MABK1 Kurssimateriaali. Eiran aikuislukio 2005

Transkriptio

1 MABK1 Kurssimateriaali Eiran aikuislukio 2005

2 Sisältö 1 Sanasto 1 2 Luvut ja laskutoimitukset Lukujoukot Peruslaskutoimitukset Laskujärjestys Murtoluvut m n Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Sekaluku Murtoluvuilla laskeminen Murtoluvut laskimella Potenssi Potenssien laskutoimitukset Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssina nolla tai negatiivinen luku Kymmenpotenssimuoto Neliöjuuri a Kirjaimet matematiikassa 22 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x Polynomin arvo Polynomien yhteen- ja vähennyslasku Kertolasku Yhtälöt 2x 3 = 5x Yhtälön ratkaiseminen Prosentti % 35 7 Muuta Lukujen pyöristäminen Mittayksiköt Koordinaatisto

3 1 Sanasto Tähän kappaleeseen on koottu tärkeiden matemaattisten merkkien selitykset sekä selitetty tiettyjen sanojen matemaattinen tarkoitus. Lisäksi käydään läpi merkintätapoja, joita esimerkiksi oppikirjoissa käytetään yleisesti. Osa tässä kappaleessa esitellyistä asioista löytyy monisteen myöhemmistä luvuista. Toisaalta kaikki muualta monisteesta löytyvät asiat eivät löydy välttämättä tästä sanastosta, mutta voit palata aina tähän kappaleeseen, kun vastaasi tulee merkki tai sana, jonka sisältöä et muista. Merkit Merkki Selitys Esimerkki Yhtälö- ja epäyhtälö merkit = On yhtä kuin = 5 tai x = 7 eli muuttujan x arvo on 7. On eri suuri kuin tai x 0 eli muuttujan x arvo ei ole luku 0. > On suurempi kuin 5 > 1 tai x > 0 eli muuttuja x on suurempi kuin 0 (eli mikä tahansa positiivinen luku esimerkiksi 3,2). < On pienempi kuin 3 < 1 tai x < 0 eli muuttuja x on pienempi kuin 0. On suurempi tai sama kuin 5 5 tai x 0 eli muuttuja x on suurempi tai sama kuin 0. On pienempi tai sama kuin 5 7 tai x 0 eli muuttuja x on pienempi tai sama kuin 0. Epäyhtälö merkkien muistamista voi helpottaa sääntö: Suu auki suurempaan piikittelee pienempää. Laskutoimituksia a Luvun a neliöjuuri Laske luvun 9 neliöjuuri: 9 = 3. Saadaan laskimella. x n Potenssi. Luku x potenssiin n. Luku x kerrotaan n kertaa itsellään. 2 3 = = 8. 1

4 Sulkumerkit ( ) Kaarisulut Käytetään silloin, kun laskussa ei ole sisäkkäisiä sulkulaskuja. [ ] Hakasulut Käytetään, kun laskussa on kahdet sisäkkäiset sulut. { } Aaltosulut Käytetään, kun laskussa on kolmet sisäkkäiset sulut. Muuta a Itseisarvo luvusta a Tarkoittaa luvun etäisyyttä nollasta, aina positiivinen eli esim. 5 = 5 ja 3 = 3. Sanoja Sana Selitys Esimerkki Laskutoimituksiin liittyviä sanoja Summa Tarkoittaa yhteenlaskun tulosta. Lukujen 4 ja 5 summa on 9, koska = 9. Tai lukujen x ja 3 summa on x + 3. Erotus Tarkoittaa vähennyslaskun tulosta. Lukujen 5 ja 7 erotus on 2, koska 5 7 = 2. Tai lukujen a ja b erotus on a b. Tulo Tarkoittaa kertolaskun tulosta. Lukujen 3 ja 8 tulo on 24, koska 3 4 = 24. Tai lukujen x ja 2 tulo on x 2 = 2x. Osamäärä Tarkoittaa jakolaskun tulosta. Lukujen 21 ja 7 osamäärä on 3, koska 21 : 7 = 21 7 = 3. Tai lukujen a ja b osamäärä on a b. Neliö Kuutio Tarkoittaa luvun toista potenssia. Tarkoittaa luvun kolmatta potenssia. Luvun 5 neliö on 5 2 = 5 5 = 25. Luvun 5 kuutio on 5 3 = =

5 Murtoluvut Osoittaja Murtoluvussa viivan yläpuolella oleva luku eli jaettava. Murtoluvun osoittaja on Nimittäjä Murtoluvussa viivan alapuolella oleva luku eli jakaja. Murtoluvun nimittäjä on Laventaminen Supistaminen Samannimiset murtoluvut Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Murtoluvun osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Murtoluvut, joilla on sama nimittäjä. 4) 2 3 = = (5 10 : 5 = : 5 = 2 3 Murtoluvut ja 1 13 ovat samannimiset. Potenssit Kantaluku Potenssimerkinnässä a x kantaluku on a. Luvun ( 3) 17 kantaluku on 3. Eksponentti Samankantaiset potenssit Potenssimerkinnässä a x eksponentti on x. Potenssit, joilla on sama kantaluku ovat samankantaisia. Luvun 2 13 eksponentti on 13. Potenssit 5 3 ja ovat samankantaisia. Polynomit Polynomin aste Tarkoittaa polynomissa olevan muuttujan korkeinta potenssia. Muita Positiivinen Luku, joka on suurempi kuin nolla. Negatiivinen Luku, joka on pienempi kuin nolla. Epänegatiivinepi Luku, joka on suurem- tai sama kuin nolla. Polynomin x 5 + 2x 1 aste on 2. Luku 3 on positiivinen. Luku 0 ei ole positiivinen! Luku -2 on negatiivinen. Luku 0 ei ole negatiivinen! Luku 0 on epänegatiivinen. 3

