S-11.137 Fysiikka III (Est) VK 7.5.009 1. Bohrin vtyatomimallissa lktronilla voi olla vain tittyjä nopuksia. Johda kaava sallituill nopuksill, ja lask sn avulla numrinn arvo suurimmall mahdollisll nopudll. Voima on on massa krtaa kiihtyvyys. Ympyräradalla tämä saa muodon: n Z r πε0r mv = (1) Bohrin hto kulmaliikmäärän kvantittumisll on L= n = m rv n= 1,, 3. () n Näistä ratkaismalla v n 0 = n = 1,, 3 πε n (3) Nopudn suurin arvo saadaan kun n = 1:
. a) Mitn vdyn p tilan nrgia muuttuu, kun spin-rata vuorovaikutus ottaan huomioon? b) Lask tämän tilan nrgia ilman spin-rata vuorovaikutusta ja sn kanssa. c) Mitn p 1s dipolimissiossa vapautuvan fotonin nrgia muuttuu spin-rata-vuorovaikutuksn johdosta? d) Lask fotonin nrgiat ilman tätä vuorovaikutusta ja sn kanssa, piirrä myös kuva sallituista sähködipolitransitioista. Opastus: vdyn p tilassa 6 hinoraknnvakion a arvona voidaan pitää a = 30 10 V /. a) Spin-ratavuorovaikutuksn (rataliikkn ja spinin magnttistn momnttin välinn kytkntä) surauksna vdyn p tila jakautuu kahtn nrgiatasoon joidn nrgiat poikkavat himan toisistaan: p j= 3/ (nljä alitilaa m j = 3/, 1/,1/,3/ joilla sama nrgia nollamagnttikntässä) ja p j= 1/ (kaksi alitilaa m = 1/,1/ joilla sama nrgia nollamagnttikntässä) j Ilman spin-ratavuorovaikutusta vdyn nrgiat ovat E0 0 hn n m Z En = = n= 1,,3,..Rydbrgin nrgia E0 = 13,60569V. 8ε p tilall n = saadaan siis E0 E p = Spinrata vuorovaikutuksn kanssa nrgiat ovat E n 0 hn m Z = + as L li p tilall E 8ε p missä vakio a on odotusarvo ylissti 1 1 dep 1 Z a= Ep mc r dr =. πε0 r E0 = + as L Odotusarvo lasktaan aina sn tilan aaltofunktioilla, johon nrgiaa ollaan laskmassa. Thtävässä on annttu 6 valmiiksi vakion a arvo p tilall a = 30 10 V /. b) Spin-ratavuorovaikutuksn arvon laskmisksi tarvitaan myös pisttulon S L arvo. Sill pät L S = 1 ( 1) ( 1) 3/ j j + l l +. Tässä l = 1 jotn mahdollisia kvanttiluvun j arvoja ovat j = l + 1/ 1 = 3/ ja j = l 1/ = 1/. Näin olln pisttulo voi saada arvot S L= ( j = 3/) ja S L= 1 ( j = 1/). Spin-ratavuorovaikutukssta aihutuva korjaus on siis l as L= a =+ 15μV ( p 3/ tila) ja as L= 1a = 30μV ( p 1/ tila). Vastaavat kokonaisnrgiat ovat E0 E p = + 15μV ( p 3/ tila)
E0 E p = 30μV ( p 1/ tila). Katso ohista kuvaa. c) Spin-ratavuorovaikutus i vaikuta 1s tilan nrgiaan, koska sill L= 0 S L = 0. Sähködipoliaproksimaatiossa saadaan siis kuvan sittämät kaksi fotomissio siirtymää. Huomaa, ttä spinratavuorovaikutukssta aihutuva korjaus on niin pini ttä sitä i voi piirtää samaan mittakaavaan p ja 1s tilojn nrgioidn kanssa. d) Siirtymissä mittoituvin fotonin nrgiat ovat Ep 1s = Ealkutila Elopputila = 3/ 1 1 3 E0 1 + a = E0 + 15μV ja 1 3 Ep 1/ 1s = E0 1 a1 = E0-30μV
3. Maxwll-Boltzmann systmissä on klassista hiukkasta nrgiatasoilla Ei = 0,1,,3,.... Hiukkastn kokonaisnrgia on 6. Kunkin tason dgnraatio on g i =. Mitkä ovat mahdollist makrotilat ja kuinka monta mikrotilaa niihin sisältyy? (p) b) Mitkä ovat mahdollist makrotilat ja niihin sisältyvin mikrotilojn lukumäärät, jos hiukkast ovat frmionja? (p) Ohj kohtaan b) päättl kuhunkin nrgiatasoon liittyvin mikrotilojn lukumäärä Paulin kiltosäännön avulla ja krro ri nrgiatasojn mikrotilamäärät lopuksi ksknään saadakssi makrotilaan liittyvän mikrotilalukumäärän. a) Mahdollist makrotilat ja niihin kuuluvin mikrotilojn lukumäärät on sittty ohisssa kuvassa. Mikrotilojn määrät (kuvan alarunassa). laskttu yhtälöstä n i gi W = N! n! i i b) Jos hiukkast ovat frmionja kullkin nrgiatasoll voi laittaa nintään yhdn hiukkasn ominaistilaa kohdn li tässä hiukkasta, koska kukin taso oli kahdsti dgnroitunut. Jos tasoll laittaan frmionia s voidaan thdä vain yhdllä tavalla, mutta 1 frmioni voidaan sijoittaa jommall kummall ominaistilall li tällöin ko. tasoon liittyy mikrotilaa. Ylmmästä kuvasta makrotilat 1 5 ja 9 ivät Paulin kiltosäännön prustlla ol mahdollisia frmionill. Alla olva kuva sittää sallitut makrotilat ja niihin kuuluvin mikrotilojn määrän.
