Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia
|
|
- Esko Salminen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Tapio Lind Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Maaliskuu 2009
2 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos LIND, TAPIO: Raja-arvon määritelmä ja sovelluksia Pro gradu -tutkielma, 29 s. Matematiikka Maaliskuu 2009 Tiivistelmä Tutkielmassa esitetään reaaliarvoisten funktioiden raja-arvon virallinen, ns. epsilon-delta-määritelmä. Toisessa luvussa esitetään lyhyt katsaus määritelmän historiaan. Kolmannessa luvussa esitetään jatkon kannalta oleellinen itseisarvon käsite, jolla käytännössä tarkoitetaan kahden reaaliluvun etäisyyttä toisistaan. Tässä luvussa esitetään ja todistetaan myös reaalilukujen summien ja erotusten itseisarvoihin liittyvä kolmioepäyhtälö. Luvussa 4 esitetään itse määritelmä esimerkkeineen. Määritelmän mukaan raja-arvo on voimassa, jos siten, että f(x) = L ɛ > 0 δ > 0, 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. Tässä luvussa määritellään myös toispuoleiset raja-arvot, sekä raja-arvo tilanteissa, joissa muuttujan arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Rajaarvoa koskevia lauseita on todistettu ɛ - δ-määritelmää hyväksikäyttäen luvussa 5. Luvuissa 6 ja 7 esitetään jatkuvuuden käsite, sekä todistetaan ns. kuristusperiaate, jonka avulla voidaan määrittää funktion raja-arvo tutkimalla sellaisten funktioiden raja-arvoja, joiden arvojen välissä tutkittavan funktion arvot ovat. Jatkuvien funktioiden ääriarvolause esitetään ja todistetaan luvussa 8. Luvussa 9 raja-arvon sovelluksista esitetään derivaatta ja todistetaan Rollen lause, jatkuvien funktioiden väliarvolause, Cauchyn väliarvolause, sekä lopulta L'Hospitalin sääntö. L'Hospitalin sääntöä voidaan käyttää hyväksi rationaalifunktioiden raja-arvojen määrittämisessä esimerkiksi tilanteissa, joissa sekä osoittajana, että nimittäjänä oleva funktio lähestyy nollaa. Sääntö toimii myös tilanteessa, jossa edellä mainittujen funktioiden arvot kasvavat, tai pienenevät rajatta. Lopuksi lasketaan muutama esimerkki L'Hospitalin sääntöä hyväksikäyttäen. 2
3 Sisältö 1 Johdanto 4 2 Raja-arvon historiaa 4 3 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö 5 4 Raja-arvon määritelmä Epsilon-delta-määritelmä Esimerkkejä Toispuoleiset raja-arvot Raja-arvo äärettömyydessä Raja-arvoa koskevia lauseita Raja-arvon yksikäsitteisyys Funktioiden summa, tulo ja vakiolla kerrottu funktio Funktioiden osamäärän raja-arvo Jatkuvuus Jatkuvuus pisteessä Jatkuvuus avoimella ja suljetulla välillä Kuristusperiaate Esimerkkejä Jatkuvien funktioiden ääriarvolause 19 9 Raja-arvon sovelluksia Derivaatta Rollen lause Jatkuvien funktioiden väliarvolause Cauchyn väliarvolause L'Hospitalin sääntö Tapaus 0/ Tapaus / Esimerkki Viitteet 29 3
4 1 Johdanto Tässä Pro Gradu -tutkielmassa esitetään raja-arvon virallinen, ns. ɛ-δ-määritelmä. Määritelmän historia esitellään lyhyesti ensimmäisessä luvussa ja itse määritelmä kolmannessa luvussa. Lisäksi suoritetaan muutama todistus erilaisten funktioiden raja-arvoihin liittyen hyödyntäen ɛ-δ-määritelmää. Toisessa luvussa tutustutaan itseisarvon käsitteeseen, sekä esitetään ja todistetaan kolmioepäyhtälö. Molempia hyödynnetään tutkielmassa useaan otteeseen. Luvussa neljä esitetään ja todistetaan keskeisiä, raja-arvoon liittyviä lauseita. Raja-arvoihin liittyvistä analyysin sovelluksista esitellään jatkuvuuden ja derivaatan käsitteet, kuristusperiaate, jatkuvien funktioiden ääriarvo- ja väliarvolauseet, Cauchyn väliarvolause, sekä L'Hospitalin sääntö. Lähteinä on käytetty teoksia S. Salas, E. Hille and G. Etgen, Calculus: One and several variables 9th ed, L. Myrberg, Dierentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa 1., sekä englanninkielisen Wikipedian artikkeleita Limit (mathematics) ja l'hôpital's rule. 2 Raja-arvon historiaa Tässä lyhyessä katsauksessa raja-arvon historiaan on lähdeteoksena käytetty Hannu Korhosen teosta Matematiikan historian henkilöhahmoja.[1, s ] Raja-arvon täsmällisen määritelmän isänä voidaan pitää Augustin Louis Cauchya ( ), joka vaikutti Napoleonin sotien runtelemassa, levottomassa Ranskassa. Cauchyn isä Louis-Francois oli tuomari, poliisiviranomainen ja hurskas katolilainen, joka muutti perheensä kanssa maaseudulle turvallisuuden ja elintarvikkeiden puutteessa. Muuton aikana Augustin Louis oli vasta nuori, mutta isänsä opissa hän tutustui mm. kirjallisuuteen ja etenkin runouteen, jota hän harrasti intohimoisesti koko loppuelämänsä ajan. Maalaisseutu sai jäädä vuonna 1800, jolloin Louis-Francois valittiin senaatin sihteeriksi. Maineikas matemaatikko Lagrange kiinnitti huomionsa Lois-Francois'n työhuoneen nurkassa opiskelevaan nuoreen Augustiniin, mutta oli sitä mieltä, etta korkeampaan matematiikkaan syventyminen kuluttaisi aliravitun pojan loppuun. Yksityiset matematiikan opinnot päättyivät, kun Cauchy pääsi kuusitoistavuotiaana Ecole Polytechniqueen siviili-insinöörikouluun. Syvästi uskonnollinen Cauchy sai kokea koulussa pilkkaa, mutta valmistui neljässä vuodessa ja pääsi töihin Cherbourgiin sotilasinsinööriksi. Cherbourgissa Cauchy teki myös opetus- ja tutkimustyötä, sekä julkaisi tutkielmia ja to- 4
