5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

Transkriptio

1 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n differentiaaliyhtälöryhmä: y = f (t,y,,y n ) y = f (t,y,,y n ) () y n = f n (t,y,,y n ) Funktiot y,,y n ovat yhden muuttujan t funktiota.

2 Ryhmän ratkaisu välillä a<t<b on n:n differentioituvan funktion y = h (t),, y n = h n (t) joukko, joka toteuttaa yhtälöt () välillä a<t<b. DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä: ryhmä () + alkuehdot y (t 0 ) = K y (t 0 ) = K () y n (t 0 ) = K n

3 Esimerkki 5.. Muodosta differentiaaliyhtälöryhmä, jolla ratkaistaan virrat I (t), I (t) seuraavassa virtapiirissä. Kytkin suljetaan hetkellä t=0, jolloin virrat ja varaukset ovat nollia. 3 Vastusten resistanssit R = 4, R = 6 Käämin induktanssi L = H Kondensaattorin kapasitanssi C = 0,5 F Jännitelähteen sähkömotorinen voima E= V

4 Jännitehäviöt komponenteissa: 4 - vastuksessa: RI di - käämissä: L dt - kondensaattorissa: Q/C, missä I = dq/dt eli Q = I dt Vasen silmukka: di L R(I I ) dt E di R (I I) dt L E L Oikea silmukka: Q R I R(I I) 0 ( R R )I RI Idt 0 C C Derivoimalla di di ( R R ) R I 0 dt dt C

5 Sijoitetaan vakiot 5 I + 4(I I ) = => I = 4I + 4I + 0 I 4I + 4I = 0 => I = 0,4I 0,4I Sijoittamalla I jälkimmäiseen saadaan DY- ryhmä I = 4I + 4I + I =,6I +,I + 4,8 Alkuehdot: I (0) = I (0) = 0.

6 n:nnen kertaluvun DY:n esittäminen DY-ryhmänä 6 Differentiaaliyhtälö y (n) = F(t,y,y,,y (n-) ) (3) voidaan esittää ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmänä. Määritellään y = y, y = y, y 3 = y,, y n = y (n-) => (4) y = y, y = y, y 3 = y,, y n = y (n)

7 7 Vastaava DY-ryhmä y = y y = y 3 (5) y n- = y n y n = F(t,y,,y n )

8 8 Esimerkki 5.. Muuta differentiaaliyhtälöryhmäksi. kertaluvun DY + y y = 0 eli = y + y. Merkitään y = y y = y => y = y Vastaava ryhmä on y = y y = y y

9 9 Lineaarinen. kl:n DY-ryhmä: y = a (t)y + + a n (t)y n + g (t) y = a (t)y + + a n (t)y n + g (t) (6) y n = a n (t)y + + a nn (t)y n + g n (t) Vektorimuodossa y = Ay + g (7) A = nn n n n n a a a a a a a a a y = n y y y g = n g g g y = y y y n Alkiot voivat olla vakioita tai t:stä riippuvia

10 0 Lause 5.. Jos a ij - ja g i -funktiot ovat jatkuvia välillä a<t< b joka sisältää pisteen t 0, niin yhtälöillä y = Ay + g on tällä välillä yksikäsiteinen alkuehdot () toteuttava ratkaisu.

11 Homogeeninen DY-ryhmä: y = Ay (8) Ratkaisujen superpositioperiaate: Jos y () ja y () ovat homogeenisen ryhmän (8) ratkaisuja, niin myös niiden lineaarikombinaatiot C y () + C y () ovat ratkaisuja. Huom. Jokainen ratkaisu on n:n funktion (pysty)vektori. Vektoreita merkitään lihavoiduilla symboleilla. Käsin kirjoitettaessa merk. yläviivalla, ts. y = y.

12 DY-ryhmän ratkaisujen y (),, y (n) Wronskin determinantti on W(y (),,y (n) ) = y y () () y y () () y y (n) (n) (9) y () n y () n y (n) n jonka j:s sarake on j:s kantaratkaisu y (j) = ( y ( y n j) j) Ratkaisut y (),,y (n) ovat lineaarisesti riippumattomia välillä a<t<b ja muodostavat ratkaisujen kannan, jos W 0 jossakin välin pisteessä t.

