SMG- Piirianalyysi II Ehdotuset harjoitusen asi rataisuisi 3 (a) d y ( t) dy ( t) 7 4 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) + 4r + 7 / 4 = KY ± r = 4 4 4 7 / 4 e rt + 4 e rt + 7 / 4 e rt = : e rt r = / r = 7 / Kosa arateristinen yhtälö (KY) on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY:n juuret ovat reaalisia ja erisuuria, homogeenisen yhtälön rataisu on: ( ) ( h) r ( ) ( ) t r t e e e / t e 7 / t y t C C C C = + = + Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön ( / ) t ( 7 / ) t y t = C e + C e yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) (b) d y t ( ) dy ( t) r ( ) + + y t = y(t) = e rt ± 4 + r + = KY r = r e rt + re rt + e rt = : e rt r = - Kosa KY on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY on astetta, mutta sille löytyi vain ysi juuri, juuri on moninertainen, eli tässä tapausessa asinertainen Homogeenisen yhtälön rataisu on tällöin: ( ) ( ) h rt rt t t e e e e y t = C + C t = C + C t Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön t t y t = C e + C te yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) 3 d y ( t) dy ( t) 5 y ( t) 4 r + + = y(t) = e rt r r ( ) ± 4 5 / 4 + r + 5/ 4 = KY r = e rt + e rt + 5/ 4 e rt = : e rt r = + j r = j Kosa KY on astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tulee asi erillistä termiä Ja osa KY:n juuret ovat erisuuria, homogeenisen yhtälön rataisu on: h j t j t r t + e e e e ( ) ( ) r t y t = C + C = C + C
Kosa rataistava yhtälö oli homogeeninen, y(t) (h) on samalla differentiaaliyhtälön yleinen rataisu, joten saadaan: ( ) + j t j t e e y t = C + C (tämä oloon lausee ) Luentomonisteen muaan rataisun pitäisi uitenin olla t t y ( t) = Ce cos t + Ce sin t (tämä oloon lausee ) Kysymys siis uuluu, miten lauseeesta saadaan lausee Ja vastaushan on Euler: ( ) j j j j e t + e t t e e t t e e t y t = C + C = C + C t = e C cos t jsin t C cos t jsin t + + + t = e C cos t jsin t C cos t jsin t + + t = e ( C + C ) cos t + j( C C ) sin t t t t = e B cos t + B sin t = Be cos t + Be sin t Nyt siis lauseeesta () on saatu lausee () Vielä saattoi uitenin jäädä hämäräsi, misi esim j(c -C ) orvattii reaalisella vaiolla B Tarastellaan tilannetta, jossa aluehtoja sijoitetaan lauseeeseen () vaioiden C ja C rataisemisesi Tällöin äy poieusetta niin, että C ja C ovat omplesionjugaatteja Eli esimerisi C = a + jb ja C = a - jb Kun yt tarastellaan ylläolevan väännön lopputulosen ertoimia B ja B, saadaan: B = C + C = a + jb + a jb = a B = j( C C ) = j( a + jb ( a jb) ) = j b = b Täten seä B että B ovat reaaliluuja 34 Tehtävänannossa pyydetään rataisemaan jännite v(t) Käytännössä tämä taroittaa sitä, että pitäisi ensin muodostaa differentiaaliyhtälö v(t):lle ja sen jäleen rataista se Tarvittava differentiaaliyhtälö saadaan, un irjoitetaan Kirchhoffin virtalai (eli solmupisteyhtälö) tarasteltavalle ytennälle: v( t) t dv( t) + v( t) + il ( ) + C = d/ R L dv( t) d v( t ) d v( t) dv( t) + v( t) + C = :C + + v ( t) = R L RC LC Muodostettu differentiaaliyhtälö on homogeeninen, sillä sen aii nollasta poieavat termit sisältävät rataistavan muuttujan v(t) Rataistaan homogeeninen
