Lukion ensimmäisen vuosikurssin pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuva

Lukion ensimmäisen vuosikurssin pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuva Tampereen yliopisto Kasvatustieteiden tiedekunta Opettajankoulutuslaitos Pro gradu -tutkielma Henri Saarivirta Toukokuu 2008

TAMPEREEN YLIOPISTO Kasvatustieteiden tiedekunta Opettajankoulutuslaitos, Tampereen toimipaikka SAARIVIRTA, HENRI Lukion ensimmäisen vuosikurssin pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuva Kasvatustieteen pro gradu -tutkielma, 64 sivua, 15 liitesivua Toukokuu 2008 TIIVISTELMÄ Tutkimuksen tavoitteena on tutkia, minkälainen matematiikkakuva lukion pitkän matematiikan aloittaneilla opiskelijoilla on ja millaisia erityyppisten opiskelijoiden matematiikkakuvat ovat. Oppijan asenteet, tunteet, uskomukset ja käsitykset matematiikasta vaikuttavat oppimistuloksiin. Opettaja on yksi tärkeä tekijä opiskelijan ympäristössä ja vaikuttaa merkittävästi tämän matematiikkakäsityksiin ja -asenteisiin. Opettajan kyky ymmärtää opiskelijoiden ajattelua ja toimintaa auttaa vaikuttamaan opiskelijoiden matematiikkakuvan muodostumiseen ja tätä kautta parempaan oppimisen tukemiseen. Matematiikkakuva voidaan jakaa komponentteihin: käsitykset matematiikasta tieteenä ja aineena, käsitykset itsestä matematiikan oppijana ja käyttäjänä sekä käsitykset matematiikan oppimisesta ja opetuksesta. Tutkimus suoritettiin kaksiosaisena. Kvantitatiivisella tapaustutkimuksella selvitettiin yhden lukion pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvia yleisellä tasolla ja vertailtiin eri opintolinjoilla opiskelevien, eri sukupuolta olevien sekä asenteeltaan ja suhtautumistavaltaan erilaisten opiskelijoiden matematiikkakuvia. Aineisto kerättiin kyselylomakkeella kohdekoulun jokaiselta ensimmäisen vuoden tavalliselta opiskelijalta. Tutkimuksella tavoitettiin 100 % näistä opiskelijoista. Kvalitatiivisella tutkimuksen osalla hankittiin lisätietoa kohdelukion opiskelijoiden matematiikkakuvista teemahaastattelemalla kymmenen erilaista pitkän matematiikan opiskelijaa. Kvalitatiivisen tutkimusosan keskeisin tavoite oli kuvata erityyppisten opiskelijoiden matematiikkakuvia. Tutkimuksen kvantitatiivinen aineisto analysoitiin SPSS for Windows 13.0 -ohjelmalla. Analyyseissä käytettiin frekvenssejä, keskiarvoja, kontingenssitauluja, Pearsonin khi2-testiä ja Mann-Whitneyn U-testiä. Kvalitatiivinen aineisto analysoitiin sisällönanalyysinä. Aineisto ensin litteroitiin, sitten teemoiteltiin haastatteluteemoittain ja tyypiteltiin vastaajatyypeittäin. Tuloksissa löydettiin eroja pitkän ja lyhyen matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvien välillä. Sen sijaan pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvissa sukupuolen merkitys ei ollut suuri. Pitkän matematiikan opiskelijoilla on myönteinen käsitys muun muassa omasta osaamisestaan, matematiikan avusta loogisen ajattelun kehityksessä ja käytännön sovellusten määrän kasvattamisesta opiskelussa. Eri tavalla matematiikkaan suhtautuvien ja asennoituvien opiskelijoiden välillä löytyi eroja joissakin käsityksissä. Kvalitatiivisessa tutkimuksessa löydettiin ja kuvattiin viiden perustyypin matematiikkakuvat. Avainsanat: matematiikkakuva, opiskelijan käsitykset, käsitykset matematiikasta, opiskelija, lukio

Sisältö 1. Johdanto... 1 2. Matematiikkakuva... 2 2.1 Matematiikkakuvan osa alueet... 3 2.2 Matematiikkakuvan komponentit... 5 2.3 Matematiikan luonne... 7 2.4 Matematiikkakuvan muutos... 8 2.5 Aikaisempia tutkimuksia... 9 3. Tutkimusongelmat ja kohde... 11 3.1 Tutkimusongelmat... 11 3.2 Tutkimusstrategiasta... 12 3.3 Kohderyhmä... 12 4. Tutkimusmenetelmät ja aineiston keruu kvantitatiivisessa osassa... 14 4.1 Aineiston keruu kvantitatiivisessa osassa... 14 4.2 Aineiston käsittely kvantitatiivisessa osassa... 17 5. Tutkimusmenetelmät ja aineiston keruu kvalitatiivisessa osassa... 22 5.1 Aineiston kerääminen kvalitatiivisessa osassa... 22 5.1.1 Teemahaastatteluun valinta... 22 5.1.2 Teemahaastattelun kulku... 24 5.2 Aineiston käsittely kvalitatiivisessa osassa... 26 6. Tulokset... 28 6.1 Opintolinjan merkitys matematiikkakuvaan... 28 6.1.1 Käsitykset matematiikasta tieteenä ja aineena... 29 6.1.2 Käsitykset matematiikan oppimisesta ja opetuksesta... 30 6.1.3 Käsitykset itsestä matematiikan opiskelijana... 31 6.2 Sukupuolen merkitys pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvaan... 33 6.3 Pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuva... 36 6.3.1 Käsitykset matematiikasta tieteenä ja aineena... 36 6.3.2 Käsitykset matematiikan oppimisesta ja opetuksesta... 41 6.3.3 Käsitykset itsestä matematiikan opiskelijana... 43 6.2.4 Viisi erilaista matematiikkakuvaa... 50 7. Johtopäätöksiä ja yhteenvetoa... 55 8. Luotettavuuden pohdintaa... 59 Lähteet:... 62 LIITTEET... 65

1 1. Johdanto Matematiikka on aine, joka herättää kaikissa tunteita ja mielikuvia. Hyvin monella ihmisellä käsitys tästä opetettavasta aineesta ja itsestä sen käyttäjänä on negatiivinen. Tämän tutkimuksen tavoitteena on tutkia, millainen on lukion pitkän matematiikan aloittaneiden opiskelijoiden matematiikkakuva ja millaisia ovat erityyppisten opiskelijoiden matematiikkakuvat. Oppijan asenteet, tunteet, uskomukset ja käsitykset matematiikasta vaikuttavat oppimistuloksiin. Opettaja on tärkeä tekijä opiskelijan ympäristössä. Hän vaikuttaa opiskelijan matematiikkakäsityksiin ja -asenteisiin. Opettajan kyky ymmärtää opiskelijoiden ajattelua ja toimintaa auttaa vaikuttamaan opiskelijoiden matematiikkakuvan muotoutumiseen positiivisemmaksi ja tätä kautta parempaan oppimisen tukemiseen. (Pehkonen 1995, 21-24.) Tavoitteena ei ole löytää absoluuttisia totuuksia opiskelijoiden käsityksistä, vaan herättää ajatuksia ja saada opettajia pohtimaan, millaisia käsityksiä erilaisilla opiskelijoilla oikeasti on matematiikasta ja miten he voivat vaikuttaa opiskelijoiden asenteisiin, tunteisiin ja käsityksiin. Toisaalta tavoitteena on selvittää yhden koulun matematiikkakuvaa yleisellä tasolla. Tutkija itse kokee aiheen tärkeäksi. Oppilaiden matematiikkakuvan tunteminen edesauttaa opettajaa ymmärtämään oppilaitaan, heidän toimintaansa ja ajatteluaan, ja ohjaamaan heitä mahdollisimman motivoituneeseen ja menestykselliseen opiskeluun. Lukion 1. vuosikurssin oppilaiden matematiikkakuvia ei myöskään ole tutkittu paljon, varsinkaan laadullisia menetelmiä käyttäen. Ensimmäisen vuosikurssin oppilaiden valintaa kohteeksi perustellaan sillä, että lukion opettajalla on vielä tässä vaiheessa koulupolkua hyvä vaikutusmahdollisuus oppijan matematiikkakuvaan. Keskittyminen pääasiassa pitkän matematiikan opiskelijoihin voidaan perustella sillä, että lyhyen ja pitkän matematiikan opiskelijat ja oppimäärät poikkeavat toisistaan niin paljon, että on aiheellista erotella ne erillisiksi tutkimuskohteiksi. Tutkimuksen analysointi ja käsittely on pyritty valitsemaan siten, että ne olisivat lukijan helposti ymmärrettävissä.

