funktio f on jtkuvsti derivoituv välillä I...3 Perusominisuuksi Luse.3. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x, niin f on jtkuv pisteessä x. Todistus. Jos f on derivoituv pisteessä x, niin Olkoon h. Tällöin lim h f(x + h) f(x) h f (x). f(x + h) (f(x + h) f(x)) + f(x) h f(x + h) f(x) h + f(x) f (x) + f(x) f(x), kun h. Siis f on jtkuv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio f ei ole jtkuv pisteessä x, niin f ei ole myöskään derivoituv pisteessä x. Huomutus. Jos funktio on derivoituv jollkin välillä I, on se tällä välillä myös jtkuv (hrjoitustehtävä). 3
Huomutus. Luse.3 ei ole kääntäen voimss. Esimerkiksi funktio f(x) x on jtkuv pisteessä x, mutt ei ole derivoituv pisteessä x (ks. esimerkki., s. 8). Luse.4. Olkoot funktiot f j g derivoituvi pisteessä x. Tällöin myös funktiot f + g, f g, fg, kf (k R) j f g ovt derivoituvi pisteessä x j (kun g(x) ) (i) (ii) (iii) (iv) (v) (f + g) (x) f (x) + g (x), (f g) (x) f (x) g (x), (kf) (x) k f (x), (fg) (x) f (x)g(x) + g (x)f(x), ( f g ) (x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). Todistus. (i) Lskemll sdn (f + g) (x) lim h (f + g)(x + h) (f + g)(x) h lim h [f(x + h) + g(x + h)] [f(x) + g(x)] h lim h [f(x + h) f(x)] + [g(x + h) g(x)] h f (x) + g (x). (ii) Tulos seur kohdist (i) j (iii), kun funktioksi g vlitn g. (iii) Kosk vkiofunktion derivtt on noll, tulos sdn kohdst (iv) vlitsemll funktioksi g vkiofunktio k. 4
(iv) Lskemll sdn (fg) (x) lim h f(x + h)g(x + h) f(x)g(x) h lim h f(x + h)g(x + h) f(x + h)g(x) + f(x + h)g(x) f(x)g(x) h lim h f(x + h) [g(x + h) g(x)] + g(x) [f(x + h) f(x)] h [ lim f(x + h) h }{{} f(x) f(x)g (x) + g(x)f (x). g(x + h) g(x) h + g(x) (v) Oletetn, että g(x). Osoitetn, että ( ) (x) g (x) g g(x). Tällöin väite seur kohdst (iv), sillä ( ) f (x) ( f ) (x) g g Lskemll sdn nyt ( g ] f(x + h) f(x) h ( ) f (x) g(x) + g (x) f(x) g(x) f (x)g(x) g (x)f(x) g(x). ) (x) ( lim h h g(x + h) ) g(x) lim h g(x) g(x + h) h g(x + h) g(x) g(x + h) g(x) lim h h g(x + h) g(x) }{{} g(x) g (x) g(x). 5
Esimerkki.. Luseen.4 sekä esimerkkien.3 (s. 8) j.4 (s. 9) perusteell polynomifunktio on derivoituv j p(x) n x n + n x n + + x + x + p (x) n n x n + (n ) n x n + + x + kikill x R. Esimerkki.. Käyttämällä tulon derivointisääntöä sekä polynomin (esimerkki.) j sinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn kikill x R. D(x 5 sin x) 5x 4 sin x + x 5 cos x Esimerkki.3. Käyttämällä tulon derivointisääntöä j eksponenttifunktion (esimerkki.7, s. ) sekä sinin j kosinin (esimerkki.5, s. 9) derivointikvoj sdn D(e x sin x cos x) D(e x ) sin x cos x + e x D(sin x cos x) e x sin x cos x + e x( D(sin x) cos x + sin x D(cos x) ) kikill x R. e x sin x cos x + e x (cos x cos x + sin x ( sin x)) e x (cos x + sin x cos x sin x) Esimerkki.4. Jos x, niin käyttämällä polynomin derivointikv j osmäärän derivointisääntöä sdn ( D x) x x x j ( ) x D x x x(x ) x + x (x ) x 4 x x 3. 6
Esimerkki.5. Osoitetn, että D(tn x) cos x + tn x kikill x π + nπ (n Z) j D(cot x) sin x cot x kikill x nπ (n Z). Kosk sin x + cos x kikill x R, niin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä osmäärän derivoimissäännön vull sdn ( ) sin x D(tn x) D cos x cos x cos x ( sin x) sin x cos x cos x + sin x cos x kikill x π + nπ (n Z) j ( ) cos x D(cot x) D sin x cos x + tn x ( sin x) sin x cos x cos x sin x sin x cos x sin x sin x cot x kikill x nπ (n Z). 7
..4 Korkempien kertlukujen derivtt Määritelmä.6. Jos funktion f derivttfunktio f on derivoituv pisteessä x, snotn funktion f derivtt tässä pisteessä funktion f toisen kertluvun derivtksi pisteessä x j merkitään f (x). Yleisesti funktion f n:nnen kertluvun derivtt pisteessä x on mikäli derivtt ovt olemss. f (n) (x) D ( f (n ) (x) ) (n, 3,...), Huomutus. Funktion f(x) n:nnen kertluvun derivtlle käytetään myös merkintöjä D n d n f(x) j dx f(x). n Huomutus. Lisäksi voidn määritellä, että f () f, jolloin määritelmä.6 on merkinnän luonteisen voimss myös, kun n. Esimerkki.6. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tällöin polynomin derivointikvn (esimerkki.) perusteell f (x) nx n, f (x) n (n )x n,. f (n ) (x) n (n ) x, f (n) (x) n!, f (n+) (x) kikill x R. Esimerkki.7. Kosk D(e x ) e x, niin D n (e x ) e x kikill n Z + j kikill x R. 8
Esimerkki.8. Olkoon f(x) sin x. Tällöin sinin j kosinin derivointikvojen (esimerkki.5, s. 9) sekä luseen.4 (s. 4) perusteell kikill x R. f (x) cos x, f (x) sin x, f (x) cos x, f (4) (x) sin x,. 9
. Yhdistetyn funktion derivtt Trkstelln seurvksi yhdistetyn funktion derivointikv eli ketjusääntöä. Luseess.5 oletetn tietenkin, että funktion f kuvjoukko sisältyy funktion g määrittelyjoukkoon, jolloin voidn puhu yhdistetystä funktiost g f. Luse.5. Jos funktio f on derivoituv pisteessä x j funktio g on derivoituv pisteessä f(x), niin funktio g f on derivoituv pisteessä x j (g f) (x) g (f(x))f (x). Todistus. Olkoon f derivoituv pisteessä x j g derivoituv pisteessä f(x). Tvoitteen on nyt osoitt, että lim h (g f)(x + h) (g f)(x) h Olkoon h. Merkitään lim h g(f(x + h)) g(f(x)) h g (f(x))f (x). y f(x) j k f(x + h) f(x). Kosk f on derivoituvn funktion jtkuv pisteessä x, niin k, jos h. Lisäksi f(x + h) f(x) + k y + k j edelleen (.) g(f(x + h)) g(f(x)) h g(y + k) g(y). h Olkoon g(y + t) g(y) g (y), kun t, u(t) t, kun t. Kosk g on derivoituv pisteessä y, niin u(t) on jtkuv pisteessä t. Lisäksi g(y + t) g(y) t (u(t) + g (y)) t R, joten myös g(y + k) g(y) h k (u(k) + g (y)) h (u(k) + g (y)) k h k R.