yhtälö (HY) Kosa aluperäinen yhtälö on homogeeninen, HY:n rataisu on samalla yleinen rataisu: v + v v RC + LC = v(t) = e rt r e rt + 4re rt + 6 e rt = :e rt r + 4r + 6 = KY r ± j9798 KY on astetta Sisi HY:n rataisuun tulee asi erillistä termiä Kosa KY:n juurina on omplesionjugaattipari, HY:n rataisusi saadaan: v(t) D e -t cos(9798t) + D e -t sin(9798t) Vaioiden D ja D rataisemiseen tarvitaan asi aluehtoa Tiedetään, että v() = V Toinen aluehto saadaan äämin virrasta hetellä nolla äyttämällä Kirchhoffin virtalaia: i L () = 5 ma, i R () = v()/r = /R = i c () = 5 ma dv Toisaalta ondensaattorin virralle voidaan irjoittaa: ic ( ) = C, joten tästä saadaan rataistua jännitteen v(t) aiaderivaatta ajanhetellä s: 3 dv( ) ic ( ) 5 = = = 98 V/s 6 C 5 Ensimmäisestä aluehdosta saadaan: v() = D e cos() + D e sin() = D = Jotta dv/:n aluehtoa pystytään äyttämään, derivoidaan yleinen rataisu Kosa ensimmäisen aluehdon perusteella tiedetään, että D saa arvon, saadaan: dv(t)/ D e -t sin(9798t) + 9798D e -t cos(9798t) Täten toinen aluehto voidaan irjoittaa muodossa: dv()/ D e sin() + 9798D e cos() = 98 D Tehtävän oonaisrataisu on siis: v(t) e -t sin(9798t) 35 Tehtävänannossa pyydetään rataisua virralle i(t) Tämä taroittaa sitä, että piiristä pitäisi ensin pystyä muodostamaan differentiaaliyhtälö i(t):lle ja tämän jäleen rataista se Virran differentiaaliyhtälö saadaan muodostettua, un irjoitetaan ytennälle Kirchhoffin jännitelai (t ) Tällöin ytin S oiosulee vastusen R : di ( t) di ( t) R E L + Ri ( t ) = E : L + i ( t) = L L Kyseessä on epähomogeeninen differentiaaliyhtälö, sillä yhtälöstä löytyy ysi nollasta poieava termi (E/L), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa i(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella Tehdään siis epähomogeenisesta yhtälöstä homogeeninen meritsemällä epähomogeenisuustermi nollasi (E/L = ), ja rataistaan HY: di ( t) R + i ( t ) = i(t) = e st se st + (R /L)e st = : e st L s + R /L = KY s = R /L ( ) 3
Karateristinen yhtälö (KY) on ensimmäistä astetta, joten homogeenisen yhtälön rataisuun tulee vain ysi termi Täten saadaan: ( ) ( ) h L i t R t = De Kosa aluperäinen differentiaaliyhtälö oli epähomogeeninen, homogeenisen yhtälön rataisu ei tässä tapausessa ole differentiaaliyhtälön yleinen rataisu Haetaan sisi aluperäisen epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu Kun tämä saadaan selville, differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on summa homogeenisesta rataisusta ja ysityisrataisusta Ysityisrataisua haetaan "sivistyneellä arvausella", joa perustuu epähomogeenisuustermin muotoon Kosa epähomogeenisuustermi on nyt vaio (E/L), eli ei riipu ajasta, oeillaan vaioyritettä ysityisrataisusi Idea siis on, että sijoitetaan vaio B epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan i(t) paialle Tällöin saadaan: db R E R E + B = B L L + L = L E B = R Kosa B saatiin rataistua vaiosi, eli ajasta riippumattomasi, E/R elpaa ysityisratusi i(t) (p) Täten differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: R i(t) = i(t) (h) + i(t) (p) t E L = De + R Vielä tarvitaan aluehto D:n rataisemiseen Tehtävänannon muaan piirin virta i(t) on vaio, un t on pienempi uin s Tällöin siis äämin yli ei ole jännitettä, joten voidaan irjoittaa: E = (R + R )i(t) i(t) = E/(R + R ) Siis juuri sillä hetellä, un ytin S lyödään iinni, i(t) saadaan yllä olevasta lauseeesta, osa äämin virta ei voi muuttua epäjatuvasti Ja ytinhän lyödään iinni ajanhetellä t =, joten saadaan: i() = De + E/R = E(R + R ) E E ER E ( R + R ) RE D = = = R + R R R R + R R R + R ( ) ( ) Differentiaaliyhtälön oonaisrataisu on siis: i(t) = R t RE L E e + R R R R ( + ) 36 Rataistava differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen, sillä nollasta poieava termi f(t) ei sisällä rataistavaa muuttujaa y(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella, joten rataistaan ensin HY, joa on sama ohdissa (a)-(d): y + 4y + 4y = y = e rt r e rt + 4re rt + 4e rt = :e rt r + 4r + 4 = KY r = 4