2 2. Matematiikkakuva Tutkimuksen keskeinen teoreettinen viitekehys muodostuu matematiikkakuvakäsitteen ympärille. Käsitettä matematiikkakuva ovat tutkimuksissaan käyttäneet muun muassa Schoenfeld (1985), Grigutsch ja Törner (1994), Pehkonen (1995), Pietilä (nyk. Laine) (2002) sekä Joutsenlahti (2005). Oppimisen tuloksiin vaikuttaa keskeisesti se, millaiset asenteet ja käsitykset oppijalla matematiikasta on. Oppilaat, joilla on muuttumattomat ja negatiiviset uskomukset ja käsitykset matematiikasta ja sen oppimisesta, voivat helposti ajautua passiivisiksi oppijoiksi, jotka keskittyvät ulkoa oppimiseen ymmärtämisen sijasta (Pehkonen 1995, 21). Opettaja vaikuttaa merkittävästi oppilaiden käsityksiin ja asenteisiin oppiaineesta. Oppilaiden ajattelun ja toiminnan ymmärtäminen antaa mahdollisuuden vaikuttaa matematiikkakuvan kehitykseen ja näin parempaan oppimisen tukemiseen (Pehkonen 1995, 24). Uskomukset ja käsitykset sekä oppiminen kulkevat kehää: Kokemukset vaikuttavat uskomusten muodostumiseen ja uskomukset vaikuttavat käyttäytymiseen matematiikan oppimistilanteissa. Oppilaan matematiikkakuva, hänen matematiikan käsitysjärjestelmänsä, toimii ohjausjärjestelmänä matemaattisessa käyttäytymisessä. (Pehkonen 1995, 21.) Pehkosen (1995, 22-23) mukaan oppilaan matemaattinen käyttäytyminen ohjautuu matematiikan oppimismotivaation, aikaisempien matematiikan kokemusten, matemaattisen tietouden ja matemaattisten oppimistarpeiden mukaan. Nämä tekijät ovat matematiikkakuvan taustalla. Käyttäytymiseen vaikuttavat myös ympäristön käsitykset käsitysjärjestelmän, matematiikkakuvan kautta. Seuraavassa on Pehkosen (1995, 22) kaavio matemaattisen käyttäytymiseen vaikuttavista tekijöistä.

3 Matemaattinen käyttäytyminen Motivaatio Kokemukset Matemaattinen tietoisuus Tarpeet Matematiikkakuva, käsitysjärjestelmä Ympäristön matemaattiset käsitykset Kuvio 1. Oppilaiden matemaattiseen käyttäytymiseen vaikuttavat tekijät Oppilaan ympäristössä on monia henkilöitä, jotka vaikuttavat oppilaan matemaattisiin käsityksiin. Matematiikan opettajan lisäksi niihin vaikuttavat muun muassa ystävien, sukulaisten, vanhempien, luokkatoverien ja toisten opettajien käsitykset. (Pehkonen, 1995, 23.) Myös eri medioista voi oppilas saada vaikutteita. Underhill (1990) puhuu tässä yhteydessä vaikutusten verkosta. 2.1 Matematiikkakuvan osa-alueet Matematiikkakuva muodostuu asenteista, tunteista, uskomuksista, käsityksistä sekä tiedoista (esim. Pietilä 2002). MATEMATIIKKAKUVA Asenteet Tunteet Uskomukset Käsitykset Tieto Kuvio 2. Matematiikkakuvan osa-alueet

4 Tieto voi olla joko objektiivista tai subjektiivista. Objektiivinen tieto on yleisesti hyväksyttyä tietoa. Se on yleensä tieteellisesti hyväksyttyä tietoa. Subjektiivinen tieto on tietoa, jota yksilö pitää totena, mutta joka ei välttämättä kelpaa objektiiviseksi tiedoksi. (vrt. Furinghetti & Pehkonen 2002.) Tunteet ovat intensiivisiä sekä suhteellisen nopeasti ilmeneviä ja katoavia. Ne voivat olla esimerkiksi suuttumusta, kauhua, pelkoa tai paniikkia. Positiivinen tunne voi syntyä esimerkiksi ahaa-elämyksenä. Haastavan tehtävän ratkaisemisen tuomat ilo ja tyytyväisyys ovat taas pitkäaikaisempia tuntemuksia. (Malmivuori 2001, 87-89.) Asenteet usein määritellään taipumuksena tai aikeena reagoida negatiivisesti tai positiivisesti johonkin asiaan, kuten ideaan, esineeseen, henkilöön tai tilanteeseen. Ne ovat kohtalaisen intensiivisiä ja pysyviä tunteita. (McLeod 1992, 581.) Asenteet sisältävät kiinnostusta, pitämistä ja nauttimista tai niiden vastakohtia. Pahimmillaan negatiivinen asenne matematiikkaa kohtaan tarkoittaa matematiikkakammoa. (Ernest 1989, 24.) Matematiikka on laaja alue, joten oppilaalla voi olla erilaisia asenteita eri osa-alueita kohtaan (McLeod 1992, 581). Uskomukset ovat kuten asenteetkin henkilökohtaisia näkemyksiä, joita ei välttämättä pystytä perustelemaan objektiivisesti. Uskomukset muodostuvat subjektiivisesta tiedosta tai subjektiivisesta tiedosta ja tunteesta. (vrt. Furinghetti & Pehkonen 2002.) Uskomukset ja asenteet ovat osittain päällekkäisiä. Uskomukset sisältävät enemmän tietoa ja asenteet tunteita. (Pietilä 2002, 22.) Matematiikan oppimiseen liittyviä uskomuksia voi olla esimerkiksi: "Tehtäviin voi olla vain yksi ratkaisu." "Koulussa opitulla matematiikalla on vain vähän tekemistä oikean elämän kanssa." (vrt. Schoenfeld 1992.) Yksilö ei tunnista kaikkia uskomuksiaan. Tiedostettuja uskomuksia voi kutsua käsityksiksi (esim. Pehkonen 1994, 180). Seuraavassa on kuvio eri osa-alueiden suhteista toisiinsa yksilön käsitysjärjestelmässä. Objektiivinen tieto on pääosin erillään muista osa-alueista. Subjektiivinen tieto, asenteet, tunteet ja uskomukset ovat toistensa kanssa osittain päällekkäisiä ja läheisessä vaikutussuhteessa keskenään. (vrt. Pietilä 2002.)

5 Kuvio 3. Matematiikkakuvan osa-alueiden suhteet 2.2 Matematiikkakuvan komponentit Matematiikkakuva voidaan jakaa komponentteihin. Aikaisemmat tutkijat, kuten Underhill, McLeod, Kloosterman ja Pehkonen ovat tehneet omat jakonsa. Kaikki jaot ovat pääpiirteittäin samanlaisia. Komponentteihin jako lähtee siitä ajatuksesta, että matematiikkakuva muodostuu käsityksistä matematiikasta sekä käsityksistä itsestä matematiikan parissa. Pehkosen (1995, 19) mukaan matematiikka voidaan jakaa neljään komponenttiin: 1) Käsitykset matematiikasta 2) Käsitykset itsestä matematiikan oppijana ja käyttäjänä 3) Käsitykset matematiikan opettamisesta 4) Käsitykset matematiikan oppimisesta Käsitykset matematiikasta -komponentti koostuu käsityksistä matematiikasta tieteenä ja aineena. Komponenttiin sisältyy käsityksiä matematiikan luonteesta ja hyödyllisyydestä. Käsityksiä voivat olla esimerkiksi Matematiikka muodostuu säännöistä. Lukion matematiikkaa ei tarvitse oikeassa elämässä. tai Matematiikka ei enää kehity tieteenä. Käsitykset itsestä matematiikan oppijana ja käyttäjänä -komponentti koostuu käsityksistä ja uskomuksista omaa osaamista ja omia kykyjä kohtaan. Tähän komponenttiin liittyy lä-

