KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

Transkriptio

1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 7. Integaalilauseita 7.1. Gousatin lemma. (Edouad Jean-Baptiste Gousat, , anskalainen matemaatikko) Olkoon R tason suljettu suoakaide, jonka sivut ovat koodinaattiakselien suuntaiset. Olkoon f suoakaiteen avoimessa ympäistössä analyyttinen funktio. Jos on suoakaiteen R positiivisesti suunnistettu euna, niin f()d = 0. Todistus: Olkoon L 1 suoakaiteen R vaakasämän pituus ja olkoon L 2 suoakaiteen R pystysämän pituus. Mekitsemme I = f()d. Jaetaan R neljään yhtenevään suoakaiteeseen R k, k = 1, 2, 3, 4. Olkoot k niiden positiivisesti suunnistetut eunapolut (eli niiden polkujen jäljet, joiden jälkenä on euna). Nyt 4 I = f()d = f()d, koska suoakaiteen R sisäpisteissä kulkevat suoakaiteiden R k eunapolkujen osat kumoavat toisensa. Nyt kolmioepäyhtälön nojalla jollekin näistä pikkusuoakaiteista R k, k = 1, 2, 3, 4, on I 4 f()d. k k=1 k Mekitsemme tätä suoakaidetta R 1 ja mekitsemme 1 f()d =: I 1. Date:

2 2 Kompleksianalyysin kussi/rhs Jos sovellamme tehtyä päättelyä suoakaiteen R sijasta suoakaiteeseen R 1, niin löydämme suoakaiteen R 2, jolle I 1 4 f()d. 2 Jatkamalla näin saamme jonon sisäkkäisiä, yhdenmuotoisia suoakaiteita R j, j = 1, 2,..., siten, että ja j f()d =: I j (1) I 4 I I j I j 4 j+1 I j Suoakaiteen R j sämien pituudet ovat 2 j L 1 ja 2 j L 2. Osoitamme, että leikkaus R = R j sisältää täsmälleen yhden pisteen. Koska joukon R j halkaisija on 2 j L L 2 2, niin joukon R j halkaisija suppenee kohti lukua 0, kun j, ja siis leikkaus R sisältää kokeintaan yhden pisteen. Olkoon j R j, j = 1, 2,..., mielivaltaisesti valittu piste. Koska k R j, kun k j, niin ( k ) on Cauchy-jono ja siis on olemassa aja-avo = lim k k. Koska jokainen suoakaide R k on suljettu, niin sisältyy jokaiseen suoakaiteeseen R k ja siten myös niiden leikkaukseen. Olkoon ε > 0 mielivaltaisesti valittu ja δ > 0 niin pieni, että funktio f on analyyttinen kiekossa D(, δ). Silloin (2) f() f( ) f ( )( ) < ε, kun < δ. Voidaan valita indeksi j niin suueksi, että Nyt siis j on kiinnitetty. R j D(, δ).

3 Kompleksianalyysin kussi/rhs 3 Koska vakiofunktiolla 1 on integaalifunktio, ja funktiolla on integaalifunktio 1 2 2, niin Integaalifunktion kaakteisaatiolauseen nojalla d = 0 ja d = 0. j j Siis I j = f()d j = f()d f( ) d f ( ) d + f ( ) j j j ( = f() f( ) f ( )( ) ) d. j j d Olemme siis kiinnittäneet suoakaiteen R j D(, δ). Suoakaiteelle R j length( j ) = 2 ( 2 j L j L 2 ) = 2 j+1 (L 1 + L 2 ). Koska R j, niin kaikilla R j 2 j L L 2 2. Epäyhtälön (2) ja Aviolemman nojalla I j f() f( ) f ( )( ) d j ε d ε2 j L L j+1 (L 1 + L 2 ) j = ε2 2j 2(L 1 + L 2 ) L L 2 2. Kohdan (1) nojalla I 4 j I j ε4 j 2 2j 2(L 1 + L 2 ) L L 2 2 = 2ε(L 1 + L 2 ) L L 2 2. Koska ε > 0 oli mielivaltaisesti valittu, niin I = Cauchyn-Gousatin teoeema avoimessa kiekossa. Olkoon f avoimessa kiekossa D( 0, R) analyyttinen funktio. Tällöin avoimen kiekon jokaisella suljetulla paloittain C 1 -polulla γ pätee f()d = 0. γ