Karateristinen yhtälö (KY) on astetta, joten HY:n rataisuun tulee asi erillistä termiä KY:llä on uitenin vain ysi juuri, joten juuri on asinertainen Täten homogeenisen yhtälön rataisu on: ( ) ( ) h t t e e y t = C + C t (a) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Epähomogeenisuustermi on nyt e -t, joten oeillaan ysityisrataisusi samaa muotoa olevaa termiä mahdollisimman yleisessä muodossa Koeillaan siis termiä Ae -t, jossa A on vaio Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: t t t Ae 4Ae + 4Ae t = e :e -t A 4A + 4A = A = Kertoimen A piti olla vaio, ja se saatiin rataistua vaiosi, eli ajasta riippumattomasi Sisi termi Ae -t elpaa ysityisrataisusi, joten voidaan irjoittaa: ( ) ( p) y t = e t Differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on homogeenisen rataisun ja ysityisrataisun summa: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) h p t t t e e e y t = y t + y t = C + C t + (b) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Epähomogeenisuustermi on nyt 5t, eli ensimmäisen asteen polynomi t:stä, joten oeillaan ysityisrataisusi samaa muotoa olevaa termiä mahdollisimman yleisessä muodossa Koeillaan siis yleistä muotoa olevaa ensimmäisen asteen polynomia t:stä, eli termiä at + b, jossa a ja b ovat vaioita Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: 4a = 5 + 4 a + 4( at + b) = 5t 4at + 4( a + b) = 5t 4a + 4b = a = 5/ 4 y ( t) ( p) = 5 t 7 ( ) ( ) ( h) ( ) ( p) t t 5 7 y t = y t + y t = Ce + Cte + t b = 7 / 4 4 4 4 4 (c) Haetaan epähomogeenisen yhtälön ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Kun epähomogeenisuustermi on sin- tai costermi, uten nyt sin(t), ysityisrataisusi annattaa oeilla sinin ja cosinin summaa Tämä johtuu siitä, että sinin derivaattana saadaan cosinia ja vastaavasti cosinin derivaattana (miinus) siniä Koeillaan siis ysityisrataisusi termiä Asin(t) + Bcos(t), jossa A ja B ovat vaioita Kun yseinen termi sijoitetaan epähomogeeniseen differentiaaliyhtälöön rataistavan muuttujan y(t) paialle, saadaan: Asin ( t ) Bcos( t ) + 4 Acos( t ) Bsin ( t ) + 4 Asin ( t ) + B cos( t ) = sin ( t ) sin ( t )[ 4A 8B + 4A] + cos( t )[ 4B + 8A + 4B] = sin ( t ) 5
4 8 4 A B + A = A = 4B + 8A + 4B = B = / 8 ( ) ( p ) y t = cos ( t) ( ) ( ) ( h ) ( ) ( p ) t t y t y t y t C e = + = + C te cos( t ) (d) Huomaa, että ohdan (d) epähomogeenisuustermi on summa ohtien (a), (b) ja (c) epähomogeenisuustermeistä Täten additiivisuussäännön nojalla saadaan, että (d)- ohdan ysityisrataisu on summa ohtien (a), (b) ja (c) ysityisrataisuista: ( ) ( p) 5 7 t y t = e + t cos( t ), jolloin differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: 4 4 8 ( ) ( ) ( h ) ( ) ( p ) t t t 5 7 y t = y t + y t = Ce + Cte + e + t cos( t ) 4 4 8 Additiivisuussääntö taroittaa siis sitä, että eri epähomogeenisuustermejä vastaavat ysityisrataisut voidaan haea eriseen, ja oonaisysityisrataisu on osaysityisrataisujen summa 38 Tehtävänannon perusteella ytennästä pitäisi rataista jännite y(t), un järjestelmän sisäänmenona on