13 Lause Jos funktiot a ij (t) ovat jatkuvia välillä a<t<b, niin homogeenisella DY-ryhmällä y = Ay on n lineaarisesti riippumatonta kantaratkaisua y (),,y (n). Ryhmän yleinen ratkaisu on silloin y = C y () + + C n y (n) (0) missä C,,C n ovat vakioita.

14 5. Vakiokertoimiset homogeeniset DY-ryhmät 4 Vakiokertoiminen ensimmäisen kertaluvun homogeeninen differentiaaliyhtälöryhmä on y = a y + + a n y n y = a y + + a n y n () y n = a n y + + a nn y n eli y = Ay () missä kerroinmatriisin A = a a n a a n nn alkiot a ij ovat vakioita.

15 5 Esimerkki 5.. a) Ratkaise vakiokertoiminen DY-pari y = y + y y = 4y + y Yrite: y i = x i e t y i = x i e t i=, Vektorimuodossa: y = xe t y = xe t

16 Sijoitetaan yhtälöihin: 6 x e t = x e t + x e t x e t = 4x e t + x e t x = x + x x = 4x + x 4 x x x x :t ovat matriisin A = ominaisarvoja 4 x ja x = vastaavia ominaisvektoreita. x

17 7 Ominaisarvot yhtälöstä det(a I) = 0 => = 3, = - Ominaisvektorit ratkaisemalla (A I)x = 0. Ominaisarvoa = 3 vastaava ominaisvektori x = Ominaisarvoa = - vastaava ominaisvektori x = Yhtälöryhmällä on ratkaisut y () = e e 3t 3t t, y () e = t e

18 Wronskin determinantti: 8 3t t e e t t W = e 4e 0 3t t e e joten ratkaisut ovat lineaarisesti riippumattomat ja muodostavat ratkaisujen kannan. Yleinen ratkaisu vektorimuodossa y = C 3t t x e C x e Komponenteittain: y = C e 3t + C e -t y = C e 3t C e -t

19 b) Hae ratkaisu muuttamalla DY-pari yhdeksi. kertaluvun DY:ksi ratkaisemalla y ensimmäisestä yhtälöstä ja sijoittamalla se derivaattoineen toiseen. 9 y = y + y y = 4y + y Ensimmäisestä yhtälöstä y = y y y = y y Sijoitetaan nämä toiseen: y y = 4y + y y => y y 3y = 0

20 Karakteristisen yhtälön juuret 3 ja - => 0 y = C e 3t + C e -t y = 3C e 3t C e -t Nämä sijoittamalla y :een: y = 3C e 3t C e -t (C e 3t + C e -t ) = C e 3t C e -t Ratkaisu on y = C e 3t + C e -t y = C e 3t C e -t

21 c) Mikä on ryhmän ratkaisu alkuehdoilla y (0) =, y (0) = 6? C + C = C C = 6 => C =, C = - Alkuarvotehtävän ratkaisu: y = e 3t e -t y = 4e 3t + e -t

22 Vakiokertoimisen DY-ryhmän ratkaiseminen yleisesti: Sijoitetaan yhtälöryhmään eli y = a y + + a n y n y = a y + + a n y n y n = a n y + + a nn y n y = Ay yritteet y i = x i e t, vektorina y = xe t ja pyritään määräämään vakiot x ja siten että yhtälöt y = Ay toteutuvat.

23 3 Saadaan y = xe t Ay = Axe t xe t = Axe t Jakamalla e t :llä saadaan ominaisarvo-ongelma Ax = x (4) Vakiot ovat A:n ominaisarvoja ja x:t niitä vastaavia ominaisvektoreita.

