SÄHKÖMAGNETISMI (7OP)

SÄHKÖMAGNETISMI 190202 (7OP) Kevät 2009 Luennoitsija: Lehtori Markku Saarelainen (KY) Työskentelymuodot: Luennot 48 h Laskuharjoitukset k 24 h Omatoiminen opiskelu n.110 h Suoritusmuodot: kaksi välikoetta laskuharjoituksista 30% (tehtäviä on yhteensä 5 * 12) Lisälukemista: Vapaaehtoisesti hankittavissa Luentomoniste o (A. Passoja), Kurki-Suonio, o, Grant & Phillips. (Opinto-oppaan mukaiset teokset)

KURSSIN SISÄLTÖ 1. Johdanto 2. Staattinen sähkökenttä 3. Tasavirta 4. Staattinen magneettikenttä 5. Sähködynamiikka 6. Muuttuvat sähkövirrat 7 Maxwellin lait

1. JOHDANTO -KURSSIN TAVOITTEET Yleissivistävät i i ät perusteet t sähkömagneettisen teorian ymmärtämiselle. Perehtyminen sähkö- ja magneettikenttien staattisiin ja dynaamisiin vuorovaikutusilmiöihin. Maxwellin yhtälöiden fysikaalinen ja matemaattinen tulkinta. Maxwellin yhtälöt ovat eräitä fysiikan keskeisimpiä tuloksia. Suuri merkitys nykyisen teknologian kehittymiselle. Perusyhtälöt ovat edelleen lähtökohta uusien sovellusten taustalla Maxwellin yhtälöihin tukeudutaan tieteen ja tekniikan eturintamassa tänäänkin.

1. JOHDANTO -MAXWELLIN YHTÄLÖT Laki Integraalimuoto Differentiaalimuoto Vaihevektorimuoto Gauss (E) q d ρ ρ E A = = = v v D D% % ε A 0 Gauss (B) B d A = 0 B = 0 B% = 0 Ampere Faraday A C dφ D E B dl = μ I + μ ε H = j + H% = % j+ jωd% 0 0 0 dt t E d l C dφ = dt B B E = E% = jωb t

1. JOHDANTO - MATEMAATTISET MENETELMÄT Tarpeellisia matemaattisia työkaluja gradientti, divergenssi, roottori ja Laplace operaattorit karteesisessa, sylinteri- ja pallokoordinaatistossa. Viiva-, pinta- ja tilavuusintegraalit Teoreemat: divergenssiteoreema, eli Gaussin teoreema, Stokesin teoreema, Helmholzin teoreema Tarpeellisia myös skaalaustekijät, siirtymäalkiot ja yksikkövektorit sekä muunnokset koordinaatistojen välillä SOP tentin liitteet

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS Hankauskoe: kahdenlaisia varauksia: positiivisia ja negatiivisia. Varhaisimmat havainnot n. 300 eaa. Meripihkaa (kreik. elektron) hangattiin villalla pihka veti puoleensa keveitä esineitä. Meripihkakoe on esimerkki sähköstaattisesta varautumisesta. Hankaussähkökokeissa havaittu: varatut kappaleet joko hylkivät toisiaan tai vetävät toisiaan i puoleensa kahden erilaisen i varauksen olemassa olo: positiivisen ja negatiivisen. (kuva) Käsitteet: Neutraali, positiivinen, negatiivinen Varautuneita hiukkasia siirtyy kahden kappaleen välillä toinen kappale saa ylimäärän ja toinen alimäärän jotain varauslajia. Systeemin kokonaisvaraus säilyy.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS Kaikki sähkömäärät (Q) elektronin varauksen monikertoja alkeisvaraus e 1,6 10-19 C Atomin sähköinen koostumus: elektronit (-e) ja protonit (+e). Elektronien yli tai alijäämä ionit. Perusvuorovaikutuksista sähköinen on lyhyillä (ihmisen mittakaava) etäisyyksillä paljon voimakkaampi, kuin gravitaatio, heikko ydinvoima tai vahva ydinvoima.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ- SÄHKÖVARAUS kappaleen kokonaisvarauksen aiheuttava yli tai alijäämä on luku- ja sähkömäärältään mitätön (kerroin luokkaa 10-12 ) verrattuna kappaleen sisältämiin muihin varauksiin, jotka kuitenkin tasaisesti kumoavat toisensa silti tämä pieni ero negatiivisten ja positiivisten alkeisvarausten määrässä riittää aiheuttamaan makroskooppisesti merkittäviä vuorovaikutuksia. (sähköstaattiset ilmiöt ja laitteet). Pohdintaa: Litrassa vettä on 55,6 mol vesimolekyyliä, eli 53,55 MC positiivisia ja negatiivisia varauksia...

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUKSET JOHTEESSA Johteet vapaita varauksenkuljettajia: elektroneja Metallihila: atomit järjestäytyneet kuutiollisiksi rakennelmiksi. Metallisidos: uloimman elektronikuoren 1-3 elektronia yhteiseen elektronimereen. Metallisidokseen näennäinen oktettiehto. tti Elektronit vapaita liikkumaan materiaalissa. Myös positiiviset kationit voivat liikkua hilassa sidosten murtumatta (taottavuus). Varattu johdekappale: Kappaleesta poistettu (positiivinen kok. varaus) tai siihen tuotu elektroneja (negatiivinen kok. varaus). Elektronit hylkivät toisiaan mahdollisimman paljon varaus jakautuu aina kappaleen pinnalle. Sähköstaattisesti varatun johteen sisällä nettovaraus aina = 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUKSET ERISTEESSÄ Eristeet: t ei vapaita varauksen kuljettajia. Eristeeseen tuotu varaus jää paikalleen Eristekappaleen molekyylien elektronipilvet suuntautuvat ulkoisen kentän vaikutuksesta eristekappaleen pinnoille + ja pintavarauskatteet. huom. läpilyönti suurissa kentissä ~10 9 V/m. ==> "Lossy dielectric"