6 heisesti matemaattisen minuuden käsite. Käsityksiä voivat olla esimerkiksi Matematiikka on minulle vaikeampaa kuin muille. Haluan menestyä matematiikassa. tai Haasteelliset tehtävät tuntuvat minusta miellyttäviltä. Käsitykset matematiikan opettamisesta -komponentti koostuu käsityksistä opetusta kohtaan. Käsitykset liittyvät muun muassa opetuksen menetelmiin ja järjestelyihin sekä opettajan toimintaan ja rooliin. Käsityksiä voivat olla esimerkiksi Uudenlaisia opetusmenetelmiä tulisi käyttää enemmän. tai Matematiikan tehtävien pitäisi olla käytännöllisempiä. Käsitykset matematiikan oppimisesta -komponentti koostuu käsityksistä oppimisesta. Käsitykset liittyvät muun muassa siihen, miten oppiminen tapahtuu tai mikä oppimisessa on tärkeää. Käsityksiä voivat olla esimerkiksi Matematiikka on ulkoa oppimista. tai Oppimisessa nopeus on tärkeää. Käsitykset matematiikas- Käsitykset itsestä mate- Käsitykset matematiikan Käsitykset matematiikan ta matiikan oppijana opettamisesta oppimisesta - kouluaineena - itsevarmuus - opettamisen luonne - oppimisen luonne - matematiikan syntymi- - menestys ongelmanrat- - opetuksen järjestelyt - oppimisen järjestelyt sestä kaisussa - opettajan rooli - oppijan rooli - tieteenalana - itsenäisyyden aste - itsenäisyyden aste - oikeellisuuden kriteerit Kuvio 4. Matematiikan komponentit.. (Pehkonen 1995) Komponentit eivät ole täysin erillisiä, vaan menevät ristiin keskenään (Pehkonen 1999, 121).

7 2.3 Matematiikan luonne Käsitykset matematiikan luonteesta ovat merkityksellisiä oppijan matematiikan opiskelussa. Pehkonen (1999, 122) on muodostanut jaottelun Törnerin ja Grigutschin pohjalta: Ensimmäinen näkökulma: Työkalupakki. Matematiikka on työkalupakki, josta käyttäjä valitsee sopivan laskusäännön tai -rutiineja tarpeensa mukaan. Toinen näkökulma: Systeemi. Matematiikka on tarkkaan määritelty muodollinen järjestelmä. Systeemin sisällä toimitaan ankarien sääntöjen mukaan. Kolmas näkökulma: Prosessi. Matematiikka on prosessi. Käyttäjä toimii prosessin edetessä omien ratkaisujensa ja tarpeidensa mukaisesti. Pehkosen mukaan saattaa olla myös neljäs, soveltamisen näkökulma. Olennaista on keskittyä vain jakoon kahteen osaan: työkalupaketti/systeemi ja prosessi/soveltaminen. (Pehkonen 2001, 15.) Jokaisella opiskelijalla on elementtejä kaikista näkökulmista. Siinä, miten opiskelija painottaa näkökulmia käsityksessään matematiikan luonteesta, on eroja. Työkalupakki- ja systeeminäkökulmaa ajattelussaan painottavat opiskelijat helposti keskittyvät opettelemaan ulkoa ratkaisumalleja ja -menetelmiä. He yrittävät painaa mieleensä erilaisia työkaluja, ratkaisutapoja, joita he muistelevat kohdatessaan työkaluun sopivan tehtävän. He myös ajattelevat matematiikan olevan ankara järjestelmä, jonka sisällä ratkaisut on tehtävä tietyn kaavan ja mallin mukaan. He eivät helposti ajattele, että voisivat ratkaista eteen asetetun ongelman useammalla kuin yhdellä tavalla. He saattavat kuitenkin tiedostaa, että matemaattisiin ratkaisuihin on useita ratkaisutapoja siitä syystä, että heille on kerrottu niin. (vrt. Pehkonen 2001) Prosessi- ja soveltamisnäkökulmaa painottavat opiskelijat keskittyvät ymmärtämään suurehkoja asiakokonaisuuksia ja tarpeen tullen soveltamaan hallitsemaansa asiakokonaisuutta kulloinkin edessä olevaan ongelmaan. He myös mieltävät matemaattisen ongelmaratkaisun olevan tapahtumien ketju, jossa ongelmanratkaisija tekee tietoisia valintoja prosessin etenemisen suhteen ja ongelmanratkaisuun voidaan hakea vastauksia monia tapoja käyttäen. (vrt. Pehkonen 2001)

8 2.4 Matematiikkakuvan muutos Matematiikkakuva voi muuttua matematiikkakokemusten kautta. Opiskelija voi reagoida kokemukseen kolmella tavalla. Matematiikkakokemus ei mahdollisesti muuta matematiikkakuvaa mitenkään esimerkiksi siitä syystä, että opiskelija uskoo jo vanhojen kokemusten perusteella, ettei voi oppia. Toisaalta kokemus saattaa päästä jo muuttamaan matematiikkakuvaa, mutta syntynyt muutos on merkityksetön. Kolmas vaihtoehto on, että matematiikkakokemukset muuttavat olennaisesti matematiikkakuvaa. (Kaasila & Laine & Pehkonen 2004, 404.) Matematiikkakuvan muutoksessa uutta opiskelutapaa kokeiltaessa voidaan tunnistaa viisi vaihetta (vrt. Kaasila ym. 2004, 404-405): 1. Opiskelija tiedostaa tarpeen muuttaa matematiikkakuvansa ja haluaa muuttaa sitä. 2. Opiskelija muodostaa kuvan uuden ajattelutavan edellyttämästä opiskelutavasta. 3. Opiskelija kokeilee erilaista opiskelutapaa ja pohtii sen toimivuutta. 4. Opiskelija vakuuttuu uudesta ajattelutavasta. 5. Opiskelijan matematiikkakuva muuttuu, jolloin hänen käsityksensä ja puheensa muuttuvat positiivisemmiksi. Opettajan tulee pyrkiä opettaessaan opiskelijoita luomaan mahdollisuuksia matematiikkakuvan muutokselle, jolloin opiskelijoiden oppimisen edellytykset paranevat. Opiskelijoiden matematiikkakuvan muutosta edistäviä tekijöitä ovat muun muassa (vrt. Kaasila ym. 2004, 405-410): Onnistumisen kokemukset Itseluottamuksen kasvattaminen ja itsensä varmaksi kokeminen Matematiikasta innostuminen ja sen hyödylliseksi kokeminen Kannustava, keskusteleva, salliva ja turvallinen opiskeluilmapiiri Opiskelijan oman vastuun herääminen oppimisesta Omien kokemusten ja matematiikkakuvan pohtiminen

