1 Rajoitettu optimointi I

Transkriptio

1 Taloustieteen mat.menetelmät 2017 materiaali II-1 1 Rajoitettu optimointi I 1.1 Tarvittavaa osaamista Matriisit ja vektorit, matriisien de niittisyys Derivointi (mm. ketjusääntö, Taylorin kehitelmä) Implisiittifunktiolause Konkaavit funktiot, konveksit joukot 1.2 Peruskäsitteet Perustehtävä, jossa x = (x 1 ; : : : ; x n ) 2 R n : maksimoi (max) f(x) rajoitteilla g 1 (x) 0; : : : ; g k (x) 0 ja h 1 (x) = 0; : : : ; h m (x) = 0. Funktiota f sanotaan kohdefunktioksi Rajoitteet g i (x) 0, i = 1; : : : ; k, ovat epäyhtälörajoitteita (huom - rajoitteet voidaan muuttaa -rajoitteiksi) entäs < -rajoitteet? Rajoitteet h j (x) = 0, j = 1; : : : ; m ovat yhtälörajoitteita Käypä joukko X = fx 2 R n : g i (x) 0; i = 1; : : : ; k; h j (x) = 0; j = 1; : : : ; mg jos x 2 X niin sanotaan että x on käypä piste (tai käypä ratkaisu) Huom. yleensä X 6= ; ja rajoitteet eivät määrää ratkaisua yksikäsitteisesti Jos pisteessä x kaikki epäyhtälörajoitteet ovat aitoja, niin sanotaan että x on sisäpiste Jos pisteessä x pätee g i (x) = 0, sanotaan, että epäyhtälörajoite g i (x) 0 on sitova tai aktiivinen 1

2 1.3 Esimerkki Lähikaupassa myydään vain perunoita ja jauhelihaa Tehtävä hae kokonaiskustannukset minimoiva dieetti, joka toteuttaa vähimmäisvaatimukset eri hivenaineiden määrälle perunat (/kg) jauheliha /kg) vaatimus hiilihydraatit vitamiinit proteiinit hinta Muuttujat: x 1 määrä perunoita ja x 2 määrä jauhelihaa Kohdefunktion = kokonaiskustannus = 25x x 2 Rajoitteet 3x 1 + x 2 8 (hiilihydraatit) 4x 1 + 3x 2 19 (vitamiinit) x 1 + 3x 2 7 (proteiinit) x 1 ; x Tehtävätyyppejä Lineaarinen tehtävä (linear program): kohdefunktio lineaarinen, eli muotoa r x rajoitteet muotoa g i (x) = P j b ijx j c i, i = 1; : : : ; k, ja h i = P j d ijx j e i, i = 1; : : : ; m Konveksi (tai konkaavi) tehtävä f konkaavi funktio ja X konveksi joukko (huom. maksimointitehtävä) Muita tehtävätyyppejä kokonaislukutehtävät (osa muuttujista saa vain kokonaislukuarvoja) lineaaris-neliölliset tehtävät (kohdefunktio neliöllinen, rajoitteet lineaarisia) 2

3 1.4.1 Lineaarinen Sijoitettavana summa I sijoituskohteisiin 1; : : : ; n sijoituskohteiden odotetut tuotot r i, i = 1; : : : ; n, r = (r 1 ; : : : ; r n ) sijoitettavat määrät x = (x 1 : : : ; x n ), budjettirajoite P i x i I ja ei-negatiivisuus rajoitteet x i 0 (Eräs) Kohdefunktio: odotettu kokonaistuotto r x huom. tehtävä on lineaarinen onko tällainen kohdefunktio järkevä? Kuluttajan ongelma Muuttujat hyödykkeitä n kpl, x i hyödykkeen i määrä, p i hinta, I = tulot/budjetti Kohdefunktio = hyötyfunktio U(x) Rajoitteet budjettirajoite p 1 x 1 + p 2 x 2 + : : : + p n x n I, ei-negatiivisuusrajoitteet x i 0, i = 1; : : : ; n Kuluttaja valitsee hyödyn maksimoivan kysyntäkorin annetuilla hinnoilla ja tuloilla (eksogeeniset muuttujat) tehtävän ratkaisuna saadaan kuluttajan kysyntä, joka siis riippuu p i :stä ja I:stä, eli tuloksena on kysyntäfunktio 3