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAAMINEN INFLUENSSIN AVULLA

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ C.A Coulombin havainto 1784: Varausten välillä on voima, joka on verrannollinen varausten tuloon (huom. merkit) ja kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön. NIII voimassa riippumatta varausten merkistä, suuruudesta tai etäisyydestä. Superpositioperiaate vektorisumman avulla.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Coulombin voima: 1 qq0 F= rˆ 2 2 4πε 0 r 12 C,missä ε 0 = 8,854 10 ja [ q] = C=1As 2 1 qq0 Nm F= r r 3 4πε 0 r Superpositioperiaate: 1 qq F ( r r ) i j j = 3 j i 4πε 0 i j rj ri

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähköinen (Coulombinen) voima vaikuttaa varausten välillä. Voima on etävuorovaikutusta ei edellytä väliainetta. Sähkövaraus muokkaa ympäristöään jollain tavalla. Toinen (testi)varaus q 0 aistii muokkautuneen ympäristön ja kokee sähköisen (Coulombisen) voiman, joka riippuu myös sen omasta varauksesta. Kyseisessä pisteessä sähkökenttä E on (testi)varaukseen q 0 kohdistuvan voiman ja varauksen suhde. Olkoon tällainen kentän käsite nimeltään Coulombinen sähkökenttä

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Varatun kappaleen aiheuttama kenttä ja voima kohdistuu vain toisiin varattuihin kappaleisiin. Varaus ei vaikuta itseensä sähköisellä voimalla tai sähkökentällä. Testivarauksen aiheuttama influenssi-ilmiö ilmiö voi muuttaa kentän luoneen kappaleen varausjakaumaa (indusoitunut varaus), joten sähkökenttä riippuisi myös itse testivarauksesta. Sähkökentän määritelmään raja-arvo q 0. E = lim q 0 0 F q 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähkökenttä on vektorisuure, kuten sähköinen voimakin: E = 1 4πε 0 q r 2 ˆ ( pistevarauksen kenttä) r Yleisesti kentän arvo on paikan funktio. vektorikenttä, jonka muoto riippuu sen aiheuttaneesta varausjakaumasta.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Kentän suunta riippuu varauksen merkistä: Kenttä suuntautuu pois pos. varauksesta ja kenttä suuntautuu neg. varaukseen päin. Pistevaraus luo ympärilleen pallosymmetrisen sähkökentän, jonka voimakkuus on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön varauksesta. Varaukseen vaikuttavan voiman suunta ja suuruus riippuu sekä varauksesta (merkki ja sähkömäärä) että kentästä (suunta ja suuruus): qq 1 2 rˆ 2 1 F = q 4πε r F = E 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Sähkökenttäviivat t Lähteenä positiiviset varaukset, nieluina negatiiviset Eivät risteä (kenttä on vektoreiden superpositio). Kentän voimakkuus verrannollinen viivojen tiheyteen. Vektorikenttäesitys Monen varauksen summakenttä superpositioperiaatteella i tt vektorikenttä

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Diskreetin varausjakauman (pistevarausjoukon) sähkökentän määrittäminen tarkastelupisteessä: Sovelletaan Coulombista kenttäkäsitettä, eli jokaisen pistevarauksen kenttä voidaan laskea erikseen. Jakauman kenttä on pistevarausten kenttien summa (superpositioperiaate) HUOM! Koska tarkastelupisteen paikka ja lähteen paikka ovat vektoreita, ovat myös Coulombinen voima ja Coulombinen sähkökenttä vektoreita, eli käytetään vektorisummaa. Demo (http://webphysics.davidson.edu/applets/efield4/field_ potentials.html)

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ esimerkki ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Homogeeninen sähkökenttä Sähkökenttävektorin suunta ja suuruus kaikkialla sama esim. ideaalisen kondensaattorin levyjen välissä

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Jatkuvien varausjakaumien, (kuten johdesauva, rengas ja levy) sähkökentän määrittäminen superpositioperiaatteen nojalla. Ajatellaan varausjakauman koostuvan infinidesimaalisen pienistä, pistemäisistä alkioista dq, joista jokainen osallistuu kokonaiskentän muodostukseen. Jakaumaa voidaan approksimoida 1,2 tai 3 - ulotteiseksi, i jolloin puhutaan vastaavasti viiva (tai lineaarisesta)- pinta- ja tilavuusvaraustiheysjakaumasta Varaus Q jakautuu tasaisesti 1-2- tai 3 ulotteiseen tilaan, jolloin voidaan määrittää: Pituusvaraustiheys: λ = Q/l [C/m] Pintavaraustiheys: σ = Q/A [C/m 2 ] Tilavuusvaraustiheys ρ = Q/V [C/m 3 ]

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Jatkuvien ja infinidesimaalisten (pistevarausten) varausten dq kenttien tapauksessa superpositioperiaatteen mukainen sähkökenttien summaus voidaan korvata integraalilla. varausalkio dq pitää lausua jakauman geometrian avulla käyttäen hyödyksi vastaavaan geometriaan soveltuvaa varaustiheyttä: dq = λdl, missä dl on pituusalkio dq = σds, missä ds on pinta-ala alkio dq = ρdv, missä dv on tilavuusalkio Varausalkion etäisyys pisteestä, jossa kenttä halutaan määrittää on funktio (etäisyysfunktio) Sähkökentän vektoriluonne sisältyy lähteestä tä tarkastelupisteeseen määriteltävään paikkavektoriin.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki Ratkaisu Määritä ohuen, 2l:n mittaisen varatun (varaus = q) sauvan sähkökenttä a) sauvan keskinormaalilla. b) etäisyydellä d sauvan kärjestä (sauvan suunnassa) c) etäisyydellä x äärettömän pitkästä sauvasta

