HAAGA-HELIA MATEMATIIKAN JOHDANTOKURSSI ASSIn opiskelijoille soveltuvin osin Katri Währn Kevät 2012
1 FUNKTIOLASKIMEN KÄYTTÖ Funktiolaskimeen on sisäänrakennettuna laskujärjestelmä eli se osaa laskea kerto- ja jakolaskut ennen yhteen- ja vähennyslaskuja, mikäli näppäilijä ei sotke sitä esimerkiksi ylimääräisillä = -merkeillä. Laskimet eivät laske väärin! Esim. 1.1 1 + 7 * 8 = 7 Tämä menee ihan suoraan laskimella, mutta seuraavassa lausekkeessa jakaja on laitettava sulkuihin, jotta laskin osaisi jakaa kolmea koko jakajalla. 3 2 = 2, 13 7 Funktiot toimivat eri laskimissa eri tavalla ja siksi olisi ainakin epävarmojen laskijoiden parasta käyttää koko ajan samaa laskinta. Yleensä ne funktiot, joihin täytyy syöttää kaksi numeroa (esimerkiksi potenssiin korotus ja juuren ottaminen) funktionäppäin tulee lukujen väliin, mutta lukujen syöttöjärjestys vaihtelee. Vanhojenkin laskinten käyttöohjeita löytyy netistä. Esim.1.2 Kirjoita laskutoimitusten viereen oman laskimesi näppäilyohje. 4 62 16807 7 (1 0,02) 00 4 1 0,024 000 7 *2000 2377,37 3 1,022 *3000 1,022 *1000 4422,06 6000 4 2 1,02 *1,03 224,88 Murtolausekkeissa on aina varminta laittaa sekä osoittaja että nimittäjä sulkuihin! 8 1,02 1 *1000 8736,12 0,02 1,08 1 *000 19963, 1,08 *0,08 96 1,00 *0,00 *1000 197,12 96 1,00 1 1 6*4 1
Harj. 1.1 Laske suoraan laskimella ilman välitulosten kirjoittamista paperille. 4 a) 1 1, 1 7 3*7 1 b) 4 7 3 c) 1,02 *1,03 *2000 297, 82 6000 d) 461, 1 3 4 1,02 *1,0 20 1,018 *0,018 e) * 20000 1199, 6 20 1,018 1 7 1,03 1 f) *00 3831, 23 0,03 4000 3000 g) 000 10634, 44 2 4 1,08 1,08 12 1,08 1 h) 8000 *1000 136, 08 12 1,08 *0,08 9220 i) 90000 10 1 0,06* 360 8000 j) 6 1 0, 0491 6000 2
2 LASKUSÄÄNTÖJEN KERTAUSTA Merkkisäännöt Yhteen- ja vähennyslaskussa merkin määrää itseisarvoltaan suuremman luvun tai lukujen merkki. Esim. 2.1-12 + 7 = - 2 12 + 9 7 = - 8 Jos + ja merkkejä esiintyy peräkkäin, niin kahdesta samasta merkistä tulee +. Vastaavasti kahdesta eri merkistä tulee -. Esim.2.2 23 (-12) (+) + (-9) = 23 +12 9 = 21 Jos kerto- ja jakolaskussa on pariton määrä merkkejä, vastaus on myös -. Esim.2.3 * (- 4) = - 20 (-7) * (-8) = + 6 (-3) * (-4) * (-) = - 60 3 7 Harj. 2.1 Sievennä seuraavat lausekkeet: a) (-2) * (-6) = b) (-3) + (- 9) (- 7) = c) (-24) : (-6) = d) (-3) * (- 8 12) + = 3
3 ENSIMMÄISEN ASTEEN YHTÄLÖ Yhtälön ratkaiseminen Esim. 3.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt a) 4x = 40 b) 6 3x = 2x + 86 c) 2 (7x + 3) = 1 3x 2x 1 d) 2x 3 a) 4x = 40 //: 4 Jaetaan x:n kertoimella. 4x 40 4 4 x = 112, b) 6 3x = 2x + 86 Siirretään termejä puolelta toiselle. Muista etumerkki! - 3x 2x = 86 6 Yhdistetään termit. - x = 30 //:(-) Jaetaan x:n kertoimella. x = - 6 c) 2 (7x + 3) = 1 Poistetaan sulut. 14x + 6 = 1 Siirretään termi. 14x = 1 6 Yhdistetään termit. 14x = - //:14 Jaetaan x:n kertoimella. x = 14 d) 3x 2x 1 2x // *1 Poistetaan jakajat kertomalla. 3 1*3x 1*(2x 1) 1*2x 3 30x 3*3x = (2x + 1) 30x -9x = 10x + 30x -9x 10x = 11x = x = tai x = 0,4 11 Kaikki, mikä on luvallista ensimmäisen asteen yhtälölle, on sallittua muidenkin yhtälöiden ratkaisussa. 4
