Poistumislause Kandidaatintutkielma

Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011

Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja.................................. 5 4 Maksimaalinen ratkaisu......................... 7 5 Poistumislause............................... 9 6 Sovelluksia.................................. 11 Lähteet...................................... 16 1

1 Johdanto Tässä kandidaatintutkielmassa esitetään tavallisen differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävälle y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (1.1) poistumislause, joka on eräs olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tyyppi. Sen mukaan jossakin R n+1 :n alueessa D määritellyn funktion f toteuttaessa tietyt jatkuvuuteen liittyvät ehdot, alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalisen ratkaisun y kuvaaja poistuu jokaisesta alueen D kompaktista joukosta K. Näin saadaan laajennettua kyseisen ratkaisun kuvaajaa yksikäsitteisesti alueen D reunalta reunalle. Luvussa 2 esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden tutkimukseen liittyvää historiaa käyttäen lähteenä Kolmogorovin ja Yushkevichin kirjaa [2, luku 2.2]. Luvussa 3 määritellään poistumislauseen todistamisessa tarvittavat käsitteet ja esitetään myöhemmissä todistuksissa tarvittava lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause, jonka todistus esitetään esimerkiksi matematiikan ja tilastotieteen laitoksen kurssilla Differentiaaliyhtälöt II, ja se löytyy myös Gyllenbergin, Olan ja Piiroisen luentomateriaalista [1, luku 4]. Luvussa 4 määritellään alkuarvotehtävän (1.1) maksimaalinen ratkaisu sekä todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys muutamin muutoksin Martion ja Sarvaksen kirjaan [3, luku II.1]. Luvussa 5 todistetaan poistumislause. Lisäksi määritellään differentiaaliyhtälösysteemin hyödyllinen erikoistapaus autonominen systeemi ja esitetään korollaarina poistumislause autonomisille systeemeille. Lopuksi luvussa 6 annetaan muutamia esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta. 2

2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseet ovat differentiaaliyhtälöiden teorian tärkeimpiä tuloksia. Erilaisia alkuarvotehtävän ratkaisun olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaavia lauseita on kehitetty erilaisilla todistusmenetelmillä 1800-luvun alkupuolelta lähtien. Tuloksia on edelleen paranneltu koko 1800-luvun ajan ja niistä on johdettu hyödyllisiä seurauksia, kuten esimerkiksi poistumislause. Tässä luvussa esitellään olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseiden historiaa. Augustin Louis Cauchy (1789 1857) esitti vuosina 1823 1824 Pariisin École Polytechniquessa pitämällään luentosarjalla todistuksen alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (2.1) ratkaisun olemassaololle ja lokaalille yksikäsitteisyydelle välillä I = [x 0, X] funktioiden f ja f/ y ollessa jatkuvia. Cauchyn todistuksessa väli I jaetaan n osaväliin, joiden päätepisteet ovat x 0 < x 1 < x 2 < < x n 1 < x n = X. Alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisukäyrän y-koordinaatit pystytään laskemaan näissä pisteissä. Kun annetaan välin I osavälien määrän kasvaa rajatta, jono (y n ) suppenee kohti alkuarvotehtävän (2.1) ratkaisua y ja välin I osavälien pituus lähestyy nollaa. Ratkaisun olemassaolon todistus jatkuu samankaltaisena kuin Riemannin integraalin olemassaolon todistus. Cauchy myös laajensi todistuksen koskemaan yhden differentiaaliyhtälön lisäksi usean yhtälön systeemin alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. (2.2) Cauchyn ja Niels Henrik Abelin (1802 1829) töiden ansiosta 1830-luvun puoliväliin mennessä sarjateorian ja erityisesti potenssisarjojen tutkimus oli alkanut kehittyä. Cauchy perehtyi funktioiden esittämiseen potenssisarjojen avulla ja Torinon yliopistossa vuonna 1831 hän esitteli olemassaololauseen kompleksimuuttujan funktion potenssisarjaesitykselle sekä muita tunnettuja tuloksia. Tämän uudentyyppisen analyysin avulla Cauchy todisti vuonna 1835 alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun olemassaolon majorantteihin perustuvalla menetelmällä ja laajensi differentiaaliyhtälöiden teorian kompleksitasoon. Cauchy ei myöhemmin juurikaan palannut parantelemaan ensimmäistä todistusmenetelmäänsä. 1860-luvun lopulla Rudolf Lipschitz (1832 1903) todisti, että differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävällä (2.2) oli olemassa ratkaisu. Hän käytti samaa menetelmää kuin Cauchy oli käyttänyt ensimmäisessä todistuksessaan, vaikka ei ilmeisesti ollutkaan tietoinen Cauchyn tuloksesta. Hänen todistuksessaan oletetaan funktiolta f niin sanottuja Lipschitz-ehtoja, mikä tekee tuloksesta hieman Cauchyn todistusta yleisemmän. 3

