kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe A1. välikoe torstaia 16.2.2017 A Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet tehtävä, ii käsittele kaikki se alakohdat. A1. (a) Laske 3,25% todellisee vuosikorkoo liittyvä kuukausikorkokata. (b) Mikä o todellie vuosikorko, ku kuukausikorkokata o 0.0017579038? (c) Laske tasaerälaia auiteetti, ku laia määrä o 2 000 e, laia-aika o 15 kuukautta, laia hoidetaa kuukausieriä, ja laiaa liittyvä todellie vuosikorko o 4,15%. Ratkaisu: a) b) c) k = (1 + i kk ) 12 = 1.0325 1 + i kk = 1.0325 1/12 i kk = 1.0325 1/12 1 = 0.002668808768 (1 + i tod ) = 1.0017579038 12 = 1.021299991 todellie vuosikorko o 2.13% i (1 + i) ((1 + i) 1) K 0 = [1.04151/12 1] 1.0415 15/12 (1.0415 15/12 2000e = 136.98e 1) (Tarkistus: 15 136.98e = 2054.70e, OK) c-kohdassa voi myös käyttää kaavaa k = K q (1 q) (1 q, missä q = 1 + i = 1.04151/12 ) = 2000e 1.0415 15/12 (1 1.04151/12 ) (1 1.0415 15/12 ) = 136.98e Vastaus: a) kuukausikorkokata o 0.002668808768, b) todellie vuosikorko o 2.13%, c) kuukausierä o 136.98e. Muide tehtäväversioide vastaukset: B: a) 0.001790593419, b) 3.28%, c) 56.93e. C: a) 0.003313926190, b) 3.83%, c) 269.04e. D: a) 0.004352608056, b) 4.17%, c) 116.55e.
A2. Yritys valmistaa eräällä tuotatolijallaa q tuotetta kuukaudessa. Valmistettava tuottee kysytäfuktio o p = 20 0.030 q ja vastaava kustausfuktio o C(q) = 0.02q 2 + 6q + 100. Millä tuotao määrällä voitto o suuri mahdollie? Mikä o maksimivoitto. Ratkaisu: Myyistä saatu tuotto ja se derivaatta: Kustausfuktio ja se derivaatta: Optimissa: kysytäfuktio p = 20 0.030q tuottofuktio R = 20q 0.030q 2 rajatuotto MR = 20 0.06q kustausfuktio C = 0.02q 2 + 6q + 100 rajakustaus MC = 0.04q + 6 MC = MR 0.04q + 6 = 20 0.06q 0.1q = 14 10 q = 140 Voitto, ku valmistetaa 140 tuotetta kuukaudessa: P(140) = R(140) C(140) = (20 140 0.030 140 2 ) (0.02 140 2 + 6 140 + 100) = 2800 588 392 840 100 = 880 (e/kk) Vastaus: Voitto o suuri mahdollie, ku valmistetaa 140 tuotetta kuukaudessa. Voitto o silloi 880e kuukaudessa. (B,C ja D versioissa sama tehtävä ja sama vastaus.)
A3. Yrittäjä ostaa koee ja aloittaa uude tuotatolija. Koee ostohita o 25 000 e. Koee asetamie ja koekäyttö kestää kaksi kuukautta ja sitoo kaksi työtekijää, joide palkkameo aseusjaksolta o 2000e/kk/hlö. Aseusjakso jälkee alkaa tuotato, joka tuottaa yrittäjälle ettotuloa e/kk. Mikä o projekti ykyarvo, ku lasketakorkoa o 8,00%(todellie vuosikorko)? Projekti koko kesto o 6 vuotta (70kk ettotuloa). Ratkaisu: 0 1 2... 4000 4000 3 4 5 6... 69 70 71 72 25 000 Pohjustusta: 1 + i = 1.08 1/12, ja q = 1 1 + i = 1.08 1/12 NPV = 25000e + 4000e (1 + i) + 4000e 72 (1 + i) 2 + e k=3 (1 + i) k = 25000e + 4000e 4000e + 1.081/12 = 5926.20e Vastaus: Kassavirra ettoykyarvo o 5926.20e (1.08 1/12 ) 2 + e (1.08 1/12 ) 3 (1 (1.08 1/12 ) 70) (1 (1.08 1/12 )) }{{} = a 1 (1 q ) (1 q) Muide tehtäväversioide vastaukset: B: 4261.41e, C: 3069.38e, D: 4234.86e.