Harj. 3.1 Ratkaise seuraavat yhtälöt. a) 24 + x = 3x 18 b) 3 ( 2x ) = 4 ( x + 3) 2x 1 x c) 3x 4 6 12 Seuraavien tehtävien kohdalla ei vielä keskitytä yhtälön muodostamiseen vaan ratkotaan sellaisia yhtälöitä, joita tuleen eteen seuraavilla opintojaksoilla. Esim. 3.2 Hintaa alennettiin ensin 10 % ja myöhemmin vielä 20 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun kahteen kertaan alennettu on 86,40? 0,9 * 0,8 * x = 86,4 0,72x = 86,4 //:0,72 x = 120 Esim. 3.3 Mikä pääoma tuottaa kolmessa kuukaudessa 00 euroa, kun korkokanta on 4 %? pääoma * korkokanta *aika = korko x * 0,04 * 12 3 = 00 //*12 x *0,04*3 = 00*12 //:(0,04*3) 00*12 x = 0,04*3 x = 0 000 Laskimella laskiessa jakaja sulkuihin!
Esim. 3.4 Sijoitus ostettiin 7 000 eurolla ja myytiin 8 000 eurolla kahdeksan kuukautta myöhemmin. Minkä nettokoron sijoittaja sai, kun joutui maksamaan myyntivoitosta 28 % veroa? 7000 * x * 12 8 = 0,72 * (8000-7000) 7000 * x * 12 8 = 720 //*12 // :(7000*8) 720*12 x = 7000*8 x = 0,14 1,4 % Harj. 3.2 Ratkaise seuraavat yhtälöt. a) 1,1 * 1,04 * x = 9,68 b) 8000 * 0,0 * 12 x = 100 c) 80 000 * x * 2 1 = 7000 80000 6
4 PROSENTTILASKU 1 Prosentti (%) tarkoittaa yhtä sadasosaa eli 1 % = = 0,01 100 23 Esim. 4.1 23 prosenttia: 23 % = = 0,23 100 7, 7, prosenttia: 7, % = 100 = 0,07 234 234 prosenttia: 234 % = = 2,34 100 Esim. 4.2 Muunna 20 % a) desimaaliluvuksi ja b) murtoluvuksi 20 a) 20 % = = 0,2 100 b) 20 % = 20 100 1 Huom. Jos laskimessa on murtolukunäppäin (esim. a b/c), niin laskin osaa myös sieventää murtoluvut. Prosenttilaskun kolme perussuuretta Prosenttiluku (p) on se luku, jonka perässä on %:n merkki. Lasketaan perusarvosta. Prosenttiarvo (b) on sama asia kuin prosenttiluku, mutta sillä on konkreettinen laatu (esim. euro, kilo, lukumäärä ym.) Perusarvo (a) on se luku, josta prosenttiluku lasketaan. Esimerkiksi se on alkuperäinen hinta, kokonaismäärä, vertailun perustana oleva luku. Sillä on aina sama laatu kuin prosenttiarvolla. Usein sen voi tunnistaa suomen kielen -sta tai -stä päätteestä tai kuin sanan jälkeisestä sanasta. Esim. 4.3 a) Hinta laskee 0 eurosta 40 euroon eli 10 euroa ja 20 %. p = 20 %, b = 10 ja a = 0 b) Ryhmässä on 3 opiskelijaa, joista 20 on tyttöjä. 20 Tyttöjen suhteellinen osuus on 7 % (= * 100 ) 3 p = 7 %, b = 20, a = 3 Tyttöjä on 33 % (= * 100 ) enemmän kuin poikia. 1 p = 33 %, b = (kuinka paljon tyttöjä on enemmän), a = 1 (pojat) 7
