1 Laskutoimituksia 3. Peruslaskutoimitukset luvuilla 3. Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5. Prosentti 7. Prosenteilla vertaaminen 9

Transkriptio

1

2 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 5 Prosentti 7 Prosenteilla vertaaminen 9 Kuvaaminen koordinaatistossa 11 2 Lausekkeesta yhtälöksi 13 Lineaarinen riippuvuus 13 Yhtälö 15 Ongelmasta yhtälöksi 17 Suhde ja verranto 19 Verrannollisuus 21 3 Toisen asteen yhtälö 23 Toisen asteen polynomifunktio 23 Ratkaisukaava 25 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 28 Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 2

3 1 Laskutoimituksia Peruslaskutoimitukset luvuilla Luvun tavoitteet Tavoitteena on kerrata kokonaislukujen ja murtolukujen yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku sekä laskujärjestys. Lisäksi kerrataan laskutoimitusten yksinkertaistamiseen liittyvät vastaluvun ja käänteisluvun käsitteet. Ehdotus ajankäytöksi 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min Tehtäväsarjat Sarja 1 on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan. Otsikon peruslaskutoimitukset ja laskujärjestys alla olevissa tehtävissä kerrataan kokonaislukujen peruslaskutoimituksia. Näiden yhteydessä harjoitellaan myös sulkeiden sekä pitkän murtoviivan vaikutusta laskujärjestykseen. Murtoluvutotsikon alla olevat tehtävät harjoittavat peruslaskutoimituksia murtoluvuilla, ensin mekaanisilla ja lopuksi sanallisilla tehtävillä. Viimeinen tehtävä harjoittaa vastaluvun ja käänteisluvun käsitteitä. Sarjan 2 tehtävissä on sekoitettu kokonaisluku- ja murtolukulaskuja. Tehtävissä 19, 20 ja 22 esiintyy kokonaislukuja ja tehtävissä 17, 18, 21, 23, 25 ja 26 murtolukuja. Sanallinen tehtävä 24 tavanomaisesti ratkaistuna ei oikeastaan kuulu puhtaasti kumpaankaan luokkaan. Oheismateriaali Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävä laskujärjestyksen kertaamisesta (vastaa kirjan esimerkkiä 2b), merkkisäännöistä, murtolukujen yhteen- ja vähennyslaskusta sekä murtolukujen kerto- ja jakolaskusta. Laskujärjestyksestä ja merkkisäännöistä on esimerkkien jälkeen vastaavat yhteenvedot kuin kirjassa. Murtolukuesimerkit vastaavat sisällöltään kirjan esimerkkejä 4, 5, 6 ja 7. Niitä ei kuitenkaan ole tehty sanallisiksi erotuksena kirjan vastaaviin esimerkkeihin. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 3

4 Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta Luvun sisällöt kertaavat laskutoimitusten perusteita, joten niihin kannattaa käyttää aikaa. Erityisesti murtolukujen laskutoimitukset tulevat seuraavan kerran vastaan vasta kertauskurssin kirjassa. Tehtäväsarjan 1 väliotsikointi on tehty niin, että yhteisen opetuksen voi luontevasti jakaa kahteen osaan: kokonaislukujen laskutoimitusten ja laskujärjestyksen kertaamiseen sekä murtolukujen laskutoimitusten kertaamiseen. Oheismateriaalissa olevat esimerkit murtolukujen laskutoimituksista eivät ole sanallisia toisin kuin kirjan vastaavat esimerkit. Kirjan esimerkkien ajatuksena on, että ne toimisivat paitsi murtolukujen laskutoimitusten kertaamisen myös sanallisten tehtävien ratkaisemisen apuna. Oppitunnilla tällainen käsittely vaatisi kuitenkin enemmän aikaa kuin lukuun tässä kohdassa on ajateltu käytettävän. Murtolukujen jakolasku on sekä kirjassa että oheismateriaalin esimerkissä otettu kahdella eri tavalla: sekä perinteisesti että ensin samannimisiksi laventamalla. Tapa saattaa tuntua oudolta. Sen ajatus on tulkita lasku sisältöjaoksi, jolloin laskussa voi pitää paremmin ymmärryksen mukana. Tämä saattaa auttaa heikompia oppilaita, joille erilaiset mekaaniset ulkoa opetellut laskutemput menevät helposti sekaisin. Jos ryhmässä on paljon lähtötasoltaan heikkoja opiskelijoita, sanalliset murtolukutehtävät sekä käänteisluvun ja vastaluvun käsitteen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 4