6 Merkintätapoja Sääntö Esimerkki Kertomerkki Kertomerkkiä ei kirjoiteta näkyviin: Kirjaimen kerroin Eksponentti Luvun ja kirjaimen välistä, kun luku on ennen kirjainta. Kahden tai useamman kirjaimen välistä. Sulkujen edestä ja välistä. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1 sitä ei kirjoiteta näkyviin. Jos kirjaimen kertoimena on luku 1, merkitään vain etumerkki. Jos kirjaimen tai luvun eksponentti on 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. 3 x = 3x a b = ab 5 (x + 1) = 5(x + 1) tai (x + 1) (x 2) = (x + 1)(x 2) x = 1x tai 1a = a. x = 1x tai 1a = a x 1 = x tai 3 = 3 1 Jakaja Jos luvun jakajana tai murtoluvun nimittäjänä on luku 1, sitä ei kirjoiteta näkyviin. x 1 = x tai 3 = 3 1 Huom! Edellisen voi ajatella myös toisin päin: Jokaisella luvulla tai lausekkeella on aina jakajana luku 1. Tästä on usein hyötyä esim. yhtälöitä ratkottaessa. 4

7 2 Luvut ja laskutoimitukset Tässä kappaleessa tutustutaan lukujoukkoihin ja kerrataan laskutoimituksia. 2.1 Lukujoukot Luonnolliset luvut: 0, 1, 2, 3,... Kokonaisluvut:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3... Huomaa, että kaikki luonnolliset luvut ovat myös kokonaislukuja. Rationaaliluvut eli murtoluvut: Rationaaliluku on muotoa m n oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja (mutta n ei saa olla nolla). Eli esimerkiksi 2 on rationaaliluku. 5 Toisaalta myös 0, 4 on rationaaliluku. Itseasiassa se on edellinen murtoluku desimaalimuodossa esitettynä (näpyttele laskimeen 2 : 5). Kaikkien rationaalilukujen desimaalimuoto on joko päättyvä tai päättymätön mutta jaksollinen. Myös kaikki kokonaisluvut ovat rationaalilukuja, koska voidaan kirjoittaa esimerkiksi 4 = 4 24 tai 4 = 1 6. Irrationaaliluvut ovat päättymättömiä ja jaksottomia desimaalilukuja. Esimerkiksi luku 2 = 1, on irrationaaliluku. Myös luku π on irrationaaliluku. Voidaan ajatella, että irrationaaliluvut ovat rationaalilukujen välissä. Kaikki edelliset yhdessä muodostavat reaaliluvut. Reaaliluvut ovat niitä lukuja, joilla lukiomatematiikassa lasketaan. Reaalilukujen voidaan ajatella sijaitsevan suoralla, johon ne on sijoitettu suuruusjärjestykseen. Tätä suoraa kutsutaan lukusuoraksi ja luku 0 jakaa sen kahteen osaan: negatiivisiin ja positiivisiin lukuihin. Kun lukusuoraa kuljetaan vasemmalle luvut pienenevät ja vastaavasti oikealle mentäessä luvut suurenevat Kuva 1: Lukusuora Tehtäviä 1. Merkitse lukusuoralle a) Luku 1, 5 b) Luku 5 c) Luku 2 2 d) Luvusta 4 seuraava kokonaisluku e) Lukua 0 edeltävä kokonaisluku 5

8 Vaikeampia: f) Luvut, joilla pätee 6 x 2 g) Luvut, joiden etäisyys luvusta 6 on pienempi kuin 2 h) Mikä on luvusta 3 seuraava luku? 2.2 Peruslaskutoimitukset Yhteen- ja vähennyslasku E1 Laske a) 5 13 = 8 b) 5 13 = 18 c) 5 + ( 13) = 5 13 = 8 d) 5 ( 13) = = 18 Yhteen- ja vähennyslaskussa kaksi peräkkäistä miinus-merkkiä (korkeintaan sulkumerkki saa olla välissä) muuttuvat plus-merkiksi ja peräkkäinen miinus- ja plusmerkki miinus-merkiksi. Yhteen- ja vähennyslaskun merkkisääntö: Kertolasku Sääntö: Esimerkki: a + ( b) = a b 3 + ( 2)= 3 2 = 1 a + (+b) = a + b 3 + (+2)= 3 2 = 5 a ( b) = a + b 3 ( 2)= = 5 a (+b) = a b 3 (+2)= 3 2 = 1 E2 Laske a) 3 4 = 12 b) 5 7 = 35 c) 6 ( 2) = 12 d) 3 ( 2) 3 ( 1) = 18 Kertolaskussa kahden samanmerkkisen luvun tulo on aina positiivinen ja kahden erimerkkisen tulo aina negatiivinen. Jos kerrottavia on useita, vastauksen etumerkki on negatiivinen, jos negatiivisia tulontekijöitä (eli kerrottavia) on pariton määrä. Muuten vastaus on positiivinen. E3 a) 12 0 = 0 b) = 0 Kun mikä tahansa luku kerrotaan luvulla 0, vastaukseksi tulee 0. Kertolaskun merkkisääntö: Sääntö: Esimerkki: + + = + 3 2= 6 = + 3 ( 2)= 6 + = 3 ( 2)= 6 + = 3 2= 6 6