Cauchyn majoranttimenetelmän takia Lipschitzin tuloksesta ei kuitenkaan oltu juurikaan kiinnostuneita, kunnes Charles Émile Picard (1856 1941) otti sen esille. Hän sai Paul Painlevén (1863 1933) kanssa osoitettua Cauchyn ja Lipschitzin tulokselle vuonna 1899 tärkeän seurauksen, jonka mukaan alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun kuvaaja poistuu mielivaltaisen lähelle lauseen oletukset toteuttavan alueen reunaa. Osoittautui, ettei olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletusten Lipschitzehdoista ole mahdollista luopua vaarantamatta alkuarvotehtävän (2.2) ratkaisun yksikäsitteisyyttä. Useat matemaatikot ovat kuitenkin kehittäneet lauseesta erilaisia muunnelmia. 4

3 Esitietoja Olkoon D R n+1 alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Tutkitaan normaalimuotoista differentiaaliyhtälösysteemiä y 1(x) = f 1 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)) y 2(x) = f 2 (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)). y n(x) = f n (x, y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), jossa y i : I R ja f i : D R, i = 1, 2,..., n. Kun merkitään y : I R n, y(x) = (y 1 (x), y 2 (x),..., y n (x)), ja f : D R n, f(x, y(x)) = (f 1 (x, y(x)),..., f n (x, y(x))), systeemi voidaan kirjoittaa muodossa y (x) = f(x, y(x)). Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa (x 0, y 0 ) D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0. Määritellään seuraavaksi Lipschitz-jatkuvuuden tyyppejä, joita tarvitaan lokaalin olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen sekä poistumislauseiden oletuksissa. Määritelmä 3.1. Olkoon A R m joukko. Funktio f : A R n on Lipschitzjatkuva joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla x 1, x 2 A. f(x 1 ) f(x 2 ) M x 1 x 2 Määritelmä 3.2. Olkoon D R m alue. Funktio f : D R n on lokaalisti Lipschitzjatkuva alueessa D, jos jokaisella x D on avoin ympäristö U x, jossa funktio f on Lipschitz-jatkuva. Määritelmä 3.3. Olkoon A R n+1 joukko. Funktio f : A R n on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa A, jos on olemassa sellainen positiivinen reaalilukuvakio M, että kaikilla (x, y i ) A, i = 1, 2. f(x, y 1 ) f(x, y 2 ) M y 1 y 2 5

Määritelmä 3.4. Olkoon D R n+1 alue. Funktio f : D R n toteuttaa lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen alueessa D, jos jokaisella z = (x, y) D on avoin ympäristö U z, jossa funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen. Esitetään vielä tulevissa todistuksissa paljon käytetty lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause alkuarvotehtävälle. Lause 3.5 (Lokaali olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D. Olemassaolo: Tällöin on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku δ, että alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (3.1) on ratkaisu y : I R n välillä I = ]x 0 δ, x 0 + δ[. Yksikäsitteisyys: Olkoot y k : I k R n, k = 1, 2, kaksi alkuarvotehtävän (3.1) sellaista ratkaisua välillä I k x 0, joiden kuvaajat kulkevat D:ssä eli {(x, y k (x)) x I k } D, k = 1, 2. Tällöin y 1 (x) = y 2 (x) kaikilla x I 1 I 2 ja funktio y : I 1 I 2 R n, { y1 (x), kun x I y(x) = 1 y 2 (x), kun x I 2 \ I 1, on välillä I 1 I 2 alkuarvotehtävän (3.1) ainoa ratkaisu. 6

