SMG- Piirianalyysi, kesäkurssi, harjitus (3) Tehtävien ratkaisuehdtukset 6 Tarkitus n laskea V ja eveninin ekvivalentin avulla Tämä tarkittaa sitä, että mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti vastuksen R napjen suhteen, eli pistetaan R (krvataan avimella haaralla) ja krvataan jäljelle jäävä kytkentä jännitelähteen E ja vastuksen R sarjaankytkennällä eveninin lähdejännite E n tarkasteltavien napjen välinen tyhjäkäyntijännite, ja eveninin resistanssi R n kytkennän kknaisresistanssi navista katsttuna Muutetaan V:n jännitelähde virtalähteeksi 4 Ω:n vastus tulee virtalähteen rinnalle, ja virtalähteen lähdevirraksi saadaan /4 A 5 A Lähdevirran suunta n ylöspäin, kska jännitelähdekin syöttää virtaa ylöspäin (plusnavasta khti miinusnapaa piirin kautta) Yhdistetään sitten rinnakkain levat Ω:n ja 4 Ω:n vastukset Yhdistetyksi reistanssiksi R saadaan 4 R Ω 8 Ω + 4 Myös A:n ja 5 A:n virtalähteet vat rinnakkain Rinnakkain levat virtalähteet vidaan Kirchhffin virtalain perusteella yhdistää summaamalla Kska mlemmat lähteet syöttävät virtaa ylöspäin, yhdistetyn virtalähteen ylöspäin syöttämäksi virraksi saadaan + 5 A 5 A Nyt siis kytkennässä n rinnakkain 5 A:n virtalähde (virta ylöspäin) ja 8 Ω:n vastus Tämän rinnankytkennän kanssa n sarjassa Ω:n vastus Muutetaan virtalähde jännitelähteeksi R tulee jännitelähteen kanssa sarjaan, ja lähdejännitteeksi E saadaan E 5 8 V V Jtta virran suunta säilyy muuttumattmana, lähteen plusnavan n ltava ylhäällä ja miinusnavan alhaalla Nyt R ja Ω vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R 8 + Ω Ω R Mudstettu eveninin ekvivalentti näyttää seuraavalta Palautetaan sitten R paikalleen ja lasketaan V ja : E E R + R, V R (i) R Ω A, V V (ii) R 6 Ω 75 A, V 45 V (iii) R 5 Ω 48 A, V 7 V (iv) R 3 Ω 3 A, V 9 V (v) R 7 Ω 5 A, V 5 V 64 Mudstetaan kytkennälle eveninin ekvivalentti napjen a ja b suhteen eveninin lähdejännite E n napjen a ja b välinen tyhjäkäyntijännite ja eveninin resistanssi R n kytkennän kknaisresistanssi navista a ja b katsttuna
Käytetään silmukkavirtamenetelmää E :n ratkaisemiseen Sijitetaan myötäpäivään kiertävät silmukkavirrat sekä ylempään ( ) että alempaan ( ) silmukkaan Silmukkavirta n suraan lähdevirta 6 A, ja alemmasta silmukasta saadaan 48 + 6 ( ) + 6 48 A 8 Napjen a ja b väliseksi jännitteeksi E saadaan täten E 5 + 6 5 6 + 6 V 56 V Lasketaan vielä navista a ja b katsttu kytkennän kknaisresistanssi R Pistetaan selvyyden vuksi kytkennän lähteet, eli krvataan virtalähde avimella haaralla ja jännitelähde iksululla Tällöin havaitaan, että Ω ja 6 Ω vat rinnakkain, ja 5 Ω n tähän rinnankytkennän kanssa sarjassa Navista näkyväksi kknaisresistanssiksi saadaan siis R 6 + 5 Ω Ω + 6 67 Nrtnin ekvivalentissa alkuperäinen kytkentä krvataan tietyistä navista katsttuna vastuksen ja virtalähteen rinnankytkennällä Muunnetaan jännitelähde E virtalähteeksi Vastus R tulee virtalähteen