. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts < ii sot lähestymise thtuv vsemmlt egtiivisest suust. Kolmioeäyhtälö vull void todist seurv luse jost voi oll hyötyä osoitettess rjrvo olemssolo mhdottomksi: Luse 6 Oletus: Fuktiolle f o voimss limf () A missä A o äärellie. Väite: Fuktioll f o istee o ymäristö jost mille ths khdelle isteelle j o voimss f () f () <. Tod.: Rj-rvo olemssolo tk seurv: > d > site että ku U ( d) f () A < yt ymäristöstä U ( d) isteet j. Tällöi o. Otet f ( ) f ( ) f ( f ( ) A A f ( ) A f ( ) ) A < [ f ( ) A] [ f ( ) A] < Esim. Osoit ettei fuktioll f() ole rj-rvo ku. Poimit origo d ymäristöstä isteet j site että < j >. Nojt luseesee 7.6: f ( ) f ( ).
Näi vlite toie : rvo egtiiviseksi j toie ositiiviseksi fuktio rvoje erotus o i eikä sitä sd se ieemmäksi oli d mite iei ths. Rj-rvo olemssoloh edellyttää että tämä luku s oll mite iei ositiiviluku ths kuh vi d o riittävä iei. Ku esimerkkifuktiost iirretää kuvj ii tämä o itseisrvoje oistmise jälkee ii sotusti loitti määritelty: ku > f() ku < Kuv. Esim. Esimerki fuktiost void kuiteki so että fuktio rvot lähestyvät kolmost ku lähestyy oll lus-uolelt mutt fuktio rvot lähestyvät ykköstä : lähestyessä oll miius-uolelt. Sot että fuktioll f o toisuoleiset rj-rvot origoss. Huom että f() ei ole olemss. MÄÄRITELMÄ Olkoo fuktio f määritelty eräässä istee o oikeuoleisess ymäristössä o < < o d. Fuktioll f o isteessä o oikeuoleie rj-rvo A jos > d > site että < < d f () A <. Tätä rj-rvo olemssolo merkitää lim f () A o.
Vstvsti määritellää vsemmuoleie rj-rvo. O mhdollist täsmällisesti todist että fuktioll o rj-rvo josski isteessä trkllee silloi ku fuktioll o tässä isteessä molemmt toisuoleiset rjrvot j ämä ovt keskeää yhtä suuret. Tämä tieto o tärkeä silloi ku myöhemmi tutkit fuktio jtkuvuutt. Erityisesti o huomttv että jos fuktio toisuoleiset rj-rvot josski isteessä ovt eri suuret ii rj-rvo ei tässä isteessä ole. Void myös uhu s. eäoleellisist rj-rvoist. Nämä tilteet ovt sellisi joiss fuktio rvot tulevt itseisrvolt äärettömä suuriksi josski isteessä muuttuj ksv ti väheee rjttomsti mutt fuktioll voi silti oll äärellie rj-rvo (äärettömyydessä) sekä muuttuj että fuktio rvo f() tulevt itseisrvoilt äärettömä suuriksi. Kuvtuliset tilteet o syytä oi tutem j tuistm. Esim. Olkoo f() y 8 6 - - - - - -6-8 -
Jos kuvj iirtämistä jtkettisii itseisrvolt suuremii : rvoihi fuktio rvot ksvisivt itseisrvolt rjtt. Asi voitisii rj-rvomerkiöi ilmist: lim j lim Esim. f() ( ) Mitä fuktio rvoille thtuu ku lähestyy rjttomsti luku? O ilmeistä että murtolusekkee rvo o sitä suuremi jos vkio ysyvä osoittj j imittäjä ovt sm merkkiset kut lähemää imittäjä o oll. Osmäärä itäisi tull hyvi suureksi ku jkj rjttomsti ieeee (olle kuiteki ositiivie) 5 y 5 5 5 Yllä olev kuv tuksess lim. ( )
Tämä o sellie tile jok suorll sijoituksell joht kiellettyy ollll jkmisee. Tile o silti käsiteltävissä fuktio käyttäytymise suhtee. Esim. y f() y 5 5-5 - -5 5 Yllä olev kuv tuksess lim mutt lim. Tämä o yt sellie tile että fuktioll o isteessä eäoleelliset toisuoleiset rj-rvot. Yritetää esittää täsmällie määritelmä äistä s. eäoleellisist rj-rvoist: MÄÄRITELMÄ Olkoo fuktio f määritelty soimuslueell. Fuktioll f o äärettömyydessä rj-rvo A jos fuktio rvot erovt luvust A vähemmä kui mikä ths etukätee etu luvu verr kuh vi o treeksi suuri ts. lim f () A jos kikill > löytyy > M f () A >. Fuktioll f o isteessä o rj-rvo jos ehdost seur f() > M o M mite suuri luku ths. < d