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - LUENTOTEHTÄVÄ

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ Esimerkki ratkaisu Määritä a-säteisen johderenkaan kenttä akselilla Määritä äärettömän ympyrälevyn y kenttä

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - VARAUSSYSTEEMIN SÄHKÖKENTTÄ. DIPOLI Dipolissa kaksi yhtäsuurta vastakkaismerkkistä varausta tai varausjakaumaa sidottu toisiinsa etäisyydelle d, molekyyleistä esim.hcl, H 2 O. Dipolimomentti p = qd p -vektorin suunta varauksesta + varaukseen päin Ulkoisen sähkökentän kokonaisvoima dipoliin = 0 Ulkoinen kenttä pyrkii kiertämään dipolin suuntaisekseen. Esim. 21-Mc vääntö ristitulona: τ = P E Dipolilla on sähkökentässä asema-, eli potentiaalienergiaa. potentiaali pistetulona: U = -P E Dipolin kenttä (esim 21-15)

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkövaraus luo ympärilleen sähkökentän Sähkökenttä riippuu varauksen määrästä Sähkökenttä riippuu varatun kappaleen muodosta Sähkökenttä kussakin pisteessä on superpositio kappaleen kaikkien pisteiden aiheuttamasta kentästä Testivaraukseen kohdistuvan Coulombisen voiman avulla voidaan tutkia sähkökentän voimakkuutta ja suuntaa jokaisessa pisteessä erikseen.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Vuo: Mitta, joka kertoo, kuinka suuri on sähkökentän virtaus jonkin pinnan läpi. Kokonaisvuo on verrannollinen pinnan sisältämään varaukseen. Vuon arvo pinnan pisteessä riippuu pinnan ja sen läpäisevän kentän suunnasta ja suuruudesta.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Pinta voidaan myös kuvata vektorina, jolloin pinnan vektoria edustaa pinnan normaalin suuntainen, pinnan (normaalia vastaan kohtisuoran) alan suuruinen vektori. suunta sääntö: suljetulle ll pinnalle vektori osoittaa aina ulospäin pinnasta Tässä yhteydessä pinta voidaan ymmärtää mielivaltaiseksi, välttämättä ei materiaaliseksi nk Gaussin pinnaksi.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkökenttä pinnan läpi tarkoittaa sitä, että jokaisessa pinnan läpäisykohdassa erikseen tarkastellaan siinä olevien sähkökenttävektorin pintaa vastaan olevan komponentin ja pinnan vektorin tuloa. Pintaa vastaan kohtisuora sähkökenttävektorin komponentti on siis pinnan vektorin suuntainen. Toisin sanoen tarkastellaan jokaisessa läpäisypisteessä pistetuloa. Φ E = E A A= Anˆ

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI vuo suljetun pinnan läpi = kenttävektorin ja pinnan elementtivektorin pistetulo integroituna koko pinnan yli: r r Φ E = E d A

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Kokonaisvuo (tai nettovuo) on aina sama kaikille niille pinnoille, jotka sulkevat saman varauksen kokonaisvuota määritettäessä pinnan voi valita esim. symmetriaan perustuen. Yleisesti kannattaa etsiä pintoja, jotka ovat sopivasti kenttää vastaan kohtisuorassa (pintavektori kentän suuntainen) tai kentän suuntaisia pintoja (pintavektori kenttää vastaan kohtisuorassa). Tällöin tehtävän matematiikka helpottuu. Pistemäisille ill (tai pallosymmetrisille) ill varausjakaumille valitaan pallopinta Lineaarisille varausjakaumille sylinteripinta Tasomaisille jakaumille suoran särmiön tai lieriön muotoisia pintoja.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Pistevaraus q on origossa a) Määritä koknaissähkövuo pintaintegraalina origokeskisen 2m - sivuisen kuution läpi b) Määritä kokonaissähkövuo pintaintegraalina origokeskisen r - säteisen pallon läpi

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Gaussin laki: Kokonaissähkövuo suljetun pinnan yli on verrannollinen pinnan sisältämään nettovaraukseen. Gaussin laki sitoo toisiinsa varausjakauman aiheuttaman sähkökentän ja jakauman nettovarauksen. q Φ = E E d A = ε 0 A encl.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Sähkökentän määritys Gaussin lain avulla taso-, sylinteri- ja pallosymmetrisille varausjakaumille varausjakauman ja Gaussin pinnan välinen geometrinen korrelaatio Gaussin pinta valitaan järkevästi varausjakauman symmetrian mukaan. Valitse pinta siten, että sähkökentällä on pinnalla joko vakioarvo ja/tai kenttä on kohtisuorassa pinnan vektoria vastaan (kenttä on pinnan kanssa yhdensuuntainen) Symmetrisille kentille valitaan sellainen pinta, että vuointegraalin pistetulo redusoituu kertolaskuksi.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Kolme äärettömän suurta levyä asetetaan yhdensuuntaisesti. Levyillä on erilaiset varauskatteet viereisen kuvan mukaisesti. Määritä sähkökenttä kaikkialla. a a.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Kaksi metalliputkea on samanakselisesti viereisen kuvan mukaisesti. Sisemmän putken pintavaraustiheys on +σ ja ulomman -2σ. Määritä sähkökenttä kaikkialla.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu Varaus Q on jakaantunut tasaisesti R-säteisen pallon tilavuuteen (esim. varattu kaasu). Määritä sähkökenttä kaikkialla