lähdevirta i(t) Ensin pitää siis saada aiaisesi differentiaaliyhtälö y(t):n ja i(t):n välille Kyseinen yhtälö saadaan muodostettua Kirchhoffin virtalain avulla: y ( t ) i ( t ) = ic ( t ) + ir ( t ) = Cy ( t) + y ( t) + y( t) = i( t) R RC C Muodostettu differentiaaliyhtälö on epähomogeeninen, sillä siitä löytyy ysi nollasta poieava termi (i(t)/c), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa y(t) Epähomogeenisen differentiaaliyhtälön rataiseminen alaa aina homogeenisen yhtälön (HY) rataisemisella, joten rataistaan ensin HY sijoittamalla nolla epähomogeenisuustermin paialle: y ( t ) + y ( t) = y(t) = e rt rt rt re + e = :e rt r + = KY RC RC RC r = = RC Kosa KY on ensimmäistä astetta astetta, HY:n rataisuun tulee vain ysi termi: y(t) (h) = Ae -t Aluperäinen yhtälö on epähomogeeninen, joten haetaan seuraavasi epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu epähomogeenisuustermiin e t sin(t)/c perustuvalla "sivistyneellä arvausella" Kosa epähomogeenisuustermi on sinin ja esponenttitermin tulo, oeillaan yritettä A e -t sin(t) + A e -t cos(t), jossa A ja A ovat vaioita: t t t t A e sin t + A e cos t A e cos t A e sin t + ( ) ( ) ( ) ( ) t t t A e sin t Ae cos t e sin t RC C 8 ( ) + ( ) = ( ) 8 6
A A RC RC C A A A = RC C A = p y t = e A A = + A A = RC t t t A A e sin ( t) + + A A e cos( t) = e sin ( t) ( ) ( ) t cos( t) Termien A ja A piti olla vaioita, ja vaioisi ne saatiin rataistua, joten yritetty termi elpaa ysityisrataisusi Kosa seä homogeenisen yhtälön rataisu että ysityisrataisu ovat nyt tiedossa, differentiaaliyhtälön yleinen rataisu on: y(t) = y(t) (h) + y(t) (p) = Ae -t - e -t cos(t) Vielä tarvitaan aluehto yleisen rataisun vaion A rataisemisesi Ulostulo y(t) = V, un t <, osa tällöin i(t) = A Ja vaia ondensaattorin levyjen välillä olisi join nollasta poieava jännite aiojen alussa ollutin, se olisi joa tapausessa purautunut vastusen R autta Täten saadaan: y() = Ae - = A =, joten oonaisrataisu on: y(t) = e -t - e -t cos(t), t 39 Kosa tässä tehtävässä tarastellaan sama järjestelmää uin tehtävässä 38, myös järjestelmää uvaava differentiaaliyhtälö on sama Tehtävän 38 perusteella järjestelmää uvaavasi differentiaaliyhtälösi saadaan: y ( t) + y( t) = i( t) RC C Tehtävänä on muodostaa impulssivaste yseiselle järjestelmälle Impulssivaste on taroittaa järjestelmän ulostuloa, un sisäänmenosi syötetään impulssi Sisi impulssivaste saadaan määritettyä järjestelmää uvaavasta differentiaaliyhtälöstä siten, että sijoitetaan sisäänmenosi i(t) impulssi δ(t) ja ulostulosi y(t) impulssivaste h(t): h ( t) + h( t) = δ( t) RC C h ( t ) + h ( t ) = δ( t ) Jatuva-aiaisten järjestelmien impulssivaste rataistaan aina siten, että tarastellaan järjestelmää, un t on suurempi uin s Tällöin rataistavasi tulee aina homogeeninen differentiaaliyhtälö, sillä impulssi δ(t) saa nollasta poieavan arvon vain t:n arvolla s Sisi voidaan irjoittaa (t > ): h ( t) + h( t) = h(t) = e rt rt rt re + e = :e rt r + = KY r = Kosa arateristinen yhtälö (KY) on ensimmäistä astetta, homogeenisen yhtälön t rataisusi ja samalla impulssivasteen yleisesi rataisusi saadaan: h( t ) = Ce Huomaa, että impulssivasteen rataisemiseen riittää aina homogeenisen yhtälön rataiseminen Ysityisrataisua ei tarvita osaan, sillä tarasteltavasta differentiaaliyhtälöstä tulee aina homogeeninen, un tilannetta tarastellaan positiivisilla ajanhetillä 7
