Sopimusteoria: Salanie luku 3.2

Sopimusteoria: Salanie luku 3.2 Antti Pirjetä Antti.Pirjeta@hse. Helsingin kauppakorkeakoulu 12.2.2008

Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Agenttien 1 ja 2 tuottamat voitot Oletetaan luvun 2.2 malli. Päämiehen voitto on yleisesti tuotto vähennettynä kustannuksilla, eli "säästäväisessä" tapauksessa π 1 = θ 1 q 1 C (q 1 ). Jos laatu q noudattaa jatkuvaa jakaumaa, on voitto π 1 = R q 1 0 (θ 1 C 0 (q)) dq. Koska kustannuskäyrä on konveksi, pätee C 0 (q 1 ) < θ 1 välillä [0, q 1 ]. Voittojen erotus on Salanien mukaan π 2 π 1 = (θ 2 θ 1 ) q 2 + R q 2 q 1 (θ 2 C 0 (q)) dq. Molemmat termit ovat positiivisia, minkä voi varmistaa kuvasta 2.3 (s. 24). Kannattavuus on siis parempi myytäessä laatua arvostaville viinintuntijoille. Päämies saa pian seuraa kilpailijoista, jotka tarjoavat laatua halvemmalla tehden silti voittoa.

Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Rotschild-Stiglitz tasapaino (1976) Erityyppisille agenteille tarjotaan joukko sopimuksia siten, että yksikään päämies ei tee tappiota, mutta ei ole mahdollista saada voittoa tarjoamalla edullisempaa sopimusta, jos nykyisiä sopimuksia ei muuteta. R-S tasapainon vallitessa markkinoille tuleva uusi päämies ei voi ansaita voittoa. R-S tasapainoa voidaan tarkastella Nashin tasapainona, jossa jokainen päämies valitse itselleen edullisimman strategian tilanteessa, jossa muiden päämiesten strategiat ovat annettuja.

Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Haitallisen valikoitumisen merkityksettömyys Täydellisen kilpailun vallitessa sillä, tunteeko päämies agentin tyypin, ei ole merkitystä. Agentit maksimoivat oman hyötynsä eli ratkaisevat ongelman max q,t (θq t) ehdolla t C (q) > 0. Tasapaino löytyy R-S periaatetta soveltaen, eli markkinoille tulee uusia päämiehiä tarjoamaan laatua q halvemmalla niin kauan kun on mahdollista ansaita edes epsilonin suuruinen voitto. R-S tasapainon kritiikkiä: ei ole realistista olettaa, että vakiintuneet päämiehet eivät reagoisi uuden kilpailijan ilmaantumiseen.

Kilpaillut markkinat, yksi tai useampi päämies Vakuutusmarkkinoiden erityispiirteitä Fagart et al. (1996) väittävät, että uuden päämiehen on mahdollista tulla vakuutusmarkkinoille ansaiten voittoa, minkä ei pitäisi olla mahdollista kilpailuilla markkinoilla R-S tasapainossa. Fagart et al luonnehtivat vakuutusmarkkinoita: Erilaiset agentit valitsevat aina erilaiset sopimukset On vain yksi tasapaino, jossa riskit suojataan täydellisesti Tasapainoa ei välttämättä löydy, jos vakuutuksen ottajia (agentteja) on niukasti Salanien (s. 60) mukaan R-S tasapainoa ei löydy, jos vakuuttaja tuntee vakuutuksenottajan tyypin. Silloin vakuuttaja tarjoaa esim. varmuusekvivalentin mukaisesti hinnoiteltua sopimusta, mutta vakuutuksenottaja ei valitse sitä, eli kannustinehto (IC) ei toteudu.

Epätäydellinen kilpailu, useita päämiehiä Epätäydellinen kilpailu: duopoli Duopolitilanteessa kaksi päämiestä jakaa markkinat. Tällöin he di eroivat tuotteitaan siten, että erityyppisille ostajille (agenteille) myydään erilaisia tuotteita. Päämiehet siis segmentoivat markkinat yhteisymmärryksessä. Monopolitilanteessa yksi päämies segmentoi markkinat.

Epätäydellinen kilpailu, useita päämiehiä Pelitilanne päämiesten kesken (Multiprincipals model) Oletetaan, että markkinoilla on vähän päämiehiä (myyjiä) ja lukuisia agentteja (ostajia). Tasapaino löytyy Nashin periaatteella eli jokainen maksimoi hyötynsä ottaen muiden strategiat annettuina. Yleisesti ottaen lopputulokseen vaikuttaa hyödykkeen laatu. Jos päämiesten tarjoamat sopimukset tai tuotteet ovat komplementteja, agentin taloudellinen vuokra (hyöty) pienenee. Vaihtoehtoisessa eli substituuttien tapauksessa päämiesten kilpailu lisää agentin taloudellista vuokraa.

