. Jauva-aiainen opiohinnoielu Sijoiusoheien hinojen ehiymisä voiaan arasella myös jauva-aiaisina prosesseina Iô-prosessi erisuuruise perioiohaise hinnanmuuose mahollisia voiaan oisinaan raaisa analyyisesi. Wiener-prosessi Tarasellaan soasisa prosessia z( z( ε (, 0, K, N jossa ermi ε( i, ε( j, i j, ova oisisaan riippumaomia s.e. E(ε( i 0 ja var(ε( i. Tällöin z ( z( ε ( j i i j Ahi Salo / Pea Mil.4.007
joen [ ε ] E z ( z( j E ( i 0 i j var ( z( ( z j E ε ( i i j E ε ( i ( j j i j Kun 0, äsä saaaan Wienerin prosessi eli Brownin liie, jona ominaisuusia ova. z(-z(s on normaalijaauunu saunnaismuuuja s.e. E(z(-z(s0 ja var(z(-z(s-s.. saunnaismuuuja z( -z( ja z( 3 -z( 4 eivä orreloi, jos 0 < 3 < 4. 3. z(00 n:llä. - -
Brownin liie ei ole ifferenioiuva, sillä E Termiä z/ usuaan valoisesi ohinasi. z( s z( s - s - ( s - s Yleisey Wienerin prosessi on x( a bz missä x( on saunnaismuuuja, a ja b ova vaioia, ja z on Wienerin prosessi. Inegroimalla saaaan x( x( 0 a bz ( Iô-prosessi on muooa x( a ( x, b( x, z missä x( on saunnaismuuuja, z on Wienerin prosessi ja a(x, ja b(x, ova inegroiuvia funioia. Iôn lemma: Jos x( on yo. Iô-prosessi ja y(f(x, on soasinen prosessi (missä F riiäväsi ifferenioiuva, niin F F F F y( a b bz. x x x - 3-
Mulipliaiivinen malli jossa w( N(υ,σ voiaan ny yleisää muooon jolloin ln( S ( ln S ( ln ln S ( S ( ν ln joen lns(:n oousarvo asvaa lineaarisesi.. Blac-Scholesin yhälö σz S (0 σz( Viime luennolla hinnoielimme opioia binomihilassa. Vasaava ulose voiaan johaa äyämällä viieehysenä soasisia iffereniaaliyhälöiä. v w( [ ln S ( ] E [ ln S (0] v E Oleeaan, eä ohe-euuen hina nouaaa geomerisa Brownin liieä S µ S σsz missä z on Wienerin prosessi ja µ υ 0.5σ. Tämä on log-normaalin hinaprosessin iffereniaalimuoo, ermi µ saaaan Iôn lemman avulla. risiömän sijoiusoheen B arvo oeuaa iffereniaaliyhälön B rb - 4-
f(s, on ohe-euuen peruseella määriellyn johannaisen arvo heellä ja euuen arvolla S. Lause (Blac-Scholes. Jos em. oleuse ova voimassa, niin f(s, oeuaa osiaisiffereniaaliyhälön rs σ S f f rf To. Sovelleaan Iôn lemma f(s,:hen f f µ S σ S σ Sz Muooseaan ohe-euuesa ja risiömäsä sijoiusoheesa porfolio, joa seuraa (replioi johannaisen arvon ehiysä. Ts. heellä sijoieaan x ohe-euueen ja y risiömään oheeseen. Tämän porfolion heiäinen muuos on G x S y B ( µ σ ( x S Sz y rb x µ S y rb x σ Sz - 5-
Joa porfolion arvo ehiyisi samoin uin johannaisen f(s,, niin -ja z-ermien eroimien ulee olla sama. Brownin liieä uvaavan ermin z osala ehosi saaaan x σ S σ S x Vaaiaan lisäsi,eä porfolion arvo on sama uin johannaisen G x S y B S y B f y f ( S, S B Käyeään saauja x ja y lauseeia ja vaaiaan, eä myös -ermin eroime ova sama µ S f ( S, S rb B f µ S σ f rs σ S rf. S - 6-
Yleisesi oaen Blac-Scholes-yhälöä ei voia raaisa suljeussa muoossa. ysiäise erioisapause oeuava o. yhälön. johannaisena ohe-euus sinänsä (f(s,s 0 rs 0 rs f 0. johannaisena risiön sijoiusohe (f(s,exp(r re r re 0 r 0 r re f 0 0 0 Yhälön äyöapoja. Valiaan (arvaaan f(s,; jos se ei oeua Blac-Scholesyhälöä, niin jossain on arbiraasimahollisuusia hinnoielu on väärin. Aseeaan reunaeho (esim. opion arvo pääymispäivänä ja raaisaan yhälö esim. eurooppalaisen oso-opion arvo C (0, C ( S, T 0 max( S K,0-7-