5 Peruslaskutoimitukset polynomeilla Luvun tavoitteet Tavoitteena on kerrata polynomien peruslaskutoimitukset sekä polynomeihin liittyviä nimityksiä. Ehdotus ajankäytöksi 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min Tehtäväsarjat Sarjan 1 tehtävät on jaettu väliotsikoilla kahteen osaan: monomien peruslaskutoimituksiin ja polynomien peruslaskutoimituksiin. Sarjan alussa on kaksi on kaksi yksireikäisellä napilla merkittyä helppoa tehtävää, jotka pohjatiedoiltaan paremmat opiskelijat voivat hypätä yli. Sarjan 2 tehtävissä ainoastaan tehtävässä 43 esiintyy pelkkiä monomeja. Tehtävissä 44, 45, 46, 49, 51, 52 ja 53 esiintyy polynomien yhteen-, vähennys- ja kertolaskuja joko yhdistettynä tai sitten erillisinä alakohtina. Tehtävä 48 on pelkkää kertolaskua. Jakolaskua tarvitaan ainoastaan tehtävissä 47 ja 50. Oheismateriaali Oheismateriaalissa on esimerkkitehtävät, jotka vastaavat kirjan esimerkkejä 3, 2, 5, 6 ja 7b. Lisäksi siinä on polynomien nimityksiä kertaava dia. Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta Polynomien laskutoimituksia osataan peruskoulusta tultaessa kovin kirjavasti. Eri oppikirjasarjat painottavat aihepiiriä eri tavoin. Joissain peruskoulun oppikirjoissa kahden polynomin tulo on merkitty ylikurssiksi. Siksi on mahdollista, että osalle opiskelijoista asia on ihan uusi. Tästä syystä oheismateriaalissa on myös kirjan esimerkin 6 tilanne, jossa laskusääntö johdetaan pintaalamallin avulla. Oheismateriaalin ensimmäinen esimerkki sopii hyvin monomien laskutoimitusten kertaamisen aloittamiseen. Siinä havainnollistetaan pituus- ja pinta-alamallin avulla monomien yhteenlaskua ja kertolaskua. Koska esimerkit ovat lyhyitä, opetuksessa kannattanee kerrata kaikki tilanteet kerralla. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 5

6 Kirjan kummassakin tehtäväsarjassa esiintyy pituus-, pinta-ala- ja tilavuusmalliin liittyviä tehtäviä. Tehtävät kiinnittävät kirjainlaskentaa konkretiaan ja pohjustavat lisäksi geometrian sanallisten tehtävien mallintamiseen tarvittavia taitoja, joita tässä kirjassa tarvitaan luvuissa Ongelmasta yhtälöksi ja Toisen asteen yhtälön sovelluksia. Kirjassa on karsittu terminologiaa niin, että nimityksiä binomi ja trinomi ei kerrata. Ne eivät ole lyhyessä matematiikassa mitenkään keskeisiä. Muistikaavoja ei myöskään käytetä, vaan tyyppiä (4x 1) 2 olevat laskut puretaan ensin kertolaskuksi. Joku opiskelijoista on saattanut käyttää muistikaavoja peruskoulussa, mutta lyhyessä matematiikassa ne eivät ole mitenkään tarpeellisia. Muistikaavojen hyödyllisyyshän perustuu lähinnä tilanteisiin, joissa jokin polynomi pitää tulkita binomin neliöksi. Tällaiset tilanteet lähinnä ympyrän yhtälöt ja funktioiden raja-arvotarkastelut eivät kuulu oppimäärään. Itse asiassa opiskelijat tarjoavat huomattavasti harvemmin tyyppiä (a + b) 2 olevan laskuun virheellistä vastausta a 2 + b 2, jos he tottuvat systemaattisesti purkamaan kaikki binomin neliöt tuloiksi. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 6