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Luentotehtävä

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - GAUSSIN LAKI Esimerkki Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Sähköinen potentiaalienergia staattinen varausjakauma luo ympärilleen konservatiivisen* (voima)kentän *)konservatiivisessa voimakentässä tehty työ siirtymälle a b ei riipu valitusta tiestä suljetulle tielle (silmukka) tehty työ = 0 kenttä E on konservatiivinen, jos on olemassa sellainen potentiaalifunktio U, jolle E = - U (palaamme myöhemmin gradienttiin) vrt. gravitaatio testivaraukseen kohdistuva coulombinen voima riippuu sen paikasta kentässä kun varaus liikkuu kentässä, tehdään työtä potentiaalienergia = kyky tehdä työtä Konservatiivisen i voiman F tekemä työ: W a b b = F d l a

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI olkoon integraalin arvo pisteissä a = U a ja b = U b potentiaalienergian muutos (arvo lopussa-arvo alussa) ΔU = U b U a Tehty työ W a b = U a U b = -(U b U a ) = - ΔU Tehty työ: siirtyminen d vakiokentän suunnassa W = Fd = q 0 Ed potentiaalienergia r:n suuntaisessa vakiokentässä U = q 0 Er HUOM! referenssitason (piste, jossa r = 0 jolloin potentiaalienergia U = 0) valinta on vakiokentässä mielivaltainen kenttä tekee työtä varaukseen varauksen potentiaalienergia muuttuu hiukkanen liikkuu kentän siihen kohdistavan voiman suuntaan kenttä tekee positiivisen työn hiukkasen potentiaalienergia pienenee hiukkanen liikkuu vasten kentän siihen kohdistavan voiman suuntaa kentän tekemä työ negatiivinen i hiukkasen potentiaalienergia ti i kasvaa

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia varaus q paikallaan, varaus q 0 liikkuu pisteestä a b varauksen q kenttä tekee työtä varaukseen q 0 vain kentän suunnassa. Kenttä EI ole vakio! siirtymisessä tehty työ ei riipu tiestä pistevarausten kenttä radiaalinen tehty työ riippuu vain etäisyyksistä r a ja r b F= 1 qq 4πε r 0 0 2 rˆ rb ˆ rb rb r dl= rdr b 1 qq0 1 qq0 qq 0 1 1 F l F rˆ rˆ rˆ 2 2 4 ε 0 r 4 ε0 r 4 ε ra ra ra ra 0 ra rb Wa b = d = dr = dr = dr = πε πε πε

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Kahden pistevarauksen q ja q 0 systeemin potentiaalienergia ti i mv. etäisyydellä r: U = 1 qq 0 4πε r 0 Potentiaalienergia äärettömän suurilla etäisyyksillä = 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Potentiaalienergia, kun testivaraus q 0 liikkuu usean stationaarisen pistevarauksen q i kentässä: tarkastellaan tehtyä työtä pareittain q 0, q i pistevarausten q i resultanttikentän tekemä työ varaukseen q 0 on yksittäisten varausten kenttien tekemien töiden summa: r b 1 4πε n n qq i W 0 a b = 2 i= 1 r i= 1 0 ri a qq dr n n 1 qq i 0 q0 q U = = 4πε r 4πε r i= 1 0 i 0 i= 1 i i

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI qq i = πε < r Pistevarausjoukon kokonaispotentiaalienergia: k i i 1 kaikkien pistevarausparien potentiaalienergiat U lasketaan kertaalleen yhteen: 4 0 i j ij j

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Määritellään sähköinen potentiaali kuten sähkökentän määritelmä Coulombisen voiman ja testivarauksen avulla: E = F/q yksikkö [E ]= N/C sähköinen potentiaali = potentiaalienergia / varaus V = U/q yksikkö [V] = J/C = V (voltti) pistevarauksen potentiaalikenttä; Kahden pistevarauksen potentiaalienergia: U = 1 qq 4 πε r 0 0 Kahden pistevarauksen sähköinen potentiaalienergia/ testivaraus pistevarauksen sähköinen potentiaali: U V = V = 1 q 4πε 0 0 q r

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI; LUENTOTEHTÄVÄ 1.Alla olevassa kuvasarjassa (Kuva 2) on kaksi tai neljä itseisarvoltaan samanlaista 5 mc:n varausta asetettu etäisyydelle 1m keskellä olevasta tarkastelupisteestä. Varausten merkkejä ei tunneta. Tarkastelupisteen suhteellinen potentiaali (V 0 0) tapauksissa (B...F) on ilmoitettu. Potentiaali on nolla äärettömän kaukana tarkastelupisteestä, sekä kohdassa A. Määritä sähkökenttien suuruudet tarkastelupisteessä tapauksissa A, B, C, D, E ja F. (Vihje: potentiaali on skalaarisuure ja sähkökenttä on vektorisuure)

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI usean pistevarauksen potentiaali pisteessä P = skalaarisumma kaikkien pistevarausten it t potentiaaleista V = U 1 qi q = 4πε r 0 0 0 i i varausjakauman potentiaali pisteessä P = integrointi yli jakauman V = 1 dq 4 πε r

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Varaus sähkökentässä kappale gravitaatiokentässä Potentiaaliero = viivaintegraali sähkökentässä yli tien: ab a b a V = V V = E dl = E dl Huom: Tapaukset homogeeninen (vakio) sähkökenttä, pistevarauksen kenttä ja suljettu polku konservatiivisessa kentässä b b a

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu Johdepallon säde on R ja varaus Q. Määritä sähköinen potentiaali kaikkialla