amerialainen oso-opio voiaan oeuaa ennen pääymispäivää opion arvo oeuaa epäyhälön C ( S, max( S K,0 Esim. Tarasellaan amerialaisa oso-opioa, jolla on rajaon voimassaoloaia (perpeual call. Reunaehoina ova C ( S, C ( S, max( S Raaisu C(S,S oeuaa nämä reunaeho. Tämä voiaan ulia sien, eä osa ohe-euuen hina ulee piällä aiavälillä nousemaan niin paljon, eä oeuushina on siihen nähen meriyseön, niin opiolla ja ohe-euuella on olennaisesi sama arvo. S K,0-8-
3. Oso-opion hinnoielu Eurooppalaisen oso-opion apausessa Blac-Scholes voiaan raaisa analyyisesi. Lause. Oloon eurooppalaisen oso-opion oeuushina K ja pääymispäivä T. Jos ohe-euuesa ei masea osinoa ajalla [0,T] ja jos risiön oro on vaio r, niin oso-opion arvo on C r ( T ( S, SN ( Ke N (, missä N ( x ln( S / K σ T ln( S / K ( r σ / ( T x π e y / y ( r σ σ T σ T / ( T - 9-
Esim. Tarasellaan luennon 0 esimeriä, so. osaeen hina on 80 ja volailieei σ 0.40. Oso-opion pääymispäivä on neljän uuauen uluua ja oeuushina on 85. Miä on opion hina, un risiön oro on 8% ja osaeelle ei masea osinoa? Ny S80, K85, r0.08, σ0.40, joen ln 80 85 0.08 0.40 4 0.40 / 4 0.036 0.40 4 / 0.65 ja N N ( ( 0.4874 0.3965 joen opion hinnasi saaaan C SN 80 ( Ke 0.487 r ( T 85 e N ( 0.08 ( 4 / 0.397 6.8 Opion arvosi saaaan siis 6.8, joa hiuan vähemmän uin miä binomihilassa saaiin (6.40. - 0-
4. Dela Johannaisen ela ( uvaa sen arvon heryyä oheeuuen hinnan muuosille: ( S, f ( S, S Blac-Scholes yhälösä (eur. oso elasi saaaan N(. Esim. Jos sijoiaja arvioi, eä oso-opio on ylihinnoielu (so. hänen annaaa myyä siä, niin hän voi raenaa porfolion s.e. hän myy n pl o. oso-opioia osaa n pl opion ohe-euusia. Raenneu porfolio on ela-neuraali (so. immuuni oheeuuen arvon muuosille, sillä ( nc ( S, n S n( 0 Dela riippuu S:n ja :n arvoisa porfolio on asapainoeava uuelleen arviaan ynaaminen suojauumissraegia Johannaisen arvon aarevuua ohe-euuen hinnan suheen uvaa gamma (Γ Γ f ( S, - -
Thea (Θ on johannaisen arvon. aiaerivaaa Θ ( S, Ajan uluessa opion arvo lähesyy siä arvoa, joa opiolla on oeuusheellä aia-arvo vähenee Θ on negaiivinen. Näiä määrielmiä äyäen opion arvon Taylor-ehielmäsä saaaan δ f δs Γ ( δs Θ δ Esim. Oloon osaeen arvo S43 ja sen hinnan vuosiainen esihajona σ 0.0, risiön oro 0% ja 6 :n uluua pääyvän oso-opion oeuushina K 40. Opion hinnasi saaaan Blac-Scholesisa C 0.936, 5.56 0.794 - -
Gamma ja hea saaaan aavoisa (s. lasuharjoiuse Sσ T SN ' ( σ T 0.85, Γ 0.43, Θ -6.7 jos osaeen hina nousee viiossa yhen euron, niin opion arvosi ulee C Γ Θ 5.56 N ' ( 5. Syneeise opio rke rt N ( Opioa vasaava uoo voiaan saaa porfoliosa, joa oosuu ohe-euuesa ja risiömäsä sijoiusoheesa. porfolion arvo äyäyyy samoin uin opion arvo, mua siä on uienin päivieävä jauvasi vr. opiohinnoieluaavojen johaminen binomihilassa Γ Θ 5 6. Syneeinen opio voiaan raenaa seuraavasi:. määrieään opion arvo C (binomihila ai Blac-Scholes. sijoieaan S ohe-euueen ja lopu C - S risiömään sijoiusoheeseen 3. päiveeään porfolioa lyhyin aiavälein, niin eä :n eellyämä painous säilyy. - 3-
6. Lasennallise meneelmä a Mone-Carlo simuloini Kohe -euuen hina nouaaa soasisa iffereniaaliyhälöä S rs σs ẑ, missä r on risiön oro ja z^ sanari Wienerin prosessi. Huomaa, eä hinnoielu apahuu risineuraalin oennäöisyysmian alla, joen ohe-euuen hinaprosessin rif-ermi on r (eiä µ. Kohe-euuen arvo voiaan simuloia aavalla S ( S ( rs ( σs ( ε ( missä ε( on normaalijaauunu oousarvolla 0 ja varianssilla. saaaan S(T ja f(s,t johannaisen arvo heellä T Lineaarisessa hinnoielussa johannaisen arvo saaaan isonaamalla f(s,t:n risineuraali oousarvo nyyheeen arvon esimaaisi saaaan Pˆ e rt average [ f ( S ( T, T ] - 4-