4 4 Kompleksianalyysin kussi/rhs 7.3. Huomautus. (1) Cauchyn-Gousatin teoeeman oletuksessa on oleellista, että meillä on avoin kiekko. Teoeema ei päde kaikissa alueissa. Esimekki: Funktio f : C \ {0} C, f() = 1, on analyyttinen punkteeatussa kompleksitasossa C\{0}, joka on avoin ja yhtenäinen, mutta ei yhdesti yhtenäinen. Funktion f integaali yli yksikkökiekon eunan positiiviseen kietosuuntaan on f()d = 2πi 0. + D(0,1) Siis Cauchyn-Gousatin teoeema ei päde alueessa C \ {0}. (2) Jos valitaan alueeksi avoimen kiekon sijasta ylempi puolitaso, niin Cauchyn-Gousatin teoeeman väite pätee. Keskipisteen sijasta valitaan 0 = i Gousatin lemman yleistys. Olkoon R suljettu suoakaide, jonka sivut ovat koodinaattiakseleiden suuntaiset. Olkoon U suoakaiteen avoin ympäistö ja w R. Jos funktio f on jatkuva joukossa R ja analyyttinen joukossa U \ {w}, niin f()d = Cauchyn-Gousatin integaaliteoeeman yleistys. Olkoon kompleksiavoinen funktio f jatkuva kompleksitason avoimessa kiekossa D( 0, R). Olkoon w D( 0, R). Jos funktio f on analyyttinen alueessa D( 0, R) \ {w}, niin jokaiselle kiekossa D( 0, R) paloittain jatkuvasti deivoituvalle suljetulle polulle γ pätee f()d = 0. γ Todistus: Todistus on melkein samanlainen kuin Cauchyn-Gousatin integaaliteoeema avoimessa kiekossa Cauchyn integaalikaavan lokaali muoto. Olkoot A kompleksitason avoin joukko, f : A C analyyttinen funktio ja D( 0, ) joukon A osajoukko. Olkoon + D kiekon D( 0, ) positiivisesti suunnistettu euna. Tällöin f() = 1 f(ξ) 2πi ξ dξ kaikilla D( 0, ). + D

5 Kompleksianalyysin kussi/rhs Huomautus. Funktion avot kiekon kehällä määäävät funktion avot kiekon sisällä. Esimekki. Määää d. =1 Ratkaisu: Koska funktio on analyyttinen koko kompleksitasossa ja = 0, saamme d = 2πi exp(0) = 2πi. =1 Cauchyn integaalikaavan todistus: Asetamme f(ξ) f(), kun ξ F (ξ) = ξ f (), kun ξ =. Tällöin funktio F on analyyttinen joukossa A \ {} ja jatkuva joukossa A. Koska D( 0, ) A ja joukko A on avoin, niin on olemassa avoin kiekko D 1 siten, että D( 0, ) D 1 A. Cauchyn-Gousatin integaaliteoeeman yleistyksen nojalla f(ξ) f() 0 = F (ξ)dξ = dξ. ξ + D( 0,) Siis (3) f() + D( 0,) + D( 0,) + D( 0,) dξ ξ = f(ξ) + D( 0,) ξ dξ. Koska polun γ 0 : [0, 1] C, γ(t) = 0 + exp 2πit, jälki on + D( 0, ), niin saamme dξ 1 ξ = 2πi exp 2πit 1 1 dt = 2πi exp 2πit dt 0 exp 2πit Mekitsemme 1 = 2πi = 2πi πi ( 0 ) γ 1 (t) = 0 1 dt 2πi dt., t [0, 1] dt

6 6 Kompleksianalyysin kussi/rhs ja silloin γ 1(t) = 2πi ( 0 ). Siis 1 γ 1(t) γ 1 (t) dt = dξ γ ξ. Koska 0 <, niin γ 1 on suljettu C 1 -polku yksikkökiekossa. Funktio ξ ξ on analyyttinen avoimessa yksikkökiekossa D(0, 1), joten Cauchyn-Gousatin integaaliteoeeman avoimessa kiekossa peusteella dξ 1 + ξ = 0. Siis + D Näin ollen yhtälöstä (3) saamme eli väitteen. γ 1 dξ = 2πi 0 = 2πi. ξ f()2πi = + D f() ξ dξ Cauchyn integaalikaavan lokaalia muotoa voidaan käyttää laskemaan integaaleja, joita muutoin on vaikea laskea Esimekki. (1) Olkoon γ polku, joka antaa yksikkökiekon kehän negatiiviseen kietosuuntaan eli myötäpäivään. Tällöin d = 2πi exp(0) = 2πi. γ (2) Määää integaali Ratkaisu: ( 2) d = =1 =1 =1 ( 2) d. 2 d = 2πi exp(0) 0 2 = πi, koska funktio 2 on analyyttinen kiekossa D(0, 3 2 ).