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Pistevarauksen sähkökenttä on vektorikenttä. Sähkökentällä on jokaisessa pisteessä suunta ja suuruus. Sähkökenttä kohdistaa testivaraukseen voiman, jonka suuruus riippuu kentän arvosta testivarauksen paikasta kentässä. Pistevarauksen ympäristössä potentiaali voidaan määrittää tutkimalla testivarauksen siirtämiseen tehtyä työtä. Potentiaaliero syntyy vain siirryttäessä kentän suunnassa. Jos siirtyminen tapahtuu koko ajan kenttää vastaan kohtisuoraan, ei kenttä tee työtä siirtymisessä ei myöskään potentiaalin arvo muutu. Tällaisessa siirtymässä potentiaalilla on vakioarvo ja tehty työ =0.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Jos kenttä on radiaalinen, kuten pistevarauksella, on kentällä sama arvo aina samansuuruisella etäisyydellä lähteestä Kun tutkitaan kaikkia mahdollisia reittejä siirryttäessä kohtisuoraan tällaista kenttä vastaan, piirtyy saman potentiaalin arvon pinnoiksi samankeskiset pallopinnat tasapotentiaalipinnat.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Useiden pistevarausten t tapauksessa kenttä on SUPERPOSITIO kaikkien pistevarausten kentistä. Kun siirrytään kenttää vastaan kohtisuorassa suunnassa, ei siirtymän eri pisteiden välille synny potentiaalieroa tasapotentiaalipinta. Huom. Sähkökentän arvo voi muuttua tasapotentiaalipinnalla, vaikka potentiaalin arvo ei muuttuisikaan. Tämä johtuu siitä, että sähkökentän arvo on vektorisumma, joka siis ottaa huomioon sekä vektorin suunnan ja suuruuden, että varauksen merkin. Potentiaali on skalaarisumma, joka ottaa huomioon vain etäisyyden ja varauksen merkin.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI -LUENTOTEHTÄVÄ Alla olevassa kuvassa on pistevarausten läheisyydestä osoitettu tarkastelupiste. Mihin pitäisi uusi (-2q) varaus tuoda, jotta tarkastelupisteen potentiaali olisi nolla? Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI potentiaalin gradientti Potentiaalilla ja konservatiivisella, staattisella sähkökentällä on yhteys: b Va Vb = E d l Toisaalta potentiaaliero: b a a V V = dv = dv Joten infinidesimaalisten potentiaalierojen summa reitillä a b vastaa polkuintegraalia sähkökentässä: a b dv = d b b b E l Nyt integraalit ovat yhtäsuuret millä tahansa rajoilla a,b, jos integrandit ovat yhtäsuuret: dv = E d l a a a

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Sähkökenttävektori E= E ˆ ˆ ˆ xi+ Eyj+ Ezk Infinidesimaalinen siirtymävektori dl = dxî+ dyˆj+ dzkˆ E d l = ( E î+ E ˆj+ E kˆ) ( dxî+ dyˆj+ dzkˆ) = E dx + E dy + E dz Koska Niin x y z x y z dv = E d l dv = E dx + E dy + E dz Koordinaattiakselin (x) suunnassa siirryttäessä, ovat paikan muutokset dy = dz = 0. Joten dv = E dx x x y z dv Ex = dx Nyt V on yleisesti paikan funktio (riippuu x,y,ja z koordinaateista), joten kyseessä on osittaisderivaatta V V Ex = x Vastaavasti voidaan tutkia muut koordinaattiakseleiden suuntaiset siirtymät, jolloin saadaan: V V V E x =, E y =, E z = x y z ja vastaavasti vektorimuotoisena E V ˆ V ˆ V = ˆ x i y j z k Nyt termi ˆ ˆ i+ j+ kˆ = ( " " luetaan suom. "nabla", engl. "grad" tai "del") x y z Joten E = V

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖINEN POTENTIAALI Esimerkki Ratkaisu Varausjakauman X aiheuttama sähköinen potentiaali eräällä alueella on 2 2 2 V( x, y, z) = A( x 3 y + z ), missä A on vakio. Jakauman X aiheuttama sähkökenttä pisteessä (3,0,0) on E(3,0,0) = 18 ˆi[V/m]. Määritä pisteeseen (0,3,3) tuotuun +5nC:n pistevaraukseen kohdistuvan sähköisen voiman itseisarvo. (Voit olettaa, että pistevaraus ei muuta varausjakaumaa X).

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT q Gaussin lain integraalimuodossa E d A = ε A 0 on integrandissa pinnan tietyssä pisteessä olevan sähkökentän vektorin ja pinta-ala alkion pistetulo. Tarkastellaan Gaussin laki infinidesimaalisessa kuutiossa V = x yy z,jossa kuution jokainen sivu on oma - vektorimuotoinen- pinta-ala alkio da, eli x yk, x zj,..., y zi. Pisteen P koordinaatti on P = ( x 0, y 0, z 0) ja pisteen P' koordinaatti P ' = ( x0, y0 +Δ. y, z0) Δz 1 Sähkökentät näissä pisteissä ovat: P. E = E( x, y, z ) ja E = E( x, y +Δy, z ) Δx P 0 0 0 P' 0 0 0 z Δy dakatto= x yk P' Sähkökentät kuution muilla tahkoilla E = E( x, y, z ) ja E = E( x, y, z +Δz) pohja p p p katto p p p E = E( x, y, z ) ja E = E( x +Δx, y, z ) taka t t t etu t t t E ( x, y, z ) p p p x y