Jos nyt h, niin u(k) (sillä myös k j u on jtkuv pisteessä k ) j Täten lim h k h g(y + k) g(y) h f(x + h) f(x) h mistä väite seurn yhtälön (.) perusteell. f (x). g (y)f (x) g (f(x))f (x), Huomutus. Luseen.5 tulos voidn esittää myös muodoss (g f) (x) dg df df dx. Vstvsti jos f f... f n on yhdistetty funktio j ll esiintyvät derivtt ovt olemss, niin voidn yleistää d dx (f f f n ) df df df df 3 df n dx. Esimerkki.9. Käyttämällä polynomin j sinin derivointikvoj sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D(sin (x)) sin x D(sin x) sin x cos x D(x) sin x cos x sin x cos x sin 4x Esimerkki.. Vstvsti kuin esimerkissä.9 sdn D ( sin(sin(x )) ) cos(sin(x )) D(sin(x )) cos(sin(x )) cos(x ) D(x ) cos(sin(x )) cos(x ) x x cos(x ) cos(sin(x )) kikill x R. Yhtälöketjun viimeinen yhtäsuuruus seur trigonometrin kvst sin x sin x cos x.
Esimerkki.. Käyttämällä polynomin derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D ( (x 3 + x) 5) 5(x 3 + x) 4 (3x + ) (5x + )(x 3 + x) 4 Esimerkki.. Esimerkin.4 (s. 9) perusteell D(x n ) nx n n Z + j x R. Osoitetn, että jos x, niin potenssin derivointikv pätee kikille n Z. Olkoon siis x. Todetn luksi, että tällöin D(x ) D() x. Olkoon sitten n Z +. Käyttämällä kv x n ( x) n j soveltmll yhdistetyn funktion derivointisääntöä sekä potenssin derivointikv j esimerkin.4 (s. 6) tulost ( D x) x sdn (( n ) D(x n ) D x) ( ) n ( n D x x) ( n n ( x) ) x ( ) n ( n x x) ( n+ n x) nx (n+) nx n. Siis potenssin derivointikv pätee kikille n Z (kun x ) eli D(x n ) nx n n Z, x.
Esimerkki.3. Olkoon x sin, kun x, f(x) x, kun x. Osoitetn, että f (x) on olemss kikill x R j derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. : Olkoon x. Tällöin f (x) x sin x + x cos ( x ) x x sin x cos x tvnomisten derivointisääntöjen nojll. : Funktio f(x) on derivoituv pisteessä x j f (), sillä hyödyntämällä rj-rvo (.) (s. 4) sdn lim h f( + h) f() h lim h h sin(/h) h lim h h sin h. Siis kohtien j nojll funktio f(x) on derivoituv kikill x R. 3 : Osoitetn derivttfunktion f (x) epäjtkuvuus pisteessä x osoittmll, että rj-rvo lim f (x) ei ole olemss. Rj-rvost (.) (s. 4) seur, x että lim x sin x x. Toislt rj-rvo lim x cos x ei ole olemss (hrjoitustehtävä), joten funktion rj-rvon lskusääntöjen nojll myöskään rj-rvo ( lim x sin x x cos ) x lim x f (x) ei voi oll olemss. Siis f (x) ei ole jtkuv pisteessä x. Huomutus. Kosk esimerkin.3 derivttfunktio f (x) ei ole jtkuv pisteessä x, niin f (x) ei ole myöskään derivoituv pisteessä x (eli f () ei ole olemss). 3
Esimerkki.4. Olkoon >. Osoitetn, että D( x ) x log kikill x R. Käyttämällä muunnoskv x e x log (ks. (.3), s. 4) sekä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivoimissääntöä sdn kikill x R. D( x ) D(e x log ) e x log D(x log ) e x log log x log 4
.3 Käänteisfunktion derivtt Kosk derivoituvll funktioll ei välttämättä ole käänteisfunktiot, on käänteisfunktion derivoituvuutt tutkittess rjoituttv esimerkiksi idosti monotonisiin funktioihin (jolloin käänteisfunktio on olemss). Lisäksi funktion derivtn rvolle on setettv rjoituksi. Luse.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä j että f on derivoituv pisteessä x j f (x). Tällöin käänteisfunktio f on derivoituv pisteessä y f(x) j (f ) (y) f (x) f (f (y)). Todistus. Oletetn, että luseen oletukset ovt voimss pisteessä x. Olkoon lisäksi y f(x) j erityisesti y f(x ). Kosk f on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen x ympäristössä, on funktioll f rjoitettun tähän väliin käänteisfunktio f (jok on jtkuv j idosti monotoninen josskin pisteen y ympäristössä, ks. luseet.9 j. sekä huomutus., s. 5 6). Lisäksi tällöin x x täsmälleen silloin, kun f(x) f(x ) eli y y, j f(x) f(x ), kun x x. Siis lim h f (y + h) f (y ) h lim y y f (y) f (y ) y y lim x x f (f(x)) f (f(x )) f(x) f(x ) lim x x x x f(x) f(x ) lim x x f(x) f(x ) x x f (x ), sillä f on derivoituv pisteessä x j f (x ). Täten f on derivoituv pisteessä y j (f ) (y ) f (x ) f (f (y )). 5
Huomutus. Oletus f (x) luseess.6 on oleellinen (ks. esimerkki.5). Esimerkki.5. Esimerkiksi funktio f(x) x 3 on jtkuv, idosti ksvv j derivoituv kikill x R. Lisäksi sillä on käänteiskuvus, jok on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Käänteiskuvus ei kuitenkn ole derivoituv pisteessä x (hrjoitustehtävä). Esimerkki.6. Osoitetn, että D(rc sin x) x x ], [. Funktio f(x) sin x on jtkuv j idosti ksvv välillä [ π, π ]. Lisäksi f on derivoituv tällä välillä j f (x) cos x > x ] π, π[ (esimerkki.5, s. 9). Täten sinin käänteisfunktio rc sin x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x ], [. Määritetään sitten rkussinin derivtt välillä ], [. Olkoon y rc sin x. Kosk sin y + cos y, niin (.3) cos(rc sin x) ± sin (rc sin x) x x ], [. Kvss (.3) on vlittv merkki +, sillä rc sin x ] π, π [ j kosini on tällä välillä positiivinen. Täten käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell D(rc sin x) kikill x ], [. D(sin y) cos y cos(rc sin x) x Täsmällinen todistus, ks. esimerkki 3.4, s. 49. 6