Salanie tehtävä 3.5 1. Insentiivirajoite Oletetaan agentti, jonka todellinen tyyppi ja ilmoitettu tyyppi ovat θ ja s, ja hyödykkeiden 1 2 kysyntä on (q 1, q 2 ). Agentti haluaa maksimoida hyötynsä eli tehtävä on max s fu (θ, q 1 (s), q 2 (s)) t (s)g. Jos insentiivirajoite on voimassa, agentti saavuttaa maksimin ilmaisemalla todellisen tyyppinsä θ. Olkoon hyötyfunktion yleinen arvo v = u (θ, q 1 (s), q 2 (s)) v s = u dq 1 q 1 ds + u dq 2 q 2 ds dt = u q 1 dq 1 + u t(s). Kirjoitetaan insentiivirajoite = 0. Tästä seuraa dt ds q 2 dq 2. Olkoon hyötyfunktion maksimiarvo V ja sen di erentiaali dv = u u θ dθ + q 1 dq 1 + u q 2 dq 2 dt. Yhdistämällä ed. kaavat saadaan dv d θ = u θ, mikä piti osoittaa. Agentin rationaalisuusrajoite on V = u (θ, q 1, q 2 ) t 0.

Salanie tehtävä 3.5 2. Spence-Mirrlees-ehdot, agentin tyyppi ja kysynnät Toisen asteen insentiiviehto on 2 2 2 v = 2 u dq1 s 2 q1 2 ds + 2 u dq2 d 2 t q2 2 ds 0. ds 2 Ensimmäisen asteen insentiiviehdosta saadaan d 2 t = 2 u (dθ) 2 + 2 u (dq θ 2 q1 2 1 ) 2 + 2 u (dq q2 2 2 ) 2 + ( 2 u q 1 θ dq 1 + 2 u q 2 θ dq 2)dθ. Yhdistämällä nämä kaksi ja muuttujan vaihdolla s = θ saadaan 2 u dq 1 q 1 θ d θ + 2 u dq 2 q 2 θ d θ 0. Jos oletetaan Spence-Mirrlees-ehdot eli uθq 00 1 > 0 ja uθq 00 2 > 0, saadaan haluttu tulos, jonka mukaan dq 1 d θ ja dq 2 d θ ovat ei-negatiivisia.

Salanie tehtävä 3.5 3. Päämiesten odotettu voitto Agentin tyypin θ jakauma on f (θ) ja R θ f (s)ds = 1. Päämiesten θ voiton odotusarvo lasketaan R θ θ [t C (q 1, q 2 )] f (θ) dθ. Yleisesti pätee t = u v ja insentiiviehto sanoo dv eli päämiesten d θ = u θ voiton R h odotusarvo on θ R i θ u u(q1, q2) θ θ θ ds C (q 1, q 2 ) f (θ) dθ. Muuttamalla integrointirajoja saadaan ( f on jatkuva tiheysfunktio) R θ R θ u θ θ θ f (θ) dsdθ = R θ u θ θ (1 Lopullinen muoto voiton odotusarvolle on F (θ)) ds. Z θ θ [u(q 1, q 2 ) C (q 1, q 2 )] f (θ) dθ Z θ θ u (1 F (θ)) ds. (1) θ (Huom. Salanie s. 93 Ex 3.5.3: integraalimerkki puuttuu!)

Salanie tehtävä 3.5 4. Rajahyöty optimissa Ed. kohdan integraalissa u C on agentin ja päämiehen ylijäämä ja u (1 F (θ)) θ on kannustinvaikutus. Etsitään kysynnät q f (θ) 1 ja q 2, jotka maksimoivat päämiesten voiton (1). Ensimmäisen asteen ehdot voiton maksimille ovat muotoa (i = 1, 2): u 0 q i (q 1, q 2, θ) C 0 (q i ) 1 F (θ) uθq 00 f (θ) i (q 1, q 2, θ) = 0 H on virtuaalinen ylijäämä, joka on päämiesten ja agentin ylijäämien summa. Agentin tyyppiin liittyvä epävarmuus pienentää päämiesten voittoa. (Huom. tehtävässä painovirhe s. 93)