. a) Slitä lyhysti 1) mitä on mustan kappaln sätily ) Mikä on kvipartitiopriaat ja 3) mitn - atomisn molkyylin kskimääräinn lämpönrgia muuttuu lämpötilan mukaan - piirrä kuva b) Käyttämällä pv = 1/3 U, missä U on mustan kappaln sätilyn kokonaisnrgia, lask fotonikaasun "tilanyhtälöä" ( ) missä lämpötilassa fotonikaasun pain on 1 baari. a) 1. Mustan kappaln sätily on tityssä lämpötilassa olvan väliainn kansa tasapainossa olvaa sähkömagnttista sätilyä.. Ekvipartitiopriaattn mukaan molkyylin kskimääräinn nrgia on lämmön aktivoimaa vapausasttta kohdn kbt jos kysisn vapausastsn liittyy skä liik ttä potntiaalinrgiaa ja kbt / jos ko. vapausastsn liittyy vain liik-nrgiaa. 3. Kaksi atomisn molkyylin kskimääräinn nrgia on hyvin alhaisissa lämpötiloissa ( 3/) kbt sillä tnmisliikksn liittyy kolm liik-nrgiaa sisältävää vapausasttta. Etnmisliikksn i liity kynnysnrgiaa jotn s on aina aktiivinn. Kun lämpötila ylittää pyörimisliikkn aktivoitumislämpötilan /muutamasta Klvinistä muutamaan kymmnn Klviniin) kskimääräinn nrgia kasvaa määrällä kbt kaksi vapausasttta i potntiaalinrgiaa. Kun lämpötila ylittää värähtlyn kynnyslämpötilan (1000-000 Klviniä) nrgia kasvaa vilä kbt vrran (yksi vapausast jolla liik ja potntiaalinrgiaa). Katso ohista kuvaa. b) Stfan-Boltzmannin lain mukaan ( ) 5 3 3 8 π B / 15 U = VaT = V k c h T Ratkaistaan tilanyhtälöstä lämpötila 3 3 5ch pv = kb c h T V T = p 5 8π k B 1/ 5 3 3 ( 1/3) 8 π /( 15 ) ( ) 1/ Asttamalla painksi 1 baari saadaan lämpötilaksi 11000 K.
5. Slvitä -3 virkkllä suraavia asioita: a) jään kidraknn, b) kovalnttinn sidos, c) piirrä skmaattissti ylimmät lktronivyöt 1) mtallissa ja ) itsispuolijohtssa d) Piirrä donori- ja aksptoritilat puolijohtn lktronivyörakntsn - mitä näill tiloill tapahtuu korkissa ja mitä hyvin matalissa lämpötiloissa? ) hybridisaatio mtaanimolkyylissä f) fktiivinn massa. a) Jäässä vsimolkyylit ovat kiinni toisissaan vtysidoksilla jotka muodostuvat kun prmannttja dipolja sisältävään sidoksn kuuluu vtyatomi. Happiatomit muodostavat ttradrigomtrian josta suraa 10 astn kirtosymmtria ks kuva b) Kovalnttinn sidos muodostuu tyypillissti saman alkuainn atomista, jotka jakavat uloimmat lktroninsa atomin välisn tilaan. Ydintn välissä olva ngatiivinn varaus liimaa ytimt kiinni toisiinsa. Esimrkkjä ovat typpimolkyyli ja timanttikid. c) Vasmmalla alhaalla mtalli oikalla itsispuolijohd.
d) Ohinn kuva sittää donori ja aksptori tiloja. Matalissa lämpötiloissa lktronit lukkiutuvat donoritiloihin ja aksptritilalla olva lktroni putoaa valnssivyöhön ilmiötä kutsutaan frz outiksi ja silloin puolijohd mnttää sähkön johtavuutnsa. Korkissa lämpötiloissa lktroni irtoaa johtovyöhön ja aksptrotilan aukon täyttää valnssivyön lktroni jolloin valnssivyöhön muodostuu aukkoja. Näin puolijohtssa on vapaita varauksnkuljttajia ja siitä tul hyvä johd ) Mtaanimolkyylissä hiiln s p x, p y ja p z orbitaalit muodostavat atomiorbitaaalin linaarikombinaatioina nljä molkyyliorbitaalia, jotka suuntautuvat kohdn ttradrin kärjissä olvia vtyatomja. f) Enrgiavöidn runalla nrgia voidaan sittää lktronin aaltovktorin avulla muodossa k * d E E = tästä suraa m = * m dk 1 * missä m on lktronin fktiivinn massa. Puolijohtn valnssivyössä lktronin fktiivinn massa voi olla myös ngatiivinn (tällöin aukon fktiivinn massa on positiivinn) Vakioita 31 7 7 7 m = 9, 1091 10 kg mp = 1,675 10 kg mn = 1,678 10 kg amu = 1,6605 10 kg 19 8 3 1 = 1,601 10 C c =,9979 10 m/ s = 1,055 10 Js μ B = 9,73 10 JT 1-1 - 6 ε0 = 8,85 10 C N m K = 1 / πε0 μ0 = 1,566 10 mkgc Km = μ0 / π 11 3 1-1 -1-3 1 γ = 6,670 10 Nm kg N A = 6,05 10 mol R = 8,313 JK mol k = 1,3805 10 JK