Esimerkki.7. Vstvvll tvll kuin esimerkissä.6 voidn osoitt (hrjoitustehtävä), että kosinin käänteisfunktio rc cos x on derivoituv kikill x ], [, tngentin käänteisfunktio rc tn x on derivoituv kikill x R j kotngentin käänteisfunktio rc cot x on derivoituv kikill x R. Lisäksi käänteisfunktion derivoimiskvn perusteell (kun y rc cos x, y rc tn x ti y rc cot x) D(rc cos x) D(cos y) sin y sin(rc cos x) x kikill x ], [, D(rc tn x) D(tn y) + tn y + tn (rc tn x) + x kikill x R j D(rc cot x) D(cot y) cot y + cot (rc cot x) + x kikill x R (hrjoitustehtävä). Siis D(rc cos x) x x ], [, D(rc tn x) + x x R, D(rc cot x) + x x R. Esimerkki.8. Osoitetn, että D(log x) x x > Eksponenttifunktio e x on jtkuv j idosti ksvv kikill x R. Lisäksi D(e x ) e x (esimerkki.7, s. ) j e x > kikill x R. Täten eksponenttifunktion käänteisfunktio log x on luseen.6 nojll derivoituv kikill x > j (y log x) D(log x) D(e y ) e y e log x x. 7
Esimerkki.9. Olkoon >, j x >. Kosk (ks. (.), s. 4) niin esimerkin.8 nojll log x log x log, ( ) log x D(log x) D log log x x log. Esimerkki.3. Osoitetn, että lim x log( + x) x. Olkoon f(z) log z (z > ). Tällöin lim x log( + x) x lim x log( + x) log x f (). Huomutus. Jos f(x) >, niin käyttämällä muunnoskv (ks. s. 4) f(x) g(x) e log f(x)g(x) g(x) log f(x) e funktion f(x) g(x) ominisuudet voidn plutt funktion g(x) log f(x) ominisuuksiin. Jos esimerkiksi f j g ovt derivoituvi, niin funktion f(x) g(x) derivtt voidn lske käyttämällä eksponenttifunktion derivointikv j yhdistetyn funktion derivointisääntöä, jolloin D(f(x) g(x) ) e g(x) log f(x) D ( g(x) log f(x) ) f(x) g(x) D ( g(x) log f(x) ). Esimerkki.3. Olkoon f(x) x x e log xx e x log x (x > ). Tällöin f (x) e x log x D(x log x) e x log x ( log x + x ) (log x + ) x x. 8
Esimerkki.3. Osoitetn, että D(x ) x R, x > (eli jos x >, niin potenssin derivointikv pätee kikille R). Olkoon siis x > j R. Hyödyntämällä yleisen potenssifunktion määrittelyä x e log x (ks. (.4), s. 4) sekä yhdistetyn funktion derivoimissääntöä j eksponentti- j logritmifunktioiden derivointikvoj sdn D(x ) D(e log x ) e log x D( log x) e log x x x x x. Huomutus.7. Esimerkkien.9 (s. ) j.3 nojll funktio x on derivoituv välillä [, [, jos. 9
.4 Rollen luse j välirvoluse Tutkitn luksi ennen Rollen lusett j välirvolusett funktion käyttäytymistä yhdessä yksittäisessä pisteessä. Luse.8. Oletetn, että funktio f on derivoituv pisteessä. (i) Jos f () >, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) < f() x ] δ, [ j f(x) > f() x ], + δ[. (ii) Jos f () <, niin on olemss sellinen δ >, että f(x) > f() x ] δ, [ j f(x) < f() x ], + δ[. Todistus. Todistetn koht (i). Koht (ii) todistetn vstvsti (hrjoitustehtävä). Kosk f(x) f() lim f () >, x x niin luseen.8 (s. 5) nojll on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x > x U δ(). Jos nyt x ] δ, [, niin x <, joten myös f(x) f() < eli f(x) < f(). Jos ts x ], + δ[, niin x >, joten myös f(x) f() > eli f(x) > f(). Huomutus. Ehdost f () > ei voi päätellä, että funktio f olisi ksvv millään välillä ] δ, + δ[, j ehdost f () < ei voi päätellä, että funktio f olisi vähenevä millään välillä ] δ, + δ[. Seurus.9. Jos funktio f svutt suurimmn ti pienimmän rvons pisteessä j f on derivoituv pisteessä, niin f (). Huomutus. Seurus.9 ei ole voimss kääntäen. 3
.4. Rollen luse Seuruksen.9 vull voidn todist Rollen luse. Luse. (Rollen luse). Jos (i) f on jtkuv suljetull välillä [, b], (ii) f on derivoituv voimell välillä ], b[, (iii) f() f(b), niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f (ξ). Todistus. : Jos f on vkiofunktio, niin f (x) x ], b[. Täten mikä thns välin ], b[ piste kelp vdituksi pisteeksi. : Jos f ei ole vkiofunktio, niin on olemss sellinen c ], b[, että Oletetn nyt, että f(c) > f() ti f(c) < f(). f(c) > f() f(b) (tpus f(c) < f() todistetn täysin vstvsti). Kosk f on suljetull välillä [, b] jtkuv, niin f svutt Weierstrssin min-mx-luseen nojll suurimmn rvons josskin välin [, b] pisteessä ξ. Tällöin f(ξ) f(c) > f() f(b), joten ξ ], b[. Siis f on derivoituv pisteessä ξ. Lisäksi seuruksen.9 nojll f (ξ). Siis ξ on vdittu piste. Seurus.. Jos f on derivoituv välillä I j on olemss selliset x, x I, että x < x j f(x ) f(x ), niin on olemss sellinen ξ ]x, x [, että f (ξ). 3