5 disti mm. matemaatikko Fermat'n esittämän, 150 vuotta vanhan lauseen. (Kyseessä ei kuitenkaan ollut ns. Fermat'n suuri lause.) Matemaattinen analyysi sai rautaisen pohjan vuonna 1815, kun Cauchy esitti Ecole Polytechniquessa dierentiaali- ja integraalilaskennassa peruskäsitteinä olevien raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät. Nuo määritelmät ovat säilyneet samanlaisina tähän päivään asti. Voitiin vihdoin unohtaa Newtonin ajoista lähtien voimassa olleet käsitykset raja-arvon likimääräisistä tuloksista. 3 Itseisarvo ja kolmioepäyhtälö Raja-arvoja tutkittaessa törmätään aina itseisarvoihin ja hyvin usein joudutaan hyödyntämään niin sanottua kolmioepäyhtälöä. Ne esitetään ennen raja-arvon määritelmää, sillä tässäkin tutkielmassa niitä käytetään useaan otteeseen. Määritellään ensin reaaliluvun x itseisarvo x. Määritelmä 1. [2, s ] x = { x, kun x 0, x, kun x 0. Itseisarvon määritelmästä seuraa, että x = x. Itseisarvo voidaan tulkita geometrisesti niin, että x y on pisteiden x ja y väatka. Esitetään ja todistetaan kolmioepäyhtälö. Lause 1. Kaikille reaaliluvuille x ja y pätee kolmioepäyhtälö x y x + y x + y. Todistus. Olkoot x ja y mielivaltaisia reaalilukuja. Itseisarvon määritelmästä seuraa, että x x x ja y y y. Lasketaan yhtälöt puolittain yhteen ja saadaan ( x + y ) x + y x + y, eli Voidaan kirjoittaa x + y x + y. x = x + y + ( y) x + y + y, 5
6 ja todeta vähentämällä puolittain y, että x + y x y. Vaihdetaan lukujen x ja y roolit keskenään ja suorittamalla sama toimenpide, saadaan x + y y x. Kaksi edellistä epäyhtälöä yhdessä tarkoittavat Nyt siis tiedetään, että x + y x y. x + y x + y ja x + y x y. Nämä yhdistämällä saadaan kolmioepäyhtälö x y x + y x + y. 4 Raja-arvon määritelmä 4.1 Epsilon-delta-määritelmä [3, s. 73] Virallisessa, niin sanotussa ɛ-δ-määritelmässä, lähdetään liikkeelle funktion määriteltävyydestä jonkin kohdan ympäristössä. Olkoon f(x) reaaliarvoinen funktio ja c jokin reaaliluku. Oletetaan, että funktio f(x) on määritelty jossakin pisteen c ympäristössä ]c p[ ]c + p[, p > 0, mutta ei välttämättä kohdassa x = c. Nyt merkintä f(x) = L tarkoittaa epävirallisesti esitettynä, että funktion f(x) ja raja-arvon L etäisyys f(x) L saadaan niin pieneksi kuin halutaan, kunhan etäisyys x c on tarpeeksi pieni, mutta ei nolla. Täsmällisempi esitys saadaan aikaan ottamalla käyttöön ɛ-δ-merkintä. Tällöin voimme korvata aiemman esityksen toteamalla, että mitä tahansa positiivista reaalilukua ɛ kohden voidaan löytää positiivinen reaaliluku δ siten, että f(x) L < ɛ, kunhan x c < δ. Seuraava määritelmä on virallinen raja-arvon määritelmä. 6
7 Määritelmä 2. pätee, jos siten, että f(x) = L ɛ > 0 δ > 0, 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. 4.2 Esimerkkejä Esimerkki 1. Todistetaan ɛ-δ-menetelmällä, että 6x + 2 = 32. x 5 Olkoon ɛ positiivinen reaaliluku. Etsitään positiivinen reaaliluku δ siten, että kun 0 < x 5 < δ, niin Etäisyyksien välinen yhteys on (6x + 2) 32 < ɛ. (6x + 2) 32 ja x 5 (6x + 2) 32 = 6x 30 = 6 x 5 Jotta etäisyys (6x + 2) 32 saadaan pienemmäksi kuin ɛ, voidaan luvuksi δ valita luku ɛ/6. Tällöin on voimassa x 5 < ɛ/6 6 x 5 < ɛ 6x 30 < ɛ (6x + 2) 32 < ɛ ja siis 6x + 2 = 32. x 5 Koska funktion arvon ja raja-arvon etäisyys halutaan pienemmäksi kuin ɛ, voidaan valita myös mikä tahansa lukua ɛ/6 pienempi positiivinen reaaliluku. 7
8 Esimerkki 2. Todistetaan ɛ-δ-menetelmällä, että x 4 x + 5 = 3. Olkoon ɛ positiivinen reaaliluku. Etsitään positiivinen reaaliluku δ siten, että kun 0 < x 4 < δ, niin x < ɛ. Jotta x + 5 olisi määritelty, täytyy olla x 5. Tämä tarkoittaa, että luku δ, eli muuttujan etäisyys kohdasta 4, voi olla korkeintaan 9. Etsitään aluksi yhteys etäisyyksien x 4 ja x välille. Kirjoitetaan etäisyys x < ɛ ilman itseisarvomerkkejä ja edetään lopusta alkuun. Oletetaan ensin, että ɛ < 3, eli 3 ɛ > 0. ɛ < x ɛ + 3 < x + 5 (3 ɛ) 2 < x + 5 (3 ɛ) 2 9 < x 4 Jos nyt valitaan positiivinen reaaliluku niin on voimassa, että jos niin < ɛ < ɛ + 3 < (ɛ + 3) 2 < (ɛ + 3) 2 9 δ = min { 9, (3 ɛ) 2 9, (ɛ + 3) 2 9 } = min { 9, (ɛ + 3) 2 9 } 0 < x 4 < δ, x < ɛ. Jos taas ɛ 3, voidaan luvuksi δ valita mikä tahansa lukua 9 pienempi positiivinen reaaliluku, sillä tällöin on voimassa, että jos 0 < x 4 < 9, niin 5 < x 0 < x < x < x < 13 < 18 < 18 < 18 3.