Kysyntäfunktio usean päämiehen tapauksessa Tulos: Agentin kysyntäfunktio Tehtävässä 3.5 oletettiin, että kaikilla päämiehillä on sama ennakko-oletus agentin tyypistä θ. Lisäksi päämiehet eivät pelaa Nash-tasapainoa, eli he toimivat toisistaan riippumatta. Agentin suhteen oletettiin, että paljastusperiaate on voimassa. Käänteinen kysyntäfunktio: kysyntä määräytyy rajahyötyjen u 0 q i perusteella (s. 62). Kaavassa (2) f on θ:n tiheysfunktio ja F vastaava kertymäfunktio. u 0 q i (q 1, q 2, θ) = C 0 (q i ) + 1 F (θ) uθq 00 f (θ) i (q 1, q 2, θ) (2)

Kysyntäfunktio usean päämiehen tapauksessa Kysyntäfunktion tulkintaa Kaava (2) perustuu lukuisille oletuksille; esim. Spence-Mirrlees-ehdot uθq 00 i > 0. Implisiittisesti oletetaan myös, että hyödykkeiden 1 2 kysyntä on toisistaan riippumatonta, ts. uq 00 1 q 2 = 0. Jos tuotteet ovat komplementteja (uq 00 1 q 2 > 0) tai substituutteja (uq 00 1 q 2 < 0), on ratkaisu monimutkaisempi; kts. Salanie ss. 63 64. Lopputulos on, että epätäydellisen informaation ja kilpailun tapauksessa hinta ylittää rajakustannuksen ja siten kysytty määrä on pienempi kuin täydellisen informaation ja kilpailun tapauksessa. Kulutus jää siis alhaisemmaksi kuin agentin optimissa, jota kuvaa Rotschild-Stiglitz tasapaino.

Riskiä karttava agentti Rationaalisuusehto riskiä karttavalle agentille Oletetaan, että agentti on vähittäiskaupan ketju ja päämies tukkukauppias. Kysynnän epävarmuudesta johtuen agentin tyyppi paljastuu vasta tilauksen jälkeen. Agentilla on kuitenkin informaatioetu, sillä hän havaitsee kysynnän ennen päämiestä. Agentin rationaalisuusehdon (IR) määrää hyödyn odotusarvo. Z U [u(q, θ) t(θ)] f (θ) U(0) (IR) U on VN-M ehdot täyttävä (mm. kasvava ja konkaavi) hyötyfunktio. S:n kuvassa 3.4 on tarjontakäyriä (?) riskiaversion σ = U 00 (.) U 0 (.) arvoilla. Johtopäätös on, että tarjonta1 muuttuu joustamattomammaksi kun agentin riskiaversio voimistuu. Tilaamalla vähemmän agentti rajaa tappioitaan. 1 Salanie (s. 76) käyttää termiä allokaatio.

Kaupankäynti arvostuserojen vallitessa Arvostuserot ostajan ja myyjän välillä Tarkastellaan 0 1 hyödykettä (tarjoaa yhden yksikön hyötyä) yleisessä markkinatilanteessa, jota kuvaa ao. taulukko 2. Arvostukset v ja c ovat ostajan ja myyjän yksityistä informaatiota. Kaupankäynti on mahdollista ehdolla v > c. Mielenkiintoisin on tapaus, jossa pätee lisäksi v < c eli kaupankäynti on mahdollista mutta epävarmaa. Ostaja (B) Myyjä (S) Arvostus v 2 [v, v] c 2 [c, c] Ed. jakauma f B (v) f S (c) Odotettu hyöty X B = R v v 1 fv cgf B (v) dv X S = R c c 1 fv cgf S (c) Odotettu maksu T B = R v v t()f B (v) dv Insentiiviehto v = arg max(vx B T B ) c = arg max(t S cx Rationaalisuusehto vx B T B 0 T S cx S 0 2 (Huom. Salanie s. 83 merkinnöissä on epätarkkuutta) T S = R c c t()f S (c) dc

Kaupankäynti arvostuserojen vallitessa Myerson-Satterthwaiten tulos (1983) Ed. tilanteessa, jossa ostaja ja myyjä eivät tunne toistensa arvostuksia, ei voida esittää tehokasta kaupankäyntimekanismia, jossa sekä insentiivi- että rationaalisuusehdot ovat voimassa. M-S:n tulos on merkittävä, koska se on poikkeus Coasen teoriasta, jonka mukaan neuvottelemalla voidaan aina saavuttaa tehokas sopimus, jos transaktiokustannuksia ei ole. Poikkeus johtuu tässä tapauksessa ostajan ja myyjän yksityisestä informaatiosta. (Huom. M-S:n tulos ei edellytä päämies-agentti-asetelmaa)