Fuktioll f o äärettömyydessä rj-rvo ääretö jos o olemss luku N site että > N f() > M o M mite suuri luku ths. Vstvll tvll määritellää rj-rvot miius-äärettömyydessä j tile joss lim f ()? Esim. 5 Osoit että lim. 6 Arvioid luksi erotust : 6 ( 6) 6 6 6 6 9 6. Ku o trkoitus määrittää rj-rvo äärettömyydessä ii voitee heti rjoittu elkästää : ositiivisii rvoihi. Viimeksi stu 9 itseisrvo sieveee tällöi muotoo. Olkoo yt iei 6 ositiivie luku ettu. Tällöi 9 < 9 < ( 6) 9 < 6 < 6 9 6 6 9 6 > 9 6. Näi o stu vrmuus siitä että 9 voimss > 6 M. Jos esimerkiksi. ii < kuh vi o 6 < ku > 8999. 6
Edellä o todettu että rj-rvo määrittämisyritys stt joht eämääräisee muotoo mutt vähitää yhtä eämääräisii muotoihi stet joutu määritettäessä rj-rvoj äärettömyydessä. Tällöiki stet kyetä suor äättelemä mitä rvo luseke f() lähestyy ku lähestyy ääretötä ih uhtsti sijoittmll symoli (ti ) muuttuj iklle. Mite tämä symoli kss elt selviää seurvst j tähä o syytä rutioitu. LAUSE 7 Olkoo A äärellie reliluku. Tällöi A A A A. Olkoo A äärellie ositiivie reliluku. Tällöi A A ( ). Olkoo A äärellie egtiivie reliluku. Tällöi A A ( ). ( )( ) ( ) Jos suor sijoitus joht muotoihi tikk äistä ei voi so mitää vrm sillä äärettömät voivt oll ii eri eri kokoisi että esimerkiksi voi itseisrvolt oll kikke oll j äärettömä väliltä smoi voi rj-rvotrksteluiss joht mihi ths miius äärettömä j äärettömä väliltä. Vielää oll j äärettömä tuloss jälkimmäisellä tekijällä o hyvi erilisi iorvoj. Sitä ei siis s merkitä ilm muut ollksi. Oetell eräitä rutiiiomisi temuj esimerkkie vull. Esim. 6 Määritä lim ( ). lim ( ) eämääräie.
Tässä j yleesä trksteltess olyomifuktio rj-rvo äärettömyydessä o hyvä kosti ott yhteiseksi tekijäksi muuttuj korkei otessi (vstoi kikki olyomi jollisuussäätöjä). Pyritää soveltm lusee 7.7 metodej. ku ) ( ) ( ) ( ) ( Esim. 7 Määritä. m k m k lim Suor sijoitus joht eämääräisee muotoo. Suistet lusekett imittäjä korkeimmll otessill:. ku k m k m k m k m k Esim. 8 Määritä. lim Jällee tull suorll sijoituksell muotoo. Suistet lusekett imittäjä korkeimmll otessill: ku
Esim. 9 Määritä. lim Kovi edellise kltist äädytää yhäti muotoo. Suistet lusekett imittäjä korkeimmll otessill: < > ku ku ku Käsiteltyjä esimerkkejä 7-9 void itää jokilisi todistuksi sille että rtiolilusekkee rj-rvo äärettömyydessä o oll jos osoittj o lem stett kui imittäjä korkeit stett olevie termie kertoimie osmäärä jos osoittj j imittäjä ovt smsteiset ääretö ti miius ääretö jos osoittj o korkem stett kui imittäjä. Rtiolifuktio rj-rvot äärettömyydessä liittyvät läheisesti s. murtofuktioide kulkuu j äide fuktioide symtootteihi jotk ovt tvllisesti suori viivoj joit fuktio kuvj sivu äärettömä kuk. Tällise rtiolifuktio kuvj iirtämisessä äide symtoottie määrittämie j se seik selvittämie kummll uolell symtootti fuktio kuvj kulloiki kulkee t (ilm grfiikktyökluje käyttöä) keties kikkei eite tuke j tieto itse iirtämisee.
Esim. Määritä lim. Mitähä stett lusekkee osoittj yt o? Yritetää suist :llä. ( ). Stt vähitelle huomt että esimerkiksi itseisrvo j eliöjuure määritelmie täydellisestä hllist o rvmtot hyötyä. Ku tässä yt o trkoitus tutki lusekkee käyttäytymistä itseisrvolt hyvi suurill egtiivisill luvuill ii void heti rjoittu siihe että < jolloi. Site ku.
YHTEENVETO RAJA-ARVON MÄÄRITTÄMISESTÄ lim f ()? ± o ei f olyomifuktio f() äärellie o ei o ei ot tekijäksi : f () f() o rj-rvo f korkei otessi ei o murtofuktio o ei oe meestystä f () vkio Suist ( ):ll j sijoit suist imittäjä korkeimmll otessill imittäjä rillie ollkoht o kohdss o rj-rvo ti Merkkitutkimus ei kohdss o toisuoleiset rj-rvot j Merkkitutkimus