9 Koska 18 3 = 3( 2 1) < 3, on 3 < x < 3, ja siis x < ɛ. Reaaliluvuksi δ käy siis joka tapauksessa δ = min {9, (ɛ + 3) 2 9}. Näin ollen voidaan todeta, että x + 5 = 3. x Toispuoleiset raja-arvot [3, s ] Esitetään seuraavaksi funktion raja-arvon määritelmään liittyvät toispuoleiset raja-arvot. Ensimmäiseksi määritellään vasemmanpuoleinen raja-arvo. Määritelmä 3. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c p, c), missä reaaliluku p > 0. Tällöin f(x) = L pätee, jos jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että c δ < x < c = f(x) L < ɛ. Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään vastaavasti. Määritelmä 4. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c, c+ p), missä reaaliluku p > 0. Tällöin f(x) = L + pätee, jos jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Toispuoleisten raja-arvojen avulla voidaan nyt helposti tutkia, onko funktiolla olemassa raja-arvo. Tätä varten hyödynnetään seuraavaa lausetta. Lause 2. f(x) = L jos ja vain jos f(x) = L ja f(x) = L. + 9
10 Todistus. Oletetaan ensin, että f(x) = L. Nyt siis jokaista reaalilukua ɛ > 0 kohden on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ. Erityisesti tämä luku δ toteuttaa sekä vasemman- että oikeanpuoleisen rajaarvon ehdot c δ < x < c = f(x) L < ɛ ja c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Oletetaan sitten, että f(x) = L ja f(x) = L. Nyt jokaista reaalilukua ɛ > 0 on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, + että c δ < x < c = f(x) L < ɛ ja c < x < c + δ = f(x) L < ɛ. Yhdistämällä nämä saadaan 0 < x c < δ = f(x) L < ɛ ja siis f(x) = L. 4.4 Raja-arvo äärettömyydessä [5] Jonkin äärellisen reaaliluvun lisäksi, funktion muuttuja voi lähestyä myös positiivista, tai negatiivista äärettömyyttä. Tämä ei kuitenkaan tarkoita, että muuttujan arvon ja äärettömän välinen ero pienenisi, sillä ääretön ei ole reaaliluku. Jos muuttujan arvot lähestyvät ääretöntä, sanotaan, että ne kasvavat tai pienenevät rajatta. Täsmällisesti määritelmä esitetään seuraavaksi. Määritelmä 5. = L, x jos ja vain jos kaikille reaaliluvuille ɛ > 0, on olemassa reaaliluku c siten, että ja f(x) L < ɛ aina kun x > c = L, x jos ja vain jos kaikille reaaliluvuille ɛ > 0, on olemassa reaaliluku c siten, että f(x) L < ɛ aina kun x < c. 10
11 5 Raja-arvoa koskevia lauseita [3, s ] Esitetään ja todistetaan muutamia keskeisiä, raja-arvoon liittyviä lauseita. Lauseet helpottavat raja-arvojen määrittämistä, sillä ɛ-δ-määritelmän hyödyntäminen saattaa olla hyvinkin työlästä. Lauseet kuitenkin todistetaan ɛ-δ-menetelmällä. 5.1 Raja-arvon yksikäsitteisyys Ensimmäiseksi todistetaan raja-arvon yksikäsitteisyys. Lause 3. Jos f(x) = L ja f(x) = M, niin L = M. Todistus. Todistetaan lause epäsuoralla päättelyllä. Tehdään vastaoletus, että L M. Tällöin L M /2 > 0. Koska f(x) = L, tiedetään, että on olemassa δ 1 > 0 siten, että (1) jos 0 < x c < δ 1, niin f(x) L < L M /2. Koska f(x) = M, tiedetään myös, että on olemassa δ 2 > 0 siten, että (2) jos 0 < x c < δ 2, niin f(x) M < L M /2. Edellä lukuna ɛ on siis käytetty vastaoletuksen mukaan positiivista reaalilukua L M /2. Olkoon nyt x 1 sellainen reaaliluku, joka toteuttaa epäyhtälön Yhdistämällä (1) ja (2), saadaan f(x 1 ) L < Nyt voidaan todeta, että 0 < x 1 c < min {δ 1, δ 2 }. L M 2 ja f(x 1 ) M < L M = [L f(x 1 )] + [f(x 1 ) M] L f(x 1 ) + f(x 1 ) M = f(x 1 ) L + f(x 1 ) + M < L M 2 + L M 2 = L M. L M. 2 Vastaoletus johtaa siis ristiriitaan L M < L M, joten lause on tosi. 11
12 5.2 Funktioiden summa, tulo ja vakiolla kerrottu funktio Seuraavat lauseet helpottavat usein raja-arvojen määrittämistä. Lause 4. Olkoot f(x) = L ja g(x) = L. Tällöin (i) (ii) (iii) [f(x) + g(x)] = L + M, [αf(x)] = αm kaikille reaaliluvuille α, [f(x)g(x)] = LM. Todistus. Olkoon reaaliluku ɛ > 0. Todistetaan lauseen kohta (i), eli osoitetaan, että on olemassa reaaliluku δ > 0 siten, että jos 0 < x c < δ, niin [f(x) + g(x)] [L + M] < ɛ. Tässä vaiheessa on hyvä huomata seuraava epäyhtälö. [f(x) + g(x)] [L + M] = [f(x) L] + [g(x) M] [f(x) L] + [g(x) M]. Etäisyys [f(x) + g(x)] [L + M] saadaan pienemmäksi, kuin ɛ saattamalla molemmat etäisyydet f(x) L ja g(x) M pienemmiksi kuin 1 ɛ. Koska 2 f(x) = L ja g(x) = M, tiedetään, että on olemassa sellaiset positiiviset reaaliluvut δ 1 ja δ 2, että jos 0 < x c < δ 1, niin f(x) L < 1 2 ɛ ja jos 0 < x c < δ 2, niin g(x) M < 1 2 ɛ. Asetetaan nyt luvuksi δ pienempi luvuista δ 1 ja δ 2, siis δ = min {δ 1, δ 2 }. Jos nyt 0 < x c < δ, niin Tällöin f(x) L < 1 2 ɛ ja g(x) M < 1 2 ɛ. [f(x) + g(x)] [L + M] = [f(x) L] + [g(x) M] [f(x) L] + [g(x) M] < 1 2 ɛ ɛ = ɛ. 12
13 Todistetaan lauseen kohta (ii). Jaetaan tarkastelu kahteen tapaukseen; α 0 ja α = 0. Mikäli α 0, on ɛ/ α > 0, ja koska f(x) = L, tiedetään, että on olemassa positiivinen reaaliluku δ siten, että jos 0 < x c < δ, niin f(x) L < ɛ α. Edellisestä epäyhtälöstä saadaan α f(x) L < ɛ ja siis αf(x) αl < ɛ. Mikäli α = 0, eli αf(x) = 0, voidaan luvuksi δ valita mikä tahansa positiivinen reaaliluku, sillä jos 0 < x c < δ, niin αf(x) αl = 0 < ɛ. Todistetaan lauseen kohta (iii) aloittamalla kolmioepäyhtälöön perustuvalla algebralla. f(x)g(x) LM = [f(x)g(x) f(x)m] + [f(x)m LM] f(x)g(x) f(x)m + f(x)m LM = f(x) g(x) M + M f(x) L f(x) g(x) M + (1 + M ) f(x) L. Olkoon taas ɛ > 0. Koska f(x) = L ja g(x) = M, tiedetään, että on olemassa positiiviset reaaliluvut δ 1, δ 2 ja δ 3 siten, että jos 0 < x c < δ 1, niin jos 0 < x c < δ 2, niin ja jos 0 < x c < δ, niin f(x) L < 1 jolloin f(x) < 1 + L, g(x) M < f(x) L < ( 1 ɛ ) 2, 1 + L ( 1 ɛ ) M Valitaan nyt δ = min {δ 1, δ 2, δ 3 } ja todetaan, että jos 0 < x c < δ, niin f(x) LM f(x) g(x) M + (1 + M ) f(x) L ( 1 2 < (1 + L ) ɛ ) ( 1 + (1 + M ) ɛ ) 2 = ɛ. 1 + L 1 + M 13