Huomutus.. Seuruksen. nojll välillä I derivoituvll funktioll on tällä välillä in khden nollkohtns välissä vähintään yksi derivtn nollkoht. Esimerkki.33. Olkoon Tällöin f(x) x 3 + 3x. f (x) 3x + 3 3(x + ) > x R, joten derivttfunktioll f ei ole yhtään relist nollkoht. Siis huomutuksen. nojll funktioll f voi oll korkeintn yksi relinen nollkoht. Toislt selvästi f(), joten funktioll f on täsmälleen yksi relinen nollkoht (pisteessä x ). Huomutus.3. Käyttämällä huomutust. j Bolznon lusett sdn joskus määritettyä funktion nollkohtien täsmällinen määrä. Esimerkki.34. Funktioll f(x) x 4 + 4x 7x 5 on täsmälleen kksi relist nollkoht (hrjoitustehtävä)..4. Välirvoluse Todistetn luksi Rollen lusett käyttäen kht funktiot koskev välirvoluseen yleistys. Luse.4 (Yleistetty välirvoluse). Jos funktiot f j g ovt jtkuvi suljetull välillä [, b] j derivoituvi voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen piste ξ ], b[, että (.4) g (ξ) [f(b) f()] f (ξ) [g(b) g()]. 3
Todistus. Olkoon h(x) f(x) [g(b) g()] g(x) [f(b) f()]. Tällöin h on jtkuv välillä [, b] j derivoituv välillä ], b[, sillä f j g ovt jtkuvi välillä [, b] j derivoituvi välillä ], b[. Lisäksi j joten h() f()g(b) f()g() g()f(b) + g()f() f()g(b) f(b)g() h(b) f(b)g(b) f(b)g() g(b)f(b) + g(b)f() f()g(b) f(b)g(), h() h(b). Siis h toteutt Rollen luseen edellytykset, joten on olemss sellinen ξ ], b[, että h (ξ) eli f (ξ) [g(b) g()] g (ξ) [f(b) f()]. Huomutus.5. Jos luseess.4 tehdään funktiolle g lisäoletus, että g (x) kikill x ], b[, sdn (.5) f (ξ) g (ξ) f(b) f() g(b) g() (Cuchyn välirvokv). Todistus. Jos olisi g() g(b), niin Rollen lusett voitisiin sovelt funktioon g välillä [, b], jolloin olisi olemss sellinen ξ ], b[, että g (ξ ), mikä on vstoin huomutuksen oletuksi. Siis on oltv g() g(b), jolloin kvss (.4) voidn jk puolittin lusekkeill g(b) g() j g (ξ). Jos luseess.4 vlitn g(x) x (kikill x [, b]), sdn vrsininen differentililskennn välirvoluse. 33
f(b) f(b) f() f() ξ ξ b b Kuv.: Funktion f kuvjn pisteisiin (ξ, f(ξ )) j (ξ, f(ξ )) piirretyt tngentit ovt pisteiden (, f()) j (b, f(b)) kutt kulkevn suorn suuntisi, joten tngenteill j kyseisellä suorll on sm kulmkerroin. Luse.6 (Differentililskennn välirvoluse). Jos funktio f on jtkuv suljetull välillä [, b] j derivoituv voimell välillä ], b[, niin on olemss sellinen ξ ], b[, että f(b) f() f (ξ)(b ). Huomutus. Luseest.6 käytetään usein lyhyesti pelkästään nimitystä välirvoluse. Siitä käytetään myös lyhennettä VAL. Huomutus. Välirvoluseen tulos voidn esittää myös muodoss (vrt. kuv.) f f(b) f() (ξ). b Huomutus. Piste ξ riippuu pitsi funktiost f myös välistä [, b] (vrt. kuv. j esimerkki.35). 34
Esimerkki.35. Olkoon f(x) x 3. Trkstelln väliä [, b], missä b >, j määritetään välirvoluseess esiintyvä piste ξ. Funktio f on polynomin jtkuv j derivoituv välillä [, b], joten välirvoluseen nojll on olemss sellinen ξ ], b[, että b 3 3ξ (b ). Siis ξ b 3 ], b[. Siis ξ todellkin riippuu koko jn välin päätepisteistä. Esimerkki.36. Osoitetn välirvoluseen vull, että cos x x x R. Trkstelln funktiot f(t) cos t. Esimerkin.5 (s. 9) nojll f on jtkuv j derivoituv kikill t R j f (t) sin t t R. : Olkoon x >. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [, x] (f on jtkuv j derivoituv välillä [, x]). On siis olemss sellinen ξ ], x[, että cos x cos sin ξ (x ). Kosk cos j sin ξ kikill ξ R, niin cos x sin ξ x sin ξ x x. : Olkoon x <. Sovelletn välirvolusett funktioon f välillä [x, ] (f on jtkuv j derivoituv välillä [x, ]). On siis olemss sellinen ξ ]x, [, että eli cos cos x sin ξ ( x) cos x cos sin ξ (x ). Väite seur nyt vstvsti kuin kohdss. Kosk väite on tosi, kun x, niin kohdist j seur, että väite pätee kikill x R. 35
Esimerkki.37. Osoitetn välirvoluseen vull, että j Trkstelln funktiot x < x + x > x + x <, kun < x <. f(t) t (t ) j sovelletn välirvolusett funktioon f väleillä [, x] sekä [x, ]. Yksityskohdt jätetään hrjoitustehtäväksi. Huomutus. Jos esimerkiksi x > j funktio f toteutt välirvoluseen oletukset välillä [, x], niin funktion f rvolle pisteessä x sdn rvio missä ξ ], x[. f(x) f() + f (ξ)(x ), 36