rinnalle ja lähdevirraksi saadaan E/R 5/5 A 5 A Lähdevirran suunta n ylöspäin, kska myös jännitelähde E syöttää virtaa ylöspäin Nyt vastukset R ja R vat rinnakkain, jten yhdistetyksi resistanssiksi R saadaan R R R 5 Ω 4 Ω R + R 5 + Virtalähteet ja J vat rinnakkain, jten ne vidaan yhdistää Kirchhffin virtalain njalla Kska mlemmat syöttävät virtaa ylöspäin, yhdistetyn virtalähteen lähdevirraksi J tt saadaan J tt + J 5 + 3 A 8 A Muunnetaan mudstunut virtalähde takaisin jännitelähteeksi, jtta saadaan yhdistettyä vastukset R ja R 3 Virtalähteen J tt rinnalla leva R tulee jännitelähteen E tt kanssa sarjaan, ja lähdejännitteeksi saadaan E tt R J tt 4 8 V 3 V Nyt R ja R 3 vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi resistanssiksi R tt saadaan R tt R + R 3 4 + 4 Ω 8 Ω Nyt n mudstettu kytkennän evenin ekvivalentti Mutta kska kysyttiin Nrtnin ekvivalenttia, muunnetaan jännitelähde vielä virtalähteeksi Nrtnin lähdevirraksi J N ja resistanssiksi R N saadaan siis R Ett 3 Ω, J N Ω 4 A R 8 N Rtt 8 tt
74 Yleisesti sinimutiselle jännitteelle u(t) pätee u ( t ) uˆ sin ( t φ ) +, jssa û n jännitteen huippuarv, φ u n nllavaihekulma, ja n kulmataajuus, jka saadaan taajuudesta f lausekkeella u t 5sin t + π πf Tässä tehtävässä sinimutinen jännite nudattaa lauseketta Jännitteen tehllisarv U rms (rt-mean-square) määritellään lausekkeella u T U [ ] rms u( t) dt T, jssa T n yhteen sinin jaksn kuluva aika sekunneissa Sinin jaks (eli t) n radiaaneissa π, mutta yllä levaan integraaliin tarvitaan siis yhteen jaksn kuluva aika sekunneissa: T π T π Tarkasteltavan jännitteen tehllisarvksi saadaan: π 5sin ( π ) U rms t + dt π π 5 + 4π [ cs( t π )] dt π cs( x) sin ( x) 5 cs( t + π ) dt π cs( x) sin ( x) π / 5 t sin( t + π ) 4π 5 π π 5 π sin( + π ) sin( π ) 4π sin(6 π ) + sin( π ) 4π 5 π 5 5 5 uˆ V (Yleisesti sinimutiselle jännitteelle pätee U rms ) 4π 4 75 Kndensaattri ja käämi vat rinnakkain Tästä vidaan päätellä, että kndensaattrin ja käämin yli n sama jännite Käämin virta i L (t) n annettu, jten lasketaan ensin käämin yli leva jännite u L (t): i ( t) 5sin( t) A L, L u t L L t L ( t ) L di ( t) 5 cs 5 cs V dt Kndensaattrin yli leva jännite u c (t) n siis sama kuin u L (t) Lasketaan kndensaattrin virta i c (t): ( ), c i t C C L t LC ( t ) u ( t) 5 L cs t V c 8 i a) φ c du ( t) ( 5 sin ) 5 sin A dt r φ re r csφ + j sinφ r csφ + jr sinφ 3
b) y y x + jy x + jy arctan x + y arctan x x 3 55 + 7 j 3cs 55 + j3sin 55 + 7 j 77 + 4575 j + 7 j c) d) 85 877 + j4575 87 + j5 ( 3 ) 7 + ( ) arctan ( 3 )( 7 j) 7 3 78 5945 j 9 9 3 78 ( 5945 ) 84 ( 455 9 ) 8 4 9 4
86 5