9 Jakolasku E4 Laske a) 6 2 = 3 b) 6 2 = 3 c) 6 6 = 3 d) 2 2 = 3 Jakolaskuun pätee samat säännöt kuin kertolaskuun. Eli jos jaettava ja jakaja on erimerkkisiä, vastaus on negatiivinen. Yleensä murtoluvussa (eli jakolaskussa ) miinusmerkki on tapana merkitä koko murtoluvun eteen. Tämä tarkoittaa sitä, että joko jakaja tai jaettava on negatiivinen, mutta ei molemmat. Luvulla 0 ei saa koskaan jakaa! Eli laskutoimitusta a, jossa a on mikä tahansa luku, 0 ei ole määritelty! Vastaluku Lukuja, jotka ovat lukusuoralla yhtä kaukana nollasta, mutta sen eri puolilla, sanotaan toistensa vastaluvuiksi. Luvun vastaluvun saa muodostettua laittamalla luvun eteen miinus- merkin eli toisin sanoen kertomalla luvun luvulla 1 eli toisin sanoen vaihtamalla luvun etumerkin vastakkaiseksi. E5 Luvun 3 vastaluku on 3 ja luvun 5 vastaluku on ( 5) = 5. Luvun ja sen vastaluvun summa on aina 0. Käänteisluku Luvun ja sen käänteisluvun tulo on 1. Luvun käänteisluku saadaan muodostettu vaihtamalla luvun osoittajan ja nimittäjän paikat. Jos luvulla ei ole nimittäjää (eli jakajaa, eli viivan alapuolella olevaa lukua), voidaan se kirjoittaa näkyviin. Muistetaan, että kaikilla kokonaisluvuilla on nimittäjänä luku 1. E6 Luvun 5 7 käänteisluku on 7 5. Luvun 3 = 3 1 käänteisluku on 1 3. Itseisarvo Luvun a (eli minkä tahansa kuviteltavissa olevan reaaliluvun) itseisarvo merkitään a, ja se tarkoittaa luvun a etäisyyttä nollasta lukusuoralla. E7 Luvun 3 itseisarvo on 3 = 3 ja luvun 3 itseisarvo on 3 = 3, koska luvut 3 ja 3 ovat kolmen askeleen päässä nollasta. Edellisestä voidaan päätellä, että luvun ja sen vastaluvun itseisarvot ovat aina yhtä suuret! 7

10 Tehtäviä 2. Laske a) b) c) 4 + ( 7) d) 4 + ( 7) e) 4 17 f) 17 ( 5) g) Laske a) 3 7 b) 7 ( 3) c) 7 ( 3) d) 7 5 e) 2 ( 3) ( 4) f) 2 ( 3) ( 4) Laske a) 3 12 b) 5 ( 6) c) 3 + ( 8) ( 4) 5. Laske a) 3 12 b) 8 ( 7) c) 3 ( 2) ( 4) 6. Laske a) 14 : 2 b) 81 : ( 9) c) 4 ( 2) ( 4) 7. Laske a) 8 4 b) 12 4 c) Ilmoita vastauksen etumerkki a) 34 ( 2) 3 ( 5) ( 1) ( 7) b) 12 ( 1) ( 5) 3 3 ( 8) ( 3) 6 c) 3 6 ( 3) ( 2) ( 2) 9. Ilmoita seuraavien lukujen vastaluvut a) 5 b) 7 c) 7a d) a Ilmoita seuraavien lukujen käänteisluvut a) 2 b) 5 c) 2 5 d) 0, 5 e) 1 3 f) a g) a Laske a) 13 b) 2 19 c) Laske lukujen 21 ja 7 a) Summa b) Tulo c) Erotus d) Osamäärä. 13. Laske lukujen 13 ja 5 summan ja erotuksen tulo. 8