9 2.5 Aikaisempia tutkimuksia Matematiikkakuvaa ovat tutkineet muun muassa Schoenfeld (1985), Grigutsch ja Törner (1994), Pehkonen (1995), Pietilä (nyk. Laine) (2002) sekä Joutsenlahti (2005). Raimo Kaasinen on myös tutkinut ja kirjoittanut useita artikkeleita matematiikkakuvaan liittyvistä käsityksistä ja uskomuksista. Erkki Pehkonen on tutkinut muun muassa matematiikkakuvaa vertaillen käsityksiä eri maissa. Anu Pietilä (2002) on tutkinut luokanopettajaksi opiskelevien matematiikkakuvia. Hän keskittyi tutkimuksessaan tutkimaan luokanopettajaksi opiskelevien matematiikkakuvia opiskelun alussa ja kokemuksia niiden takaa; kokemuksia, joita opiskelijat kokivat ensimmäisen vuoden aikana sekä keskeisiä muutoksia matematiikkakuvissa tämän opiskeluvuoden aikana. Tutkimuksessaan Pietilä havaitsi, että vuoden opinnot kyseenalaistivat ja uudistivat opiskelijoiden matematiikkakuvaa. Heidän käsityksensä muuttuivat positiivisemmiksi ja he oppivat vuoden aikana paljon sekä aineenhallintaa että didaktiikkaa ja täten heidän matematiikkakuvansa tarkentuivat ja monipuolistuivat. Joutsenlahti Jorma Joutsenlahti on tutkinut tämän tutkimuksen tapaan pitkän matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvaa. Hänen väitöskirjatutkimuksensa väittämiä on käytetty suurelta osin myös tässä tutkimuksessa. Joutsenlahden väittämät taas olivat peräisin suurelta osin aikaisemmasta IEA-tutkimuksesta. Joutsenlahti keräsi aineiston 1990-luvulla useasta lukiosta. Hänen matematiikkakuvatutkimuksensa oli käytännössä kvantitatiivinen, toisin kuin tämä tutkimus. Myös näkökulma matematiikkakuvan tutkimiseen oli erilainen kuin tämän tutkimuksen. (Joutsenlahti 2005, 181-210.) Joutsenlahti teki tutkimuksessaan väittämistä frekvenssi- ja faktorianalyysejä ja esitti yhden lukion uskomuksia nelikentässä. Hän oli jakanut opiskelijat menestyksen mukaan ryhmiin ja tutki muodostamiensa faktorien esiintymisiä eri ryhmissä. Ryhmät hän oli nimennyt menestyjien, kypsyjien, suoriutujien ja pettyjien ryhmiksi. Suoriutujissa on myös alaryhmä luovuttajat. (Joutsenlahti 2005, 207-208.)

10 Joutsenlahden saamien tulosten perusteella menestyjillä on positiivinen kuva itsestä. Heidän ajattelussaan tulee esille prosessiluonne. Matematiikka on heille mieluisaa ja tärkeää. Kypsyjillä tulee esille myös prosessiluonnetta eikä vain työpakki -luonne. He ovat opintojen loppuvaiheessa heränneet opiskelemaan. Vaikeat tehtävät tuntuvat heistä mieluisilta haasteilta ja he uskovat, että työ tuo tulosta, jolloin he työskentelevät pitkäjänteisesti. Suoriutujat ajattelevat negatiivisesti itsestään oppijoina. Heidän ajatteluaan kuvaa työkalupakki -ajattelu. Heillä on vaikeuksia ymmärtää opiskeltavia käsitteitä ja opiskelun tahti on heille liian nopea. He arvostavat matematiikan tärkeäksi ja korostavat käytäntöä käsityksissään opetuksesta. Pettyjien kuva painottuu työkalupakki -näkökulmaan. Hyvä kurssimenestys antaa heille hyvän kuvan itsestä. He opiskelevat opintojen alussa pitkäjänteisesti. Huono menestys kirjoituksissa selittyy heidän mukaansa liian vähäisellä työllä. He uskovat työn määrän ratkaisevaan merkitykseen menestyksessä. (Joutsenlahti 2005, 207-208.) Joutsenlahti myös vertaili matematiikkaan liittyvien uskomusten muutoksia 1990-luvulla, matematiikkakuvan eroja eri opetussuunnitelmien mukaan opiskelevien opiskelijoiden välillä, sukupuolten välillä ja pakollisena tai ylimääräisenä matematiikan kirjoittavien välillä. Joutsenlahti ei löytänyt merkittäviä eroja sukupuolten välisissä matematiikkakuvissa. (Joutsenlahti 2005, 209-210.)

11 3. Tutkimusongelmat ja tutkimuksen kohde 3.1 Tutkimusongelmat Pääkysymykset: - Millainen matematiikkakuva lukion ensimmäisen vuoden pitkän matematiikan opiskelijoilla on? - Millaisia matematiikkakuvia erityyppisillä opiskelijoilla on? Kvantitatiivisen tutkimusosan on yksinään tarkoituksena vertailla pitkän matematiikan ja lyhyen matematiikan opiskelijoiden matematiikkakuvan sekä eri sukupuolten matematiikkakuvan eroavaisuuksia. Näitä tutkimuskysymyksiä ovat ohjanneet paljon kohdekoulun esittämät ajatukset mielenkiintoisista tutkimuksen aiheista. - Miten matematiikkakuvat eroavat lyhyen ja pitkän matematiikan opiskelijoiden välillä? - Miten matematiikkakuvat eroavat pitkän matematiikan opiskelijoiden keskuudessa tyttöjen ja poikien välillä? Molempien, sekä kvantitatiivisen että kvalitatiivisen, tutkimusosan tarkoituksena on löytää vastauksia pitkän matematiikan opiskelijoiden keskuudesta: - Millainen matematiikkakuva opiskelijoilla on kohdelukiossa yleisellä tasolla? - Miten matematiikkakuvat eroavat matematiikkaa tärkeänä pitävillä ja niillä opiskelijoilla, jotka eivät pidä matematiikkaa tärkeänä? - Miten matematiikkakuvat eroavat matematiikkaa vaikeana pitävillä ja niillä opiskelijoilla, jotka eivät pidä matematiikkaa vaikeana? Kvalitatiivisella tutkimuksen osalla yksinään on tarkoitus tutkia erilaisia matematiikkakuvia: - Millaisia matematiikkakuvia erityyppisillä opiskelijoilla on?

12 Millainen matematiikkakuva on? jakaantuu osakysymyksiin: - Millainen käsitys oppilailla on matematiikasta yleisesti? - Millainen käsitys oppilailla on itsestä sen oppijoina? - Millainen käsitys oppilailla on matematiikan oppimisesta ja opetuksesta? 3.2 Tutkimusstrategiasta Tutkimus on tapaustutkimus, jossa tutkitaan yhden koulun oppilaiden matematiikkakuvaa. Tutkimus on kaksiosainen. Tässä käytetään sekä määrällisiä että laadullisia menetelmiä. Eskolan ja Suorannan (1998, 65-66) mukaan laadullisessa tutkimuksessa on aina periaatteessa kyse tapauksesta. Tapaustutkimus on enemmänkin tutkimusnäkökulma kuin tutkimusmetodi. Tapaustutkimukset voidaan toteuttaa erilaisin metodein tai metodiyhdistelmin. Vaikka tämä tutkimus on puoliksi kvantitatiivinen, on tutkimuksen ajatuksena olla hengeltään kvalitatiivinen, laadullinen. Tavoitteena on enemmän opiskelijoiden ajattelun ja käsityksien selvittäminen kuin erilaisten ryhmien vertailu. 3.3 Kohderyhmä Kohderyhmänä tässä tutkimuksessa on yhden lukion kaikki ensimmäisen vuosikurssin oppilaat. Lukio on Kankaanpään Yhteislyseo Pohjois-Satakunnassa. Se on kaiken kaikkiaan noin 400 oppilaan koulu, joka on luokaton ja liikuntapainotteinen lukio. Siellä on myös luonnontieteellisesti painottunut linja. Koulussa opiskelee myös ns. yhdistelmäopiskelijoita. Koulu on tyypillinen pienehkön maalaiskaupungin ainoa lukio. Tähän lukioon sisäänpääsyraja on alhainen. Koulun ensimmäisen vuosikurssin oppilaista 83 on tavallisia lukiolaisia, joiden tavoitteena on suorittaa lukio ja kirjoittaa ylioppilaiksi. Näistä oppilaista tyttöjä on 56, joista taas pitkän matematiikan opiskelijoita on 22. Poikia on 27, joista pitkää matematiikkaa opiskelee 15.

13 Kuvio 5. Oppilasjakauma Matematiikan opettajia lukiossa on yhteensä neljä: kaksi opettajaa sekä pitkässää että lyhy- essä matematiikassa. Määrälliseen, kvantitatiiviseen osaan osallistuivat kaikki 83 kohdelukion ensimmäisen vuo- sikurssin tavallista oppilasta. Laadulliseen, kvalitatiiviseen haastatteluosaan osallistuii kymmenen valittua pitkän matematiikan syksyllä aloittanutta oppilasta. Pitkän matematii- kan opiskelijat ovat tutkimuksen keskeinen kohdejoukko.