Vielä tarvitaan aluehto C:n määrittämiseen Jatuva-aiaisten järjestelmien impulssivasteen tapausessa aluehdot saadaan aluperäisen differentiaaliyhtälön impulssin ertoimen perusteella, unhan impulssivasteen oreimman derivaattatermin erroin on ysi Aluperäinen differentiaaliyhtälö, josta impulssivastetta alettiin rataista, on nyt siis h ( t) + h( t) = δ( t) Impulssivasteen oreimman derivaattatermin ( astetta) erroin on ysi, joten aluehdot määräytyvät impulssin ertoimen ertoimen perusteella, joa nyt on Aluehdot saadaan siten, että un aluperäinen differentiaaliyhtälö on n:ttä astetta, impulssivasteen n :s derivaattatermi saa arvon ajanhetellä s, ja aiien muiden impulssivasteen derivaattatermien arvo on nolla Kosa differentiaaliyhtälön aste n on nyt ysi, n :s derivaattatermi taroittaa nollannen asteen derivaattaa, eli impulssivastetta h(t) Ja tämän termin arvon ajanhetellä s on nyt siis Täten saadaan: h = Ce = C = ( ) Nyt impulssivasteen lausee voidaan irjoittaa muodossa ( ) t h t = e 3 Jatuva-aiajärjestelmien tilamuuttujaesitysen idea on pudottaa oreampaa astetta oleva differentiaaliyhtälö useasi ensimmäistä astetta olevasi differentiaaliyhtälösi Jos aluperäinen differentiaaliyhtälö on esimerisi toista astetta (eli jos sen orein derivaattatermi on toista astetta), tarvitaan asi tilamuuttujaa, jotta yhtälö saadaan palautettua ahdesi ensimmäistä ertaluoaa olevasi differentiaaliyhtälösi Jatuva-aiajärjestelmien tilamuuttujaesitys on: x ( t) = Ax( t) + Bu( t), y ( t) = Cx( t) + Du ( t) jossa x edustaa tilamuuttujia, u järjestelmän sisäänmenoa, ja y järjestelmän ulostuloa Matriisit A, B, C ja D ovat ns tilamuuttujamatriiseja Kosa jatuva-aiaisten järjestelmien tilamuuttujaesitysessä esiintyy ylemmän yhtälön vasemmalla puolella tilamuuttujavetorin x aiaderivaatta, sähöpiiritehtävissä tilamuuttujisi annattaa valita ondensaattorin jännite v C ja äämin virta i L Tämä johtuu siitä, että ondensaattorin virta saadaan apasitanssin ja v C :n aiaderivaatan tulona, ja vastaavasti äämin jännite saadaan indutanssin ja i L :n aiaderivaatan tulona Tehtävän rataisu alaa tilamuuttujien valinnalla Oloon tilamuuttuja x (t) ondensaattorin jännite ja tilamuuttuja x (t) äämin virta Kondensaattorin virtajännite-yhtälön perusteella voidaan nyt irjoittaa: i ( t) = Cv C ( t) v C ( t) = i ( t) x ( t) = x ( t) C C Tilamuuttujaesitysen ylemmässä yhtälössä ilmaistaan tilamuuttujien aiaderivaatat tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla Yllä olevassa lauseeessa on tehty juuri näin, eli ilmaistu x (t):n aiaderivaatta on lausuttu tilamuuttujien x (t) ja x (t) seä 8
sisäänmenon v(t) avulla Tässä tapausessa äy niin, että x (t):n aiaderivaatta ei riipu x (t):stä eiä sisäänmenosta, mistä seuraa nollia alioisi tilamatriiseihin Joa tapausessa ondensaattorin virta-jännite-yhtälöstä saadaan tilamuuttujaesitysen ylemmän yhtälön ensimmäinen yhtälö Vielä tarvitaan tilamuuttujaesitysen ylemmän yhtälön muainen lausee tilamuuttujan x (t) aiaderivaatalle Kosa yseinen tilamuuttuja on äämin virta, ja osa äämin yli olevan jännitteen lauseeessa esiintyy virran aiaderivaatta, lähdetään irjoittamaan piirille Kirchhoffin jännitelain muaista lauseetta Tällöin saadaan: Li t + Ri t + v t = v t Lx t + Rx t + x t = v t :L ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) C R L L L x ( t) = x ( t) x ( t ) + v( t) Yllä olevassa lauseeessa on lausuttu x (t):n