4 1.4.3 Yrityksen ongelma Muuttujat: panosten määrät x i, i = 1; : : : ; n, tuotos y 2 R tuotantofunktio y = f(x), tuotteen yksikköhinta p panosten yksikköhinnat w i Kohdefunktio = voitto: (x) = pf(x) P n i=1 w ix i Rajoitteet: x i 0 ja saatavuusrajoitteet g i (x) b i, i = 1; : : : ; k Tehtävän ratkaisuna saadaan tarjonta annetuilla hinnoilla, eli tarjontafunktio D yhtälörajoitettu ongelma Tehtävä: max f(x 1 ; x 2 ) s.e. h(x 1 ; x 2 ) = 0 Geometrinen havainto: optimipisteessä yhtälörajoite on f:n tasa-arvokäyrän tangentti matemaattisesti rf(x ) = rh(x ) jollakin huom. rf(x ) kertoo funktion f jyrkimmän kasvusuunnan kasvusuuntia ovat myös kaikki suunnat d joille pätee d T rf(x ) > 0, kasvusuunta tarkoittaa sitä, että f(x +d) > f(x ) tarpeeksi pienillä pisteessä x ei voida liikkua rajoitekäyrää pitkin kasvusuuntiin h(x 1 ; x 2 ), missä on ra- Lagrangen funktio L(x 1 ; x 2 ; ) = f(x 1 ; x 2 ) joitteen h(x 1 ; x 2 ) = 0 Lagrangen kerroin D esimerkki Ratkaistaan tehtävä, jossa f(x 1 ; x 2 ) = x 1 x 2 ja h(x 1 ; x 2 ) = x 1 + 4x 2 16 (mikä on tehtävän geometrinen tulkinta?) L(x 1 ; x 2 ; ) = x 1 x 2 (x 1 +4x 2 16), jolloin rf(x ) = rh(x ) saadaan 1 = x 2 = 1 = x 1 4 = 0 Eliminoidaan ensimmäisestä yo. yhtälöistä = x 2 ja sijoitetaan alempaan x 1 = 4x 2 Sijoitetaan saatu x 1 rajoiteyhtälöön: (4x 2 ) + 4x 2 on x 2 = 2 ja tällöin x 1 = 8 16 = 0, jonka ratkaisu 4

5 1.5 Hahmottelua Optimipisteessä x näyttäisi pätevän: löytyy siten ; )=@x i = 0 kaikilla i = 1; : : : ; n, ja h(x ) = 0 huom. h(x 1; x 2) = 1 ; x 2 ; )=@ = 0 voi saada mitä tahansa reaaliarvoja (miksi?) Kyseessä on ns. ensimmäisen kertaluvun välttämätön ehto lokaalille optimille ( foc ) x optimaalinen ) ehto Mitäköhän oletuksia tässä tarvitaan di erentioituvuuden lisäksi? 2D havainto: eo. päätelmä ei toimi jos sattuu käymään niin, että rh(x 1; x 2) = 0 esim. h(x 1 ; x 2 ) = x 3 1 x 3 2 (tasossa suora x 1 = x 2, mutta rh(0) = 0), f(x 1 ; x 2 ) = (x 1 1) 2 (x 2 + 1) 2, optimi on selvästi origo, mutta optimaalisuusehto ei toteudu! vaaditaan rh(x 1 ; x 2 ) 6= 0 Yleinen tehtävä (n mielivaltainen): rajoitteilta vaaditaan pisteessä x nk. ei-degeneroituneisuus kvali kaatio: Dh(x ) on täyttä rangia ehto on vaatimuksen rh(x 1; x 2) 6= 0 luonteva yleistys huom. rajoitteet voidaan kirjoittaa muodossa h(x) = 0, missä h : R n 7! R m kertaluvun ehdot Lause: oletetaan, että f : R n 7! R ja h : R n 7! R m ovat jatkuvasti derivoituvia funktioita ja x on tehtävän max f(x) siten, että h(x) = 0 ratkaisu. Oletetaan myös, että Dh(x ) on täyttä rangia. Tällöin löytyy Lagrangen kertoimet = ( 1 ; : : : ; m ) siten, ; )=@x i = 0 ja h(x ) = 0. (x; )-pisteitä, jotka toteuttavat ; )=@x i = 0 ja h(x ) = 0 sanotaan Lagrangen funktion kriittisiksi pisteiksi 5

6 rajoitetun optimointitehtävän ratkaiseminen onnistuu löytämällä Lagrangen funktion funktion kriittiset pisteet! huom. kaikki Lagrangen funktion kriittiset pisteet eivät aina ole optimipisteitä Menettely 1: ratkaise ensimmäisen kertaluvun ehdoista kriittiset pisteet laske kohdefunktion arvo kussakin niistä ja valitse paras TAI päättele kriittisistä pisteistä paras muulla tavoin Huom. periaatteessa Dh:n täysi rangi tulee myös tarkistaa Menettely 2: tee valistunut arvaus ratkaisulle ja sijoita se ensimmäisen kertaluvun ehtoihin, jos ehdot toteutuvat olet luultavasti arvannut oikein Huom. koska kyseessä on vain välttämätön ehto, Lagrangen funktion kriittiset pisteet (jopa paras niistä) ovat vasta kandidaatteja optimiksi Menettely 1 f(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = x 1 x 2 x 3 ja h 1 (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = x x ja h 2 (x 1 ; x 2 ; x 3 ) = x 1 + x 3 1 Toteutuuko Dh täyttä rangia? 2x1 2x nyt: Dh(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = rangi on 2 aina kun x 1 6= 0 tai x 2 6= 0 L(x; ) = x 1 x 2 x 3 1 (x x 2 2 1) 2 (x 1 + x 3 1) Ensimmäisen kertaluvun ehdot ovat rajoiteyhtälöt 1 = x 2 x x 1 2 = 2 = x 1 x x 2 = 3 = x 1 x 2 2 = 0 Yhtälörajoitteet mukaan lukien ratkaistavana on yhtälöryhmä, jossa on 5 yhtälöä ja 5 tuntematonta (yleisesti tuntemattomia ja yhtälöitä on n + m) 6