Peruslaskutoimitukset Paljonko on p % a:sta? p b * a 100 Montako prosenttia b on a:sta? b p a *100 Mitään muita kaavoja ei tarvita prosenttilaskujen laskemiseen, jos osaa yhtälön ratkaisua! Esim. 4.4 Tuotteen hintaa alennetaan 10 %. Mikä on alennettu hinta, kun alkuperäinen on 38? 10 * 38 = 3,80 100 38 3,80 = 34,20 tai 100 % -10 % = 90 % = 0,9 0,9 * 38 = 34,20 Huom. Tällä kurssilla lasketaan yleensä tarkoilla arvoilla. Tällöin vastaukset saa pyöristää miten haluaa. Mitään ainoa oikeata ei ole edes olemassa. Tässä monistesarjassa on pyöristetty pienet hinnat sentteihin ja suuremmat eurojen tarkkuuteen, koska meillä annetaan yleisesti hinnat niin esimerkiksi kauppojen hintalapuissa. Prosenteissa on käytetty sen verran desimaaleja, että niillä on jotakin informaatioarvoa. Esim. 4. Palkkojen yleiskorotus on 2,3 %. Mikä on uusi palkka, kun aikaisempi oli 1 970? 2,3 *1970 4,31 (palkankorotus) 100 1970 + 4,31 = 2 01,31 tai 100 % + 2,3 % = 102,3 % = 1,023 (eli uusi palkka on 102,3 % alkuperäisestä) 1,023 * 1970 = 2 01,31 Esim. 4.6 Henkilön veroprosentti on 23 % ja bruttopalkka 1 800 /kk. Kuinka paljon hänen palkasta pidätetään veroa kuukausittain? 23 *1800 100 = 414 tai 0,23 * 1800 = 414 8
Harj. 4.1 Laske seuraavat tehtävät kertoimia käyttäen. a) Tuotteen hintaa korotetaan 14 %. Mikä on korotettu hinta, kun alkuperäinen on 28,60? b) Yrityksen liikevaihto laskee 8,2 %. Mikä on uusi liikevaihto, kun alkuperäinen oli 1,7 milj.? c) Myyjä saa provisiota 3, % myynnistä. Mikä on provisio, jos myynti on 82 000 /kk? Esim. 4.7 Kuinka monta prosenttia 80 euroa on 30 eurosta? 80 *100 30 80 = 267 % tai 30 2,67 267 % Esim. 4.8 Tuotteen hinta nousee 2 eurosta 3 euroon. Montako prosenttia hinta nousee? 3 2 *100 2 = 40 % Esim. 4.9 Taajaman väkiluku laskee 7 800:sta 7 100:aan. Montako prosenttia väkiluku laskee? 7800 7100 *100 7800 = 9,0 % Huom. Muutosprosentin perusarvo on aina lähtötilanne (esim. alkuperäinen hinta, alkuperäinen väkiluku, aikaisempi liikevaihto ym.). 9
Esim. 4.10 Yhtiön hallituksessa on miestä ja 2 naista. a) Laske miesten ja naisten suhteelliset osuudet. b) Montako prosenttia miehiä on enemmän kuin naisia? c) Montako prosenttia naisia on vähemmän kuin miehiä? d) Montako prosenttia miesten määrä on naisten määrästä? a) 2 * 100 = 71 % miehiä *100 29 % naisia 7 7 b) 2 *100 10 % 2 c) 2 *100 60 % d) *100 20 % 2 Vertailut eivät ole ihan helppoja täytyy olla ainakin huolellinen! Harj. 4.2 Laske. a) Tuotteen hinta laskee 78 eurosta 60 euroon. Montako prosenttia hinta laskee? b) Montako prosenttia 90 on 4:stä? c) Henkilön bruttopalkka on 2 100 euroa ja nettopalkka 1743 euroa. Mikä on veroprosentti? d) Montako prosenttia hinta nousee, kun se kolminkertaistuu? Harj. 4.3 Korissa on 7 punaista, 20 sinistä ja 2 keltaista palloa. a) Laske prosenttiosuudet. b) Montako prosenttia sinisiä palloja on enemmän kuin keltaisia? c) Montako prosenttia punaisten pallojen määrä on sinisten määrästä? 10