4 Maksimaalinen ratkaisu Tässä luvussa esitetään differentiaaliyhtälösysteemin alkuarvotehtävän maksimaalisen ratkaisun käsite ja todistetaan sen olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Määritelmä 4.1. Funktiota y M : I M R n kutsutaan alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.1) maksimaaliseksi ratkaisuksi ja väliä I M R alkuarvotehtävään (4.1) liittyväksi maksimaaliseksi ratkaisuväliksi, jos y M on alkuarvotehtävän (4.1) ratkaisu ja kaikilla muilla ratkaisuilla y i : I i R n pätee I i I M. Seuraavasta lauseesta seuraa maksimaalisen ratkaisun olemassaolo ja yksikäsitteisyys. Lause 4.2. Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Tällöin jokaista (x 0, y 0 ) D vastaa sellainen avoin väli I M, että x 0 I M, ja alkuarvotehtävällä y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, (4.2) on yksikäsitteinen ratkaisu y M : I M R n, jonka kuvaaja kulkee alueessa D. Jos lisäksi y i : I i R n on välillä I i alkuarvotehtävän (4.2) sellainen ratkaisu, jonka kuvaaja kulkee alueessa D, niin (a) I i I M ja (b) y M on funktion y i jatke eli y M (x) = y i (x), kun x I i. Todistus. Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan alkuarvotehtävällä (4.2) on ratkaisu jollakin välillä. Olkoot alkuarvotehtävän (4.2) kaikki ratkaisut y i : I i R, jossa x 0 I i, i J ja J on indeksijoukko. Merkitään I M = i J I i. Nyt kaikilla i J pätee I i I M. Määritellään y M : I M R n, y M (x) = y i (x), kun x I i. Lauseen 3.5 nojalla y M on hyvin määritelty ja se todella on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu. Muut ratkaisut ovat selvästi sen rajoittumia. Siis I M on alkuarvotehtävän (4.2) maksimaalinen ratkaisuväli. On todistettava vielä, että väli I M on avoin. Merkitään sen päätepisteitä x = inf I M ja x + = sup I M. Jos x + I M, niin tarkastellaan alkuarvotehtävää z (x) = f(x, z(x)), z(x + ) = y M (x + ). (4.3) 7

Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen 3.5 mukaan on olemassa sellainen δ > 0, että alkuarvotehtävällä (4.3) on ratkaisu z välillä I + = ]x + δ, x + + δ[. Tällöin z(x) = y M (x), kun x I + I M. Funktio u: I M I + R n, { ym (x), kun x I u(x) = M z(x), kun x I + \ I M, on alkuarvotehtävän (4.2) ratkaisu ja erityisesti maksimaalisen ratkaisun y M jatke, mikä on ristiriita. Näin ollen päätepiste x + ei sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Jos x I M, voidaan suorittaa samanlainen tarkastelu päätepisteen x ympäristössä ja havaitaan, ettei sekään sisälly maksimaaliseen ratkaisuväliin I M. Koska x I M ja x + I M, on väli I M avoin. 8

5 Poistumislause Tässä luvussa todistetaan poistumislause. Lopuksi määritellään mitä tarkoitetaan autonomisella systeemillä ja esitetään poistumislause autonomisille systeemeille. Lause 5.1 (Poistumislause). Olkoon D R n+1 alue ja olkoon funktio f : D R n siinä jatkuva ja toteuttakoon se siinä lokaalin Lipschitz-ehdon muuttujan y suhteen. Olkoon (x 0, y 0 ) D ja olkoon K D kompakti joukko. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(x, y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) on olemassa sellainen x 1 < x +, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) on olemassa sellainen x 2 > x, että (x, y(x)) K kaikilla x ]x, x 2 [. Todistus. Todistetaan ratkaisuvälin I ylärajaa x + koskeva tapaus. Alarajaa x koskeva tapaus todistuu vastaavasti. Jos x + = +, on asia selvä. Oletetaan siis, että x + R. Tehdään vastaoletus: on olemassa sellainen jono (x k ), että x k x +, kun k +, ja (x k, y(x k )) K. Koska joukko K on kompakti, tarvittaessa siirtymällä osajonoon voidaan olettaa, että (x k, y(x k )) (x +, y + ) K, jossa y + R n. On olemassa sellainen η > 0, jolla Q = {(x, y) R n+1 x x + η, y y + η} D, ja funktio f on tasaisesti Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa Q. Lisäksi on olemassa sellainen k, että (xk, y(x k )) (x +, y + ) < η 2. Alkuarvotehtävällä z (x) = f(x, z(x)), z(x k ) = y(x k ), on ratkaisu z: ]x k δ, x k + δ[ R n, jossa δ = min η 2, η > 0 2 max f(x, y) + 1 (x,y) Q riippuu vain η:sta, ei k:sta [1, luku 4]. Yksikäsitteisyyden nojalla funktio z on funktion y rajoittuma. Siten x + x k + δ. Voidaan kasvattaa k:ta, kunnes x k > x + δ/2. Tällöin x k + δ/2 > x + x k + δ. Tästä seuraa δ < 0, mikä on ristiriita. 9