.5 Integrlilskennn perusluse Osoitetn vielä funktion derivtt käsittelevän luvun lopuksi, että inostn vkiofunktion derivtt voi oll identtisesti noll jollkin välillä. Lusett kutsutn joskus integrlilskennn perusluseeksi, kosk luseen tulos mhdollist osltn Riemnn-integrlin rvon määrittämisen derivtt hyödyntäen. Luse.7 (Integrlilskennn perusluse). Jos f välillä I, niin f on vkio välillä I. Todistus. Oletetn, että x, y I j x < y. Kosk f on derivoituv välillä I, on f myös jtkuv välillä I (j siis myös välillä [x, y]). Siis välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, y]. On siis olemss sellinen ξ ]x, y[, että f(y) f(x) {}}{ f (ξ)(y x). Siis Täten f on vkio kikill x I. f(y) f(x). Seurus.8. Jos f (x) g (x) x I, niin on olemss sellinen vkio C R, että f(x) g(x) + C x I. Seurus.9. Jos f (x) g (x) x I j on olemss sellinen x I, että f(x) g(x), niin f(x) g(x) x I. Merkintä f välillä I trkoitt, että f (x) kikill x I. 37
Esimerkki.38. Määritetään funktio f, kun tiedetään, että f() j Kosk f (x) x + x R. ( x ) D + x x +, niin seuruksen.8 perusteell on olemss sellinen C R, että Kosk niin C. Siis f(x) x + x + C. f() + + C, f(x) x + x + x R. Esimerkki.39. Osoitetn, että Välin päätepisteissä väite pätee, sillä rc sin x + rc cos x π x [, ]. rc sin( ) + rc cos( ) π + π π j rc sin + rc cos π + π. Trkstelln siis väliä ], [. Kosk D(rc sin x + rc cos x) x x x ], [, niin integrlilskennn perusluseen nojll on olemss sellinen vkio C R, että rc sin x + rc cos x C x ], [. Kosk niin Siis rc sin + rc cos + π π, C π. rc sin x + rc cos x π x ], [. 38
Esimerkki.4. Osoitetn, että rc tn x + rc tn x, kun x >, π π, kun x <. Olkoon f(x) rc tn x + rc tn x (x ). Tällöin f on derivoituv väleillä ], [ j ], [. Lisäksi f (x) + x + + ( ( x ) x ) + x x + x. Täten integrlilskennn perusluseen nojll on olemss selliset C, C R, että C, kun x >, f(x) C, kun x <. Kosk f() rc tn + rc tn π + π 4 4 π j f( ) rc tn( ) + rc tn( ) ( π) + ( π) π, 4 4 niin C π j C π, mistä esimerkin tulos seur. 39
3 Derivoituvn funktion ominisuuksi Trkstelln sitten muutmi derivtn sovelluksi. Aluksi tutkitn, miten derivtt voidn hyödyntää funktion rj-rvon määrittämisessä. 3. l Hospitlin sääntö Cuchyn välirvokv käyttämällä voidn todist l Hospitlin sääntö, jonk vull sdn kätevästi lskettu tiettyjä rj-rvoj. Säännnöstä käytetään myös nimeä l Hôpitlin sääntö. Luse 3. (l Hospitlin sääntö). Oletetn, että (i) lim x f(x) j lim x g(x), f (x) (ii) lim x g (x) on olemss. Tällöin myös funktioll f/g on rj-rvo pisteessä x j lim x f(x) g(x) lim x f (x) g (x). Todistus. Kosk rj-rvo lim x f (x) g (x) on olemss, niin on olemss sellinen δ >, että f (x) j g (x) ovt olemss puhkistuss ympäristössä U δ() sekä lisäksi g (x) tässä ympäristössä. Määritellään nyt f() g(), jolloin f j g tulevt jtkuviksi pisteessä. Vlitn nyt x U δ(). Tällöin f j g ovt jtkuvi välillä [, x] (ti [x, ]) j derivoituvi välillä ], x[ (ti ]x, [ ). Siis Cuchyn välirvokvn (s. 33) nojll on Myös l Hôpitlin sääntö. Luseen oletusten perusteell ei tiedetä, ovtko funktiot f j g määriteltyjä pisteessä. Jos niitä ei ole määritelty, niin määritellään ne nyt. Jos ne on määritelty, mutt f() ti g(), niin muutetn kyseisten funktioiden määrittelyä. Tämä voidn tehdä, sillä funktioiden rvoll pisteessä ei ole vikutust etsittyyn rj-rvoon. 4
olemss sellinen ξ ], x[ (ti ξ ]x, [ ), että f (ξ) g (ξ) Jos nyt x, myös ξ. Siis lim x f(x) f() g(x) g() f(x) g(x). f(x) g(x) lim ξ f (ξ) g (ξ) lim x f (x) g (x). L Hospitlin sääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin sekä tpuksiin, joiss trkstelln rj-rvo äärettömyydessä ti joiss rj-rvo on ääretön (huomutukset 3. 3.4, todistukset jätetään hrjoitustehtäväksi). Huomutus 3.. Luseen 3. lskusääntöä voidn sovelt myös -muotoisille rj-rvoille (ts. x lim f(x) x lim g(x) (ti )). Edelleen lskusääntöä voidn sovelt myös toispuoleisiin rj-rvoihin. Huomutus 3.3. Luseess 3. voi oll myös ±. f (x) Huomutus 3.4. Luseess 3. voi rj-rvo x lim g (x) oll myös ±. Esimerkki 3.. Määritetään x lim x tn x. Kosk funktiot x j tn x ovt derivoituvi pisteen josskin ympäristössä sekä niin l Hospitlin säännön nojll lim x j lim tn x, x x lim x x tn x H lim x + tn x. Yhtälöketju on tässä luettv ikään kuin lopust lkuun. Kosk lim x + tn x (eli rj-rvo on olemss j ), niin l Hospitlin sääntöä voidn sovelt j sdn yllä olev tulos. 4
Esimerkki 3.. Jos si on ilmeistä, l Hospitlin sääntöä käytettäessä ei in erikseen korostet, että trksteltvt funktiot toteuttvt vdittvt ehdot. Esimerkiksi voidn kirjoitt yksinkertisesti lim x x 5 + x x 3x + H lim x 5x 4 + x 3 5 + 3. Vdittvien ehtojen toteutuminen on kuitenkin in trkistettv. Erityisesti on syytä huomt, että sääntöä ei voi käyttää, jos kyseessä ei ole mikään yllä olev epämääräinen muoto (ks. kuitenkin huomutus 3.5, s. 45). Esimerkiksi lim x 5x 4 + x 3 lim x 4 5x 3 lim x 9 x x4. Esimerkki 3.3. Olkoon > j s R. Osoitetn, että lim x x j lim xs x x s x. : Olkoon s. Tällöin lim x x x s lim x x. : Olkoon s <. Tällöin lim x x x s lim x x s x. 3 : Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn (tpus s ) lim x x x H lim x x log. Kosk myös s lim x >, niin x x s lim x (( ) s ) x s x s lim x (( ) x ) s s x s lim x ( ) x s s x. Siis kohtien 3 perusteell j edelleen lim x lim x x x s x s x. 4