14 5.3 Funktioiden osamäärän raja-arvo Seuraavat kolme lausetta liittyvät funktioiden erilaisten osamäärien rajaarvoihin. Lause 5. Jos 1 g(x) = M, missä M 0, niin g(x) = 1 M. Todistus. Kun g(x) 0 1 g(x) 1 = M g(x) M g(x) M. Valitaan reaaliluku δ 1 > 0 siten, että Tällöin on voimassa Näin ollen jos 0 < x c < δ 1, niin g(x) M < M 2. g(x) > M 2, eli 1 g(x) < 2 M. 1 g(x) 1 = M g(x) M g(x) M < 2 g(x) M M 2 = 2 g(x) M. M 2 Olkoon nyt reaaliluku ɛ > 0 ja valitaan reaaliluku δ 2 > 0 siten, että jos 0 < x c < δ 2, niin g(x) M < M 2 2 ɛ. Kun nyt valitaan δ = min {δ 1, δ 2 }, niin jos 0 < x c < δ, niin 1 g(x) 1 < ɛ. M 14
15 Lause 6. Jos f(x) f(x) = L ja g(x) = M, missä M 0, niin g(x) = L M. Todistus. Kirjoitetaan funktioiden osamäärä tulona ja käytetään hyväksi edellistä lausetta. f(x) g(x) = f(x) 1 g(x). Koska 1 f(x) = L ja g(x) = 1 M, voidaan lauseen (4) kohdan (iii) perusteella todeta, että f(x) g(x) = L 1 M = L M. Lause 7. f(x) Jos f(x) = L, missä L 0 ja g(x) = 0, niin raja-arvoa g(x) Todistus. Tehdään vastaoletus: olkoon reaaliluku K sellainen, että Tällöin [ L = f(x) = g(x) f(x) ] g(x) f(x) g(x) = K. f(x) = g(x) g(x) = 0 K = 0, mikä on ristiriidassa vastaoletuksen kanssa. Siis vastaoletus on väärä ja lause tosi. ei ole olemassa. 15
16 6 Jatkuvuus [3, s ] Puhekielessä jatkuvalla prosessilla tarkoitetaan yleensä jotakin tapahtumaa, jossa ei ole katkoksia. Matemaattisessa mielessä jatkuvuus tarkoittaa miltei samaa asiaa. Tässä tutkielmassa määritellään jatkuvuuden käsite jossakin tietyssä kohdassa ja tietyllä välillä. 6.1 Jatkuvuus pisteessä Kun tutkitaan funktion f(x) jatkuvuutta tietyssä kohdassa c, ideana on määrittää arvot f(c) ja f(x) ja verrata niitä keskenään. Mikäli arvot ovat yhtä suuret, sanotaan funktion f olevan jatkuva kohdassa c. Seuraava määritelmä esittää ajatuksen täsmällisemmin. Määritelmä 6. Olkoon funktio f määritelty ainakin avoimella välillä (c p, c + p), missä p on positiivinen reaaliluku. Funktio f on jatkuva kohdassa c, jos f(x) = f(c). Edellisessä määritelmässä on syytä huomata, että nyt funktion f täytyy olla määritelty kohdassa c. Raja-arvon olemassaolo samassa kohdassahan ei vaadi funktion arvon olemassaoloa. Esitetään vielä ɛ-δ-määritelmä jatkuvuudelle pisteessä. Määritelmä 7. Funktio f on jatkuva kohdassa c, jos kaikille ɛ > 0 on olemassa δ > 0 siten, että jos x c < δ, niin f(x) f(c) < ɛ. Esitetään ja todistetaan yhdistettyjen funktioiden jatkuvuutta koskeva lause. Seuraavassa esitys f g tarkoittaa funktioista f ja g muodostettua yhdistettyä funktiota f(g(x)). Lause 8. Jos funktio g on jatkuva kohdassa c ja funktio f on jatkuva kohdassa g(c), niin yhdistetty funktio f g on jatkuva kohdassa c. Todistus. Olkoon reaaliluku ɛ > 0. Etsitään sellainen reaaliluku δ > 0, että jos x c < δ, niin f(g(x)) f(g(c)) < ɛ. Koska f on jatkuva kohdassa g(c), on olemassa sellainen reaaliluku δ 1 > 0, että jos t g(c) < δ 1, niin f(t) f(g(c)) < ɛ. 16
17 Koska funktio g on jatkuva kohdassa c, tiedetään, että on olemassa reaaliluku δ > 0, jolle pätee jos x c < δ, niin g(x) g(c) < δ 1. Yhdistämällä edelliset implikaatiot, saadaan haluttu tulos. Jos x c < δ, niin g(x) g(c) < δ 1, joten ensimmäisen implikaation nojalla f(g(x)) f(g(c)) < ɛ. Esitetään vielä määritelmä toispuoleisille jatkuvuuksille. Määritelmä 8. Funktion f sanotaan olevan jatkuva vasemmalta kohdassa c, jos = f(c) jatkuva oikealta kohdassa c, jos = f(c) Jatkuvuus avoimella ja suljetulla välillä Olkoon (a, b) avoin väli. Funktion f sanotaan olevan jatkuva välillä (a, b), jos se on jatkuva jokaisessa pisteessä c (a, b). Funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], jos se on 7 Kuristusperiaate (i) jatkuva avoimella välillä (a, b), (ii) oikealta jatkuva kohdassa a, (iii) vasemmalta jatkuva kohdassa b. Kuristusperiaatteen avulla voidaan määrittää raja-arvoja hyödyntämällä funktioita, joiden arvojen välissä tutkittavan funktion arvot ovat. Lause 9. [3, s ] Olkoon reaaliluku p > 0. Oletetaan, että kaikille luvuille x, joille 0 < x c < p pätee h(x) f(x) g(x). ja 17
18 Jos h(x) = L ja g(x) = L, niin f(x) = L Todistus. Olkoon ɛ > 0. Olkoon p > 0 sellainen reaaliluku, että jos 0 < x c < p, niin h(x) f(x) g(x). Valitaan reaaliluku δ 1 siten, että jos 0 < x c < δ 1, niin L ɛ < h(x) < L + ɛ. Valitaan reaaliluku δ 2 siten, että jos 0 < x c < δ 2, niin L ɛ < g(x) < L + ɛ. Olkoon nyt δ = min {p, δ 1, δ 2 }. Kaikille luvuille x, joille 0 < x c < p, pätee ja siis L ɛ < h(x) f(x) g(x) < L + ɛ, f(x) L < ɛ. 7.1 Esimerkkejä Esimerkki 3. Määritetään raja-arvo x x 5 x x hyodyntämällä kuristusperiaatetta. Koska x, voidaan olettaa, että x > 0. Epäyhtäloketjusta x 5 x x < x 5 x < x5 x = 1 6 x seuraa, että x 5 x x x ja koska 1 x x = 0, voidaan kuristusperiaatteen nojalla todeta, että x x 5 x x = 0. 18