Kk Kokonaissähkövuo kuution pinnan yli E d A A on summa sähkökentän ja pintavektorin pistetuloista jokaisella tahkolla: huomaa, että vastakkaisten tahkojen pintavektorit ovat vastakkaissuuntaiset eli vastakkaismerkkiset.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Kk Kokonaisvuo muodostuu siis pistetuloista: li E da = E( x, y, z ) ΔxΔzj P p 0 0 0 E da = E( x, y +Δy, z ) ΔxΔzj P' p' 0 0 0 E da = E( x, y, z ) ΔxΔyk pohja pohja p p p E da = E( x, y, z +Δz) ΔxΔyk katto katto p p p E da = E( x, y, z ) ΔzΔyi taka taka t t t E da = E( x +Δx, y, z ) ΔzΔyi etu etu t t t z Δz Δy dakatto= x yk Eli yhteensä ryhmiteltynä yhteisen pinta- Δx vektorin tekijän suhteen: dapohja= - x yk E d A = [ E ( x, ΔΔ 0 y, 0 z ) 0 + E( x, 0 y, )] 0 +Δy z0 xδz j A E( xp, y p, z p) + [ E( x, y, z ) + E( x, y, z +Δz)] ΔxΔyk p p p p p p +[ E ( xt, yt, zt) + E( xt +Δ x, yt, zt)] ΔΔ zδy i x y

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT q Gaussin lain E d A = mukaan kokonaisvuo k on verrannollinen pinnan ε A 0 sulkemaan varaukseen. kuution sisältämä varaus q voidaan lausua tilavuusvaraustiheyden ρ ja kuution tilavuuden V= x y z avulla: q = ρ x y z. Näin ollen: ρδxδδ y z E d A = ε 0 A [ E ( x, y, z ) + E ( x, y +Δ y, z )] Δ x Δ z j + [ E ( x, y, z ) + 0 0 0 0 0 0 p p p ρδxδδ y z E( xp, yp, zp +Δz)] ΔxΔyk+[ E( xt, yt, zt) + E( xt +Δx, yt, zt)] ΔzΔ yi= ε [ E( x [ (,, ) (,, 0, y0, z0) + E( x0, y0 +Δy, z0 )] j E xp yp zp + E xp yp zp +Δz)] k + Δyy Δ z [ E( xt, yt, zt) + E( xt +Δx, yt, zt)] i ρ + = Δx ε 0 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Saadaksemme Gaussin lain tulkinnan yhdessä avaruuden pisteessä, annamme kuution sivujen pituuksien lähestyä nollaa: [ E( x, y, z ) + E( x, y +Δy, z )] j [ E( x, y, z ) + E( x, y, z +Δz)] k [ E( x, y, z ) + E( x +Δx, y, z )] i ρ lim + + = lim ε 0 0 0 0 0 0 p p p p p p t t t t t t Δx 0 Δy Δz Δx Δx 0 Δy 0 Δy 0 Δ z 0 Δ z 0 (, joka on osittaisderivaatan - erotusosamäärän raja-arvon - määritelmän mukaan ) ρ je + ke + ie = y z x ε 0 E = ρ ε 0 ρ Ottamalla lausekkeesta E = ε puolittain tilavuusintegraali, saadaan: ρ q Edv = dv Edv = ε ε V V 0 V 0 0 Eli vertaamalla alkuperäiseen Gaussin lain integraalimuotoon voidaan todeta että: V Edv = E da A 0

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Potentiaali (ja sähkökenttä E= V) voidaan laskea varausjakaumasta jos ρ(v) tunnetaan. Käytännössä ä varausjakauma usein tunnetaan t vain osassa aluetta ja potentiaalille tiedetään reunaehdot. Tällöin voidaan käyttää ρ(v):n ja V:n kytkeviä differentiaaliyhtälöitä.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu Ratkaistaan levy- ja pallokondensaattoreiden kapasitanssin lausekkeet perustuen Laplacen ja Poissonin yhtälöiden käyttöön

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Peilivarausmenetelmä l (method of images) toteutetaan tasapotentiaalipinta ekvivalenteilla varauksilla (ns. peilivarauksilla), joilla on sama kenttä kuin alkuperäisellä systeemillä t k t ll til tt i lk äi t i l i tarkastellaan tilannetta vain alkuperäisen systeemin puoleisessa osassa tasapotentiaalipintaan nähden

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Esimerkki Ratkaisu Ääretön johdelevy on taivutettu suoraan kulmaan. Levyn poikkileikkaus kulkee pitkin positiivisia koordinaattiakseleita y ja x. Varaus 5 nc on pisteeseessä 5,5)[m]. Määritä sähkökenttä pisteessä (10,10)[m]

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - DIFFERENTIAALILAIT Pistevaraus q on etäisyydellä d neutraalin johdepallon keskipisteestä. Pallon säde on b. Määritä potentiaali mv. pisteessä p ja pallon pintavaraustiheys. Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Johdekappale sähkökentässä ä - tarkastelua t kentän käsitteen kautta. Johdekappaleeseen tuotu ylimäärävaraus jakautuu aina kappaleen pinnalle kaviteettiin tuotu varaus influenssi nettovarausjakauma edelleen pinnalla Ulkoinen sähkökenttä ä vaikuttaa aa neutraalin johteen vapaisiin varauksenkuljettajiin (elektronit) Coulombin voimalla kappaleen pinnalle varausjakauma varausjakauma muodostaa kappaleen sisälle sähkökentän, joka on vastakkainen ulkoiseen kenttään nähden; nämä kentät kumoavat toisensa kaikkialla kappaleen sisällä KOKONAISKENTTÄ kappaleen sisällä E = 0 Varaukset eivät liiku kenttä johteen pinnalla on AINA kohtisuorassa pintaa vastaan.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Esimerkki Ratkaisu Tarkastellaan johdekappaletta, joka tuodaan homogeeniseen sähkökenttään (esimerkiksi levykondensaattorin levyjen väliin)

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Johdekappaleen pinnalla varaus ei myöskään liiku (ei sähkövirtaa), joten sähkökentän tangentiaalikomponentin on oltava nolla. Johdekappaleen pinnalla on vain pinnan normaalin suuntainen sähkökenttä. Johdekappaleen pinta ja johdekappale kokonaisuudessaan muodostaa systeemiin tasapotentiaalipinnan (alueen).