14 4. Tutkimusmenetelmät ja aineiston keruu kvantitatiivisessa osassa Kvantitatiivisessa tutkimuksessa on mukana melko suuri otos ensimmäisen vuosikurssin oppilaita, 83 oppilasta, 100 % yhden koulun oppilaista, joten tuloksia voidaan pitää hyvin siirrettävinä vastaavanlaisiin tilanteisiin. Tämän tutkimuksen osan tavoite on kahdenlainen: 1. Antaa osaltaan vastauksia tutkimusongelmissa esitettyihin kysymyksiin. 2. Toimia tutkimusvälineenä kvalitatiivista osaa varten: auttaa löytämään sopivia kohteita haastatteluja varten. Kvantitatiivisen osion tiedonkeruumenetelmäksi valittiin lomakekysely kustannus-, ajankäyttö ja tavoitettavuussyistä. Menetelmänä kysely on tehokas. Sen avulla saadaan kokoon nopeasti ja helposti runsas aineisto. Siihen on helppo yhdistää paljon asioita ja siihen voidaan ottaa paljon henkilöitä. (Hirsjärvi ym. 2007, 190.) Kyselyn aineisto voidaan kerätä joko perinteisesti postikyselynä tai kontrolloituna kyselynä, joka voi olla henkilökohtaisesti tarkistettu kysely tai informoitu kysely. Informoidussa kyselyssä tutkija antaa kyselylomakkeet itse tutkittaville samalla informoiden tutkimuksesta ja vastaten mahdollisiin kysymyksiin. Vastausajan ollessa riittävä vastaajat palauttavat tutkijalle lomakkeet henkilökohtaisesti samassa tilaisuudessa. (Hirsjärvi ym. 2007, 191-192.) Tässä tutkimuksessa käytettiin informoitua kyselyä tutkimuksen kvantitatiivisessa osassa. 4.1 Aineiston keruu kvantitatiivisessa osassa Kyselylomakkeen laadinta Mittarin laadinnassa kyselylomakkeen (liite 1) pohjana käytettiin Jorma Joutsenlahden väitöstutkimuksessa käytettyjä väittämiä. Syy jo käytetyn ja toimivaksi todetun mittarin laajaan käyttöön on "paremman" aineiston varmistaminen. Muutama Joutsenlahden käyttämistä

15 väittämistä on jätetty pois erilaisista tutkimusongelmista johtuen. Toisaalta on lisätty joitakin väittämiä, joita on pidetty tärkeinä tai mielenkiintoisina. Joutsenlahden kyselystä ei käytetty sellaisia väittämiä, jotka selvittivät käsityksiä sukupuolen merkityksestä matematiikan opiskeluun. Kyselyyn lisättiin väittämiä oppilaiden omista kokemuksista. Kyselylomakkeen väittämät on jaoteltavissa matematiikkakuvakäsitteen osia mukaillen ryhmiin: 1. Yleisiä käsityksiä matematiikasta koskevat väittämät 2. Matematiikan opetusta ja oppimista koskevat väittämät 3. Minuutta matematiikassa koskevat väittämät Matematiikkakuvan ympärillä olevat osa-alueet, teemat Väittämät kyselylomakkeessa Yleisiä käsityksiä matematiikasta - matematiikan luonne - matematiikan hyödyllisyys 1, 17, 20, 22, 25, 28, 29, 30, 31, 35, 37, 40, 41 5, 6, 8, 9, 13, 14, 38, 45 Matematiikan opetuksen ja oppimisen käsityksiä 10, 15, 39, 43, 46 Minuus matematiikassa - matematiikka ja minä - kokemukset matematiikassa 2, 3, 4, 7, 18, 19, 21, 23, 26, 32, 33, 34, 36, 42, 44 11,12,16, 24, 27 Taulukko 1. Väittämien jaottelu. Kyselylomakkeessa väittämät on sekoitettu satunnaiseen järjestykseen. Lomake on taitettu A3-kokoinen paperi. Ensimmäisellä sivulla esitellään tutkija ja kysytään perustietoja, kuten nimi, sähköpostiosoite, opintojen laajuus, osallistuminen ylioppilaskirjoituksiin ja niin edelleen. Nimen ja yhteystietojen kysymiseen löytyy kahdenlaiset perustelut: tällä tavalla pyrittiin saamaan vastaajat ottamaan kysely riittävällä vakavuudella ja näin pystyttiin ottamaan yhteyttä kyselyllä löydettyihin haastateltaviin.

16 Ensimmäisellä sivulla annettiin ohjeita myös lomakkeen täyttöön. Ohjeilla pyrittiin kannustamaan vastaajia miettimään huolella vastauksiaan ja vastaamaan rehellisesti ilman kiirettä. Ohjeissa korostettiin myös tutkimuksen vastausten käsittelyn luottamuksellisuutta. Seuraavaksi ohjeissa neuvottiin, miten kyselylomakkeen väittämiin tulee vastata. Perinteisesti tämän tyyppisiin väittämiin vastataan viisiportaisella Likertin asteikolla, jolloin vastaaja miettii, mikä sopii parhaiten vastaajan käsityksiin: 1 = täysin eri mieltä, 2 = jonkun verran eri mieltä, 3 = en osaa sanoa, 4 = jonkun verran samaa mieltä, 5 = täysin samaa mieltä. Tässä tutkimuksessa edellä mainittua viisiportaista Likertin asteikkoa käytettiin opastamaan vastaajia. Kyselyn väittämiin vastattiin kokonaisluvulla nollan ja sadan välillä siten, että nolla tarkoittaa Olen aivan täysin eri mieltä ja sata tarkoittaa Olen aivan täysin samaa mieltä. Luku voitiin ymmärtää myös, kuinka moni prosenttisesti on samaa mieltä. Lomakkeeseen painettiin opastavaksi jaoksi: 0-20 = täysin eri mieltä, 20-40 = jonkun verran eri mieltä, 40-60 = ei osaa sanoa, 60-80 = jonkun verran samaa mieltä, 80-100 = täysin samaa mieltä. Ajatuksena oli, että vastaukset voitaisiin tarvittaessa muuttaa Likertin asteikon mukaisiksi. Käytettyä asteikkoa tutkija kutsuu tässä tutkimuksessa prosenttiasteikoksi. Poikkeavaan vastausasteikkoon on tutkijan mukaan kahdenlaiset syyt: 1. Likertin asteikon joustamattomuus. Se on muutamine portaineen erittäin kankea. Siinä on usein vaikea päättää, mihin alueeseen vastaus kuuluu. Toisaalta vaihteluväli yhden alueen sisällä on suuri. Esimerkiksi jos on samaa mieltä 60-prosenttisesti tai 79-prosenttisesti, kuuluu samaan vastausalueeseen, mutta todellinen ero mielipiteessä on suurehko. 2. Tilastolliset analysointimenetelmät. Likertin asteikko on selkeästi järjestysasteikon mukainen asteikko, josta yksittäisten vastauksien analysointi keskiarvoa käyttäen ei ole suotavaa, mutta tätä prosenttiasteikkoa voidaan pitää tietyllä tapaa välimatkaasteikkona, vaikka sen välimatkojen yhtä suuruutta voidaankin kritisoida. Kyselylomakkeen toisella ja kolmannella sivulla on 46 väittämää, joiden jälkeen on vastausruutu, johon vastaaja kirjoittaa ajattelemansa luvun. Väittämien jälkeen on kaksi kysymystä, joiden tarkoituksena on selvittää, kuinka vaikeana ja kuinka tärkeänä kaikkien ai-