19 Esimerkki 4. Määritetaan raja-arvo hyodyntämällä kuristusperiaatetta. x 0 x2 cos 1 x Huomataan, että raja-arvoa cos 1 x 0 x ei ole olemassa, sillä 1, kun x x 0. Tälloin cos 1 saa arvoja välilta [ 1, 1], mutta ei lähesty mitään tiettyä x lukua. Voidaan kirjoittaa 1 cos 1 x 1. Epäyhtalo voidaan kertoa puolittain epänegatiivisella luvulla x 2. Saadaan x 2 x 2 cos 1 x x2. Koska ( x 2 ) = 0 ja x 2 = 0 ja x 2 x 2 cos 1 x 0 x 0 x x2, voidaan kuristusperiaatteen nojalla todeta, että x 0 x2 cos 1 x = 0. 8 Jatkuvien funktioiden ääriarvolause [3, Appendix B] Jatkuvien funktioiden ääriarvolausetta ei voida ohittaa, mikäli halutaan todistaa raja-arvoon perustuvia, soveltavia lauseita. Lauseen todistuksessa tarvitaan lukujoukkoihin liittyvän ylärajan ja erityisesti niin sanotun supremumin käsitettä. Määritellään nämä käsitteet ennen ääriarvolauseen todistusta. Määritelmä 9. Olkoon S epätyhjä joukko reaalilukuja. Reaaliluku M on joukon S yläraja, jos x M kaikille x S. Tärkeä joukko-opin aksiooma, pienin yläraja-aksiooma, kertoo, että jos epätyhjällä joukolla S reaalilukuja on yläraja, on joukolla myös pienin yläraja. Tätä pienintä ylärajaa kutsutaan joukon supremumiksi, ja merkitään sup(s). Ennen ääriarvolauseen todistusta, todistetaan vielä seuraava apulause. Lause 10. Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], on se myös rajoitettu välillä [a, b]. 19
20 Todistus. Määritellään joukko S = {x : x [a, b] ja funktio f on rajoitettu välillä [a, x]}. Joukko S on epätyhjä ja luku b rajoittaa sen ylhäältä. Näin ollen voidaan määritellä c = Sup{x : funktio f on rajoitettu välillä [a, x]}. Osoitetaan nyt, että c = b. Tehdään vastaoletus, että c < b. Koska funktio f on jatkuva kohdassa c, voidaan helposti nähdä, että funktio f on rajoitettu välillä [c ɛ, c + ɛ] jollakin reaaliluvulla ɛ > 0. Koska funktio f on rajoitettu väleillä [a, c ɛ] ja [c ɛ, c + ɛ], on se rajoitettu myös välillä [a, c + ɛ]. Tämä on ristiriidassa vastaoletuksen c < b kanssa. Siis c = b. Tämä tarkoittaa, että funktio f on rajoitettu välillä [a, x] kaikilla x < b. Koska funktio f on jatkuva, tiedetään, että se on rajoitettu jollakin muotoa [b ɛ, b] olevalla suljetulla välillä. Koska b ɛ < b, juuri todetun perusteella tiedetään, että funktio f on rajoitettu välillä [a, b ɛ]. Funktio f on siis rajoitettu väleillä [a, b ɛ] ja [b ɛ, b]. Yhdistämällä nämä voidaan todeta, että funktio f on rajoitettu välillä [a, b]. Esitetään ja todistetaan jatkuvien funktioiden ääriarvolause. Lause 11. Jos funktio f on jatkuva suljetulla välillä [a, b], saa se sekä maksimiarvon M että minimiarvon m välillä [a, b]. Todistus. Funktio f on siis rajoitettu välillä [a, b]. Olkoon M = sup{f(x) : x [a, b]}. Osoitetaan, että välillä [a, b] on luku c, jolle f(c) = M. Asetetaan g(x) = 1 M f(x). Tehdään vastaoletus, että funktio f ei saa arvoa M. Tällöin funktio g on jatkuva välillä [a, b] ja siis myös rajoitettu kyseisellä välillä. Kuitenkin huomataan, että funktio g ei voi olla rajoitettu välillä [a, b], sillä kun f(x) M, niin g(x) hajaantuu. Siis vastaoletus on väärä, ja funktio f saa arvon M. 20
21 9 Raja-arvon sovelluksia Analyysi nojaa raja-arvon määritelmään hyvin vankasti ja tässä tutkielmassa esitetääkin muutama äärimmaisen hyödyllinen sovellus, joissa hyödynnetään edellä esitettyä raja-arvon käsitettä. 9.1 Derivaatta Dierentiaali- ja integraalilaskenta ovat ehdottomasti elintärkeitä lukemattomille tieteenaloille ja sovelluksille. Näihin liittyen esitetään nyt derivaatan määritelmä, jota tarvitaan myöhemmin, kun todistetaan L'Hopitalin sääntö. Derivaatta kertoo funktion muutosnopeuden tietyssä kohdassa ja määritelmänsä mukaisesti funktion derivaatan arvo on funktiolle tiettyyn kohtaan piirretyn tangentin kulmakerroin. Määritelmä 10. [3, s. 120] Funktion f(x) sanotaan olevan derivoituva kohdassa x = c, jos raja-arvo f(c + h) f(c) h 0 h on olemassa. Mikäli raja-arvo on olemassa, sitä sanotaan funktion f(x) derivaataksi kohdassa c ja merkitään f (c) Toinen, täysin ekvivalentti määritelmä funktion f(x) derivaatalle kohdassa c on f(x) f(c) x c ɛ δ -määritelmää hyödyntäen voidaan esittää derivaatan määritelmä myös seuraavasti Määritelmä 11. jos ja vain jos siten että f (c) = L ɛ > 0 δ > 0, f(x) f(c) 0 < x c < δ = x c L < ɛ. 21
22 9.2 Rollen lause [3, s ] Esitetään ja todistetaan jatkon kannalta oleellinen Rollen lause. Lause 12. Olkoon funktio f derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Jos f(a) ja f(b) saavat molemmat arvon 0, on olemassa ainakin yksi luku c avoimella välillä (a, b) jolle pätee f (c) = 0. Todistus. Mikäli funktio f(x) on vakiofunktio 0 välillä [a, b], on f (c) = 0 kaikilla luvuilla c (a, b). Jos funktio f(x) ei ole vakiofunktio 0 välillä [a, b], saa se joko positiivisia tai negatiivisia arvoja. Oletetaan ensin, että funktio f saa positiivisia arvoja välillä [a, b]. Koska funktio f on jatkuva välillä [a, b], saa se maksimiarvon jossakin kohdassa c välillä [a, b]. Tämän maksimiarvon f(c) täytyy oletuksen mukaan olla positiivinen. Koska f(a) = f(b) = 0, luku c ei voi olla luku a eikä luku b. Siis kohta c sijaitsee avoimella