A4. (a) (1p) Selitä lyhyesti saallisesti, mitä tarkoittaa ja mite lasketaa y: jousto x: suhtee. Voit ataa lausekkeeki, mutta tärkeämpää o yt ataa saallie kuvaus asiasta. b) (3p) Erää tuottee kysyä hitajousto o 1.55. Tuottee hita o yt 10,25 e/kpl ja se kysytä o 1 200 kpl/kk. Mite muuttuu tuottee kysytä, jos tuottee hitaa lasketaa 0.50 eurolla? c) (2p) Mite b-kohdassa kuvattu hia muutos muuttaa myyistä saatavaa tuottoa? Voiko b-kohdassa aettuje tietoje perusteella ratkaista, oliko hia muutos kaattava? Mite? Ratkaisu: a) Jos piei muutos x: arvossa aiheuttaa piee muutokse y: arvossa, ii kytkeä vahvuutta voidaa mitata vertaamalla prosettimuutoksia: y: jousto x: suhtee o y: prosettimuutos jaettua x: prosettimuutoksella. b) Aetut tiedot hita yt hia muutos kysytä yt kysyä muutos y y 100% x x 100% = y x x y p = 10,25 e/kpl p = 0.50 e/kpl q = 1 200 kpl/kk q = x kysyä hitajousto η = 1.55 c) q p p q = η x 0.50e/kpl 10,25e/kpl 1200kpl/kk = 1.55 kerrotaa ristii 1 1.55 ( 0.50) 1200kpl/kk x = = 90.7kpl/kk 91kpl/kk 10,25 tuotto ee hia aleusta R 1 = 10.25 kpl e kk = 12 300.00 e/kk tuotto hia aleukse jälkee R 2 = 9.75 kpl e kk = 12 584.33 e/kk tuoto muutos R 2 R 1 = 284.33e/kk Hia muutokse kaattavuudesta ei yt voi saoa mitää, koska emme voi arvioida kustauste muutosta. Vastaus: a) ks. yllä, b) Kysytä kasvaa oi 91 tuotetta kuukaudessa (7.6%), c) tuotto kasvaa 284.33 euroa kuukaudessa, mutta hia muutokse kaattavuutta ei voida arvioida koska kustauste muutosta ei tiedetä. Muide tehtäväversioide vastaukset: B: b) 80kpl/kk ( 8.0%), c) R = 614.81e/kk, C: b) 210kpl/kk (14.0%), c) R = 696.77e/kk, D: b) 220kpl/kk (20.0%), c) R = 990.00e/kk.
Kaavoja: Kysyä hitajousto: q p p q = jousto, MR = p ( ) 1 1 + kysyä hitajousto Iterpoloiti: Jaksolliset suoritukset f (x) f (x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 ( f (x 1 ) f (x 0 )) prologoititekijä s,i = (1 + i) 1 i diskottaustekijä a,i = (1 + i) 1 i(1 + i) kuoletuskerroi c,i = i(1 + i) (1 + i) 1 Tasaerälaia ja osamaksukauppa auiteetti k = c,i K 0, osamaksuerä k = c,i (H h + m) Derivaatta ja 2. astee yhtälö Korkokaavat d dx (ax ) = ax 1 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a yksikertaie korkolasku: K t = (1 + it)k 0 = (1 + p 100 t)k 0, ku 0 < t < 1 korokorkolasku: K t = (1 + i) t K 0, ku t = 1,2,3,... jatkuva korkolasku: K t = (1 + i) t K 0 = e ρt K 0, ku t > 1 ja (1 + i) = e ρ Summakaavat: (a 1 + (k 1)d) = (a 1 + a ), 2 a 1 q k 1 = a 1(1 q ) 1 q
kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe 1. välikoe torstaia 16.2.2017 B Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet tehtävä, ii käsittele kaikki se alakohdat. B1. (a) Laske 2,17% todellisee vuosikorkoo liittyvä kuukausikorkokata. (b) Mikä o todellie vuosikorko, ku kuukausikorkokata o 0.0026930832? (c) Laske tasaerälaia auiteetti, ku laia määrä o 1 000 e, laia-aika o 18 kuukautta, laia hoidetaa kuukausieriä, ja laiaa liittyvä todellie vuosikorko o 3,15%. B2. Yritys valmistaa eräällä tuotatolijallaa q tuotetta kuukaudessa. Valmistettava tuottee kysytäfuktio o p = 20 0.030 q ja vastaava kustausfuktio o C(q) = 0.02q 2 + 5q + 100. Millä tuotao määrällä voitto o suuri mahdollie? Mikä o maksimivoitto. B3. Yrittäjä ostaa koee ja aloittaa uude tuotatolija. Koee ostohita o 30 000 e. Koee asetamie ja koekäyttö kestää kaksi kuukautta ja sitoo kaksi työtekijää, joide palkkameo aseusjaksolta o 2000e/kk/hlö. Aseusjakso jälkee alkaa tuotato, joka tuottaa yrittäjälle ettotuloa e/kk. Mikä o projekti ykyarvo, ku lasketakorkoa o 5,00%(todellie vuosikorko)? Projekti koko kesto o 6 vuotta (70kk ettotuloa). B4. (a) (1p) Selitä lyhyesti saallisesti, mitä tarkoittaa ja mite lasketaa y: jousto x: suhtee. Voit ataa lausekkeeki, mutta tärkeämpää o yt ataa saallie kuvaus asiasta. b) (3p) Erää tuottee kysyä hitajousto o 2.15. Tuottee hita o yt 13,50 e/kpl ja se kysytä o 1 000 kpl/kk. Mite muuttuu tuottee kysytä, jos tuottee hitaa ostetaa 0.50 eurolla? c) (2p) Mite b-kohdassa kuvattu hia muutos muuttaa myyistä saatavaa tuottoa? Voiko b-kohdassa aettuje tietoje perusteella ratkaista, oliko hia muutos kaattava? Mite?