17 neiden joukossa opiskelija pitää matematiikkaa: Kuinka monenneksi vaikein kouluaine matematiikka on sinulle? ja Kuinka monenneksi tärkein kouluaine matematiikka on sinulle? Näihin oppilaat vastasivat luvuilla, joita käytettiin yhdessä kyselyn lopussa olleiden avoimien kysymyksien kanssa löytämään sopivia haastateltavia tutkimuksen kvalitatiiviseen osaan. Avoimissa kysymyksissä kysyttiin, miten käsityksesi matematiikasta ja itsestäsi sen oppijana ja käyttäjänä on muuttunut viimeisen vuoden aikana ja miksi. Kyselyn suorittaminen Tutkimuksen suunnittelun yhteydessä otettiin hyvissä ajoin yhteyttä kohdekoulun rehtoriin ja tiedusteltiin kiinnostusta osallistumisesta tutkimukseen. Kohdelukio oli heti kiinnostunut. Informoitu kysely suoritettiin kevättalvella 2007. Kyselytilaisuus järjestettiin yhtenä tilaisuutena lukion kaikille ensimmäisen vuosikurssin oppilaille koulun auditoriossa, johon oppilaat oli kutsuttu keskusradion kautta muutamaa päivää aikaisemmin. Tilaisuuteen osallistui 81 oppilasta eli vain kaksi oppilasta kaikista mahdollisista oli poissa. Nämä kaksi oppilasta tutkija tavoitti seuraavalla viikolla, jolloin otoksesta saatiin 100-prosenttinen. Lomakkeet jaettiin auditorion ovella ja oppilaita pyydettiin istumaan joka toiseen tuoliin. Tilaisuuden alussa tutkija esitteli itsensä ja selitti tutkimukseen osallistuville, mistä koko tutkimuksessa on kyse. Hän selitti myös kvalitatiivisen tutkimusosan sisällön. Seuraavaksi tutkija antoi samat ohjeet kuin kyselylomakkeessa sekä suullisesti että PowerPoint-kalvolla (liite 2). Lisäksi korostettiin, että toivotaan vastausta jokaiseen väittämään selkeällä käsialalla. Värillinen kalvo, jossa olivat asteikon opastavat ohjeet, näkyi seinällä koko vastausajan. Vastausaikaa oli yksi kokonainen 45 minuutin oppitunti. Tunnin päätyttyä tutkija keräsi oppilailta lomakkeet heidän poistuessaan auditoriosta. 4.2 Aineiston käsittely kvantitatiivisessa osassa Aineiston keräämisen jälkeen kyselylomakkeet tarkastettiin ja vastaukset syötettiin vastausmatriisiksi SPSS 13.0 for Windows -ohjelmaan. Aineistomatriisiin tehtiin muuttujat kyselylomakkeen perusteella: nimi, sukupuoli, luokka, opettaja, opintojen laajuus, muu linja, yo-

18 kirjoittaminen, jokaiselle väittämälle (1 46) muuttuja ryhmiteltynä matematiikkakuvan komponenteittain sekä vaikein- ja tärkein-muuttujat. Vastauksia tuli kaikkiaan 83 kappaletta eli kaikilta halutuilta. Lomakkeissa ei ollut puutteita ja jokainen vastaus kyettiin lukemaan. Ainuttakaan lomaketta ei tarvinnut hylätä edes osittain. Vaikka tämä tutkimuksen osa oli kvalitatiivinen, tutkijan mielestä kyselyn vastausten analysointi tässä tutkimuksessa on sisällönanalyysiä. Analyysin alkuvaiheessa ajettiin erilaisia analyysejä, tunnuslukuja aineistosta, joita tutkija kävi läpi tutustuakseen saatuun aineistoon. Tässä vaiheessa tutkijalle muodostui jo alustava käsitys aineistosta nousevista mielenkiintoisista tuloksista. Väittämien vastaukset muutettiin myös Likertin asteikkoon, jotta voitiin ajaa frekvenssejä ja tehdä ristiintaulukoita niillä. Aineistosta matematiikan tärkeyttä ja vaikeutta kuvaavat vaikein- ja tärkein-muuttujat muutettiin kahteen luokkaan: matematiikka on vaikeaa ja ei niin vaikeaa ja matematiikka on tärkeää ja ei niin tärkeää. Oppilaat, jotka kokivat matematiikan kuuluvan kolmen vaikeimman aineen joukkoon, kuuluvat luokkaan vaikeaa ja oppilaat, jotka kokivat matematiikan kolmen tärkeimmän aineen joukkoon, kuuluvat luokkaan tärkeää. Analysoinnissa ja tulosten esittelyssä on käytetty frekvenssejä, ristiintaulukoita Pearsonin 2 -testin kanssa ja kahden ryhmän keskiarvojen vertailuja U-testin kanssa. Tunnusluvuista ajettiin erilaisia keskiarvoja ja hajontoja kaikille väittämien vastauksille. Näiden tunnuslukujen laskemista ja kahden ryhmän keskiarvojen vertailuja U-testin kanssa voidaan kritisoida. Vaikka vastausasteikkoa voidaan pitää prosenttiasteikkona ja näin periaatteessa jopa suhdeasteikkona, on se kuitenkin oikeataan vain järjestysasteikko, jonka välimatkoja ei voida pitää yhtä suurina. Voidaan myös miettiä, kuinka eri lailla tutkittavat mieltävät esimerkiksi 55-prosenttisen samanmielisyyden. Tutkija pitää kuitenkin huolellisista ohjeista johtuen vastaajien käsityksiä lukujen merkityksistä samankaltaisina. Keskiarvojen laskentaa on käytetty, kun se on ollut perusteltua informatiivisista syistä. Luokittelemalla saaduista uusista muuttujista tehdyt analyysit eivät välttämättä aina anna oikeaa kuvaa kahden joukon eroista. Esimerkiksi jos toisen ryhmän vastaajat kaikki vastaisivat olevansa 41- prosenttisesti samaa mieltä ja toisen ryhmän vastaajat 59-prosenttisesti, kuuluisivat kaikki vastaajat kuitenkin luokiteltuun ei osaa sanoa -joukkoon.

19 Analysoinnissa olisi voitu käyttää myös summamuuttujia, jotka olisi muodostettu sopivasti väittämistä. Kuitenkin tutkijan mielestä hyvin valittu yksittäinenkin väittämä voi olla informatiivisempi kuin onnistuneesti muodostetut summamuuttujat. Esimerkiksi väittämä Matematiikka on yksinoppimista. kuvaa osaltaan erinomaisesti opiskelijan käsitystä matematiikan luonteesta. Väittämien käyttö antaa tutkijan mielestä myös laadullisen tuntuman tutkimustuloksiin ikään kuin ne olisivat tutkittavien suoraan sanomia, eivätkä vain laskettuja tilastollisia suureita, jotka ovat tutkijan sopivasti nimeämiä. Tällöin myös lukija voi tehdä helpommin tulkintoja analyysista ja pohtia tuloksen luotettavuutta. Frekvenssi Frekvenssi kuvaa tietyn havaintoarvon esiintymiskertojen lukumäärä tilastoaineistossa. Tässä tutkimuksessa frekvenssejä on käytetty kuvaamaan vastausosumien määrää vastausten perusteella muodostetuissa luokissa. Luokat on muodostettu, kuten ohjeistuksessakin, seuraavasti: 0-20 = täysin eri mieltä, 21-40 = jonkun verran eri mieltä, 41-60 = ei osaa sanoa, 61-80 = jonkun verran samaa mieltä, 81-100 = täysin samaa mieltä. Koska kokonaislukuja on nollan ja sadan välillä 101 kappaletta on ensimmäisessä luokassa 21 lukua. Esitetyt frekvenssit ovat luokkafrekvenssejä. Frekvenssien esittämiseen käytetään usein pylväsdiagrammeja. (Metsämuuronen 2002, 16-18.) Ristiintaulukot ja Pearsonin 2 testi Ristiin- eli kontingenssitaulukoissa esitetään yleensä kahden kategorisen muuttujan vertailua. Taulukossa esitetään, kuinka monta toisen muuttujan luokkaan kuuluvaa havaintoa kuuluu toisen muuttujan kuhunkin luokkaan. Usein frekvenssien lisäksi taulukoissa esitetään prosentuaaliset osuudet. (Nummenmaa 2004, 293.) Pearsonin 2 -testiä voidaan käyttää kahden kategorisen muuttujan yhteyden tarkasteluun. Odotettu frekvenssi voidaan laskea molempien muuttujien frekvensseistä, jonka jälkeen jokaisesta taulukon frekvenssistä vähennetään vastaava odotettu frekvenssi. Erotus korotetaan toiseen potenssiin ja jaetaan odotetulla frekvenssillä, jonka jälkeen kaikki saadut osamäärät lasketaan yhteen: Χ. Tämän jälkeen lasketaan vapausaste df, joka on rivien määrän, josta on vähennetty yksi, ja sarakkeiden määrän, josta on vä-