välillä (a, b), jolloin derivaatta f (c) on määritelty. Mikäli olisi f (c) > 0 tai f (c) < 0, täytyisi derivaatan määritelmän perusteella funktion f(x) saada kohdan c läheisyydessä suurempia arvoja, kuin f(c). Täytyy siis olla voimassa, että f (c) = 0. Oletetaan sitten, että funktio f(x) saa negatiivisia arvoja ja edetään vastaavalla tavalla. Koska funktio f on jatkuva välillä [a, b], saa se nyt minimiarvon jossakin kohdassa c välillä [a, b]. Tämän minimiarvon f(c) täytyy oletuksen mukaan olla negatiivinen. Koska f(a) = f(b) = 0, luku c ei voi olla luku a eikä luku b. Siis kohta c sijaitsee avoimella välillä (a, b), jolloin derivaatta f (c) on määritelty. Mikäli olisi f (c) > 0 tai f (c) < 0, täytyisi derivaatan määritelmän perusteella funktion f(x) saada kohdan c läheisyydessä pienempiä arvoja, kuin f(c). Nytkin täytyy siis olla voimassa, että f (c) = 0. Joka tapauksessa väliltä (a, b) löytyy ainakin yksi luku c, jolle f (c) = 0 Usein Rollen lause esitetään seuraavassa, yleisemmässä muodossa. Lause 13. Olkoon funktio f derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b]. Jos f(a) = f(b), on olemassa ainakin yksi luku c välillä (a, b) jolle pätee f (c) = 0. Todistus. Oletetaan, että f(a) = f(b) = k. Olkoon funktio g(x) = f(x) k. Nyt g(a) = f(a) k = k k = 0 ja g(b) = f(b) k = k k = 0. Voidaan soveltaa Rollen lausetta ja todeta, että välillä (a, b) on olemassa luku c, jolle g (c) = f (c) 0 = f (c) = 0. Siis lause pätee. 22
23 Jälkimmäistä muotoilua käytetään hyväksi myöhemmin. 9.3 Jatkuvien funktioiden väliarvolause [3, s ] Jatkuvien funktioiden väliarvolause on yksi keskeisimmistä raja-arvon sovelluksista, jonka yksi erikoistapaus on edellä todistettu Rollen lause. Esitetään ja todistetaan väliarvolause. Lause 14. Jos funktio f on derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b], on olemassa ainakin yksi luku c (a, b), jolle tai, ekvivalentisti f (c) = f(b) f(a), b a f(b) f(a) = f (c)(b a). Todistus. Kehitetään funktio g, joka toteuttaa Rollen lauseen ehdot ja jolle pätee f f(b) f(a) (c) =. b a Tällainen funktio on [ f(b) f(a) ] g(x) = f(x) (x a) + f(a). b a Koska funktio f on derivoituva avoimella välillä (a, b) ja jatkuva suljetulla välillä [a, b], myös funktio g on. Koska [ f(b) f(a) ] g(a) =f(a) (a a) + f(a) b a =f(a) f(a) = 0 ja [ f(b) f(a) ] g(b) =f(b) (b a) + f(a) b a =f(b) f(b) + f(a) f(a) = 0 voidaan Rollen lauseen perusteella todeta, että avoimella välillä (a, b) on ainakin yksi luku c siten, että g (c) = 0. Koska g (x) = f (x) 23 f(b) f(a), b a
24 saadaan Kun g (c) = 0, on voimassa g (c) = f (c) f(b) f(a). b a f (c) = f(b) f(a). b a 9.4 Cauchyn väliarvolause [3, s. 613] Jotta L'Hopitalin sääntö voidaan myöhemmin todistaa, esitetään ensin Cauchyn väliarvolause jatkuville funktioille. Lause 15. Oletetaan, että funktiot f(x) ja g(x) ovat derivoituvia avoimella välillä (a, b) ja jatkuvia suljetulla välillä [a, b]. Jos derivaatta g (x) ei saa arvoa 0 missään välin (a, b) pisteessä, on olemassa luku r välillä (a, b), jolle pätee f (r) g (r) = f(b) f(a) g(b) g(a). Todistus. Todistuksessa hyödynnetään Rollen lausetta funktioon Koska G(x) = [g(b) g(a)][f(x) f(a)] [g(x) g(a)][f(b) f(a)] G(a) = 0 ja G(b) = 0 on Rollen lauseen nojalla avoimella välillä (a, b) olemassa luku r, jolle pätee G (r) = 0. Nyt G (x) = [g(b) g(a)]f (x) g (x)[f(b) f(a)]. Asettamalla x = r, saadaan ja täten [g(b) g(a)]f (r) g (r)[f(b) f(a)] = 0, [g(b) g(a)]f (r) = g (r)[f(b) f(a)]. Koska g (x) ei saa arvoa 0 avoimella välillä (a, b), g (r) 0 ja g(b) g(a) 0. 24
25 Jälkimmäinen epäyhtälö on voimassa, sillä jos pätisi g(b) g(a) = 0, eli g(b) = g(a), niin Rollen lauseen nojalla välillä (a, b) olisi jokin luku t, jolle g (t) = 0, mikä on ristiriita oletuksen kanssa. Näin ollen edellä mainituilla luvuilla voidaan jakaa, ja saadaan f (r) g (r) = f(b) f(a) g(b) g(a). 9.5 L'Hospitalin sääntö [3, s. 611] L'Hospitalin sääntö on hyödyllinen erikoistilanteissa, joissa tarkastellaan kahden funktion osamäärän raja-arvoja. Usein raja-arvoja tarkasteltaessa törmätään tilanteeseen, jossa raja-arvoa ei voida suoraan päätellä. Tällaisia tilanteita ovat esimerkiksi tapaukset, joissa sekä osoittajana että nimittäjänä oleva funktio lähestyy lukua 0. L'Hospitalin sääntö toimii myös tilanteissa, joissa funktiot kasvavat tai vähenevät rajatta. Tässä osiossa esitetään ja todistetaan L'Hospitalin sääntö edellä mainituissa tilanteissa Tapaus 0/0 Jos törmätään tilanteeseen, jossa sekä osoittajana että nimittäjänä oleva funktio lähestyy lukua 0, voidaan soveltaa seuraavaa L'Hospitalin sääntöä Lause 16. Oletetaan, että f(x) 0 ja g(x) 0, kun x c +, x c, x c, x, tai x. Jos f (x) g (x) L, niin f(x) g(x) L Todistus. [3, s ] Todistetaan L'Hospitalin sääntö tapauksessa, jossa f (x) g (x) L, kun x c. Oletetaan, että x c ja f (x) g (x) L. Todistetaan, että f(x) g(x) L. Koska f (x) g (x) L, kun x c, 25