24 4 Lause 5.. Jos vakiokertoimisen, homogeenisen DY-ryhmän y = Ay kerroinmatriisilla A on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria x (),,x (n) liittyen ominaisarvoihin,, n (voivat olla kaikki erisuuria tai jotkut yhtäsuuria), sen kantaratkaisut ovat y () = x () e t,, y (n) = x (n) n e t (5) ja yleinen ratkaisu y = C x () e t + + C n x (n) n e t (6) A:lla on n lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria ainakin silloin, jos se on symmetrinen (a ij = a ji ) tai vinosymmetrinen (a ij = -a ji ) tai kun sen n ominaisarvoa ovat erisuuria.

25 Wronskin determinantti: 5 W= x () e t x (n) e n t = e t... n t x () x (n) x () n e t x (n) n e n t x () n x (n) n W 0 jos ja vain jos vektorit x (j) lin.riippumattomat. Jos A:lla on kaksinkertainen ominaisarvo, jota vastaa vain yksi ominaisvektori x, saadaan toinen lineaarisesti riippumaton ratkaisu sijoituksella y () = xte t + ue t Tästä seuraa, että u ratkaistaan yhtälöstä (A I)u = x

26 6 Esimerkki 5.. Ratkaise ryhmä y = 4y + y y = y + y

27 5.3 Faasitaso, kriittiset pisteet ja stabiilisuus 7 Tarkastellaan DY-paria eli y = a y + a y y = a y + a y a a y y = Ay = a a y Ratkaisujen esittäminen graafisesti: ) Ratkaisu y(t) = (y (t), y (t)) T kahtena (t,y)-tason käyränä y = y (t) ja y = y (t)

28 8 ) Parametriesitys eli faasikuva: Piirretään ratkaisun polku tai rata (y,y )-tasossa eli faasitasossa, ts. piirretään käyrä jonka pisteet (y (t), y (t)) muodostavat kun t käy yli tarkasteluvälin. Faasikuva on käyräparvi, joka syntyy, kun yleisen ratkaisun parametreja vaihdellaan. Polun tangentin kulmakerroin on dy dy y y ' ' dt dt y y ' ' a a y y a a y y Pisteessä P 0 : (0,0) kulmakerroin on 0/0 eli määrittelemätön. Tällaista pistettä kutsutaan kriittiseksi pisteeksi.

29 9 Kriittisen pisteen laatu riippuu A:n ominais-arvoista,, jotka ovat karakteristisen yhtälön det(a I) = a a a a = (a +a ) + a a a a = 0 juuret. Merkitään p = a +a q = a a a a = det(a) diskriminantti = p 4q

30 30 Tällöin p + q = ( )( ) = ( + joten p =, q =, = ( )

31 p =, q =, = ( ) 3 Kriittisen pisteen P 0 tyypit Kriittisen p. tyyppi solmu satulapiste keskus spiraalipiste Tunnistamiskriteeri q > 0, 0 q < 0 p = 0, q > 0 p 0, < 0 Ominaisarvot, reaaliset, samanmerkkiset reaaliset, erimerkkiset imaginaariset kompleksiset, ei puhtaasti imaginaariset

32 3 Kriittisen pisteen stabiilisuus Piste P 0 on stabiili, jos jokaista P 0 -keskistä kiekkoa D, jonka säde on >0, vastaa P 0 -keskinen kiekko D siten, että jos polun piste hetkellä t on kiekossa D, niin polku pysyy tästä eteenpäin (t > t ) kiekossa D. Tarkoittaa, että kaikki jollain hetkellä t P 0 :n lähellä olevat polut pysyvät sen lähistöllä siitä eteenpäinkin. Piste P 0 on attraktiivinen (puoleensavetävä) stabiili piste, jos se on stabiili ja jokainen D :n kautta kulkeva polku lähestyy P 0 :aa, kun t.

33 Stabiilisuuden päätteleminen lukujen p = ja q = avulla: 33 Piste P 0 on stabiili ja attraktiivinen, jos p < 0 ja q > 0 stabiili, jos p 0 ja q > 0 epästabiili, jos p > 0 tai q < 0. Käytännön tulkinta: stabiilissa systeemissä pieni häiriö jossain tilanteessa vaikuttaa vain vähän systeemin käyttäytymiseen tulevaisuudessa.