aiaderivaatta tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla Täten tilamuuttujaesitysen ylempään yhtälöön tarvittavat asi yhtälöä on nyt muodostettu Tilamuuttujaesitysen alempaa yhtälöä varten tarvitaan ulostulo tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla lausuttuna Kosa ulostulo on vastusen yli oleva jännite, saadaan: v t Ri t y t = Rx t R ( ) = ( ) ( ) ( ) Nyt ulostuloin on lausuttu tilamuuttujien ja sisäänmenon avulla, joten tilamuuttujaesitys saadaan irjoitettua muodossa: x ( t) / C x ( t) x ( t ) = v( t) x ( t + ) / L R / L x ( t ) / L, y ( t) = [ R] + [ ] v( t ) x ( t) A B C D Lisäsi ysyttiin, ono järjestelmä stabiili Stabiilisuutta saadaan tarasteltua tilamatriisin A:n ominaisarvojen perusteella Kun annetut luuarvot (R = Ω, C = nf, L = mh) sijoitetaan paialleen, ominaisarvoisi saadaan: / C λ λ / C A λ I = = / L R / L λ = / L R / L λ λ ( R / L + λ ) + / ( LC) = λ + R L λ + LC = λ = Jatuva-aiainen järjestelmä on stabiili, jos tilamatriisin A aii ominaisarvot ovat reaaliosaltaan negatiivisia Nyt ehto toteutuu, joten järjestelmä on stabiili Tilamatriisin A ominaisarvot vastaavat järjestelmää uvaavan differentiaaliyhtälön arateristisen yhtälön juuria, aivan uten oli disreettipuolellain Täten järjestelmän homogeenisen yhtälön (HY) rataisu on muotoa: ( ) ( h) 6 6 t e e y t C C t t = + Tuosta HY:n rataisusta pystytään myös päättelemään jatuva-aiaisten järjestelmien stabiilisuusehto Järjestelmä on stabiili, jos y(t) (h), un t Jotta yseinen ehto toteutuu yllä olevalle y(t) (h) :lle, arateristisen yhtälön juurien on oltava reaaliosaltaan 9
negatiivisia, jolloin e-termit pienenevät t:n asvaessa Stabiilisuusehto osee vain KY:n juurien reaaliosia, sillä KY:n juurien imaginääriosathan tuovat rataisuun pelästään sin- ja cos-termejä, joilla ei ole mitään teemistä stabiilisuuden anssa 3 Rataistaan tehtävä solmupistemenetelmällä Ensin on siis selvitettävä, uina monta erisuurta potentiaalia ytennästä löytyy Huomataan, että erisuuria potentiaaleja on olme appaletta (ysi alareunassa, ysi vasemmassa yläulmassa, ja ysi oieassa yläulmassa) Täten ytennässä on olme solmupistettä Tämän jäleen ysi näistä solmupisteistä valitaan referenssipotentiaalisi, jona arvosi iinnitetään V Nyt referenssipotentiaali on valittu ytennän alareunaan Jäljelle jää siis asi tuntematonta potentiaalia Kun ytennän vasempaan yläreunaan valitaan potentiaali V ja oieaan yläreunaan V, solmupisteyhtälöt voidaan irjoittaa muodossa: U V V e + = I V R e + ( V V ) = () U = V - V V V V 6V V () + + = I = R R R + V V + V () V =, sij ():een e + V = 3 6 6 V 3e 3 + 6V V = 3 Huomaa, että muodostettu yhtälö ei ratea normaalin yhtälönrataisun einoin, eli yhtälölle ei löydetä analyyttistä rataisua Sisi tehtävä on rataistava liimääräisesti eli numeerisesti Newton-Raphson-algoritmi on yleisesti äytetty menetelmä epälineaaristen yhtälöiden rataisemiseen Jotta N-R-algoritmia voidaan äyttää, f V = Tämä onnistuu helposti, rataistava yhtälö on ensin irjoitettava muodossa ( ) un siirretään yhtälön oiealle puolella oleva olmonen vasemmalle puolelle Saadaan siis: V 3e 4V 7 f V = f ( V ) = 3e V + 4V 7 + = ( ) Nyt pyritään löytämään sellainen V :n arvo, joa toteuttaa yseisen yhtälön Tätä V :n arvoa lähdetään iteroiden haemaan Newton-Raphson-algoritmilla, joa on: V ( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) f V = V f ' ( V ) V V Nyt f ( V ) = 3e + 4V 7 ja ( ) f ' V = 3e + 4 Algoritmissa esiintyvä yläindesi () taroittaa iterointiierrosta eiä siis ole esponentti Jotta saadaan selville ensimmäisen iteraatioierrosen arvo V :lle, eli V (), on arvattava join arvo termille V () Arvataan, että V () = V Tällöin V V ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f V 3e + 4 7 = V = 76 f 3e + 4 '( V ) ( ) ( ) ( ) '( V ) f V 76 3e + 4 76 7 = V 76 86 f 3e + 4 ( ) ( ) 76
