6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä srj derivoii: f (x = g (x (sisesi suppeev srj = df dx = d ( dg ' g (x = (x dx = = dx j iegroii: b b ( b f (xdx = ' g (x dx = g (xdx = = 6.4 FOURIER N SARJAT Jos hlu uodos fukiosrj, jok suppeee opesi, ulee kfukio vli hdollisi hyvi. Nope suppeeie hdollis se, eä sd hyvä likirvo käyäällä vi uu srj esiäisä eriä. Fourier-srjss kfukio ov si j cos -fukioi (jksollisi fukioi. Fourier-srjoj käyeää usei esiäää jksollisi fukioi. Jos jkso piuu erkiää :llä, kirjoie fukio Fourier-srj seurvsi: f (x = + cos x ( + b ' si x ( ' = = 3 E 6.7 Mcluri-srj fukiolle cos(x, ku ue si(x fukio Mcluri-srj j d[si(x]/dx = cos(x? Srj suppeee sisesi kikill x: rvoill, joe void operoid ereiäi srj: si(x = x x 3 3 + x 5 5 x 7 7 +... cos(x = x + x 4 4 x 6 6 +... (derivoiu puolii j ereiäi Tehävä: Trksele fukio l(x Tylori srj pisee x = suhee. ske fukio /x Tylori srj pisee x = suhee käyäe ieo d[l(x]/dx = /x hyväksi. Kfukioide -jksollisuus siis rkoi, eä (x + x (x + x si ' ( = si ' (, cos ' ( = cos ' ( Fourier-srjoj käyeää usei hyväksi, ku käsiellää loj, kosk e käyäyyvä si j cos -fukioide p. Esi. Fourier-srj vull void kuv lois sigli (ääi, jolloi Fourier-keroie ääräävä siä vsv juuskopoei piorvo. Void siis kero iä juuksi sigliss esiiyi. Fourier-srjlle päee kksi ärkeää ulos: -Fourier-k (si cos uodos äydellise k eli sillä void kuv iä hs ko. vruude fukio -Fourier-srj suppeee sisesi kikill x. 4
Fourier-srj keroie: Fourier-srj keroie void äärää käyäällä hyväksi s. orogolisuus-oiisuu. Kksi kfukio i j j ov orogolisi oisiis ähde välillä ]-, [ jos:, i = j i (x j (xdx' ( =, i j Trksell Fourier-srj kfukioide orogolisuu: cos x ( cos x -, jos = ( dx = + ' ' =. /, jos, cos x ( si x ( dx = (olip j iä hyväsä ' ' si x ( si x ( dx = + ' ' issä o ielää Kroeckeri del. Tässä > i >. Kerroi sd yhälö cos(cos(dx = dx = Näi keroiille sd johdeu seurv lusekkee: = = f (xdx f (xcos x ( ' dx Vsvlie pääely keroie b : b = f (xsi x ( dx ' vull. 7 Terillä orogolisuus o yheys vekorilgebr j eriyisesi sisäuloo. Joskus yllä olev iegrli kusu khde fukio väliseksi sisäuloksi. Keroll Fourier-srj puolii eräällä kfukiois cos(x/ [ ], j iegroill -:sä :ää sd: f (xcos x + ( dx = ' cos x ( cos x, ( dx ' ' = + + b si x ( cos x, ( dx ' ' = issä o siirrey esiäisee su (cos( =. Tässä o lisäksi käyey ieo, eä srj void iegroid ereiäi, jos srj suppeee sisesi. Käyäällä orogolisuu sd: f (xcos x ( dx = ' ku >. 6 Fukio ei rvise oll jkuv, jo se void esiää Fourier-srj io vius o, eä se äyyy oll iegroiuv. Fourier-srj vull void esiää yös jksooi fukioi, jos void rjoiu jolleki ieylle välille ]-, [. Tällöi srj kuv lkuperäisä fukio vi kyseisellä välillä, ei se ulkopuolell. Jos kuvv fukio o prillie, Fourier-srjss o vi cos -erejä (Fourier-kosiisrj. Vsvsi priolle fukiolle esiiyy ios si -erejä (Fourier-siisrj. Trkseluvälillä [, [ srj void jell osksi joko prio i prillis fukio. Siä voi siis kuv joko sii- i kosiisrjll. 8
E 6.8 f(x = x. Kopleksie ekspoeifukio Fourier-srj k: Kyseessä o prio fukio, joe se Fourier-srj sisälää ios siierejä. Vikk ise fukio o ääriely kikill x: rvoill, ulee vsv Fourier-srj ole periodie (ks. kuv. ske keroie ie äärielä uk: Aiei oesie (Kpl, eä kopleksie ekspoeifukio void kirjoi sii- j kosiifukioide vull. Fourier-srj j b -keroie yhdiseää seurvsi: x x si ( dx = ' x ( (dx = ( y si(ydy = ' ' x x ix / b si + ( + ib eix / ( + cos ( = ( ib e ' ' x si joe ise Fourier-srj o siis: Sie Fourier-srj void kirjoi yös kopleksise ekspoeifukio vull seurvsi (huo. suusideksi egiivise rvo: x ' ( si ( = f (x = + f (x = c e ix / = Kuvv fukio ei