34 34 Esimerkki 5.3. (Kreyszig, Chap. 4.3) Ratkaise seuraavat homogeeniset DY-ryhmät y = Ay ja määritä kriittisen pisteen tyyppi ja stabiilisuus, kun ominaisarvot on laskettu valmiiksi: a) y = 3y + y y = y 3y = -, = -4 b) y = y y = y, = c) y = y y = y =, = -

35 35 d) y = y y = 4y = i, = -i e) y = y + y y = y y = - + i, = - i

36 Epähomogeeniset lineaariset DY-ryhmät Tarkastellaan yhtälöryhmää y = Ay + g (4) missä vektori g(t) 0. Yleinen ratkaisu y = y (h) + y (p) missä y (h) (t) on homogeenisen ryhmän y = Ay ratkaisu ja y (p) (t) on ryhmän (4) yksityisratkaisu.

37 37 Epähomogeenisen ryhmän yksityisratkaisujen y (p) etsiminen: ) Määräämättömien kertoimien menetelmä eli yritemenetelmä sopii, jos g:n komponentit ovat t:n kokonaislukupotensseja, eksponenttifunktioita, sinejä tai kosineja. Modifikaatiosääntö muuttuu: Jos g:ssä on termi e t, missä on A:n ominaisarvo, on käytettävä yritettä ute t + ve t. Ratkaistaan vakiovektorit u ja v joilla yhtälöt toteutuvat.

38 Huomautuksia: 38 Jokaisessa yritevektorin y (p) komponentissa (alkiossa) on oltava samat funktiotyypit kuin oikean puolen vektorissa g Jokaisessa yritevektorin komponentissa jokaiselle funktiotyypille omat kertoimet Derivoi y (p) komponenteittain, sijoita DY-ryhmään. Tuntemattomat kertoimet ratkaistaan ehdoista että vektoriyhtälön jokaisen komponentin jokaisen funktiotyypin kertoimet täsmäävät yhtälöiden oikealla ja vasemmalla puolella.

39 Esimerkkejä yritteen valinnasta: Oletetaan, että ratkaistaan DY-paria (n = ) 39 y = Ay + g t a) Olkoon g = Oletetaan, että 0 ei ole A:n ominaisarvo jolloin HY:n kantaratkaisussa ei ole vakiota (e 0t ) eikä t:tä (ei tarvitse käyttää modifikaatiosääntöä). Yrite: y (p) = at + b = at a t b b

40 40 sin t b) Olkoon g = t e ja oletetaan, että A:n ominaisarvona ei ole eikä ±i (jolloin e t ja sin t eivät ole HY:n ratkaisussa eikä tarvitse käyttää modfikaatiosääntöä). Yrite: y (p) = a sin t + b cos t + c e t = a a sin t sin t b b cost cost t ce c e t y (p) derivaattoineen sijoitetaan DY-ryhmään ja asetetaan ehdot, että kummassakin vektorinyhtälön komponentissa funktioiden sin t, cos t ja e t kertoimet ovat samat oikealla ja vasemmalla puolella. Syntyy 6 lineaarista yhtälöä, joista kertoimet a, a, b, b, c, c ratkaistaan.

41 4 ) Parametrien variointi: Tarvitaan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu y (h) = C y () + + C n y (n) Komponenteittain y (h) = Cy Cy () () n C C n n y y (n) (n) n = y y n () () y y (n) (n) n C C n = Y(t)C Siis y (h) = Y(t)C

42 missä matriisin Y(t) sarakkeina kantaratkaisut y (),, y (n). 4 Korvataan vakiovektori C funktiovektorilla u(t) ja käytetään yritettä y = Y(t)u(t). Sijoittamalla y = Yu ja y = Y u + Yu ryhmään y = Ay + g saadaan Y u + Yu = AYu + g (9)