Kaavoja: Kysyä hitajousto: q p p q = jousto, MR = p ( ) 1 1 + kysyä hitajousto Iterpoloiti: Jaksolliset suoritukset f (x) f (x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 ( f (x 1 ) f (x 0 )) prologoititekijä s,i = (1 + i) 1 i diskottaustekijä a,i = (1 + i) 1 i(1 + i) kuoletuskerroi c,i = i(1 + i) (1 + i) 1 Tasaerälaia ja osamaksukauppa auiteetti k = c,i K 0, osamaksuerä k = c,i (H h + m) Derivaatta ja 2. astee yhtälö Korkokaavat d dx (ax ) = ax 1 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a yksikertaie korkolasku: K t = (1 + it)k 0 = (1 + p 100 t)k 0, ku 0 < t < 1 korokorkolasku: K t = (1 + i) t K 0, ku t = 1,2,3,... jatkuva korkolasku: K t = (1 + i) t K 0 = e ρt K 0, ku t > 1 ja (1 + i) = e ρ Summakaavat: (a 1 + (k 1)d) = (a 1 + a ), 2 a 1 q k 1 = a 1(1 q ) 1 q
kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe 1. välikoe torstaia 16.2.2017 C Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet tehtävä, ii käsittele kaikki se alakohdat. C1. (a) Laske 4,05% todellisee vuosikorkoo liittyvä kuukausikorkokata. (b) Mikä o todellie vuosikorko, ku kuukausikorkokata o 0.0031369734? (c) Laske tasaerälaia auiteetti, ku laia määrä o 2 400 e, laia-aika o 9 kuukautta, laia hoidetaa kuukausieriä, ja laiaa liittyvä todellie vuosikorko o 2,15%. C2. Yritys valmistaa eräällä tuotatolijallaa q tuotetta kuukaudessa. Valmistettava tuottee kysytäfuktio o p = 20 0.030 q ja vastaava kustausfuktio o C(q) = 0.02q 2 + 5q + 100. Millä tuotao määrällä voitto o suuri mahdollie? Mikä o maksimivoitto. C3. Yrittäjä ostaa koee ja aloittaa uude tuotatolija. Koee ostohita o 20 000 e. Koee asetamie ja koekäyttö kestää kaksi kuukautta ja sitoo kaksi työtekijää, joide palkkameo aseusjaksolta o 2000e/kk/hlö. Aseusjakso jälkee alkaa tuotato, joka tuottaa yrittäjälle ettotuloa 500 e/kk. Mikä o projekti ykyarvo, ku lasketakorkoa o 4,00%(todellie vuosikorko)? Projekti koko kesto o 6 vuotta (70kk ettotuloa). C4. (a) (1p) Selitä lyhyesti saallisesti, mitä tarkoittaa ja mite lasketaa y: jousto x: suhtee. Voit ataa lausekkeeki, mutta tärkeämpää o yt ataa saallie kuvaus asiasta. b) (3p) Erää tuottee kysyä hitajousto o 1.45. Tuottee hita o yt 15,50 e/kpl ja se kysytä o 1 500 kpl/kk. Mite muuttuu tuottee kysytä, jos tuottee hitaa lasketaa 1.50 eurolla? c) (2p) Mite b-kohdassa kuvattu hia muutos muuttaa myyistä saatavaa tuottoa? Voiko b-kohdassa aettuje tietoje perusteella ratkaista, oliko hia muutos kaattava? Mite?