20 hennetty yksi, tulo: df = (rivit 1) (sarakkeet 1). Kahden Likertin asteikollisen muuttujan vapausaste on neljä, jos havaintoja on kaikissa luokissa. 2 -jakauman kriittisten arvojen taulukosta voidaan lukea, jääkö nollahypoteesi voimaan. Jos testisuureen arvo on pienempi kuin kriittinen arvo, nollahypoteesi jää voimaan. Nollahypoteesi on, että ryhmien jakaumat ovat samanlaiset. (Nummenmaa 2004, 294-295.) Kriittinen arvo vapausasteen ollessa neljä, kun p on pienempi tai yhtä suuri kuin 0,05, on 9,4877 (Nummenmaa 2004, 385). Kahden ryhmän keskiarvojen vertailu ja U testi Lukujonon aritmeettinen keskiarvo on jonon jäsenten summa jaettuna sen jäsenten lukumäärällä. Kahta ryhmää vertailtaessa lasketaan kummallekin ryhmälle erikseen keskiarvot. Jos keskiarvot poikkeavat toisistaan, ryhmissä on eroa. Tavallisesti keskiarvojen erojen merkitsevyyteen käytetään parametrisiä t-testejä. Tässä tutkimuksessa käytetään kuitenkin Mann-Whitneyn U-testiä. Mann-Whitneyn U-testi on epäparametrinen vastine t-testeille. Sitä voidaan käyttää, kun t- testin oletukset eivät ole voimassa. U-testi on käyttökelpoinen järjestysasteikollisten muuttujien analyyseissä. (Nummenmaa 2004, 250.) Tässä tutkimuksessa käytetty samanmielisyyden prosenttiasteikko on periaatteessa 101-portainen järjestysasteikko, ja näin U-testin käyttö on perustellumpaa kuin t-testien. U-testiä voidaan käyttää myös silloin, kun havaintojen määrä on melko pieni, eikä olla varmoja populaation normaalijakautuneisuudesta (Metsämuuronen 2002, 58). U-testisuure lasketaan seuraavasti: Ensin havaintoarvot asetetaan suuruusjärjestykseen ja annetaan järjestysluvut. Tämän jälkeen verrataan järjestyslukujen summaa tutkittavan muuttujan eri luokissa. Ajatuksena on, että toisessa ryhmässä summa olisi huomattavasti suurempi, jolloin havainnot ovat olleet suurempia, ja siten mediaanit ovat erisuuruiset. U- testisuure lasketaan kaavalla seuraavasti:, missä on havaintojen määrä ensimmäisessä ryhmässä ja on havaintojen määrä toisessa ryhmässä ja on järjestyslukujen summa toisessa ryhmässä. (Nummenmaa 2004, 250-251.) Esimerkiksi tässä tutkimuksessa matematiikan tärkeäksi kokevia opiskelijoita on 20 ja ei-niin-tärkeäksi kokevia on 17. Tällöin U-testin kriit-

21 tinen arvo on 93, kun p on 0,01. Jos testisuureen arvo on pienempi tai yhtä suuri kuin 93, niin jakaumat ovat ryhmien välillä erilaiset. (Nummenmaa 2004, 387).

22 5. Tutkimusmenetelmät ja aineiston keruu kvalitatiivisessa osassa Tämän laadullisen tutkimuksen osan tavoite on tutkia tarkemmin, miten matematiikkakuva eroaa erilaisten pitkän matematiikan opiskelijoiden keskuudessa ja tätä kautta kuvata erilaisia matematiikkakuvia. Menetelmänä aineiston keräämisessä käytettiin teemahaastattelua, jossa kysymyksiä ei oltu etukäteen tarkkaan strukturoitu, mutta haastatteluissa käytiin läpi kaikkien haastateltavien kanssa samat teemat, jotka perustuvat matematiikkakuvan komponentteihin. 5.1 Aineiston kerääminen kvalitatiivisessa osassa 5.1.1 Teemahaastatteluun valinta Kvalitatiiviseen eli laadulliseen tutkimuksen osaan osallistui kymmenen ennalta huolella valittua pitkän matematiikan opiskelun syksyllä aloittanutta lukiolaista. Kvantitatiivisen tutkimusaineiston keräämisen jälkeen aineistosta haettiin teemahaastatteluun erilaisia tyyppejä sen perusteella, kuinka tärkeänä tai vaikeana he pitävät matematiikkaa, käyttäen aineiston vaikeus- ja tärkeys-muuttujia. Tarkoituksena oli löytää haastateltaviksi neljää eri tyyppiä olevat haastateltavat, jotka valittiin kvantitatiivisen aineiston pohjalta sen perusteella, kuinka monenneksi tärkeäksi ja vaikeaksi koulun oppiaineeksi he matematiikan kokivat. Näin saatiin neljä erilaista yhdistelmää: 1. Ei-niin-tärkeää Ei-niin-vaikeaa -opiskelijat 2. Tärkeää Ei-niin-vaikeaa -opiskelijat 3. Ei-niin-tärkeää Vaikeaa -opiskelijat 4. Tärkeää Vaikeaa -opiskelijat Jokaisesta tyypistä kutsuttiin haastatteluun kaksi edustajaa. Tarkoituksena oli myös, että nämä kaksi haastateltavaa olisivat keskenään erilaiset paitsi sukupuolensa niin myös kvantitatiivisen lomakkeen vastausten ja avoimen kysymyksen perusteella. Aineistosta valittiin myös haastatteluun kaksi oppilasta omaksi kategoriakseen Pitkästä matematiikas-

23 ta luopuneet - Tosi vaikeaa. He olivat molemmat poikia. Yksikään tyttö ei ollut luopunut pitkä matematiikasta. Haastatteluihin valikoituivat seuraavassa esitellyt kymmenen opiskelijaa. Haastateltavien nimet on muutettu. Ei-niin-tärkeää Ei-niin-vaikeaa -tyypin haastateltavat olivat Sanna ja Teemu. Sanna on tyttö, jonka mielestä matematiikka on hyödytöntä. Hän pitää itseään keskivertona matematiikassa. Hän ei mielestään jaksa kauan panostaa yhteen asiaan. Teemu on poika, jonka mielestä matematiikkaa voi tarvita päivittäin, mutta ei pitkää matematiikkaa tarvita kovin monilla aloilla. Hän ei pidä itseään ihan hyvänä ja on mielestään aika laiska. Teemulle matematiikka on tärkeämpää kuin hän antaa ensin ymmärtää. Tärkeää Ei-niin-vaikeaa -tyypin haastateltavat olivat Vili ja Tanja. Vili on poika, jonka mielestä matematiikka on ihan hauskaa. Hän on matematiikan opiskelussa mielestään vaihtelevasti ahkera. Tanja on tyttö, jonka mielestä matematiikka on yleismaailmallista ja sitä tarvitaan ihan kaikkeen. Hän on erittäin pitkäjänteinen ja ahkera opiskelija. Ei-niin-tärkeää Vaikeaa -tyypin haastateltavat olivat Meri ja Juuso. Meri on tyttö, jonka mielestä matematiikka on turhaa. Hän ei mielestään ymmärrä matematiikassa mistään mitään. Juuso on poika, jonka mielestä matematiikasta voi kai olla joskus hyötyäkin jossain. Hän on mielestään laiskanpuoleinen eikä erityisen lahjakas. Tärkeää Vaikeaa -tyypin haastateltavat olivat Paula ja Jani. Paula on tyttö, jonka mielestä matematiikka on erityisen hidasta oppia. Hän on mielestään ahkera, mutta hän ei ole kovin hyvä siinä. Jani on poika, jonka mielestä matematiikka tarvitaan paljon, jos menee yliopistoon. Hän on mielestään melko laiska opiskelija, jolle kirjainlaskenta ei aukea. Pitkästä matematiikasta luopuneet - Tosi vaikeaa -tyypin haastateltavat olivat Leevi ja Pasi.