Prosenttilaskun sovelluksia Esim. 4.11 Matkan hintaa on korotettu 7 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun korotettu on 246,10? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin korotettu saataisiin kertoimella 1,07. Nyt täytyy käyttää yhtälön ratkaisua. 1,07 x = 246,10 //:1,07 x = 230 Tämän kaltaiset tehtävät on oppikirjassa (s.304-30) esitelty lisätyn arvon nimellä. Esim. 4.12 Tuotteen hintaa on alennettu 1 %. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 38,2? Jos tunnettaisiin alkuperäinen hinta, niin alennettu saataisiin kertoimella 0,8. Nyt käytetään yhtälön ratkaisua. 0,8 x = 38,2 //:0,8 x = 4 Tämän kaltaiset tehtävät on oppikirjassa (s. 306) esitelty nimellä vähennetty arvo. Kaikki kahden edellisen esimerkin kaltaiset tehtävät voi ratkaista peruskaavoja ja yhtälönratkaisua apuna käyttäen. Näin ei tarvitse muistaa turhia kaavoja. Jos kuitenkin haluaa käyttää kaavoja, niin ne löytyvät oppikirjasta. Esim. 4.13 Hintaa alennetaan 20 % ja myöhemmin vielä 30 %. Laske lopullinen hinta, kun alkuperäinen on 28. 20 100 30 * 28,60 28,60 = 22,40 * 22,40 100 tai 6,72 22,40 6,72 = 1,68 0,8 * 28 = 22,40 tai 0,8*0,7*28 = 1,68 0,7 *22,40 = 1,68 Koska 0,8*0,7=0,6, niin uusi hinta on vanhasta 6 % ja kokonaisalennusprosentti 44 %. Huom. Jos prosenttilaskussa tekee mieli laskea prosenttilukuja yhteen tai vähentää, niin on syytä harkita vielä kertaalleen, onko se luvallista. Lupa heltiää vain siinä tapauksessa, että prosenttiluvuilla on sama perusarvo. Peräkkäiset prosenttimuutokset lasketaan yksitellen eli seuraava muutos lasketaan jo muuttuneesta luvusta. Oikaista voi kertoimet kertomalla. 11
Esim. 4.14 000 euron alkuperäinen pääoma kasvaa %:n korko 8 vuotta. Laske kasvanut pääoma kahdeksan vuoden kuluttua, kun korko lisätään pääomaan kerran vuodessa. Lasketaan kokonkorkoperiaatteella eli ensimmäisenä vuonna kasvanut pääoma kasvaa korkoa seuraavana vuonna jne. 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 1,0 * 000 = 8 1,0 *000 7387,28 Jos muutosprosentti on kokoajan sama, niin potenssit nopeuttavat laskuja. Laskimesta b y potenssit löytyvät a, x tai ^. Esim. 4.1 Erä osakkeita myytiin 6000 eurolla. Myyntivoittoveroa (28 %) maksettiin 60 euroa. Mikä oli ostohinta ja paljonko tuli voittoa? 0,28 x = 60 //:0,28 x = 2000 (myyntivoitto) 6000 2000 = 4000 (ostohinta) Esim. 4.16 Polttoaineen hintaa korotettiin ensin 8 % ja myöhemmin vielä 7 %. Mikä oli alkuperäinen hinta, kun korotettu on1,4 /l? 1,08 * x * 1,07 = 1,4 1,08 * 1,07 * x = 1,4 1,16 x = 1,4 //: 1,16 x = 1,248 /l Harj. 4.4 Laske. a) Tuotteen hinnasta annettiin 7 % alennusta. Mikä on alkuperäinen hinta, kun alennettu on 474,0? b) Tuotteen hintaa alennettiin 1 %. Mikä on alennus, jos alkuperäinen hinta on 60? c) Henkilön bruttopalkka on 2 300 ja veroprosentti 21 %. Mikä on nettopalkka? 12