Kaavoja: Kysyä hitajousto: q p p q = jousto, MR = p ( ) 1 1 + kysyä hitajousto Iterpoloiti: Jaksolliset suoritukset f (x) f (x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 ( f (x 1 ) f (x 0 )) prologoititekijä s,i = (1 + i) 1 i diskottaustekijä a,i = (1 + i) 1 i(1 + i) kuoletuskerroi c,i = i(1 + i) (1 + i) 1 Tasaerälaia ja osamaksukauppa auiteetti k = c,i K 0, osamaksuerä k = c,i (H h + m) Derivaatta ja 2. astee yhtälö Korkokaavat d dx (ax ) = ax 1 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a yksikertaie korkolasku: K t = (1 + it)k 0 = (1 + p 100 t)k 0, ku 0 < t < 1 korokorkolasku: K t = (1 + i) t K 0, ku t = 1,2,3,... jatkuva korkolasku: K t = (1 + i) t K 0 = e ρt K 0, ku t > 1 ja (1 + i) = e ρ Summakaavat: (a 1 + (k 1)d) = (a 1 + a ), 2 a 1 q k 1 = a 1(1 q ) 1 q
kevät 2017 Talousmatematiika perusteet, ORMS1030 Opettaja: Matti Laaksoe D1. välikoe torstaia 16.2.2017 D Ratkaise 3 tehtävää. Kokeessa saa olla mukaa laski ja taulukkokirja (MAOL tai vastaava). Ku teet tehtävä, ii käsittele kaikki se alakohdat. D1. (a) Laske 5,35% todellisee vuosikorkoo liittyvä kuukausikorkokata. (b) Mikä o todellie vuosikorko, ku kuukausikorkokata o 0.0034103014? (c) Laske tasaerälaia auiteetti, ku laia määrä o 1 800 e, laia-aika o 16 kuukautta, laia hoidetaa kuukausieriä, ja laiaa liittyvä todellie vuosikorko o 5,15%. D2. Yritys valmistaa eräällä tuotatolijallaa q tuotetta kuukaudessa. Valmistettava tuottee kysytäfuktio o p = 20 0.030 q ja vastaava kustausfuktio o C(q) = 0.02q 2 + 5q + 100. Millä tuotao määrällä voitto o suuri mahdollie? Mikä o maksimivoitto. D3. Yrittäjä ostaa koee ja aloittaa uude tuotatolija. Koee ostohita o 23 000 e. Koee asetamie ja koekäyttö kestää kaksi kuukautta ja sitoo kaksi työtekijää, joide palkkameo aseusjaksolta o 2000e/kk/hlö. Aseusjakso jälkee alkaa tuotato, joka tuottaa yrittäjälle ettotuloa 600 e/kk. Mikä o projekti ykyarvo, ku lasketakorkoa o 6,00%(todellie vuosikorko)? Projekti koko kesto o 6 vuotta (70kk ettotuloa). D4. (a) (1p) Selitä lyhyesti saallisesti, mitä tarkoittaa ja mite lasketaa y: jousto x: suhtee. Voit ataa lausekkeeki, mutta tärkeämpää o yt ataa saallie kuvaus asiasta. b) (3p) Erää tuottee kysyä hitajousto o 1.80. Tuottee hita o yt 13,50 e/kpl ja se kysytä o 1 100 kpl/kk. Mite muuttuu tuottee kysytä, jos tuottee hitaa lasketaa 1.50 eurolla? c) (2p) Mite b-kohdassa kuvattu hia muutos muuttaa myyistä saatavaa tuottoa? Voiko b-kohdassa aettuje tietoje perusteella ratkaista, oliko hia muutos kaattava? Mite?
Kaavoja: Kysyä hitajousto: q p p q = jousto, MR = p ( ) 1 1 + kysyä hitajousto Iterpoloiti: Jaksolliset suoritukset f (x) f (x 0 ) + x x 0 x 1 x 0 ( f (x 1 ) f (x 0 )) prologoititekijä s,i = (1 + i) 1 i diskottaustekijä a,i = (1 + i) 1 i(1 + i) kuoletuskerroi c,i = i(1 + i) (1 + i) 1 Tasaerälaia ja osamaksukauppa auiteetti k = c,i K 0, osamaksuerä k = c,i (H h + m) Derivaatta ja 2. astee yhtälö d dx (ax ) = ax 1 ax 2 + bx + c = 0 x = b ± b 2 4ac 2a Korkokaavat yksikertaie korkolasku: K t = (1 + it)k 0 = (1 + p 100 t)k 0, ku 0 < t < 1 korokorkolasku: K t = (1 + i) t K 0, ku t = 1,2,3,... jatkuva korkolasku: K t = (1 + i) t K 0 = e ρt K 0, ku t > 1 ja (1 + i) = e ρ Summakaavat: (a 1 + (k 1)d) = (a 1 + a ), 2 a 1 q k 1 = a 1(1 q ) 1 q