26 tiedetään, että molemmat funktiot f (x) ja g(x) ovat määritellyt jollakin puoliavoimella välillä (c h, c]. Tällä välillä on myös voimassa g (x) 0 Asettamalla f(c) = 0 ja g(c) = 0 varmistetaan, että f(x) ja g(x) ovat jatkuvia välillä [c h, c]. Nyt voidaan hyödyntää Cauchyn väliarvolausetta ja todeta, että välillä (c h, c) on olemassa luku c h siten, että f (c h ) g (c h ) = f(c) f(c h) g(c) g(c h) = f(c h) g(c h) Haluttu lopputulos saavutetaan nyt kun h 0. Tällöin yhtälöketjun vasen puoli lähestyy oletuksen mukaan lukua 0, joten myös oikea puoli lähestyy lukua 0. Siis f(x) L. g(x) Tapaus x c + voidaan todistaa samalla tavalla tutkimalla aluksi puoliavointa väliä [c, c + h). Tapaukset x c + ja x c todistavat yhdessä tapauksen x c. Todistetaan vielä L'Hospitalin sääntö tilanteessa x. Todistus. Oletetaan, että Todistetaan, että f (x) x g (x) = L. f(x) x g(x) = L. Merkitään muuttuja x parametrin t avulla seuraavasti x = 1/t. Tällöin f (x) x g (x) = [f(1/t)] [f(t 1 )] t 2 [f (1/t)] = = t 0 + [g(1/t)] t 0 + [g(t 1 )] t 0 + t 2 [g (1/t)] = f (1/t) t 0 + g (1/t) Tässä vaiheessa voidaan soveltaa edellä todistettua L'Hospitalin sääntöä, sillä nyt t 0 + f (1/t) t 0 + g (1/t) = f(1/t) t 0 + g(1/t) = f(x) x g(x) = L Tapaus / L'Hospitalin sääntö toimii siis myös tilanteissa, joissa osoittaja ja nimittäjä kasvavat tai vähenevät rajatta. Lause 17. Oletetaan, että f(x) ± ja g(x) ±, 26
27 kun x c +, x c, x c, x, tai x. Jos f (x) g (x) L, niin f(x) g(x) L Todistus. [4] Todistetaan tapaus, jossa x, sekä f ja g. Olkoon ɛ > 0. Oletuksen mukaan on olemassa reaaliluku m siten, että jos x > m, niin f (x) L < ɛ. g (x) Väliarvolauseen perusteella jos x > m, g(x) g(m). (Muutoin välillä (m, x) olisi jokin luku c, jolle g (c) = 0.) Sovelletaan Cauchyn väliarvolausetta suljetulle välille [m, x] ja saadaan f(x) f(m) g(x) g(m) L < ɛ, kun x > m. Koska funktio f kasvaa rajatta, pätee f(x) f(m), kun luku x on tarpeeksi suuri. Voidaan kirjoittaa Nyt f(x) g(x) = f(x) f(m) g(x) g(m) f(x) f(x) f(m) g(x) g(m). g(x) f(x) f(m) g(x) g(m) f(x) g(x) g(m) f(x) f(m) f(x) f(m) g(x) g(x) g(m) f(x) f(m) f(x) g(x) g(m) 1 g(x) g(m) f(x) f(m) g(x) f(x) g(x) g(m) < ( L + ɛ) 1. f(x) f(m) g(x) Tämä lauseke saadaan pienemmäksi kuin ɛ, kunhan x on riittävän suuri, sillä f(x) g(x) g(m) 1 = = 0, kun x. f(x) f(m) g(x) On siis todettu, että f(x) f(x) f(m) < ɛ. g(x) g(x) g(m) Yhdistämällä tämä tulos aiemmin todettuun epäyhtälöön f(x) f(m) < g(x) g(m) L ɛ, kun x > m 27
28 saadaan f(x) g(x) L < 2ɛ. Tämä riittää lauseen todistukseksi, sillä koska luku ɛ on mielivaltaisesti valittu, myös 2ɛ saadaan mielivaltaisen pieneksi Esimerkki Esimerkki 5. Määritetään raja-arvo 1 cos x x 0 x 2 hyödyntämällä L'Hospitalin sääntöä. Raja-arvoa ei voida suoraan päätellä, mutta huomataan, että (1 cos x) = 1 1 = 0 ja x 0 x 0 x2 = 0. Voidaan siis hyödyntää L'Hospitalin sääntoä. Derivoidaan osoittaja ja nimittäjä. D(1 cos x) = sin x ja D(x 2 ) = 2x. Raja-arvoa sin x x 0 2x ei voida vieläkään suoraan päätellä, mutta edelleen on voimassa Derivoidaan uudestaan. (sin x) = 0 ja 2x = 0. x 0 x 0 D(sin x) = cos x ja D(2x) = 2. Nyt voidaan L'Hospitalin säännön perusteella todeta, että 1 cos x x 0 x 2 = x 0 sin x 2x = cos x x 0 2 =
29 Viitteet [1] H. Korhonen, Matematiikan historian henkilöhahmoja. Lahden Kirjapaino ja Sanomalehti Oy, [2] L. Myrberg, Dierentiaali- ja integraalilaskenta korkeakouluja varten. Osa 1. Kustannusosakeyhtiö Tammi, [3] S. Salas, E. Hille and G. Etgen, Calculus: One and several variables 9th ed. John Wiley & Sons, Inc., [4] Wikipedia, l'hôpital's rule. http : //en.wikipedia.org/wiki/l%27h%c3%b4pital%27s_rule [5] Wikipedia, Limit (mathematics). http : //en.wikipedia.org/wiki/limit ( mathematics) 29
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma. Mika Kähkönen. L'Hospitalin sääntö
TAMPEREEN YLIOPISTO Luonnontieteiden kandidaatin tutkielma Mika Kähkönen L'Hospitalin sääntö Matematiikan, tilastotieteen ja losoan laitos Matematiikka Lokakuu 007 Sisältö 1 Johdanto 3 1.1 Tutkielman sisältö........................
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen
Ratkaisuehdotus 2. kurssikokeeseen 4.2.202 (ratkaisuehdotus päivitetty 23.0.207) Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 8 Väliarvolause Oletetaan, että funktio f on jatkuva jollain reaalilukuvälillä [a, b] ja derivoituva avoimella välillä (a, b). Funktion muutos tällä välillä on luonnollisesti
LisätiedotRatkaisuehdotus 2. kurssikoe
Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen
LisätiedotJohdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
Lisätiedot5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotRollen lause polynomeille
Rollen lause polynomeille LuK-tutkielma Anna-Helena Hietamäki 7193766 Matemaattisten tieteiden tutkinto-ohjelma Oulun yliopisto Kevät 015 Sisältö 1 Johdanto 1.1 Rollen lause analyysissä.......................
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 12 1 Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 3
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotMS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1
MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen
Lisätiedot2 Raja-arvo ja jatkuvuus
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.6 Raja-arvo ja jatkuvuus. a) Kun suorakulmion kärki on kohdassa =, on suorakulmion kannan pituus. Suorakulmion korkeus on käyrän y-koordinaatti
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotJATKUVUUS. Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista.