7 Prosentti Luvun tavoitteet Tavoitteena on kerrata prosenttilaskennan kaksi perustilannetta: kuinka paljon on p prosenttia luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä. Lisäksi kerrataan lyhyesti muuttuneen arvon laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla ja opetellaan promillen käsite. Muutos- ja vertailuprosentti sekä prosenttiyksikkö kerrataan seuraavassa luvussa Prosenteilla vertaaminen. Tuntemattoman perusarvon ratkaiseminen kerrataan yhtälönratkaisun sovellustilanteena luvussa Ongelmasta yhtälöksi. Prosenttilausekkeita, joissa lähtöarvoja merkitään kirjaimilla, harjoitellaan enemmän vasta kurssissa 3. Ehdotus ajankäytöksi 45-minuuttisilla oppitunneilla 2 x 45 min 75-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 75 min 90-minuuttisilla oppitunneilla 1 x 90 min Tehtäväsarjat Tehtäväsarjan 1 alussa on kolme tukitehtävää, jotka on tarkoitettu aivan heikoimmille opiskelijoille. Sarjan 1 perustehtävät on jaettu kahden väliotsikon alle: perustapaukset ja promille. Perustapauksissa on sekoitettu tilanteet p prosenttia luvusta a ja kuinka monta prosenttia a on b:stä niin, että niitä esiintyy vuorotellen. Seassa on myös muutama tehtävä, joissa harjoitellaan muuttuneen arvon laskemista suoraan prosenttikertoimen avulla. Promillen käsite on oppilaille arkikielestä tuttu, mutta matemaattisena käsitteenä se ei kuulu peruskoulun opetussuunnitelman keskeisiin sisältöihin. Siksi tehtävät alkavat promillejen muuttamisesta desimaaliluvuksi ja toisin päin. Sovellustilanteissa promillea käytetään paitsi veren alkoholipitoisuuden mittaamiseen myös korujen arvometallipitoisuuden ilmoittamiseen. Veren alkoholipitoisuutta mittavaa esimerkkiä 5 on yksinkertaistettu niin, että siinä ei huomioida alkoholin vettä pienempää tiheyttä 0,79 g/cm 3. Vastaavissa tehtävissä 75, 76 ja 84 ongelma on kierretty ilmaisemalla nautitun alkoholin määrä 12 g:n ravintola-annoksina. Alkoholilaskujen on ajateltu toimivan valistustarkoituksessa: kun tietää veren alkoholipitoisuuden ja alkoholin palamisen takana olevaa matematiikkaa, alkoholin käytön rajoja on helpompi hahmottaa. Metin ja Marvin sukupuolet tehtävissä 75 ja 76 näkee esimerkistä 5. Tehtäväsarjassa 2 tilannetta p prosenttia luvusta a harjoittavat tehtävät 78, 79 ja 82. Kuinka monta prosenttia a on b:stä tehtäviä ovat 77, 80, 81 ja 85. Tehtävä 84 on ainoa promilletehtävä. Oheismateriaali Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 7

8 Luvun kustakin kolmesta tilanteesta on opettajan materiaalin esimerkkitehtävät, joita voi halutessaan käyttää yhteisesti käytävinä esimerkkeinä. Ensimmäinen tehtävä vastaa oppikirjan esimerkkiä 1, toinen tehtävä esimerkkejä 3 ja 4 ja kolmas tehtävä esimerkkiä 5. Ajatuksia luvun aihepiirin opettamisesta Tehtäväsarjan 1 otsikointi mahdollistaa yhteisen opetuksen jakamisen luontevasti kahteen palaan: prosenttilaskennan perustapauksiin ja promilleen. Perustapaukset on sekoitettu jo sarjassa 1 siksi, että opiskelijat harjaantuisivat tunnistamaan, kummasta tilanteesta on kysymys. Jos ryhmässä on paljon pohjatiedoiltaan heikkoja opiskelijoita, promillen käsitteen ja veren alkoholipitoisuuden laskemisen voi hyvin jättää pois yhteisestä opetuksesta ja ohjata nopeammat tutustumaan aiheeseen kirjan tekstin ja esimerkin avulla. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 8