Kaupankäynti arvostuserojen vallitessa Päämiehen yksityisen informaation merkitys Oletetaan päämiehen hyötyfunktioksi V (q, t, λ) ja agentille U(q, t, θ). Molemmilla osapuolilla on yksityistä informaatiota λ ja θ. Jos päämies ei paljasta tietoa λ, niin optimaalisten sopimusten joukko voi olla laajempi kuin tilanteessa, jossa λ on julkinen. Perustelu on, että agentin insentiivi- ja rationaalisuusrajoitteiden ei tarvitse olla voimassa kaikilla λ:n arvoilla, koska on λ salainen. Näin päämies voi siis kasvattaa odotettua hyötyään salaamalla λ:n (Maskin & Tirole, 1990). Salanie (s. 87) kuitenkin toteaa, että kvasi-lineaarisen hyötyfunktion tapauksessa λ:n salaaminen ei paranna päämiehen odotettua hyötyä, koska Lagrangen kertoimet eivät riipu λ:sta.

Lentoyhtiömalli: optimaalinen laatu epävarmuuden vallitessa Mallin lähtökohdat: lentoyhtiö ja asiakasjakauma Tarkastellaan Red1-lentoyhtiötä. Yhtiön palvelun tasoa (myöhästymiset, matkatavaroiden häviämiset, ruoka ym.) kuvaa indeksi q > 0. Kustannusfunktio (per lento-km) on C (q) = k + 0.5q 2, missä k=kiinteät kustannukset. Asiakkaiden preferenssejä laadun suhteen kuvaa parametri θ > 0, joka on eksponentiaalisesti jakautunut eli f (θ) = e θ. Jakauma perustuu oletukselle, että keskimääräinen asiakas haluaa halvan lipun. Asiakkaan hyötyfunktio on u(q, θ) = (θ + 1) ln q.

Lentoyhtiömalli: optimaalinen laatu epävarmuuden vallitessa Rationaalisuusehdot asiakkaalle ja lentoyhtiölle Kirjoitetaan rationaalisuusehdot asiakkaalle (IR A ) ja lentoyhtiölle (IR L ). Merkinnät: u = asiakkaan hyöty, t =lipun hinta, C =kustannukset. u(q, θ) t 0 (IR A ) t C (q) 0 (IR L ) Edellisistä ehdoista seuraa u(q, θ) C (q). Sijoitetaan hyöty- ja kustannusfunktion lausekkeet asiakkaan ja lentoyhtiön rationaalisuusehtoihin, ja tuloksena on kiinteiden kustannusten yläraja (3). k (θ + 1) ln q 0.5q 2. (3)

Lentoyhtiömallin tuloksia Lentoyhtiöiden palvelutason jakauma Optimissa q = p θ palvelutason jakauma on f L (θ) = 2 p θe θ. Malli siis ennustaa, että tyypillinen lentoyhtiö ei tarjoa laadukasta palvelua, vaan halpoja lentoja. Näin ollen merkittävä osa lentoyhtiöistä on kannattamattomia, ts. niillä jää vähän tai ei lainkaan rahaa kiinteisiin kustannuksiin. Eksponentiaalijakaumasta johtuen asiakastyypin odotusarvo E (θ) = 1. Toisaalta asiakkaan hyöty on positiivinen ehdolla q > 1. Lentoyhtiön optimi on siis tarjota keskimääräiselle asiakkaalle juuri nollahyödyn tuottavaa palvelua. Ehkä tämä selittää, miksi erään halpisyhtiön lennoilla ei tarjoilla edes ilmaista kahvia...

Lentoyhtiömallin tuloksia Tuloksia kuvina asiakkaiden jakauma kustannukset f(θ) = exp( θ) 0 1 2 3 4 5 θ asiakkaan hyötyfunktio 0 1 2 3 4 5 lentoyhtiöiden jakauma fl(θ) = 2 θexp( θ) θ = q 2 u(θ, q) = (θ + 1)ln(q) 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 0 1 2 3 4 5

Kotitehtävät Kotitehtävät: 1 Hyödynnä teht. 3.5 ratkaisua ja osoita, että Red1 maksimoi voittonsa tarjoamalla tyypin θ i asiakkaalle palvelua qi 2. Tulkitse tulosta ja kommentoi mallin intuitiivisuutta. Hyödynnä kaavaa (2). (Vihje: kertymäfunktio F (θ) = 1 e θ ) 2 Laske, mikä on laatutason minimi, jolla kiinteiden kustannusten kattamiseen jää rahaa, ts. laske pienin q s.e. k 0. Oleta, että laatu on optimissa ja rationaalisuusehdot voimassa. Hyödynnä kaavaa (3).