43 43 Homogeenisen ryhmän ratkaisujen derivaatat y () = Ay (),, y (n) = Ay (n) matriisiyhtälönä Y = AY, jolloin yhtälö (9) redusoituu muotoon => Yu = g u = Y - g Ratkaistaan u integroimalla komponenteittain jostain lähtöpisteestä t 0 (esim. 0) t:hen: u(t) t t 0 Y - g dt

44 44 Tulos: y (p) = Yu = Y t t 0 Y - g dt Ratkaisu: y = y (h) + y (p) y = YC + Y t t 0 Y - g dt missä Y = [y () y (n) ] muodostuu homog. ryhmän kantaratkaisuista, C on vakiovektori.

45 45 Esimerkki 5.4. Ratkaise y = 3y + y 6e -t y = y 3y + e -t Matriisimuodossa y = Ay + g 3 missä A = 3, g = 6 t e

46 46 Vakiokertoimisen homogeenisen ryhmän ratkaisu: Ominaisarvot yhtälöstä det(a I) = 0 eli 3 3 = ( 3 ) = = 0 Ominaisarvot =, = 4

47 47 Ominaisvektorit yhtälöryhmästä (A i I)x = 0 = : x x 0 0 x + x = 0. Ominaisvektori x () = = 4: x x 0 0 x + x = 0. Ominaisvektori x () =

48 48 Homogeenisen DY-ryhmän kantaratkaisut y () = t e y () = 4t e

49 49 Ratkaistaan y (p) kahdella vaihtoehtoisella tavalla: Määräämättömien kertoimien menetelmä Homog. ryhmän ratkaisuun sisältyy oikean puolen funktio e -t. Modifikaatiosääntö: Yrite: y = ute -t + ve -t y = ue -t ute -t ve -t. Sijoitetaan DY-ryhmään y = Ay + g = Ay + 6 t e ja ratkaistaan vakiovektorit u ja v joilla yhtälöt toteutuvat.

50 50 eli y = Ay + g ue -t ute -t ve -t = Aute -t + Ave -t + 6 t e Termin te -t kerroinvektorit Au = u joten u on ominaisarvoon - liittyvä ominaisvektori eli muotoa u = a

51 5 ue -t ute -t ve -t = Aute -t + Ave -t + 6 t e Termin e -t kerroinvektorit: 6 u v = Av + a a v v 3v v 3v v 6 v + v = a + 6 v v = a

52 Summaamalla a = 5 Jää yhtälö v + v = 4 Voidaan valita v = 0 => v = 4 (koska tarvitaan vain eräs yksityisratkaisu) y (p) = t 0 t te e 4 Yleinen ratkaisu: y = y (h) + y (p) y = C t 4t e C e + te t 0 t e 4

53 53 ) Parametrien variointimenetelmä: Yrite y = Y(t)u(t) jossa matriisin Y(t) sarakkeina homog. ryhmän kantaratkaisut y (),, y (n). Johtaa kaavaan u(t) t t 0 Y - g dt eli y(t) Y t t 0 Y - g dt

54 54 Y(t) = [y () (t) y () (t)] = e e t t e 4t e 4t det Y = - e -6t Y - = e 6t e e 4t t e e 4t t e e t 4t e t e 4t Y - g = e e t 4t e t e 4t 6e e t t 4e t

55 55 u = t t t ( )dt /( t) t 0 0 dt t t t t 4e t e 0 t ( 4e )dt /( e ) 0 0 y (p) = Yu = e e t t e e 4t 4t t e t te te t t e e t t e e 4t 4t = t t 4t te e e

56 Viimeisen termin voi sisällyttää homog. ryhmän kantaratkaisuun y (). 56 Yleinen ratkaisu on y = y (h) + y (p) y = C t 4t e C e + te t t e

57 Ratkaisu 57 yritteellä: y = C t 4t e C e + t 0 t te e 4 parametrien varioinnilla: y = C t 4t e C e + t t te e Viimeisten termien erotus 0 t t t e 4 e e joka kuuluu y h :hon, joten ratkaisut eivät poikkea toisistaan.