11 2.3 Laskujärjestys Pitkät laskut, joissa on useita laskutoimituksia lasketaan aina seuraavassa järjestyksessä. 1) Sulkeissa olevat laskutoimitukset 2) Potenssit 3) Kerto- ja jakolaskut vasemmalta oikealle 4) Yhteen- ja vähennyslaskut vasemmalta oikealle Jos tästä laskujärjestyksestä poikkeaa, laskun tulos ei luultavasti ole oikea (oikein hyvällä tuurilla näinkin voi käydä). Tätä järjestystä on on siis noudatettava! Muista, että taskulaskin antaa aina oikean vastauksen, jos laskun näppäilee siihen täsmälleen sellaisena kuin se paperissa lukee. Eli kokeessa voit tarkistaa aina laskusi laskimella (myös murtolukulaskut), mutta muista merkitä myös välivaiheet näkyviin. Niitä laskin ei anna. Muista yhteen- ja vähennyslaskun sekä kerto- ja jakolaskun merkkisäännöt! E8 Laske a) = = 14 b) (2 + 3) 4 = 5 4 = 20 c) 3 4 ( 2) 3 = 3 4 ( 8) = = 35 d) 3( ) 1 = 3(2 + 9) 1 = = 33 1 = 32 Tehtäviä 14. Laske 15. Laske a) b) (4 + 5) 4 32 c) 12 4 : 2 d) a) c) b) : ( 2) d) ( 0, 5) 16. Laske ( a) ) 4 b) 15 6 ( 3) 3 c) 15 6 : ( 3) d) ( 3) ( 5) Laske a) 5 + 4(1 3 2 ) b) (2 5)

12 2.4 Murtoluvut m n Murtoluku on muotoa m oleva luku, jossa m ja n ovat kokonaislukuja. Murtoviivan n alapuolella oleva luku n ei kuitenkaan saa olla nolla, koska nollalla ei saa jakaa. E9 Esimerkiksi 2 3, 5 2 ja 6 ovat murtolukuja. 2 Murtoluvun voi ajatella aina jakolaskuna. Viivan yläpuolella on jaettava ja viivan alapuolella on jakaja. Eli esimerkiksi murtoluku 2, joka luetaan kaksi per neljä tarkoittaa myös jakolaskua kaksi jaettuna 4 neljällä. Murtoluvut voidaan aina esittää myös desimaalilukuna. Tämä onnistuu näppäilemällä laskimeen murtolukua vastaava jakolasku. Murtoluvun desimaalimuoto on joko päättyvä tai jaksollinen ja päättymätön. E10 Esimerkkejä murtolukujen desimaalimuodoista. a) 7 8 = 0, 875 b) = 0, c) = 0, Vastaavasti kaikki päättyvät tai päättymättömät, mutta jaksolliset desimaaliluvut voidaan esittää murtolukuina. Tämä onnistuu usein päättelemällä. E11 Muuta murtoluvuksi a) 0, 4 = 2 5 b) 0, = 1 9 c) 1, 5 = 3 2. Murtoluvun osien nimet Kuten edellä todettiin muotoa m olevassa luvussa viivan yläpuolella olevaa lukua m n sanotaan jaettavaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua n jakajaksi. Näille on olemassa kuitenkin matematiikassa täysin omat nimityksensä, jotka on syytä opetella. Viivan yläpuolella olevaa lukua kutsutaan osoittajaksi ja viivan alapuolella olevaa lukua nimittäksi. Eli murtoluku on aina muotoa osoittaja nimittäjä Jos näitä ei muuten opi muistamaan, voi käyttää hyväkseen jokseenkin lapsellista muistisääntöä (yleensä muistisäännöt ovat lapsellisia): Osoittaja alkaa kirjaimella O ja nimittäjä kirjaimella N. Myös otsa alkaa kirjaimella O ja vastaavasti nenä kirjaimella N. Koska otsa on nenän yläpuolella, täytyy myös osoittajan olla nimittäjän yläpuolella. 10

13 2.4.1 Murtoluvun laventaminen ja supistaminen Tutkitaan esimerkiksi murtolukuja 3 5 ja 9. Huomataan, että molemmat murtoluvut 15 tarkoittavat samaa desimaalilukua 0, 6 (kokeile laskimella!). Lähemmällä tarkastelulla huomataan, että murtolukua 9 15 saadaan murtoluvusta 3, kun sekä sen osoittaja 5 (= 3) että nimittäjä (= 5) kerrotaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, kun sekä sen osoittaja että nimittäjä kerrotaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun laventamiseksi. Voimme suorittaa vastaavan päättelyn myös toiseen suuntaan. Eli murtoluku 3 5 saadaan murtoluvusta 9, kun sekä osoittaja (= 9) että nimittäjä (= 15) jaetaan jaetaan luvulla 3. Eli murtoluku säilyy yhtäpitävänä, jos sekä sen osoittaja että nimit- 15 täjä jaetaan samalla luvulla. Tätä kutsutaan murtoluvun supistamiseksi. Murtolukujen laventamista tarvitaan, kun lasketaan murtolukuja, joilla on eri nimittäjä, yhteen tai vähennetään toisistaan. Koska yhteen- ja vähennyslasku voidaan suorittaa vain murtoluvuille, joilla on sama nimittäjä, täytyy alkuperäiset murtoluvut laventaa ensin samannimisiksi. Kun murtolukuja lavennetaan, merkitään luku, jolla lavennus tehdään murtoluvun eteen vasempaan ylänurkkaan ennen sulkumerkkiä ). E12 6) 7 11 = = Supistamista puolestaan tarvitaan, kun esimerkiksi laskun vastauksena olevassa murtoluvussa sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia samalla luvulla. Murtoluku vastaus on tapana esittää aina muodossa, josta sitä ei voi supistaa enää millään luvulla. Luku, jolla murtoluku supistetaan merkitään murtoluvun perään oikeaan ylänurkkaan sulkumerkin ( jälkeen. Luku, jolla supistaminen suoritetaan on pääteltävä itse katsomalla mikä on suurin kokonaisluku, jolla sekä osoittaja että nimittäjä ovat jaollisia. E13 36 (6 6 = Sekaluku Jos murtoluvun nimittäjä on pienempi kuin osoittaja, voidaan murtoluku muuttaa sekaluvuksi. Sekaluku koostuu kokonaisosasta ja murto-osasta. Esimerkiksi luvun 3 4 kokonaisosa on 3 ja murto-osa 4. Edellinen luku luetaan suomen kielellä kolme 5 5 kokonaista neljä viidesosaa. 11