9 Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 9

10 Sisällysluettelo 1 Laskutoimituksia 3 Peruslaskutoimitukset luvuilla 3 Peruslaskutoimitukset polynomeilla 7 Prosentti 11 Prosenteilla vertaaminen 17 Kuvaaminen koordinaatistossa 22 Kertaustehtäviä 28 2 Lausekkeesta yhtälöön 31 Lineaarinen riippuvuus 31 Yhtälö 36 Ongelmasta yhtälöksi 49 Suhde ja verranto 55 Verrannollisuus 63 Kertaustehtäviä 69 3 Toisen asteen yhtälö 72 Toisen asteen polynomifunktio 72 Ratkaisukaava 80 Toisen asteen yhtälön sovelluksia 99 Kertaustehtäviä Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 10

11 2 Lausekkeesta yhtälöön Lineaarinen riippuvuus 146. a) 30 km b) 45 km c) 10 min 147. a) b) c) 7,5 vuoden kuluttua d) a) 2,40 b) 7,20 c) 0,96 d) 1,20x e) y = 1,20x 149. a) 70 f) b) 90 c) 130 d) (0,40x + 50) e) y = 0,40x + 50 Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 11

12 150. a) y = 1,94x + 5,08 b) c) 34 /kk d) 23 m 3 e) Suora leikkaa y-akselin perusmaksua vastaavassa kohdassa y = 5, a) y = 0,70x b) 152. a) T(x) = 110x c) b) K(x) = 60x d) 110x = 60x x 50x = : 50 x = 300 (kpl) e) = ( ) 153. a) f(5) = = 700 b) f(6) = = 720 c) f(7) = = 740 d) Funktion arvo kasvaa 20:llä. Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 12

13 Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 13

14 Sisällysluettelo 1 Lähtötasotestit 3 Lähtötasotesti 3 Kysely matematiikan opiskelusta 8 2 Muita testejä ja lisäharjoituksia 9 Testi 1 Prosenttilaskenta 9 Testi 2 Yhtälöt 12 Testi 3 Ratkaisukaava 16 Lisäharjoituksia: Toisen asteen yhtälöitä 19 3 Koetehtäviä 25 Polynomi- ja yhtälötehtäviä 25 Prosenttilaskennan perustapauksia 26 Funktiot ja kuvaajat 27 Sanallisia yhtälötehtäviä 28 4 Koetehtävien ratkaisut 29 Polynomi- ja yhtälötehtäviä 29 Prosenttilaskennan perustapauksia Funktiot ja kuvaajat Sanallisia yhtälötehtäviä xx xx xx Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 14

15 1 Lähtötasotestit Lähtötasotesti 1. Laske. a) 100 ( 50) : ( 5) = Nimi: 5 11 b) 2 = 3 2. Laske a) 1 + = b) = c) : 4 = 5 3. Sievennä. a) 2a + 4a + 7 = b) 2(4a + 7) = c) 2 a 4a = 4. a) Laske, kuinka paljon on 15 % luvusta b) Laske, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta c) Laske, kuinka monta prosenttia 2500 on suurempi kuin Summa 1 Opettajan materiaali Näytesivuja 15

16 5. Piirrä koordinaatisto ja merkitse sinne pisteet A = ( 1, 2) ja B = (2, 1). Yhdistä pisteet janalla. Onko origo (0, 0) janalla AB? 6. Piirrä suora y = 2x a) Ratkaise yhtälö. 5 x + 9 = 3x + 17 b) Ratkaise x verrannosta. x = 8 Summa 1 Opettajan materiaali Arviointi 16

17 Lähtötasotestin ratkaisut 1. a) 100 ( 50) : ( 5) = = ) 1 2 a) 1 + = = = b) 2 = = = b) = 4 3 (2 7 2 = = c) : 4 = = a) 2 a + 4a + 7 = 6a + 7 b) 2 (4a + 7) = 8a + 14 c) 2a 4a = 8a 2 4. a) Lasketaan, kuinka paljon 15 % on luvusta % luvusta 2000 on = % luvusta 2000 on = 300. b) Lasketaan, kuinka monta prosenttia luku 50 on luvusta = 0, ,025 = 2,5 % Summa 1 Opettajan materiaali Arviointi 17

