SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen jälkeen erilliselle konseptille, jota voit pyytää valvojalta. Laskinta saa käyttää, mutta muistin tulee olla tyhjä. Rastita vielä alle mistä löytyy merkintä pakollisista harjoituksista. Osallistuin harjoituksiin lv. 05-06 periodeilla 1-2 periodeilla 3-4. Osallistuin harjoituksiin vuonna: syksyllä kesällä Palautin harjoitustehtäväpaketin vuonna: En ole vielä suorittanut pakollisia harjoituksia ja otan yhteyttä luennoitsijaan. 1. Ovatko seuraavat väittämät tosia vai epätosia? (Perusteluja ei tarvita. Oikea vastaus: 1 p, väärä: 1 2 p, ei vastausta 0 p.) (a) Suotimen stabiilius tarkistetaan selvittämällä ovatko sen siirtofunktion nollat yksikköympyrän sisäpuolella. (b) Signaalin x(n)y(n) DFT on X(n)Y(n). (c) Kaksiulotteinen diskreetti Fourier-muunnos voidaan laskea yksiulotteisten diskreettien Fourier-muunnosten avulla. (d) Vaihevasteen lineaarisuus takaa, että signaalin kaikki taajuudet viivästyvät yhtä monta sekuntia. (e) Laskostuminen estetään A/D-muunnoksessa asettamalla näytteenottotaajuus vähintään samaksi kuin analogisen signaalin suurin taajuus. (f) Binäärisissä fax-dokumenteissa mustaa pistettä esitetään nollalla ja valkoista ykkösellä. Täysin mustan fax-kuvan entropia on suurempi kuin sellaisen, jossa mustia ja valkoisia pisteitä on yhtä monta. Suodintyyppi Impulssivaste kun n 0 n = 0 Alipäästö 2f c sinc(n 2πf c ) 2f c Ylipäästö 2f c sinc(n 2πf c ) 1 2f c Kaistanpäästö 2f 2 sinc(n 2πf 2 ) 2f 1 sinc(n 2πf 1 ) 2(f 2 f 1 ) Kaistanesto 2f 1 sinc(n 2πf 1 ) 2f 2 sinc(n 2πf 2 ) 1 2(f 2 f 1 ) Ikkuna- Siirtymäkaistan Päästökaistan Estokaistan Ikkunan lauseke funktion leveys värähtely minimi- w(n),kun nimi (normalisoitu) (db) vaimennus (db) n ( 1)/2 Suorakulmainen 0.9/ 0.7416 21 1 Bartlett 3.05/ 0.4752 25 1 2 n 1 Hanning 3.1/ 0.0546 44 0.5 + 0.5 cos 2πn Hamming 3.3/ 0.0194 53 0.54 + 0.46cos 2πn Blackman 5.5/ 0.0017 74 0.42 + 0.5cos 2πn + 0.08cos 4πn
2. (a) Analoginen signaali koostuu yksittäisestä siniaallosta, jonka taajuus on 2200 Hz. Signaalista otetaan näytteitä 2.5 10 4 sekunnin välein. Tapahtuuko laskostumista? Jos vastauksesi on myönteinen, miksi taajuudeksi mainittu sinitaajuus tulkitaan, ts. mille taajuudelle se laskostuu? (1p) (b) Laske jaksollisen lukujonon x(n) =( 2, 4, 5, 1) diskreettifourier-muunnos. (2p) (c) Eräs lääketieteen sovellus mittaa potilaan aivosähkökäyrää, johon on sekoittunut sähköverkosta tulevaa häiriötä 50 Hertzin taajuudella. Sovellutuksen kannalta olennainen informaatio sijaitsee taajuusalueella 0 22 Hz. Järjestelmän näytteenottotaajuus on 150 Hz. Millaiset päästö- ja estokaistat tarvitaan, jotta verkkohurina poistuu ja varsinainen signaali säilyy? Mikä on pienin mahdollinen kertoimien määrä, kun suodinsuunnittelu tapahtuu ikkunamenetelmällä Blackman-ikkunaa käyttäen. (3p)
3. Kausaalisen aikainvariantin järjestelmän siirtofunktio on missä vakio a R ja a 0. H(z) = 1 (az) 1 1 az 1, (a) Määritä herätteen x(n) ja vasteen y(n) välinen yhtälö. (b) Millä vakion a arvoilla järjestelmä on stabiili? (c) Piirrä napa-nollakuvio tapauksessa a = 1 2.
4. Suunnittele ikkunamenetelmällä alipäästösuodin (selvitä käsin impulssivasteen lauseke), jonka vaatimukset ovat seuraavat: Estokaista Päästökaista Päästökaistan maksimivärähtely Estokaistan minimivaimennus äytteenottotaajuus [12 khz,16khz] [0 khz,9.9khz] 0.06 db 34 db 32 khz Käytä oheisia taulukoita hyväksesi.
5. (a) Eräs symbolilähde tuottaa viittä eri symbolia todennäköisyyksillä p 0 = 0.47, p 1 = 0.18, p 2 = 0.15, p 3 = 0.12, jap 4 = 0.08. Generoi Huffman-puu ja Huffman-koodi. Paljonko on keskimääräinen koodisanan pituus ja paljonko on lähteen entropia? (2p) (b) Erään kausaalisen LTI-järjestelmän amplitudivaste on kuvan 1 mukainen. Selvennykseksi kuvaan mainittakoon, että lim f 0.25 10 H(ei2πf ) = lim f 0.4 10 H(ei2πf ) =. i. Piirrä arvio järjestelmän napa-nollakuviosta sen perusteella, mitä amplitudivasteesta voidaan päätellä. Järjestelmän impulssivaste oletetaan reaaliseksi, jolloin reaaliakselin ylä- ja alapuoli ovat toistensa peilikuvia. (2p) ii. Mitä voidaan sanoa impulssivasteen pituudesta? Perustelu. (1p) iii. Onko järjestelmä stabiili? Perustelu. (1p) Amplitudivaste (db) 60 40 20 0 20 40 60 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 ormalisoitu taajuus Kuva 1: Järjestelmän amplitudivaste