V V ( 3) ( ) ( ) ( ) ( ) f V 86 3e + 4 86 7 = V 86 8 f 3e + 4 '( V ) ( 3) ( ) ( 3) '( V ) 86 f V 8 3e + 4 8 7 = V 8 8 f 3e + 4 ( 4) ( 3) 8 Jännitteet pyydettiin lasemaan ahden desimaalin taruudella, ja osa tulos pysyy iteraatioiden 3 ja 4 välillä ahden (ja jopa olmen) desimaalin taruudella muuttumattomana, tämän pidemmälle ei tarvitse iteroida + 8 Täten V 8 V ja V 933 V Vaaasuunnassa olevan 6 vastusen yli oleva jännite on V - V V Vasemmassa reunassa olevien virtalähteen ja diodin yli oleva jännite on V - 8 V Kytennän oieassa reunassa olevien vastusten ja virtalähteen yli oleva jännite on V - 9 V Jännitteen plusnapa on omponenttien yläreunassa 4 Nyt siirrytään jatuva-aiaisten järjestelmien puolelta taaisin disreettiaiaisiin järjestelmiin Aletaan tarastella Z-muunnosta, joa on vaihtoehtoinen tapa differenssiyhtälöiden rataisemiseen Lähdetään liieelle Z-muunnosen määritelmästä Määritelmän muaan termin y ( ) Z-muunnos Y(Z) on: Z y = Y z = y z { } ( ) = (a) Määritelmään perustuen vaion a Z-muunnos voidaan siis irjoittaa muodossa: z a Z{ a} = az = a z = a = = = z z Yllä olevan lausee saadaan siis siten, että geometrinen sarja, jossa summattavana on z, irjoitetaan suppenevan geometrisen sarjan summasi Kyseinen summa saadaan, un summan termi jaetaan yösen ja sarjan suhdeluvun erotusella, eli: summan termi z irjoitetaan muodossa = sarjan suhdeluu (b) z 3 Z z z = = = = 3 = 3 = 3 z z 3 3
(c) Kohdissa (c) ja (d) ideana on lausua x +3 :n ja x 3 :n Z-muunnos x :n Z-muunnosen avulla Z (d) Z { } + m ( ) x = x z = z x z = z x z = z X z z x zx x 3 3 3 3 + 3 + 3 + 3 m = = m= 3 { } m ( ) x = x z = z x z = z x z = z X z + z x + z x + z x 3 3 3 3 3 3 3 3 m 3 = = m= 3 (e) Tässä haetaan disreetin impulssin δ Z-muunnos { } z z z z z z z Z δ = δ = δ + δ + δ + = + + + = = 4 Mia Mastin luomasta hienosta tarinasta syntyy epähomogeeninen differenssiyhtälö: l + = 95l 5, jossa l on amelin vesimäärä litroissa ja uvaa tunteja Tarasteltava differenssiyhtälö on epähomogeeninen, sillä rataistava muuttuja on l, ja yhtälössä on ysi nollasta poieava termi ( 5), joa ei sisällä rataistavaa muuttujaa Rataistavana on siis epähomogeeninen differenssiyhtälö: l 95l = + 5 Rataistaan ensin homogeeninen yhtälö, eli meritään epähomogeenisuustermi nollasi: l 95l = + l = r r + 95r = :r r 95 = KY r = 95 l ( h) = C 95 Kosa arateristinen yhtälö (KY) oli ensimmäistä astetta, homogeenisen yhtälön rataisuun tuli vain ysi termi Kosa aluperäinen differenssiyhtälö oli epähomogeeninen, haetaan sitten epähomogeenisen yhtälön toteuttava ysityisrataisu Kosa epähomogeenisuustermi (-5) on vaio, oeillaan vaioyritettä A Sijoitetaan siis A epähomogeeniseen differenssiyhtälöön l :n paialle: A 95A = 5 A = 3 = l ( p) Kosa A saatiin rataistua vaiosi, se elpaa ysityisrataisusi Differenssiyhtälön yleinen rataisu on täten: ( h) ( p) l = l + l = C 95 3 Vielä tarvitaan aluehto vaion C määrittämiseen Jotta ameliin tanattu vesi riittää, vesimäärän on 5 tunnin jäleen oltava ei-negatiivinen 5 3 l5 = C 95 3 C 64754 l 64754 95 3 5 95 Nyt voidaan selvittää, uina paljon Roopen on alunperin ostettava vettä, eli saadaan lasettua suureen l arvo: l 64754 95 3 3475