yleisesi rvise oll relirvoie. Jos se o relirvoie, ov keroie j b relisi, keroie c ov kopleksisi. u silleki 9 Orogolisis kois yleisesi: Jo Fourier-srj suppeisi, o se keroiie lähesyävä oll. Fourier-srj supeess suppeeie o sis. Jos suppeeie o kohuullise ope, o fukio hdolllis rvioid oll vi uui esiäisiä erejä Fourier-srjs. Trksell ää seurv esierki vull: + ku < x < f (x = ku < x < Fourier-k o vi yksi esierkki orogolises kjoukos. Kviekiikss käyeää yleisesi orogolisi kjoukkoj, joill o lisäoiisuue s. oriusvius. Esi. j ov kksi kfukio: Kuvss o deosroiu ie eri äärä Fourier-srj erejä pysyy pproksioi lkuperäisä fukio f. dx = = ' ( jos = jos Jos kfukiojoukko o sekä orogolie eä orieu, kusu siä oroorieuksi. Kviekiikss käyey kfukiojouko ov yypillisesi äydellisiä, eä iide vull void kuv ikä hs rkisuksi ikä rkoi, sopiv fukio. Ts. eu fukio void kirjoi su: = c S sisälää vi yhde eri, S kksi eriä, je. Jos o eu fukio, sd su keroie ääräyä: c = dx ' = c ( dx = c, +
6.5 INTEGRAAIMUUNNOKSET Iegrliuuokse liiyvä läheisesi fukiosrjoihi. Suus j iegroii ov hyvi syyppisiä operioi. Oleisesi ässä ehdää rjkäyi uull suus iegroiiksi. Sie kfukio ideksisä ulee jkuv uuuj. Kue fukiosrj, iegrliuuokse esiävä lkuperäise fukio oisess uodoss. Iegrliuuos siis operoi fukioo j uo siiä ulokse oise fukio, jok piää sisällää iedo lkuperäisesä fukios oisess uodoss. Fysiikss j keiss rviv iegrliuuokse ov ielää Fourier-uuos j plce-uuos. Fourier-kääeisuuoksess o oriusekijä /. Fukio F kusu fukio f Fourier-uuokseksi. Fukio f ei rvise eää oll periodie, kosk : eii lähesyä ääreöä (s. jkso piuus o ääreö. Kosk uuoksess esiiyy rjoi ääreöä, o vrisev iegrli kovergessi. Jos fukio f o eliöiegroiuv, eli f (x dx <, kovergoi fukio f Fourier-iegrli (ulos ei odise ässä. Jos Fourier-iegrli kovergoi, o fukio F yös eliöiegroiuv. 3 5 Fourier-uuos: Fourier-srj vull voiii esiää periodisi fukioi (jkso. Jos e jkso piuude ksv isoksi, pieeee ekijä x/ vsvsi. Merkiää k = /, jolloi iso : puksess siiä ulee jkuv uuuj. Tällöi suus uuuu iegroiiksi (vr. kopleksiekspoeiesiys Fourier-srjs: f (x = F(k e ikx dk, issä kerroi c i o vihdeu fukioo F(k. Tää o ielää Fourier-kääeisuuos (i Fourier-iegrli. Fourier-uuos ääriellää: F(k = f (xe ikx dx 4 E 6.9 f(x = exp(x. F(k = e x e ikx dx = e x cos(kxdx i e x si(kxdx 44 443 = e x cos(kxdx = e k 4 = k e 4 Gussise fukio Fourier-uuos o siis Gussie fukio. Jos f o prillie fukio, sd se Fourier-uuos Fourier-kosiiuuoksell: F(k = f (xcos(kxdx = f (xcos(kxdx Vsvsi priolle fukiolle Fourier-uuos sd Fourier-siiuuoksell: F(k = i f (xsi(kxdx = i f (xsi(kxdx = 6
Fourier-uuos o hyödyllie lskeess kovoluuioi. Khde fukio kovoluuio ääriellää: ( f g(x = f (yg(x ydy Jos kovoluuios oe Fourier-uuos, sd ulokseksi ulo fukioide f j g Fourier-uuoksis (ei odise: F{ f g} = F{ f }F{ g} Tässä F { f } rkoi Fourier-uuokse ois fukios f. Kääeisuuos erkiää F - {}. ks. Deo 5, T. E 6. f( = exp(k j g( = cos(k. ( F(s = e k e s d = e (ks d = ' k s e(ks G(s = cos(ke s d = plce-uuose oiisuuksi: s s + k = s k, s > k Deriveoree { f } = s{f} - f( yleisyy :elle derivlle: {f ( } = s {f} - s - f( - s - f ( -...- f (- ( Siiroeoree { e f( } = F(s- Fukio iegrli plce-uuos f (udu' ( = s { f (} = F(s s 7 9 plce-uuos plce-uuos F(s fukios f( ääriellää: F(s = f (e s d Esi. ske plce kääeisuuos, ku F(s=/s(s-. Tulukos huo, eä /(s- o e : plce-uuos. Iegrlieorees sd e u du' ( = s e { } = s s. plce-uuokse ois fukios f erkiää {f} j kääeisuuokselle - {}. (ks. Deo 5, T3 Tulukko: plce-uuoksi F(s fukioille f( F(s /s /s f ( Sie kääeisuuos o - ' s(s ( = eu du = ( e. /s + /(s e s/(s + k cos(k k /(s + k si(k 8