14 Murtolukuja on syytä osata muuttaa sekaluvuiksi ja päinvastoin. Murtoluku saadaan muutettua sekaluvuksi laskemalla ensin kuinka monta kertaa murtoluvun nimittäjä menee sen osoittajaan. Tästä tulee sekaluvun kokonaisosa. Tämän jälkeen vähennetään edellä saatu kokonaisosa alkuperäisen murtoluvun osoittajasta ja tehdään tästä erotuksesta sekaluvun murto-osan osoittaja. Sekaluvun murto-osan nimittäjä pysyy samana kuin alkuperäisen murtoluvun nimittäjä oli. E14 Muuta sekaluvuksi Koska 11 menee 41:een kolme kertaa kokonaisena on sekaluvun kokonaisosa 3. Koska 3 11 = 33, saadaan murto-osan osoittajaksi = 8. Eli = Sekaluvun saa muutettua murtoluvuksi kertomalla kokonaisosalla murto-osan nimittäjän ja lisäämällä tämän tulon murto-osan osoittajaan. Nimittäjä pysyy samana kuin sekaluvun murto-osan nimittäjä oli. E15 Muuta murtoluvuksi = = = Voidaan kirjoittaa vielä edellinen yleisenä laskusääntönä Murtoluvuilla laskeminen Yhteen- ja vähennyslasku a m n = m + a n. n Vain samannimisiä murtolukuja voidaan laskea yhteen tai vähentää toisistaan. Mikäli murtoluvut ovat eri nimisiä, pitää ne laventaa samannimisiksi. Helpoiten laventaminen onnistuu laventamalla ristiin eli laventamalla toisen murtoluvun nimittäjällä toinen murtoluku. Joskus laventaminen onnistuu myös helpomminkin. Kun murtoluvut ovat samannimisiä, laskutoimitus suoritetaan laskemalla pelkät osoittajat yhteen. E16 Laske a) 7) ) 5 7 = = = = =

15 b) 2) ) 2 4 = = = = 8 (4 2 = 12 3 Kertolasku c) 2) 1 6 3) 2 4 = = = = 4 (4 1 = 12 3 Murtolukujen kertolaskussa kerrotaan murtolukujen osoittajat ja nimittäjät keskenään. E = = = Jakolasku Murtolukujen jakolasku muutetaan ensin kertolaskuksi ja sitten lasketaan syntynyt kertolasku. Jakolasku saadaan muutettua kertolaskuksi kertomalla jaettava ja jakajan käänteisluvulla. Eli muuta kertomerkki jakomerkiksi ja vaihda jakajan osoittajan ja nimittäjän paikat. E : 5 11 = = = Seuraavassa taulukossa on yhteenvetona kaikki murtolukujen laskutoimitukset. Laskutoimitus Laskusääntö Esimerkki Yhteenlasku Vähennyslasku q) m n + n) p mq + pn = q nq q) m n n) p mq pn = q nq 3) ) 1 3 = = = ) 1 3 = = 1 2 = Kertolasku m n p q = m p n q = = 15 (3 5 = 24 8 Jakolasku m n : p q = m n q p = m q n p 1 2 : 3 4 = = = 4 (2 2 =

16 2.4.4 Murtoluvut laskimella Murtoluvuilla on helppo laskea käyttäen laskinta. Kaikista funktiolaskimista löytyy näppäin a b/c, joilla murtolukuja käsitellään. Näppäilemällä esimerkiksi 2 a b/c 3 saadaan murtoluku 2, joka näyttää laskimen 3 näytöllä tältä: 2 3. Vastaavasti sekaluku 3 1 voidaan näppäillä 3 a b/c 1 a b/c 2 ja se näyttää 2 laskimessa tältä: Näppäilemällä murtoluvun ja painamalla painiketta = (tai vastaava) laskin antaa kyseisen murtoluvun supistettuna, mutta sekalukuna. Sekaluvun saa yleensä muutettua murtoluvuksi painamalla Shift ja murtolukunäppäintä. Jos kaikki laskutoimituksen luvut on syötetty laskimeen murtolukuina, antaa laskin vastauksen myös murtolukuna. Joissakin uusissa laskimissa on hieman kehittyneet murtolukujen laskuominaisuudet ja murtolukunäppäinkin saattaa näyttää erilaiselta. Tehtäviä 18. Muunna desimaaliluvuksi a) 2 b) 11 c) Muunna sekaluvuksi a) 29 b) 1254 c) Muunna murtoluvuksi a) 3 6 b) 3 10 c) Lavenna annetut murtoluvut samanimisiksi a) 7 8 ja 2 3 b) 5 8 ja 3 4 c) 5 12 ja Supista a) Laske b) c) a) b) c)