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - JOHDEKAPPALE SÄHKÖKENTÄSSÄ Esimerkki Ratkaisu

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN Eristeessä ei vapaita varauksenkuljettajia k ji atomit, molekyylit, kemiallinen sidos ei vapauta elektroneja johtavaksi ==> huom läpilyönti suurissa kentissä 10 9 V/m. ==> "Lossy dielectric" Ulkoisessa kentässä eriste polarisoituu, jolloin eristeen pinnalle polarisaatiovaraustiheydet. Ilmiö on prosessiltaan samankaltainen kuin johteella, mutta epätäydellinen. Eristeen sisään jää osittain kumoutumaton ulkoinen kenttä. Sähkökenttä eristeessä voidaan lausua ulkoisen kentän ja aineen parametrien avulla

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - ERISTEEN VAIKUTUS SÄHKÖKENTTÄÄN

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA Sähkökentän k energia Pistevarausjoukon konstruoimiseksi varauksia siirretään äärettömän kaukaa yksi kerrallaan varausta siirretään muiden varauksien kentässä, jolloin siirtämiseen tehdään työtä. Työ voidaan katsoa varastoituneeksi pistevarausjoukon sähköiseksi potentiaalienergiaksi. Kun kondensaattori varataan, tehdään työtä. Tehty työ varastoituu sähkökentän energiaksi Varauksen määrän ja sen aiheuttaman sähkökentän mukaisen potentiaalin relaation kuvaa kondensaattorilaki. Nyt tulkitaan, että kondensaattoriin voidaan varastoida sähköistä potentiaalienergiaa hyödynnämme energian määrittelyssä kapasitanssin käsitettä. Seuraus: emme tarvitse aina välttämättä tietoa siitä, kuinka varaukset ovat jakautuneet systeemiin, eikä näin ollen tarvitse määrittää pareittain varausten sähköisen vuorovaikutuksen kautta systeemin kokonaisenergiaa. Riittää, että tunnemme systeemin kapasitanssin ja tästä seuraavat lainalaisuudet.

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA

2. STAATTINEN SÄHKÖKENTTÄ - SÄHKÖKENTÄN ENERGIA Esimerkki Ratkaisu

Skaalaustekijät, siirtymäalkiot ja yksikkövektorit Karteesinen Sylinteri Pallo Kantavektorit h 1 1 1 eˆ = cosφiˆ + sinφˆ j ρ 1 h h 2 3 1 2 1 ρ r eˆ = sinφî+ cosφˆj 1 1 rsin θ du dx dρ dr du dy dφ dθ du3 dz dz d θ eˆ 1 2 3 iˆ eˆ ˆj eˆ eˆ eˆ kˆ eˆ eˆ φ eˆ z = kˆ eˆ = sinθcosφî+ sinθsinφˆj+ cosθkˆ r φ eˆ = cosθcosφî+ cosθsinφˆj sinθkˆ eˆ eˆ eˆ = sinφî+ cosφˆj ρ φ z r θ φ φ Kaari: dr = hdueˆ + hdu eˆ + hdu eˆ Pinta-ala yksikkövektorin eˆ suunnalla : da = hhdu du eˆ 1 2 3 2 3 1 1 1 1 2 2 2 3 3 3 Tilavuuselementti: dv = hhhdududu 1 2 3 1 2 3 0< φ< 2 π, 0 < θ < π, ρ 0 r 0 Sylinterikoordinaatisto Pallokoordinaatisto

Meeting: L23-1 22.1.2009 9:45 Luentoesim L23-1. Alla olevissa kuvissa on pistevarauspareja eri suuruisin varauksin. Kuvissa on myös osoitettu tarkastelupiste. Mihin pitäisi sijoittaa uusi negatiivinen pistevaraus (q = -2), jotta tarkastelupisteen potentiaali olisi nolla? Page 1 of 2

Meeting: L23-1 22.1.2009 9:45 Page 2 of 2

Meeting: Esim25-energia 12.11.2004 8:44 Page 1 of 1

Meeting: Esim24-verkko 9.11.2004 13:54 Laske oheisen piirin kokonaiskapasitanssi sekä jännite V BD, kun C1= 1µF, C2= 2µF, C3= 3µF, C4= 4µF, C5= 5µF. Pisteen A jännite on +10V ja piste D on maadoitettu. Page 1 of 4

Meeting: Esim24-verkko 9.11.2004 13:54 Laske oheisen piirin kokonaiskapasitanssi sekä jännite V BD, kun C1= 1µF, C2= 2µF, C3= 3µF, C4= 4µF, C5= 5µF. Pisteen A jännite on +10V ja piste D on maadoitettu. Page 2 of 4

Meeting: Esim24-verkko 9.11.2004 13:54 Page 3 of 4

Meeting: Esim24-verkko 9.11.2004 13:54 Page 4 of 4

Meeting: Esim24-sylinterik 8.11.2004 14:42 Page 1 of 1

Meeting: Esim24-sarja 9.11.2004 11:44 Page 1 of 5

Meeting: Esim24-sarja 9.11.2004 11:44 Levykondensaattorin levyjen ala = A, etäisyys = 3d. Levyjen väliin asetetaan keskelle metallilevy, jonka paksuus = d, ja joka täyttää kondensaattorin sähkökentän.määritä kapasitanssin muutos. Page 4 of 5