Esimerkki 3.4. Esimerkin 3.3 perusteell kikill s R, joten lim x (log x) s x (log x) s lim x e log x lim x (log x) s x s R. Esimerkki 3.5. Olkoon s >. Käyttämällä l Hospitlin sääntöä sdn lim x log x x s H lim x x lim sxs x sx s. Siis lim x log x x s s >. Esimerkki 3.6. Osoitetn, että lim x log x. x + Logritmin lskusääntöjen j esimerkin 3.5 perusteell ) lim x log x lim x( log x + x + x lim x + log x x lim z log z z. Esimerkki 3.7. Esimerkin 3.6 seuruksen hvitn, että funktio, kun x, g(x) x log x, kun x >, on jtkuv, kun x. 43
Esimerkki 3.8. Määritetään rj-rvo ( lim x x ). e x Muunnetn luseke ensin sopivn muotoon, j sovelletn sitten l Hospitlin sääntöä kksi kert peräkkäin. Siis ( lim x x ) e x lim x e x x x(e x ) H lim x e x e x + xe x H lim x e x e x + e x + xe x lim x + x. Esimerkki 3.9. Määritetään rj-rvo lim x + e x x. Käyttämällä suorn l Hospitlin sääntöä sdn lim x + e x x H lim x + ( x ) e x lim x + e x x? olevst lusekkeest muo- eli luseke vin monimutkistuu. Siirtymällä muoto toon sdn lim x + e x x lim x + x e x H lim x + x x e x lim x + e x. Yksinkertisemmill lskuill selvitään tekemällä muuttujnvihdos (z ), jolloin x lim x + e x x lim e z z z lim z z e z H lim z e z. 44
Huomutus 3.5. Jos trksteltv luseke ei ole suorn l Hospitlin säännön vtimss muodoss, luseke voidn joskus muunt sopivn muotoon. Esimerkissä 3.8 trksteltiin jo tpust. Muoto olevt lusekkeet sdn myös helposti muotoon ti. Muoto, j olevt lusekkeet ts voidn muunt (+) e log(+) e log(+) e ( ), e log e log e j e log e log e, jotk plutuvt muoto ti olevn rj-rvon määrittämiseen. Esimerkki 3.. Muuunnetn muoto ( ) olev luseke ensin muotoon j käytetään sitten (kksi kert) l Hospitlin sääntöä. Siis ( lim x log log ) x x lim x log( log x) x log( log x) lim x ( x) H lim x lim x lim x ( log x ) ( ) x ( ) ( x) 3 ( ) x log x ( x) 3 x lim ( x) 3 x log x H 3 lim ( x) ( ) x x lim x 3 x ( x). 45
Esimerkki 3.. Määritetään rj-rvo lim x + (ex ) x. Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell lim x + (ex ) x ) lim x x + elog(ex lim x + ex log(ex ) se voidn plutt muoto ( ) (j edelleen ) olevn rj-rvon määrittämiseen. Hyödyntämällä rj-rvo (.5) (s. 4) sdn lim x log(e x ) x + log(ex ) lim x + x H lim x + e x ex x lim x x x + ex e x. Siis lim x + (ex ) x lim x + ex log(ex ) e. Esimerkki 3.. Osoitetn, että ( lim + ) x e x x ( R). Rj-rvo on muoto, mutt muunnoksell ( + ) x e log(+ x) x e x log(+ x) x tehtävä plutuu muoto j edelleen muoto olevn rj-rvon määrittämiseen. Kosk ( ) lim (+ x log ) log + ( ) x H + lim x x x lim x x x lim x +, x x niin x ( lim + x lim e x x) x log(+ x) e. x 46
3. Funktion monotonisuus Kosk funktion derivtt ilmisee funktion muutosnopeuden, on luonnollist, että derivtn vull voidn tutki funktion monotonisuutt. Luse 3.6. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. : Oletetn ensin, että f on ksvv välillä I. Olkoon x jokin välin I sisäpiste. Kosk f on ksvv välillä I, niin Siis f(x + h) f(x), kun h < j x + h I, f(x + h) f(x), kun h > j x + h I. f(x + h) f(x) h, kun h j x + h I. Täten luseen.7 (s. 5) perusteell (rj-rvo on olemss, kosk f on derivoituv pisteessä x) f f(x + h) f(x) (x) lim. h h : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste. Olkoot x j x sellisi välin I pisteitä, että x < x. Kosk f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä, niin f on jtkuv välillä [x, x ] j derivoituv välillä ]x, x [. Täten välirvolusett voidn sovelt funktioon f välillä [x, x ]. On siis olemss sellinen ξ ]x, x [, että f(x ) f(x ) > {}}{{}}{ f (ξ) (x x ). Siis joten f on ksvv välillä I. f(x ) f(x ), 47
Luse 3.7. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti ksvv välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. : Oletetn ensin, että funktio f on idosti ksvv välillä I. Tällöin luseen 3.6 nojll f (x) x I. Jos nyt olisi olemss sellinen I I, että f (x) x I, niin f olisi integrlilskennn perusluseen (luse.7, s. 37) nojll vkio kikill x I. Siis f ei olisi idosti ksvv, mikä on vstoin oletust. : Oletetn toiseksi, että f (x) in, kun x on välin I sisäpiste, j että yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä. Tällöin f on luseen 3.6 nojll ksvv välillä I. Tehdään vstoletus, että f ei ole idosti ksvv. Tällöin on olemss selliset pisteet x, x I, että x < x j f(x ) f(x ). Ksvvn funktion f on tällöin vkio välillä [x, x ], joten mikä on vstoin oletust. f (x) x ]x, x [, Luse 3.8. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun välin I sisäpisteissä. f (x) Todistus. Hrjoitustehtävä. 48