17 24. Laske a) b) c) Laske a) b) c) Tutki likiarvoja käyttämättä, kumpi luvuista ja on suurempi Sievennä a) 1 a + 1 b b) 3a + a Supista a) b) 29. Määritä känteisluku luvulle a) 2 3 b) c) a b d) a + b 30. Laske a) 1 2 : 2 5 b) 1 : 5 6 c) 2 5 : 4 d) Laske murtolukujen ja 1 6 a) summa b) erotus c) tulo d) osamäärä e) vastalukujen summa b) vastalukujen erotus Laske lausekkeen x arvo, kun x = Laske lausekkeen a b c + d arvo kun a = 2, b = 2 3, c = 1 ja d = Mikä luku on puolet luvusta 2 5? 36. Mikä luku on kolme neljäsosaa luvusta 3 1 5? 15

18 2.5 Potenssi Kertolaskua, jossa kaikki kerrottavat (eli tulon tekijät) ovat yhtä suuria, voidaan merkitä lyhennetyllä tavalla, potenssimerkinnällä. E = 2 6 Potenssimerkinnän nimitykset ja potenssin määritelmä: (kantaluku ) a m ( eksponentti) jossa a m = } a a {{... a} m kappaletta Jos kahdella potenssilla on sama kantaluku, ovat potenssit samankantaisia Potenssien laskutoimitukset Potensseihin liittyy joukko laskutoimituksia, jotka on esitelty seuraavassa taulukossa. Laskusääntö Kaava Esimerkki Samankantaisten potenssien tulo a m a n = a m+n = = 2 9 = 512 tai x 5 x 12 = x 5+12 = x 17 Samankantaisten potenssien osamäärä a m a n = am n = = 3 2 = 9 tai x 12 x 3 = x12 3 = x 9 Tulon potenssi (ab) n = a n b n (2x) 3 = 2 3 x 3 = 8x 3 Osamäärän potenssi ( a b) n = a n b n ( x 3 ) 4 = x = x4 81 Potenssin potenssi ( a m ) n = a m n ( x 5 ) 3 ( 3x 2 ) 3 27x 6 = x 5 3 = x 15 tai = 3 3( x 2) 3 = 27x 2 3 = 16

19 Huomaa, että esimerkiksi laskutoimitukselle x 3 + x 5 ei ole olemassa mitään laskusääntöä. Itse asiassa sitä ei voi laskea pidemmälle tai sieventää kauniimmaksi. Tästä lisää polynomien yhteydessä. Vielä kertauksena muutama tärkeä asia. Jos luvun eksponenttina on luku 1 sitä ei merkitä näkyviin. E20 a) x x = x 1+1 = x 2 b) x4 x 3 = x4 3 = x 1 = x. Luvun toista potenssia kutsutaan luvun neliöksi ja luvun kolmatta potenssia luvun kuutioksi. E21 Luvun 5 neliö on 5 2 = Eksponentin vaikutusalue ja potenssin arvo Potenssimerkinnässä eksponentti vaikuttaa vain siihen lukuun, johon se on suoraan kiinni. Eksponentin vaikutus aluetta voidaan muuttaa käyttämällä sulkuja. Eli esimerkiksi merkinnät ( 2) 4 ja 2 4 tarkoittavat eri laskuja. Ensimmäisessä kantalukuna on 2 ja jälkimmäisessä 2. E22 Laske a) ( 1) 4 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 b) 1 4 = = 1 c) ( 1) 5 = ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) = 1 d) 1 5 = = 1 Edellisestä esimerkistä nähdään että potenssilaskun vastauksen merkki riippuu kantaluvun etumerkistä ja eksponentin arvosta. Saadaan seuraava yleinen sääntö: Potenssin merkkisääntö Kun kantaluku on positiivinen (+) on, potenssin arvo on aina postiivinen (+). Kun kantaluku on negatiivinen ( ), potenssin arvo on: positiivinen (+), jos eksponentin arvo on parillinen negatiivinen ( ), jos eksponentin arvo on pariton Potenssina nolla tai negatiivinen luku Esimerkiksi laskutoimitus a3 voidaan laskea joko supistamalla a3 a 3 a = a a a 3 a a a = 1 1 = 1 17