JATKUVAT FUNKTIOT JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva funktio Funktio on jatkuva jos sen kuvaaja voidaan piirtää nostamatta kynää paperista., suomennos Matti Pauna JATKUVUUS Jatkuva funktio Epäjatkuva
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotOletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on
Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden
LisätiedotReaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011
Neljännen viikon luennot Reaaliarvoisen yhden muuttujan funktion raja arvo LaMa 1U syksyllä 2011 Perustuu Trench in verkkokirjan lukuun 2.1. Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Funktion y = f (x) on intuitiivisesti
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 10. Kurssikerta Petrus Mikkola 22.11.2016 Tämän kerran asiat Globaali ääriarvo Konveksisuus Käännepiste L Hôpitalin sääntö Newtonin menetelmä Derivaatta ja monotonisuus
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta Eksponenttifuntio Palautetaan mieliin, että Neperin luvulle e pätee: e ) n n n ) n n n n n ) n. Tästä määritelmästä seuraa, että eksponenttifunktio e x voidaan määrittää
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 10 1 Funktion monotonisuus Derivoituva funktio f on aidosti kasvava, jos sen derivaatta on positiivinen eli jos f (x) > 0. Funktio on aidosti vähenevä jos sen derivaatta
LisätiedotFunktiojonon tasainen suppeneminen
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Supremum ja inmum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen Kuitenkaan päätepisteet eli luvut ja
LisätiedotVASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN
Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa
LisätiedotJohdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9
Lyhyehkö johdanto integraalilaskentaan. Johdantoa INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Integraalilaskennan lähtökohta 1: Laskutoimitukset + ja ovat keskenään käänteisiä, samoin ja ovat käänteisiä, kunhan ei jaeta
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 4. Kurssikerta Petrus Mikkola 4.10.2016 Tämän kerran asiat Funktion raja-arvo Raja-arvon määritelmä Toispuolinen raja-arvo Laskutekniikoita Rationaalifunktion esityksen
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotMaksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta
Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 3 Supremum ja infimum Tarkastellaan aluksi avointa väliä, ) = { : < < }. Tämä on joukko, johon kuuluvat kaikki reaaliluvut miinus yhdestä yhteen. Kuitenkaan päätepisteet
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
LisätiedotMatematiikan tukikurssi, kurssikerta 4
Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 4 1 Raja-arvo äärettömyydessä Tietyllä funktiolla f() voi olla raja-arvo äärettömyydessä, jota merkitään f(). Tämä tarkoittaa, että funktio f() lähestyy jotain tiettyä
LisätiedotPoistumislause Kandidaatintutkielma
Poistumislause Kandidaatintutkielma Mikko Nikkilä 013618832 26. helmikuuta 2011 Sisältö 1 Johdanto................................... 2 2 Olemassaolon ja yksikäsitteisyyden historiaa............ 3 3 Esitietoja..................................
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
Lisätiedotk S P[ X µ kσ] 1 k 2.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 28 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Osa tämän viikon tehtävistä ovat varsin haastavia, joten ei todellakaan
LisätiedotRaja arvokäsitteen laajennuksia
Raja arvokäsitteen laajennuksia Näitä ei ole oppikirjassa! Raja arvo äärettömyydessä: Raja arvo äärettömyydessä on luku, jota funktion arvot lähestyvät, kun muuttujan arvot kasvavat tai vähenevät rajatta.
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
LisätiedotFunktion raja-arvo. lukumäärien tutkiminen. tutkiminen
Matematiikka algebra geometria Funktion raja-arvo analyysi tarve lukumäärien tutkiminen kuvioiden ja kappaleiden tutkiminen muutosten tutkiminen DERIVAATTA, MAA6 Yhtä vanhoja kuin ihmiskuntakin ~6 000
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 K. a) b) c) d) 6 6 a a a, a > 0 6 6 a a a a, a > 0 5 5 55 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 a a a a a ( a ) a a a, a > 0 K.
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 7 1 Useamman muuttujan funktion raja-arvo Palautetaan aluksi mieliin yhden muuttujan funktion g(x) raja-arvo g(x). x a Tämä raja-arvo kertoo, mitä arvoa funktio g(x)
LisätiedotEpäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista
6 Epäyhtälöitä Epäyhtälöt ovat yksi matemaatikon voimakkaimmista työvälineistä. Yhtälö a = b kertoo sen, että kaksi ehkä näennäisesti erilaista asiaa ovat samoja. Epäyhtälö a b saattaa antaa keinon analysoida
LisätiedotEsimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
LisätiedotHY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 8 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 1 Määrittelyjoukoista Tarkastellaan funktiota, jonka määrittelevä yhtälö on f(x) = x. Jos funktion lähtöjoukoksi määrittelee vaikkapa suljetun välin [0, 1], on funktio
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotTällöin on olemassa reaalilukuja c, jotka kuuluvat jokaiselle välille I n = [a n, b n ]. Toisin sanoen a n c b n kaikilla n.
Analyysi I ja II lisämateriaalia HAARUKOINTI Tässä käsitellään kootusti sellaisia differentiaali- ja integraalilaskennan kurssin kysymyksiä, joissa joudutaan syventymään lukusuoran hienovaraisimpiin ominaisuuksiin.
LisätiedotKertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0
Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Lisätiedot0 kun x < 0, 1/3 kun 0 x < 1/4, 7/11 kun 1/4 x < 6/7, 1 kun x 1, 1 kun x 6/7,
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta II, syksy 07 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Mitkä seuraavista funktioista F, F, F ja F 4 ovat kertymäfunktioita? Mitkä niistä
Lisätiedot3.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit
.4 Rationaalifunktion kulku ja asymptootit Rationaali- eli murtofunktiolla tarkoitetaan funktiota R, jonka lauseke on kahden polynomin osamäärä: P() R(). Q() Ainakin nimittäjässä olevan polynomin asteluvun
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedot1.4 Funktion jatkuvuus
1.4 Funktion jatkuvuus Kun arkikielessä puhutaan jonkin asian jatkuvuudesta, mielletään asiassa olevan jonkinlaista yhtäjaksoisuutta, katkeamattomuutta. Tässä ei kuitenkaan käsitellä työasioita eikä ihmissuhteita,
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotSurjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei.
5.5 Surjektio Surjektion käsitteen avulla kuvauksia voidaan luokitella sen mukaan, kuvautuuko kaikille maalin alkioille jokin alkio vai ei. Määritelmä 5.5.1. Kuvaus f : X æ Y on surjektio, jos jokaisella
LisätiedotEsitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:
MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön
LisätiedotOletetaan ensin, että tangenttitaso on olemassa. Nyt pinnalla S on koordinaattiesitys ψ, jolle pätee että kaikilla x V U
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 018 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Olkoon U R avoin joukko ja ϕ = (ϕ 1, ϕ, ϕ 3 ) : U R 3 kaksiulotteisen C 1 -alkeispinnan
LisätiedotYleisiä integroimissääntöjä
INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotMAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
Lisätiedot