Luse 3.9. Oletetn, että funktio f on jtkuv välillä I j derivoituv välin I sisäpisteissä. Tällöin f on idosti vähenevä välillä I täsmälleen silloin, kun f (x) välin I sisäpisteissä j epäyhtälössä yhtäsuuruus ei ole voimss millään välin I osvälillä (vn korkeintn yksittäisissä pisteissä). Todistus. Hrjoitustehtävä. Esimerkki 3.3. Funktio f(x) tn x on jtkuv j derivoituv välillä ] π, π [. Kosk (esimerkki.5, s. 7) f (x) cos x > x ] π, π[, niin f on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä ] π, π[. Esimerkki 3.4. Funktio f(x) sin x on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) cos x x [ π, π ]. Lisäksi yhtäsuuruus on välillä [ π, π ] voimss vin, kun x π j x π. Täten f(x) on luseen 3.7 nojll idosti ksvv välillä [ π, π ]. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että funktio on idosti ksvv, kun x e. Kosk f(x) x +log x (x > ) f(x) x +log x e log x+log x e (+log x) log x e log x+log x, niin f on selvästi jtkuv, kun x >. Lisäksi f (x) e log x+log x D ( log x + log x ) e log x+log x ( x + log x ) x ( + log x) x 49 x +log x.
Nyt log x, kun x e eli x e. Täten f (x) x e. Lisäksi yhtäsuuruus on voimss vin pisteessä x. Siis f(x) on luseen 3.7 e nojll idosti ksvv, kun x. e Esimerkki 3.6. Olkoon f(x) x + cos x. Selvästi f on jtkuv j derivoituv kikill x R j f (x) sin x. Edelleen f (x) vin, jos x π + n π (n Z). Siis f(x) on idosti ksvv koko joukoss R. Esimerkki 3.7. Olkoon f(x) x n (n Z + ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti ksvv koko relilukujen joukoss. Jos n on prillinen, niin f on idosti vähenevä välillä ], ] j idosti ksvv välillä [, [. Esimerkki 3.8. Olkoon f(x) x n (x, n Z ). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos n on priton, niin f on idosti vähenevä väleillä ], [ j ], [. Jos n on prillinen, niin f on idosti ksvv välillä ], [ j idosti vähenevä välillä ], [. Esimerkki 3.9. Olkoon I ], [ j f(x) x ( R). Tutkimll funktion f derivtt sdn seurvt tulokset (hrjoitustehtävä). Jos <, niin f on idosti vähenevä välillä I. Jos, niin f on sekä ksvv että vähenevä välillä I. Jos >, niin f on idosti ksvv välillä I (j myös välillä [, [ ). 5
3.3 Funktion äärirvot Tutkitn vielä lopuksi funktion pikllisi äärirvokohti j äärirvojen luonnett hyödyntämällä funktion derivtt. Aluksi määritellään, mitä pikllisill äärirvoill trkoitetn. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen mksimi. Määritelmä 3.. Funktioll f on pisteessä pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f(x) f() x U δ (). Jos yhtäsuuruus on voimss vin, kun x, kyseessä on ito pikllinen minimi. Esimerkki 3.. Olkoon, kun x, f(x), kun x. Tällöin funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi. Myös jokinen muu relilukukselin piste on pikllinen äärirvokoht (mutt ei ito). Esimerkki 3.. Kosk funktio f(x) x + cos x. on idosti ksvv koko relilukujoukoss (ks. esimerkki 3.6, s. 5), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvoj. 5
Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) > x ] δ, [ j f (x) < x ], + δ[. Todistus. Oletuksen nojll f on jtkuv välillä ] δ, + δ[. Kosk f (x) > kikill x ] δ, [, niin f on luseen 3.7 (s. 48) nojll idosti ksvv välillä ] δ, ]. Siis f(x) < f() x ] δ, [. Toislt f (x) < kikill x ], + δ[, joten f on luseen 3.9 (s. 49) nojll idosti vähenevä välillä [, + δ[. Siis f(x) < f() x ], + δ[. Täten f(x) < f() x U δ(), joten funktioll f on pisteessä ito pikllinen mksimi. Luse 3.. Funktioll f on pisteessä ito pikllinen minimi, jos on olemss sellinen δ >, että f on jtkuv ympäristössä U δ () j f (x) < x ] δ, [ j f (x) > x ], + δ[. Todistus. Hrjoitustehtävä. Huomutus. Luseet 3. j 3. eivät ole kääntäen voimss. Huomutus. Luseiss 3. j 3. ei vdit, että derivtt f () olisi olemss. Sen sijn jtkuvuus pisteessä on oleellinen vtimus. Huomutus. Aiemmin on osoitettu (seurus.9, s. 3), että jos on pikllinen äärirvokoht j f () on olemss, niin f (). Siis pikllinen äärirvo svutetn joko derivtn nollkohdss ti pisteessä, joss funktio ei ole derivoituv. 5