20 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 3 a 3 = a3 3 = a 0. Koska saimme samalle laskulle kaksi erinäköistä vastausta, on sovittu, että a 0 = 1. Vastaavasti laskutoimitus a2 voidaan laskea joko supistamalla a5 a 2 a 5 = a a a a a a a = 1 a a a = 1 a 3 tai samankantaisten potenssien osamäärän laskusäännöllä a 2 a 5 = a2 5 = a 3. Jälleen samalle laskulle saatiin kaksi erinäköistä vastausta, joten on sovittu, että a 3 = 1 a 3. Eli yleisesti Laskusääntö Kaava Esimerkki Nollas potenssi a 0 = 1 ( 3) 0 = 1 Negatiivinen eksponentti a n = 1 a n 2 3 = = 1 8 ( a ) n ( b ) n ( 2 ) 2 ( = = = b a 3 2) 4 = Kymmenpotenssimuoto Hyvin suuret ja pienet luvut on järkevintä ilmoittaa kymmenpotenssimuodossa, eli tulona jonka ensimmäinen tekijä on luku yhden ja kymmenen väliltä ja toinen tekijä jokin luvun kymmenen potenssi. 2.1 Esimerkki. Ilmoita kymmenpotenssimuodossa: 18

21 a) = b) = 3, c) = 4, d) 0, = e) 0, = 6, Kymmenpotenssimuodon saa avattua luvuksi, kun kertoimessa olevaa pilkkua siirretään joko vasemmalle (kun eksponentti postiivinen) tai oikealle (eksponentti negatiivinen) eksponentin osoittaman määrän numeroita. Vastaavasti onnistuu myös luvun kirjoittaminen kymmenpotenssimuotoon. Positiivinen eksponentti suuri luku Negatiivinen eksponentti pieni luku Eksponentti ilmoittaa kuinka monta numeroa pilkku siirtyy Tehtäviä Sievennä 37. a) x 3 x 2 b) xx 3 c) xx 3 x a) a7 a 4 b) b4 b c) c12 c 3 c 4 d) c5 c a) (3x) 2 b) (2a) 3 c) ( 5b) a) (a 3 ) 4 b) (x 5 ) 5 c) (x 2 x 3 ) 4 d) a) b) 3 ( 4) 2 c) (3 4) 2 ( 1 ) a) b) 4 ( 1 1 2) 2 c) 1, a) x 2 x x 3 x 4 b) 5 m 5 m c) a 8 : a a 2 : a 4 d) 3 2 (5 7) a) Merkitse potenssilauseke ja laske sen arvo, kun kantaluku on 4 ja eksponentti on 2. b) Merkitse potenssilauseke, jonka kantaluku on a + 1 ja eksponentti on 2. Laske sen arvo, kun a = 13 19

22 45. Laske lausekkeen arvo, kun x = 2 a) x 2 x 5 b) ( 2 x) 3 c) 6( x) 3 d) x 3 x Laske lausekkeen arvo, kun x = 1 ja y = 3 a) x y b) (2 + x) y c) xy Laske tai sievennä a) b) (2x)5 4x Laske luvun neliö a) 2 b) 4 c) Laske luvun kuutio a) 2 b) 3 c) 4 ( 4x ) Laske tai sievennä a) 2 23 b) c) ( ab 2 c) 6 a y 51. Sievennä ( a3 a 6 a a a 2 a 4 a 3 ) 2 : a Kirjoita kymmenpotenssimuodossa a) 100 b) c) d) 72 e) 5750 f) 0, g) 0, h) 0, Kirjoita ilman potenssimerkintää a) b) 3, c) 1, d) 7, e) 2, f) 34, Laske a) b) 3,

23 2.6 Neliöjuuri a Neliöjuuri jostakin luvusta a (a 0), eli a tarkoittaa sellaista ei-negatiivista (eli 0) lukua, jonka neliö eli toinen potenssi on a. Negatiivisista luvuista ei voi ottaa neliöjuurta. Tehtäviä 55. Mikä on neliön sivun pituus, kun neliön ala on a) 9 ruutua b) 100 cm 2 c) 4m 2 d) 6 ruutua 56. Laske a) 49 b) 400 c) 4 a) 0, 04 b) 0, c) Laske a) b) c) Laske a) b) c) Laske a) ( 3) 2 b) 4 2 c) ( 5) Laske a) b) c)