Määritelmä 5.2. Olkoon D R n alue ja I R reaalilukuväli, joka voi olla avoin, puoliavoin tai suljettu. Välin I päätepisteissä kyse on toispuolisesta derivaatasta. Autonominen systeemi on differentiaaliyhtälösysteemi, joka on muotoa y (x) = f(y(x)), jossa y : I R n ja f : D R n. Olkoon x 0 R. Asettamalla alkuehto y(x 0 ) = y 0, jossa y 0 D, saadaan alkuarvotehtävä y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0. Lauseesta 5.1 seuraa suoraan vastaava tulos myös autonomisille systeemeille. Korollaari 5.3 (Poistumislause autonomisille systeemeille). Olkoon D R n alue ja olkoon funktio f : D R n siinä lokaalisti Lipschitz-jatkuva. Olkoon K D kompakti joukko. Olkoon x 0 R ja y 0 D. Olkoon funktio y : I R n alkuarvotehtävän y (x) = f(y(x)), y(x 0 ) = y 0, maksimaalinen ratkaisu, jonka ratkaisuväli on I = ]x, x + [, jossa x R { } ja x + R {+ }. Tällöin (a) x + = + tai on olemassa sellainen x 1 < x +, että y(x) K kaikilla x ]x 1, x + [, ja (b) x = tai on olemassa sellainen x 2 > x, että y(x) K kaikilla x ]x, x 1 [. 10

6 Sovelluksia Tässä luvussa esitetään esimerkkejä poistumislauseen soveltamisesta autonomisessa sekä epäautonomisessa tapauksessa. Esimerkki 6.1. Tarkastellaan autonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2 (6.1) y (x) = f(y(x)) = 1 y(x) 2, y(0) = y 0, (6.2) jossa 1 < y 0 < 1. Poistumislauseen 5.3 oletukset ovat voimassa koko alueessa R. Yhtälöllä (6.1) on triviaaliratkaisut y 1 ja y 1. Alkuarvotehtävällä (6.2) on maksimaalinen ratkaisu y M : I R, I = ]x, x + [, jonka kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta, ja yksikäsitteisyyden nojalla se ei voi leikata triviaaliratkaisuiden ratojen kanssa, joten 1 < y M (x) < 1 kaikilla x I. Joukko K = [ 1, 1] on kompakti, ja koska y M (x) K kaikilla x I, niin poistumislauseen 5.3 mukaan x = ja x + = +. Siis I = R. Esimerkki 6.2. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ) (6.3) y (x) = f(x, y(x)) = x sin(xy(x) 2 ), y(0) = y 0 > 0. (6.4) Poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Yhtälöllä (6.3) on triviaaliratkaisu y 0. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.4) maksimaalinen ratkaisu. Sen kuvaaja kulkee pisteen (0, y 0 ) kautta. Koska y 0 > 0, niin yksikäsitteisyyden nojalla y M (x) > 0 kaikilla x I. 11

Jaetaan ongelma kahteen osaan. Olkoon ensin x 0 ja x I. Nyt y M(x) = x sin(xy M (x) 2 ) x sin(xym (x) 2 ) x, joten integraalin monotonisuuden nojalla saadaan josta saadaan y M (x) y M (0) = x 0 y M(t) dt y M (x) y 0 + x2 2, sillä y M (0) = y 0. Kun x < 0 ja x I, saadaan vastaavasti x 0 t dt = x2 2, eli y M (0) y M (x) = Nyt kaikilla x I pätee 0 x y M(t) dt y M (x) y 0 + x2 2. 0 x t dt = x2 2 Olkoon a > 0. Joukko 0 < y M (x) y 0 + x2 2. K a = {(x, y) R 2 a x a, 0 y y 0 + x2 2 } on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten täytyy päteä a x 1 < x +. Voidaan kuitenkin antaa a:n kasvaa rajatta, mistä seuraa x + = +. Samaa menettelyä käyttäen saadaan x =. Siis I = R. 12