Huomutus 3.. Jos funktio f on jtkuv pisteessä j f on smnmerkkinen pisteen kummllkin puolell, niin ei ole funktion f pikllinen äärirvokoht (hrjoitustehtävä). Esimerkki 3.. Etsitään funktion f(x) x x piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt j f (x) x x f (x) >, kun x <, f (x) <, kun x >. Siis funktioll f on pisteessä x ito pikllinen mksimi (j vstv mksimirvo on f( ) ). 4 4 Esimerkki 3.3. Osoitetn, että funktioll f(x) x 3 ei ole pikllisi äärirvokohti. Kosk f on jtkuv j derivoituv kikill x R, niin funktion f mhdolliset piklliset äärirvokohdt ovt derivtn nollkohti. Nyt f (x) 3x x. Kuitenkin f (x) > kikill x, joten f ei vihd merkkiään pisteessä x. Siis piste x ei ole funktion f äärirvokoht, mistä tulos seur. Esimerkki 3.4. Etsitään funktion x, kun x, f(x) x, kun x, piklliset äärirvokohdt, j määritetään mhdollisten äärirvojen ltu. 53
6 4 6 4 4 6 Kuv 3.: Esimerkin 3.4 funktion kuvj välillä [ 6, 6]. : Olkoon x >. Tällöin f(x) x, x joten f on jtkuv sekä derivoituv j Siis f (x) x x(x ) x 4 x x + x x 4 f (x) >, kun < x <, f (x), kun x, f (x) <, kun x >, x x x 4 x x 3. joten funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä x (mksimirvo f() 4 ). : Olkoon x. Kosk f() j f(x) > kikill x, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 3 : Olkoon x < j x. Tällöin f(x) x x, joten f on jtkuv sekä derivoituv j f (x) x x( x) x x + x x 4 x 4 x x x 4 x x 3. Kosk f (x) kikill x < (x ), niin funktioll f ei ole pikllisi äärirvokohti, kun x < j x. 54
4 : Olkoon x. Kosk lim f(x) lim x x niin on olemss sellinen δ >, että x x, f(x) > f() x U δ(). Siis piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. Kohdist 4 seur, että funktioll f on ito pikllinen minimi pisteissä x j x sekä ito pikllinen mksimi pisteessä x. Luse 3.3. Oletetn, että funktio f on khdesti derivoituv pisteessä j f (). Tällöin (i) jos f () <, niin on funktion f ito pikllinen mksimikoht, (ii) jos f () >, niin on funktion f ito pikllinen minimikoht. Todistus. Todistetn koht (i), j jätetään kohdn (ii) todistus hrjoitustehtäväksi. Jos f () <, niin luseen.8 (s. 3) nojll on olemss sellinen δ >, että j f (x) > f () x ] δ, [ f (x) < f () x ], + δ[. Derivoituv funktion f on jtkuv ympäristössä U δ (), joten luseen 3. nojll funktioll f on ito pikllinen mksimi pisteessä. Esimerkki 3.5. Osoitetn, että piste x on funktion ito pikllinen minimikoht. Nyt Kosk f(x) e x + sin x x f (x) e x + cos x j f (x) e x sin x. f () + j f () >, niin piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht. 55
4 b b b 4 4 4 Kuv 3.: Funktion bx + cos x kuvj, kun b 4, b j b. Esimerkki 3.6. Tutkitn, onko funktioll f(x) bx + cos x (b R) pikllist äärirvo pisteessä x, j määritetään mhdollisen pikllisen äärirvon ltu. Nyt f (x) bx sin x j f (x) b cos x. Siis f () kikill b R. Kosk f () b, niin f () >, kun b >, j f () <, kun b <. Täten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht, kun b >, j ito pikllinen mksimikoht, kun b <. Olkoon sitten b. Tällöin f (), joten lusett 3.3 ei void hyödyntää. Kosk f (x) cos x cos x > x U π (), niin f on idosti ksvv pisteen x ympäristössä. Siis f (x) <, kun π < x <, f (x), kun x, f (x) >, kun < x < π, joten piste x on funktion f ito pikllinen minimikoht (kun b ). 56
Huomutus 3.4. Jos funktioll f on välillä I suurin (pienin) rvo, niin se svutetn joko (i) välin sisäpisteessä pikllisess äärirvokohdss, ti (ii) väliin mhdollisesti kuuluvss päätepisteessä. Huomutus 3.5. Jos funktio f on jtkuv j I on suljettu väli, niin suurin (pienin) rvo svutetn in. Muulloin svuttminen on epävrm. Esimerkki 3.7. Olkoon >. Osoitetn, että x + ( x) x [, ]. Olkoon f(x) x + ( x). Tällöin f on jtkuv sekä derivoituv välillä [, ] j f (x) x + ( x) ( ) ( x ( x) ). 3/4 / 3 /4 / Kuv 3.3: Funktion x + ( x) kuvj välillä [, ], kun (ktkoviiv) j 3 (yhtenäinen viiv). 57
Kosk yleinen potenssifunktio ( > ) on välillä [, ] idosti ksvv, niin Nyt f (x) x ( x) x ( x) x x x. f() f() j f( ) ( ( ) ) +. Lisäksi <, kun >. Siis välillä [, ] funktion f suurin rvo on j pienin rvo on, mistä väite seur. Esimerkki 3.8. Osoitetn, että e x + x kikill x R j e x + x täsmälleen silloin, kun x. jolloin Trkstelln pufunktiot g(x) e x x, g (x) e x kikill x R. Kosk e, niin g (). Lisäksi e x on idosti ksvv kikill x R, joten g (x) < x < j g (x) > x > eli g on idosti vähenevä, kun x (luse 3.9, s. 49), j idosti ksvv, kun x (luse 3.7, s. 48). Siis funktion g pienin rvo g() svutetn pisteessä x, mistä väite seur. Esimerkki 3.9. Osoitetn, että log x x kikill x > j log x x täsmälleen silloin, kun x. Tulos on esimerkin 3.8 suor seurus, sillä x e log x + log x x > j x e log x + log x täsmälleen silloin, kun log x eli x. 58