24 3 Kirjaimet matematiikassa Kirjain tarkoittaa aina jotakin tuntematonta lukua, eli muuttujaa. Saman laskun sisällä sama kirjain tarkoittaa samaa tuntematonta lukua. Kirjaimilla voidaan laskea kuten luvuillakin. On kuitenkin muistettava, että emme tiedä mikä tietty luku on kyseessä, mikä asettaa tiettyjä rajoituksia laskujen tekemiselle. Olemme aikaisemmin laskeneet kirjaimilla potenssien yhteydessä, niihin liittyvät laskusäännöt on syytä siis muistaa. Kirjaimella voi olla jokin kerroin tai eksponentti. Kerroin on kirjaimen edessä oleva luku. Se on todellakin kerroin eli se kertoo kuinka monta kertaa kyseinen kirjain on juuri siinä. Eli 3x tarkoittaa kolme kappaletta x:iä. Luvun ja kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, mutta se on aina siellä. Eli 2x = 2 x. Myöskään kirjaimen kerrointa ei kirjoiteta näkyviin, jos se on 1. Eli x = 1x. Vastaavasti x = 1x. Myöskään kahden kirjaimen väliin ei ole tapana kirjoittaa kertomerkkiä näkyviin, eli a b = ab. Ajatellaan lasku 2x + x. Laskussa esiintyy kahdessa kohtaa muuttuja x. Siinä pyydetään laskemaan yhteen kaksi kappaletta x:iä ja yksi kappale x:iä, eli yhteensä meillä on kolme kappaletta x:iä, eli 2x + x = 3x. Pystymme laskemaan yhteen, eli sieventämään, koska kirjain on molemmissa yhteenlaskettavissa sama. Voidaan tarkistaa, että olemme laskeneet oikein kokeilemalla jollakin tietyllä luvulla laskun oikeellisuutta. Jos luku x olisi 4, lasku olisi muotoa = = 12 joka on todellakin sama kuin 3 4 = 12, eli olemme laskeneet oikein. Emme kuitenkaan voi laskea laskua 2x+y yhtään sievemmäksi, koska x ja y ovat eri kirjain, eli tarkoittavat eri lukua. Vastaavasti emme voi laskea 2x + 3, koska lukuun kolme ei liity kirjainta x. Jos näitä laskuja yrittää laskea jotenkin, voi aina kokeilla sijoittaa jonkun luvun kirjaim(i)en paikalle, kuten edellä, ja tarkistaa onko olettama oikea. Kertolaskussa ei haittaa, että kirjaimet ovat eri kirjaimia. Esimerkiksi x y voidaan kirjoittaa ilman kertomerkkiä xy. Jos kirjaimilla on kertoimia ne kerrotaan keskenään ja kirjain osat keskenään. Esimerkiksi 2x 3y = 2 3 x y = 6xy. Myös pelkkä kirjain ja sen kerroin voidaan tietenkin kertoa luvulla. Esim. 2x 4 = 2 4 x = 8x. Sieventäminen tarkoittaa laskun kirjoittamista sievempään eli loppuun asti laskettuun muotoon. E23 Sievennä 2x 3 3x 4 = 2 3 x 3 x 4 = 6x 3+4 = 6x 7. Tehtäviä 61. Sievennä a) 4a + 7a b) 10x 6x c) 8y + 13y d) 7a 18a 22

25 62. Sievennä a) 3x 10x b) 4a + 3b c) 2a ( 2a) + ( 2a) 2a d) 7x 12y 11x + 3y 63. Sievennä a) 4a 7a b) 10a 6b c) 8y 2y d) 8x 4x ( 3) 4x e) 8x 64. Sievennä a) 3a 9a 12a b) y ( 13y) c) a 2a b d) 3x 6a 3 e) 3a 6b 4 Polynomit P (x) = 2x 2 x + 1 Polynomiksi sanotaan mitä tahansa lauseketta, joka on summan muodossa ja jossa ei esiinny muuttujaa (eli kirjainta) nimittäjässä. Jokaista polynomin yhteenlaskettavaa sanotaan termiksi. Polynomissa esiintyviä kirjaimia sanotaan muuttujiksi ja termiä, jossa ei ole kirjainta vakioksi. Otsikossa olevan polynomin muuttuja on x, termit ovat 2x 2, x sekä 1 ja vakiotermi on 1. Huomaa, että etumerkki kuuluu aina termille! Esimerkkejä polynomeista: 4x 3 + 2x 2 a 2 + b 2 10 z 3 2 x x 1 ei ole polynomi, koska siinä esiintyy muuttuja x nimittäjässä. x Polynomeja merkitään antamalla niille nimeksi jokin iso kirjain, yleensä P, Q tai R ja laittamalla polynomissa esiintyvät muuttujat tämän kirjaimen perään sulkujen sisään pilkulla eroteltuina. E24 P (x) = 2x 3 3x + 1 R(x, y) = 2x 3y 23

26 Polynomin termit on tapana luetella muuttujan eksponentin mukaisessa laskevassa suuruusjärjestyksessä. Polynomin asteella tarkoitetaan polynomissa esiintyvän muuttujan korkeinta potenssia. E25 Polynomin R(a) = 3a 4 2a 3 + 2a aste on 4. Monomi on polynomi, jossa on yksi termi. E26 2x 3 ja x ovat monomeja. Binomi on polynomi, jossa on kaksi termiä. E27 2x 1 ja x 3 + 2x 2 ovat binomeja. 4.1 Polynomin arvo Polynomin arvo tarkoittaa sitä lukua, joka saadaan, kun polynomin muuttujan tai muuttujien paikalle sijoitetaan jokin tietty luku ja lasketaan syntynyt lasku. Eli kaikki polynomissa esiintyvät kirjaimet korvataan annetulla luvulla. Jos tämä annettu luku on negatiivinen, sen ympärille on aina laitettava sulut! Muista myös, että mitään muuta polynomista ei saa muuttaa kuin kirjaimet, jotka korvataan annetulla luvulla. Merkintä P ( 2) tarkoittaa polynomin P arvoa muuttujan arvolla 2. E28 Laske polynomin P (x) = 3x 2 x + 2 arvo muuttujan x arvolla 1. P ( 1) = 3 ( 1) 2 ( 1) + 2 = = 6 E29 Lukujen sijoittaminen x 3x + 2 x x = = = = = 0 = = = = = = ( 1) + 2 = = 1 ( 1) = = 2 ( 1) 2 = = = = = = ( 2) + 2 = = 4 ( 2) = = 5 ( 2) 2 = 4 24