24 Leevi on poika, jonka mielestä matematiikkaa tarvitaan monissa asioissa. Hän on mielestään vähän laiska opiskelija ja vaihdettuaan lyhyeen matematiikkaan sellainen normaali. Pasi on poika, jonka mielestä matematiikka on mukavaa, vaikka se meni vain huonosti pitkässä matematiikassa. Hän on palauttanut uskon omiin kykyihinsä vaihdettuaan lyhyeen matematiikkaan ja on nyt tunnollinen opiskelija. Haastateltaville lähetettiin kutsut kirjeellä (liite 3) hyvissä ajoin ennen haastattelua. Kutsussa pyrittiin innostamaan ja saamaan kohteet kiinnostumaan haastattelusta. Siinä kerrottiin, miten valmistautua haastatteluun, jotta haastateltava voi halutessaan pohtia etukäteen mielessään omia kokemuksiaan, tavoitteitaan ja käsityksiään itsestään matematiikan opiskelussa. Kutsussa myös toistettiin tutkimuksen luottamuksellisuus. Siinä kerrottiin, että haastattelu tallennetaan. Lopuksi ilmoitettiin kutsuaika ja -paikka sekä tutkijan yhteystiedot. 5.1.2 Teemahaastattelun kulku Haastattelut järjestettiin huhtikuussa 2007. Ne pidettiin kouluaikana koulun tiloissa. Niitä varten saatiin käyttöön pieni toimistohuone, jossa haastattelut voitiin viedä rauhallisissa oloissa kolmen päivän aikana läpi. Haastattelut pidettiin tunnin välein siten, että ensimmäisenä päivänä oli kaksi haastattelua ja kahtena seuraavana molempina neljä. Ne kestivät kahdestakymmenestä minuutista puoleen tuntiin. Haastattelujen aikana oli tarjolla virvoitusjuomia ja kahvia. Haastatteluun mentäessä haastattelija oli tutustunut haastateltavaan kvantitatiivisen tutkimuksen vastausten pohjalta. Haastattelun alussa pyrittiin rentoutumaan lyhyen Smalltali-tuokion ja ohjeistuksen aikana. Ohjeistuksessa muistutettiin tallennuksesta ja kannustettiin käyttämään aikaa niin paljon kuin haastateltavasta tuntui tarpeelliselta. Haastattelut tallennettiin digitallentimella. Teemahaastattelun kulkua ohjasivat teemat. Kysymyksiä ei oltu tarkkaan strukturoitu, vaan haastattelijaa ohjasi haastattelun läpi käsitekartta (kuvio 5), johon oli kirjoitettu teemat, apukysymyksiä ja mahdollisesti käytettäviä väittämiä. Haastattelija valitsi haastattelun ku-

25 luessa tarkemman sanamuodon tai tavan, jolla selvitti teemaa haastateltavalta. Haastatte- lija saattoi käyttää myös kyselylomakkeen väittämiä kysymyksen sijasta, jos untui siltä, että kysymys saattoi johdatellaa haastateltavaa johonkin suuntaan. Väittämät toimivat usein neutraalimpana kysymyksenä kuin suorat kysymykset. Tarkoituksena oli, että haastatte- lussa edettäisiin teemasta toiseen luonnollisemminn ja rennommassa tunnelmassa, kuin jos kysymykset olisi menty peräjälkeen tietyllä tavalla. Teemat oli muodostettu matematiikka- kuvan komponenttien pohjalta. Kuvio 5. Haastattelussa käytetty käsitekartta. Haastattelujen kulkuu oli kaikissa samankaltainen. Perusrunkona haastatteluissaa ilman jat- kokysymyksiä olisivat voineet olla seuraavalla tavalla muodostetut kysymykset: Miten kuvailisit matematiikan luonnetta? Miten matematiikassa voi olla luovuudesta hyötyä? Onko siitä? Miten ennaltaa sidottua tai - määrättyä matematiikka on? Mihin matematiikkaa tarvitaan? Mihin sinä tarvitset matematiikkaa? Jatko-opintoihin?

26 Miksi valitsit juuri pitkän matematiikan? Mikä motivoi opiskelemaan matematiikkaa? Millaisia tavoitteita sinulla on lukiossa matematiikassa? Entä onko suunnitelmia tulevaisuuden suhteen? Millaisia kokemuksia sinulla on ollut matematiikassa? Millainen matematiikan oppija sinä olet? Millaisia ominaisuuksia matematiikan oppijalla on hyvä olla? Onko matematiikka yksin oppimista? Miten matematiikkaa opitaan? Pitääkö matematiikan oppimisessa opetella paljon ulkoa? Millaisella taktiikalla, tekniikalla tai menetelmällä matematiikassa voi menestyä? Miten sinun opiskelemisesi tapahtuu? Kuvaile prosessia. Millaista matematiikan opetus on lukiossa ollut? Jos olisit opettajasi neuvonantaja, mitä muuttaisit hänen opetuksessaan? Mikä on matematiikassa vaikeinta? 5.2 Aineiston käsittely kvalitatiivisessa osassa Tämän tutkimuksen kvalitatiivisen osan analysoinnissa käytettiin sisällönanalyysiä. Kynkään ja Vanhasen (1999, 3-12) mukaan sisällönanalyysi on menettelytapa, jolla analysoidaan dokumentteja systemaattisesti ja objektiivisesti. Käsitteellä dokumentti on tässä yhteydessä löyhä määrittely: se voi tarkoittaa esimerkiksi kirjoja, artikkeleita, kirjeitä, haastatteluja, puheita, dialogeja tai raportteja. Sisällönanalyysi on tekstianalyysiä, jonka tavoitteena on etsiä tekstin merkityksiä. Analyysimenetelmän tavoitteena on kuvata tiivistetyssä ja yleisessä muodossa tutkittavaa ilmiötä. Sisällönanalyysissä voidaan erottaa kaksi sisällönanalyysitapaa: sisällön analyysi ja sisällön erittely. Sisällönanalyysilla tarkoitetaan pyrkimystä kuvata dokumenttien sisältöä sanallisesti ja sisällön erittelyllä tarkoitetaan dokumenttien analyysiä, jossa kuvataan kvantitatiivisesti tekstin sisältöä. (Tuomi & Sarajärvi 2004, 105-106.) Tässä tutkimuksessa sisällönanalyysi on sisällön analyysiä.

27 Teoriasidonnaisessa analyysissä teorian, aikaisemman tiedon, kehys ohjaa analyysia. Tämän analyysin aineiston hankintaa ja tutkivan ilmiön käsitteen määrittelyä ohjaavat ilmiöstä jo tiedetyt asiat. Analyysin taustalla on usein ajatuksena käsitellä jo tunnettua tietoa ja aineiston tietoa samassa ajatteluprosessissa. (Tuomi & Sarajärvi 2004, 98-99.) Tässä tutkimuksessa koko tutkimusprosessia ohjasi paljon jo aikaisemmissa tutkimuksissa määritellyn matematiikkakuvakäsitteen sisältö ja rakenne. Aineiston analyysissä kaikki haastattelut ensimmäiseksi litteroitiin, jotta ne voitaisiin käydä huolella läpi ja etsiä mielenkiintoa herättäviä kohtia. Sisällönanalyysissä aineiston luokittelu, tyypittely tai teemoittelu ymmärretään usein varsinaiseksi analyysiksi. Nämä analyysitekniikat ovat erilaisia muotoja aineiston järjestämiseksi. Luokittelu on muodoista yksinkertaisin. Se on teemojen kvantitatiivista analyysiä. Teemoittelussa painottuu se, mitä eri teemoista on sanottu. Tyypittelyssä aineisto ryhmitellään tyypeiksi. (Tuomi & Sarajärvi 2004, 95.) Tässä tutkimuksessa pyrittiin etsimään sekä erilaisuuksia että samanlaisuuksia erityyppisten opiskelijoiden välillä. Sisällönanalyysissä käytettiin tyypittelyä ja teemoittelua. Aineisto jaettiin vastaajatyyppien perusteella tyyppeihin ja käsiteltävien asioiden perustella teemoihin. Aineistosta nousseet merkitykselliset haastateltavien sanomat asiat koottiin vastausmatriisiksi (Liite 4). Matriisissa sarakkeissa vaihtuvat erityyppiset vastaajat ja riveillä erilaiset teemat. Tämän jälkeen aineistosta poimittiin esiinnousevat käsitykset vastaajatyypeittäin ja luotiin kuva viidestä erityyppisestä opiskelijan matematiikkakuvasta.