7 Ratkaistaan yhtälöryhmä seuraavasti eliminoidaan ensin 2 kolmannesta, koska tämä näyttäisi onnistuvan kaikkein helpoiten, 2 = x 1 x 2 eliminoidaan 1 toisesta (tämäkin näyttää melko helpolta), 1 = x 1 x 3 =x 2 sijoitetaan 1 ja 2 ensimmäiseen yhtälöön (kaikkialle missä niitä esiintyy paitsi niihin yhtälöihin, joista ne saatiin) Kolme ensimmäistä yhtälöä johtavat siis yhtälöön x 2 x 3 2[x 1 x 3 =(2x 2 )]x 1 x 1 x 2 = 0, eli sievennettynä x 2 2x 3 x 2 1x 3 x 1 x 2 2 = 0 Käyttämättä on vielä rajoiteyhtälöt, niistä saadaan x 2 2 = 1 x 2 1 ja x 3 = 1 x 1 ja nämä voidaan sijoittaa edellä saatuun yhtälöön Saadaan optimaaliselle x 1 yhtälö (1 x 2 1)(1 x 1 ) x 2 1(1 x 1 ) x 1 (1 x 2 1), joka on kolmatta astetta Yksi yhtälön juurista on x 1 = 1, kun x 1 6= 1 yhtälö voidaan jakaa puolittain (x 1 1):llä jolloin jäljelle jää neliöllinen yhtälö (sellaisethan ratkeaa näppärästi!) Neliöllisen yhtälön juuriksi saadaan ( 1 p 13)=6 Yhteensä saadaan viisi ratkaisukandidaattia (x 2 ja x 3 voidaan ratkaista kun x 1 tunnetaan): x = (1; 0; 0) ja x (0:4343; 0:9008; 0:5657) ja x ( 0:7676; 0:6409; 1:7676) Sijoittamalla kohdefunktioon havaitaan, että maksimi on x ( 0:7676; 0:6409; 1:7676) Menettely 2 Korjattu 4.3 max f(x) = (x 1 1) 2 + (x 2 1) 2 ja h(x) = x x Tehtävä voidaan tulkita geometrisesti, niin että maksimoidaan etäisyys pisteestä (1; 1) ympyrälle h(x) = 0 Geometrinen päättely sanoisi että ratkaisu on ( p 2; p 2) Ensimmäisen kertaluvun ehto: rajoiteyhtälö ja 2(x 1 1)+2x 1 = 0, 2(x 2 1) + 2x 2 = 0:Huomataan että ongelma on symmetrinen, joten rajoitteen toteuttaa x 1 ; x 2 on p 2:Näistä tavoitefunktioon sijoitettuna ( p p 2; 2) antaa suurimman arvon. Tällöin = ( p 2 1)= p 2: 7

8 1.6.3 Kuluttaja - Cobb-Douglas Kuluttaja, jolla hyötyfunktio (Cobb-Douglas hyötyfunktio) U(x 1 ; x 2 ) = x a 1x 1 2 a ja budjettirajoite h(x) = 0, missä h(x 1 ; x 2 ) = p 1 x 1 + p 2 x 2 I Johdetaan tehtävän ratkaisu p:n ja I:n funktiona, eli kysyntäfunktio! L(x; ) = x a 1x 1 2 a (p 1 x 1 + p 2 x 2 I) Huom. ei-degeneroituneisuus ehto toteutuu kun p 6= 0 Ens. krt. luvun ehto: budjettirajoite ja ax a 1 1 x 1 2 a p 1 = 0 ja (1 a)x a 1x2 a p 2 = 0 Näistä yhtälöistä (eliminoimalla toisesta ja sijoittamalla toiseen) saadaan (1 a)(x 1 =x 2 ) a a(x 1 =x 2 ) a 1 (p 2 =p 1 ) = 0 ja hieman sievennettynä p 1 (1 a) p 2 a(x 1 =x 2 ) 1 = 0 ja edelleen p 1 x 1 (1 a) p 2 x 2 a = 0 huom. oletetaan että x 1 ; x 2 > 0 optimissa Ratkaistavana on lineaarinen yhtälöpari, jossa toinen yhtälö on budjettirajoite ja toinen on edellä saatu yhtälö budjettirajoitteesta p 1 x 1 = I p 2 x 2 ja sijoitetaan tämä toiseen yhtälöön ja saadaan x 2 = (1 a)i=p 2 ja vielä x 1 = ai=p 1 8