87 Valitaan kytkennän vasempaan silmukkaan myötäpäivään kiertävä silmukkavirta ja ikeaan silmukkaan vastapäivään kiertävä silmukkavirta Silmukkavirtayhtälöpariksi saadaan tällöin + 3 + j5 + + j5 + j57 + 3 + + j57 Ratkaistaan ratkaisemalla alemmasta yhtälöstä ja sijittamalla ylempään: + j57 ( j ) + j57 + 3 + j57 j57) 4 + 57 + 3 + j57 Yllä levassa yhtälössä murtlauseke n lavennettu nimittäjän kmpleksiknjugaatilla, jtta nimittäjästä saadaan reaalinen ja jaklasku saadaan suritettua Tinen vaihteht lisi llut muuttaa murtlausekkeen termit plaarimutn Jka tapauksessa nyt saadaan: ( j ) ( 4 )( j57) ( + j57)( j57) + 57 + 3 4 j34 8 + j68 + j57 + 3 4 j34 + j34 j 46 4 j34 8 + j68 + j57 + 3 446 + j57 + 9939 j78 988 + j56 cs 3 + jsin 3 + j33 453 + j678 453 + j678 6795 868 j + j33 33 878 Silmukkavirraksi saadaan nyt: ( j ) 7 6 7 6 A 7 6 434 + j 334 + j + j57 + j57 + j57 + j57 334 + j 334 9 + 8 + j + j57 6 449 Kysytty virta n silmukkavirtjen summa: + 5 + j3 A 666 734 655 9 A 88 Ratkaistaan tehtävä slmupistemenetelmällä, mikä tarkittaa sitä, että ensin n selvitettävä kytkennästä löytyvien erisuurten ptentiaalien lukumäärä Kun kytkentä mukataan alla levaan mutn, humataan, että tuntemattmia ptentiaaleja löytyy klme kappaletta 6
Kun kytkennän alareunaan valitaan referenssiptentiaali V, ja kun ptentiaalit V ja V valitaan kuvan mukaisesti, Kirchhffin virtalain mukaisiksi slmupisteyhtälöiksi saadaan: V V V V + + 533 + + j V V 533 j6 4 4 6 4 V V V V 4 8 + + + j V + j + V j4 4 j8 4 4 4 4 ( 4 j8)( 4 + j8) 3 3 + j V V 533 4 6 4 + j V V 533 4 6 4 4 + j8 3 3 V + j + V V + j V 4 4 4 8 4 768 53 V 5V 533 5V + 335 657 V Kysyttiin impedanssin j4 Ω virtaa, jten kiinnstava ptentiaali n V Ratkaistaan V alemmasta yhtälöstä ja sijitetaan ylempään: 335 657 V V 34 657 V sij 768 53 V 5V 533 5 768 53 34 657 V 5V 533 3 44 V 5V 533 j5 V 5V 533 75 j5 V 533 V Täten kysytyksi virraksi saadaan 533 79 8435 536 757 V V 536 757 j4 4 9 63 84 A 8 Vaihtsähköpiirien eveninin ekvivalentti mudstetaan täsmälleen samalla tavalla kuin tasasähköpiireillekin Kska ekvivalentti mudstetaan napjen a ja b suhteen, asetetaan navat tyhjäkäyntiin pistamalla impedanssi Z 4 7
Muunnetaan jännitelähde E virtalähteeksi J mpedanssi Z tulee virtalähteen rinnalle, ja lähdevirraksi J saadaan E 5 5 J A A 43 75964 A Z 5 + j 66 75964 J:n suunta n ylöspäin, kska myös jännitelähde E syöttää psitiivista virtaa ylöspäin mpedanssit Z ja Z vat nyt rinnakkain, jten niiden yhdistetyksi impedanssiksi Z saadaan: Z 9 5 + arctan Z Z 5 + cs 9 + sin 9 + 5 + j Z Z j 43 436 846 436 Ω 5 Virtalähteet ja J vat rinnakkain, ja mlemmat syöttävät virtaa ylöspäin Kirchhffin virtalain perusteella yhdistetyn virtalähteen lähdevirta tt (virta ylöspäin) n tt + J 5 + 43 75964 A 5 + 59 j36 559 j36 A Muunnetaan sitten virtalähde tt jännitelähteeksi E, jtta saadaan yhdistettyä impedanssit Z ja Z 3 Lähdejännitteeksi (plus ylhäällä) saadaan E Z tt 846 436 67 889 5 369 V Z ja Z 3 vat sarjassa, jten niiden yhdistetyksi impedanssiksi Z saadaan Z Z + Z 3 8 j + j 8 Ω Nyt n mudstettu kytkennän eveninin ekvivalentti napjen a ja b suhteen Mititetaan vielä impedanssi Z 4 siten, että sen virta n /8 A: E Z Z E Z4 E Z Z + Z + 4 4 4 j3 8 8 8( 3 j3) 4 j4 Ω 8 8