Harj. 4. Arvonlisävero on 22 % ja se lasketaan verottomasta hinnasta. a) Mikä on arvonlisävero, kun veroton hinta on 78? b) Mikä on veroton hinta, kun verollinen on 36,60? c) Mikä on verollinen hinta, kun veroton on 17? Harj. 4.6 Hintaa alennettiin ensin 1 % ja myöhemmin korotettiin 1 %. Montako prosenttia hinta muuttui? Prosenttiyksikkö Esimerkkejä käytöstä - työttömyysprosenttien vertailu - puolueiden kannatuksen vertailu - korkokannan muutokset Esim. 4.17 Puolueen kannatus nousi,6 %:sta 6,7 %:iin. a) Montako prosenttia kannatus muuttui? b) Montako prosenttiyksikköä kannatus muuttui? a) Oletetaan, että esimerkiksi mielipidetiedustelussa oli 1000 vastaajaa. Tällöin aluksi 6 (= 0,06 * 1000) on ilmoittanut kannattavansa kyseistä puoluetta ja myöhemmässä kyselyssä vastaava luku olisi 67 (= 0,067 * 1000). Lasketaan näistä muutosprosentti: 67 6 *100 19,6 % (kannatus nousi) 6 tai 6,7,6 *100 19,6 %,6 13
b) Muutoksen prosenttiyksiköissä voi laske prosenttiluvuista suoraan: 6,7 % -,6 % = 1,1 %-yksikköä (kannatus nousi) Prosenttiyksiköitä ei ole vaikea laskea, mutta yksikkö sana unohtuu tosi helposti. Esim. 4.18 Kun bruttopalkkaa korotettiin 8 %, kiristyi verotus 26 %:sta 2 %-yksiköllä. Korotuksen jälkeen palkasta jäi käteen 1244,16. Kuinka suuri oli käteen saatu nettopalkka ennen palkan korotusta? Bruttopalkka Verot Nettopalkka aluksi 26 % + 8 % lopuksi 28 % 1244,16 Huom. Verot lasketaan aina bruttopalkasta. Lasketaan ensin bruttopalkka lopuksi (Jos palkasta maksetaan 28 % veroa, niin käteen jää 72 %.): 0,72 x = 1244,16 x = 1728 Seuraavaksi lasketaan alkuperäinen bruttopalkka (Jos palkkaa on korotettu 8 %:lla, niin uusi palkka on 108 % alkuperäisestä.): 1,08 x = 1728 x = 1600 Vihdoin voidaan laskea vanha nettopalkka (Otetaan edellisestä verot pois.): 0,74 * 1600 = 1184 Esim. 4.19 Erään navigaattori merkin markkinaosuus oli 20 %. Seuraavana vuonna tämän merkin myynti kasvoi 10 % ja navigaattoreiden kokonaismyynti 40 %. a) Mikä on kyseisen merkin markkinaosuus jälkimmäisessä tilanteessa? b) Montako prosenttiyksikköä ja mihin suuntaan markkinaosuus muuttui? Valitaan alkuperäiseksi kokonaismyynniksi vaikka 10 000. Voi tietenkin laskea myös kirjaimilla niin kuin lukiossa oli pakkokin. Tämä merkki Muut merkit Kokonaismyynti aluksi 2000 8000 10000 (= 0,2 * 10000) (=10000 2000) +10 % + 40 % lopuksi 2200 11800 14000 (=1,1 * 2000) (= 14000 2200) (=1,4 * 10000) 2200 a) *100 1,7 % 14000 b) Laski 20 %:sta 1,7 %:iin eli 4,3 %-yksikköä. 14