Esimerkki 6.3. Tarkastellaan epäautonomista differentiaaliyhtälöä ja alkuarvotehtävää y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2 y (x) = f(x, y(x)) = x 2 + y(x) 2, y(0) = 0. (6.5) Tätä on vaikea ratkaista suljetussa muodossa, mutta poistumislauseen 5.1 oletukset ovat voimassa koko tasossa R 2. Olkoon y M : I R, I = ]x, x + [, alkuarvotehtävän (6.5) maksimaalinen ratkaisu. Osoitetaan, että [ 1, 1] I ] 4, 4[. (6.6) Kaikilla x I \{0} pätee y M (x) = x2 +y M (x) 2 > 0, joten y M on aidosti kasvava funktio. Siten y M (x) > y M (0) = 0 kaikilla x > 0, kun x I, ja y M (x) < y M (0) = 0 kaikilla x < 0, kun x I. Erityisesti y M (x) 0, kun x 0. Olkoon x [ 1, 1] I. Nyt y M (x) = x2 + y M (x) 2 1 + y M (x) 2, joten y M (x) 1 + y M (x) 2 1. Tarkastellaan tapaus x [0, 1] I ensin. Tällöin x 0 y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 13 x 0 dt

eli yhtäpitävästi siis eli arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. Tapauksessa x [ 1, 0] I vastaavasti jonka kanssa on yhtäpitävää ja 0 Olkoon 0 < a 1. Joukot x y M (t) 1 + y M (t) 2 dt 0 arc tan y M (x) x, y M (x) tan x. K a = {(x, y) R 2 a x 0, tan x y 0} K + a = {(x, y) R 2 0 x a, 0 y tan x} ovat kompakteja, joten myös niiden yhdiste K a = K a K + a on kompakti. Poistumislauseen 5.1 mukaan on olemassa sellainen x 1 < x +, jolla (x, y M (x)) K a kaikilla x ]x 1, x + [. Siten a x 1 < x +, josta valitsemalla a = 1 saadaan x + > 1. Vastaavasti x < 1. Siispä [ 1, 1] I. x dt 14

Integraalin monotonisuudesta ja epäyhtälöstä y M (x) = x2 + y M (x) 2 x 2 seuraa, että välin [ 1, 1] päätepisteissä funktiolle y M pätee y M (1) = y M (1) y M (0) = 1 0 y M(t) dt 1 0 t 2 dt = 1 3 ja 0 0 y M ( 1) = y M ( 1) y M (0) = y M(t) dt t 2 dt = 1 1 1 3. Toisaalta kaikilla x I pätee y M (x) = x2 + y M (x) 2 y M (x) 2, joten y M (x) y M (x) 2 1, kun x I \ {0}. Siten, kun x 1 ja x I, x y M (t) x y M (t) dt dt 2 1 eli joten Nyt 1 y M (x) 1 1 y M (1) 1 y M (x) x 1, c x, jossa c = 1 + 1 y M (1) 1 + 3 = 4. y M (x) 1 c x +, kun x c 4. Vastaava pätee, kun x 1 ja x I. Tällöin y M (x), kun x d = 1 + 1/y M ( 1) 4. Siten I ] 4, 4[, joten (6.6) on todistettu. 15

Lähteet [1] M. Gyllenberg, P. Ola, P. Piiroinen, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 2008. http://wiki.helsinki. fi/download/attachments/48306039/draftversionoct2008.pdf. [2] A. N. Kolmogorov, A. P. Yushkevich, Mathematics of the 19th Century, vol. 3. Birkhäuser, 1998. ISBN 3-7643-5845-9. [3] O. Martio, J. Sarvas, Tavalliset differentiaaliyhtälöt. Gaudeamus, 2. painos, 1982. ISBN 951-662-231-3. 16