Meeting: Esim24-sarja 9.11.2004 11:44 Sarjaan kytketään 256 kpl identtisiä levykondensaattoreita, joille levyn ala = A etäisyys =d. Mikä on systeemin kokonaiskapasitanssi? Page 5 of 5

Meeting: Esim24-rinnan 9.11.2004 12:59 Page 1 of 1

Meeting: Esim24-pallok 8.11.2004 14:27 Page 1 of 1

Meeting: Esim24-levy 8.11.2004 14:17 Page 1 of 4

Meeting: Esim24-eri 11.11.2004 11:21 Page 1 of 4

Meeting: Esim23-test 5.11.2004 10:44 Page 1 of 3

Meeting: Esim23-t 5.11.2004 10:44 Esim. 23-t. Varaus Q on jakaantunut tasaisesti l:n pituiseen tankoon. Määritä potentiaali kuvan pisteessä P. Page 1 of 3

Meeting: Esim23-t 5.11.2004 10:44 Page 2 of 3

Meeting: Esim23-t 5.11.2004 10:44 Page 3 of 3

Meeting: Esim23-pot 5.11.2004 10:53 Page 1 of 3

Meeting: Esim23-pj 5.11.2004 10:54 Page 1 of 5

Meeting: Esim23-pj 5.11.2004 10:54 Alla olevassa kuvassa on kaksi johdepalloa, joiden säteet ovat 2m ja 1m. Isoon palloon tuodaan aluksi varaus 1nC. Pieni pallo on aluksi neutraali. Pallot yhdistetään johtimella. Määritä tasapainotilan V, E ja Q molemmille palloille. Page 2 of 5

Meeting: Esim23-k 5.11.2004 10:55 Esim. 23-k. Kondensaattorin levyjen välissä (d=2mm) on (tyhjiössä) vakiosähkökenttä 900 [N/C]. Negatiivisesti varatulta levyltä irtoaa elektroni. Millä nopeudella se iskeytyy positiiviseen levyyn? Page 1 of 1

Meeting: Esim23-grad 5.11.2004 10:55 Page 1 of 2

Meeting: Esim23-grad 5.11.2004 10:55 Page 2 of 2

Meeting: Esim23-epot 5.11.2004 10:55 Page 1 of 7

Meeting: Esim23.11 5.11.2004 10:56 Esim 23-11. Varaus Q on jakaantunut tasaisesti johderenkaaseen. Määritä potentiaali renkaan akselilla. Page 1 of 2

Meeting: Esim23.11 5.11.2004 10:56 Page 2 of 2

Meeting: Esim23-8 5.11.2004 10:57 Page 1 of 2

Meeting: Esim23-8 5.11.2004 10:57 Page 2 of 2

Meeting: Esim.22-taso 5.11.2004 10:43 Esim. 22-taso Kolme yhdensuuntaista äärettömän kokoista levyä on asetettu vierekkäin mielivaltaisille etäisyyksille toisistaan. Levyjen pintavarauskatteet ovat σ, 2 σ ja + 3σ. Määritä sähkökenttä levyjen välissä ja levyjen ulkopuolella. Page 1 of 6

Meeting: Esim.22-taso 5.11.2004 10:43 Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 2 of 6

Meeting: Esim.22-taso 5.11.2004 10:43 Valitaan Gaussin pinnaksi "purkki", jonka päätyjen pinta-ala vektorit ovat yhdensuuntaiset kentän kanssa ja vaipan pintaala vektori on kohtisuorassakenttää vastaa Page 3 of 6

Meeting: Esim.22-taso 5.11.2004 10:43 Gaussin purkkipinta Jokainen levy aiheuttaa ympärilleen oman sähkökenttänsä muista riippumatta. Kuvassa esitetty sähkökenttäviivat suhteellisina voimakkuuksina (+1:-2:+3). Kenttä eri alueissa on superpositio yksittäisten kenttien vektorisummista. Page 4 of 6

Meeting: Esim22-systeemi 5.11.2004 10:57 Esim. 22-systeemi. Neliön kärjissä on varaukset alla olevan kuvan mukaisesti Määritä systeemin kokonaisenergia. Page 1 of 1

Meeting: Esim22-sylinteri 5.11.2004 10:57 Esim. 22-sylinteri Koaksiaalikaapelissa on kaksi metalliputkea sisäkkäin alla olevan kuvan esittämällä tavalla. Sisemmän putken pintavaraustiheys on + σ ja ulomman 2σ. Määritä sähkökenttä kaikkialla. Page 1 of 6

Meeting: Esim22-sylinteri 5.11.2004 10:57 Page 2 of 6

Meeting: Esim22-sylinteri 5.11.2004 10:58 Sisemmän sylinterin kenttä varaa ulomman sylinterin sisäpinnan (influenssi-ilmiö) Staattisille sähkökentille: Johteen sisällä kenttä on AINA nolla! Kenttä johteen sisällä on aina nolla riippumatta siitä, miten johdekappale on varattu tai millaisessa ulkoisessa sähkökentässä se on. Page 5 of 6

Pistevaraus q on origossa. M rit kokonaiss hk vuo

Olkoon kaksi toisiinsa kytketty vastakkaismerkkist 1 nc:n varausta pis (1,3,7)[m](neg) ja (2,2,9)[m](pos). Alueella on s hk kentt E=(3i+4j-5k)[N/C]. M rit varaussysteemiin kohdistuva v nt.

Dipolin kentt heikkenee nopeammin, kuin pistevara

Esim. 21-10 Varaus Q on jakaantunut tasaisesti ohueeseen a -s teiseen renkaaseen M rit s hk kentt renkaan akselilla.

Varatun johderenkaan kentt akselilla