18 c) Lasketaan, kuinka monta prosenttia 2500 on suurempi kuin = = 0, ,25 = 25 % 5. Piirretään koordinaatisto ja merkitään sinne pisteet A = ( 1, 2) ja B = (2, 1). Kun pisteet yhdistetään janalla, huomataan, että origo ei ole janalla AB. 6. Piirretään suora y = 2x + 1. Summa 1 Opettajan materiaali Arviointi 18

19 7. a) 5 x + 9 = 3x x 9 5x 3x = x = 8 : 2 x = 4 b) x = 8 Verranto ratkaistaan kertomalla ristiin. 8x = : x = 8 x = x = 600 Summa 1 Opettajan materiaali Arviointi 19

20 3 Koetehtäviä Polynomi- ja yhtälötehtäviä 1. Laske. a) 3 a ( 4a + 5), b) ( x 2)( x + 7), c) 3x x a) Kumpi luvuista on suurempi 7 2 vai 10 3? b) Laske funktion arvo f(5), kun f(x) = x 2 + 3x + 4. c) Ratkaise yhtälö 4x 2 = 1 5x 3. a) Laske (3x 5) 2. b) Laske lausekkeen x 2 4x arvo, kun x = 5. c) Ratkaise yhtälö 2x + 15 = 5x Muodosta ja sievennä suorakulmion a) piirin, b) pinta-alan lauseke. x 1 2x Ratkaise yhtälöt. a) 5x (x + 4) = 3 + x x x b) x = Ratkaise yhtälöt. a) 4(2x 1) = 8x b) = x Ratkaise yhtälöt. a) 2x 2 30x 68 = 0 b) 4x x = 0 8. Ratkaise yhtälöt. a) 10x = 0 b) 20x = 49x 9. Ratkaise yhtälöt

21 a) x 2 x 6 = 0 b) 3x = 2x 10. Ratkaise yhtälöt. a) (4x + 2)(x 11) = 0 2 b) x + 3x = Laske lukujen 5 3 ja 3 4 a) osamäärä, b) vastalukujen erotus, c) käänteislukujen summa. 12. a) Ratkaise yhtälö 2x(x + 3) 3(2x 1) = 9 4x b) Laske lausekkeen ( a a)(2a + 3a) 2a arvo, kun 1 a = a) Millä k:n arvolla yhtälön 3(x + k) = 5 + k ratkaisu on x = 3? 6 + 3x x + 2 b) Sievennä lauseke :. x 2x Prosenttilaskennan perustapauksia 14. a) Vapaa-ajan kengistä saa 20 %:n alennuksen. Laske 87,50 maksavien kenkien alennettu hinta. b) Suomessa syntyy 106 poikaa kohti 100 tyttöä. Kuinka monta prosenttia syntyvistä lapsista on tyttöjä? 15. Vuoden 2006 Euroviisuissa Suomi voitti ja sai 292 pistettä, toisena oli Venäjä 248 pisteellä ja kolmantena Bosnia-Hertsegovina 229 pisteellä. a) Kuinka monta prosenttia enemmän pisteitä Suomi sai kuin Venäjä? b) Kuinka monta prosenttia vähemmän pisteitä Bosnia-Hertsegovina sai kuin Suomi? 16. a) Junalipun hintaa 6,30 nostettiin 4,8 %. Mikä oli lipun uusi hinta? b) Pelikonsolin hinta oli 15 prosentin alennuksen jälkeen 237,15. Mikä oli konsolin alkuperäinen hinta? 17. a) Sisu Pastilli maksoi 6,95 :n hampurilaisateriasta 5,45. Kuinka monta prosenttia alennus oli? b) Opettaja valmisti liuoksen, johon tuli 11,0 g suolaa ja 78,0 g vettä. Mikä oli liuoksen suolapitoisuus? Summa 1 Opettajan materiaali Tuntisuunnitelmat 21