Kosa vettä myydään vain tasalitroissa, Roopen on ostettava 35 litraa vettä 43 Rataistaan tehtävän 4 differenssiyhtälö l + = 95l 5 z-muunnosella Tämä taroittaa sitä, että ensin Z-muunnetaan differenssiyhtälön joainen termi, sen jäleen rataistaan tehtävä Z-tasossa, ja vielä lopusi haetaan äänteismuunnos taaisin aiatasoon Kun tarasteltavan differenssiyhtälön joainen termi Z-muunnetaan, saadaan: 5 z L( z) l = 95L( z) z Z-tason rataisun haeminen taroittaa sitä, että tästä yhtälöstä rataistaan nyt L(z), joa on l :n Z-muunnos Kun yllä oleva yhtälö errotaan puolittain z:lla, saadaan: 5z L( z) l = 95zL( z) z 5z l lz 5z l ( 5 + l ) z ( 95z) L( z) = l = = z z z l ( 5 + l ) z L( z) = 95z z Nyt amelin vesimäärä on rataistu Z-tasossa Jotta saadaan äänteismuunnos aiatasoon, L(z) on muoattava suppenevan geometrisen sarjan summan näöisesi Sisi L(z):lle tehdään osamurtoehitelmä l ( 5 + l ) z A B A( z) B ( 95z) L( z) = = + = + 95z z 95z z 95z z z 95z l ( 5 + l ) z A( z) + B ( 95z) = ( 95z)( z) ( 95z)( z) Yllä olevan yhtälön vasemman ja oiean puolen nimittäjät ovat samat, joten jotta yhtäsuuruus toteutuu, on osoittajienin oltava samat Kun osoittajien z:n ertoimia ja vaioertoimia verrataan eri puolilla yhtälöä, saadaan yhtälöpari A:lle ja B:lle: A + B = l B = l A 5 l ( ) 5 l = A = A 95 l A 95B 5 5l = 5A A = l + 3 B = 3 l + = 95z z ( ) 3 3 L z l ( l ) = + 3 95 3 Jälleen yhtälössä on ysi tuntematon teijä, joa saadaan selville ehdosta, että amelin vesimäärän on 5 tunnin jäleen oltava ei-negatiivinen: 5 3 l5 = ( l + 3) 95 3 l 5 3 3475 95 Päädytään siis samaan tuloseen uin tehtävässä 4: Roopen on ostettava 35 l vettä 3
48 Ysi Z-muunnosen eduista on, että aiatason onvoluutiosumma, jota äytettiin esimerisi tauluomenetelmän avulla, orvautuu Z-tasossa ertolasulla Täten voidaan irjoittaa Y(z) = H(z)U(z), jossa Y(z) on järjestelmän ulostulon Z-muunnos, H(z) on impulssivasteen Z-muunnos, ja U(z) on järjestelmän sisäänmenon Z-muunnos Tässä ysytään H(z):a, joa siis saadaan Y(z):n ja U(z):n osamääränä Z-muunnetaan ensin u ja y Z-muunnosen määritelmään perustuen: + ( ) 5 + = = = = Z { y } = Y ( z) = y z = z = z = z =, 5 5 5 5 z / 5 + ( + ) = = = = Z { u } = U ( z) = u z = z = z = z = 4 z / Täten ysytysi H(z):n lauseeesi saadaan: Y ( z) / 5 z / 4 z / H ( z) = = = U z z / 5 / 4 5 z / 5 ( ) 49 Vaia tehtävänannossa viitataan tehtävään "olme", taroitus on viitata tehtävään 48 Tässä siis tarastellaan samaa järjestelmää uin tehtävässä 48 Ja osa impulssivaste ja sen Z-muunnos H(z) on järjestelmäohtainen suure, siirtofuntio H(z) voidaan ottaa suoraan tehtävästä 48 Nyt siis pitäisi selvittää, miä on tarasteltavan ( ) järjestelmän ulostulo, un sisäänmenosi u syötetään +, Muodostetaan ensin u :n Z-muunnos U(z) ja lasetaan sitten Y(z) siirtofuntion avulla 3 + ( ) 3 + = = = = Z { u } = U ( z) = u z = z = z = z = 3 3 3 3 z / 3 4 z / ( 4 /5)( z / ) Y ( z) = H ( z) U ( z) = = 5 z / 5 3 z / 3 z / 5 z / 3 Tehdään vielä osamurtoehitelmä, jotta saadaan selville äänteismuunnos ( 4 /5)( z / ) A B A( z / 3) + B ( z / 5) Y ( z) = = + = z / 5 z / 3 z / 5 z / 3 z / 5 z / 3 A + B = 4 /5 A = 3/ 5 A/ 3 B / 5 = 4 / 3 B = / 3 y + + 3 = = 3 5 5 3 3 5 3 Y ( z) 3 = 5 z / 5 3 z / 3 4