Mone Carlo-simuloinnin ominaisuusia: helposi oeueavissa soveluu myös poluriippuvien johannaisen hinnoieluun (mm. aasialaise opio vaaii paljon lasenaa aruuen paranaminen yhellä esimaalilla vaaii noin 00 eraa suuremman lasenamäärän ei sovellu amerialaisen opioien ai muien sellaisen johannaisen hinnoieluun, joa voiaan oeuaa ennen pääymispäiväänsä. b Disreoini Blac-Scholes voiaan raaisa isreoimalla f(s, oheeuuen hinnan ja ajan suheen raaisavasi saaaan jouo algebrallisia yhälöiä muuujien f i,j suheen: f i f ( f, j S f i, j i, j f f i, j i, j f i, j ( ( S f i, j f i, j - 5-
Periaaee. aseeaan reunaeho. raaisaan em. algebrallise yhälö voiaan äyää ieraiivisia meneelmiä Disreoinnin piireiä soveluu myös amerialaisen ms. opioien arvoamiseen, joa voiaan oeuaa ennen pääymispäiväänsä isreoini voi aiheuaa lasennallisa epäaruua usein annaaa formuloia ehävä isreeissä muoossa ja raaisa se. c Binomi- ja rinomihila Binomihilaa araseliin luennolla 0. Trinomihilalla pääsään hieman parempaan aruueen, mua osa paramereja on olme, niin vapausaseia on vähän. oloon ohe-euuen suheellisen arvon muuosen oousarvo perioin uluessa µ ja varianssi σ. siirymäoennäöisyysisi saaaan p up p p p 3 p 3 µ - 6-
- 7- Kosa niin varianssia oseva eho anaa Siirymäoennäöisyye voiaan ny lasea em. olmesa yhälösä. Trinomihilan sovelaminen opioien hinnoieluun eellyää risineuraalien oennäöisyysien äyöä, joa saaaan aseamalla µ risiömän oron r suuruisesi. [ ] [ ] var( ( x x x x x E x E 3 3 ( ( var p p p u p p p u S S µ σ µ σ
Esooise opio Toisaisesi olemme arasellee verraen ysineraisia opioia. Eri äyöaroiusia varen on uienin ehiey muiain, ns. esooisia opioia:. Bermualaisen opion oeuushei on rajoieu ieyihin päiviin ai ajanjasoihin sen voimassaoloaiana.. Compoun-opio on opioia, joa ohisuu opioon. 3. Valinnaisopion (chooser opion halija voi pääää ieyn ajan uluua, ono ysymysessä myyni- vai oso-opio. 4. CAP-opio oeueaan, jos siiä saaava uoo saavuaa ennala määrieyn ason. esim. jos CAP-oso-opion oeuushina on 60 ja sen uooraja on 0, niin se oeueaan, un osaeen hina nousee 80 :hen 5. Tyrmäysopio (nocou opion raueaa, jos ohe-euuen hina saavuaa ieyn ason oso-opio raueaa, miäli ohe-euuen hina ippuu alle sopimusessa soviun ason ( own an ou myyniopio raueaa, miäli ohe-euuen hina nousee yli sopimusessa soviun ason ( up an ou 6. Epäjauvasa opiosa saaava uoo riippuu epäjauvasi ohe-euuen hinnasa - 8-
esim. oso-opion uoo voi olla joo 00, jos oheeuuen hina on pääymisheellä oeuushinaa suurempi (so. plusopio, in he money, muuen nolla. 7. Digiaalisen opion arvo on plusopiolle $ (in he money ja miinusopiolle $0 (ou of money. 8. Loobac-opion oeuushina määriyy ohe-euuen arvon ääriarvoisa opion voimassaoloaiana myyniopion oeuushina orein opion voimassaoloaiana saavueu ohe-euuen hina oso-opion oeuushina alhaisin opion voimassaoloaiana saavueu ohe-euuen hinaoeuus loobac-opioilla on pääymisheellään aina posiiivinen arvo ne ova alliia 9. Aasialaisen opion uoo riippuu ohe-euuen esimääräisesä hinnasa S avg voimassaoloajan aiana. esim. oso-opion uoo voiaan määriellä sien, eä se on joo max(s T -S avg,0 ai max(s avg -K,0 Aasialaisen ja loobac-opioien arvo riippuu siiä, mien ohe-euuen hina on ehiyny oeuamisheeen mennessä binomihilaaraselu ei sovellu niien hinnoieluun lasennallinen omplesisuus esim. Mone Carlo-simuloini soveluu eräin osin - 9-