Talousmatematiikka (3 op)

Talousmatematiikka (3 op) Tero Vedenjuoksu Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos 2011

Talousmatematiikka 2011 Yhteystiedot: Tero Vedenjuoksu tero.vedenjuoksu@oulu.fi Työhuone M231 Kurssin kotisivu http://cc.oulu.fi/ tvedenju/talousmatematiikka/ Luennot salissa L7 Laskariryhmät: ma 8-10 M101 ti 10-12 KO143 pe 10-12 BK122 2 / 117

Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 3 / 117

Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 4 / 117

Kurssin suoritus 1 Loppukoe/päättökoe (ajankohta sovitaan myöhemmin) 2 Kurssin jälkeen pidettävään päättökokeeseen luetaan hyväksi myös laskuharjoituksista saatavat pisteet. 3 Laskuharjoituspisteitä saa seuraavan taulukon mukaisesti: Harjoituspisteet Tehdyt tehtävät Pisteet alle 25% 0 p. 25%-50% 1 p. 50%-75% 2 p. yli 75% 4 p. 5 / 117

Sisältö I FINANSSIMATEMATIIKKA 1 Prosenttilaskua 2 Yksinkertainen korkolasku 3 Diskonttaus 4 Koronkorko 5 Jatkuva korkolasku 6 Jaksolliset suoritukset 7 Luotot ja korkolasku 8 Annuiteettiperiaate 9 Lainan kuolettaminen ja efektiivinen korkokanta 10 Keskimaksuhetki ja Todellinen vuosikorko 11 Investointilaskelmia 6 / 117

Sisältö II INDEKSITEORIA 1 Keskiarvoista 2 Indeksiluvun käsite 3 Kuluttajahintaindeksi 4 Aikasarjan deflatointi ja inflatointi 5 Indeksiluvun muodostaminen 6 Keskilukumalli 7 Keskilukumallin painotetut indeksiluvut 8 Kokonaislukumallit 9 Keskilukumallin ja kokonaislukumallin yhteys 10 Fisherin indeksikriteerit 7 / 117

Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. 8 / 117

Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. 9 / 117

Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! 10 / 117

Kurssin opiskelusta Huomio a) Älä opettele kaavoja ulkoa. b) Yritä liittää esitetty teoria/kaava aina johonkin esimerkkiin. c) Kysy tarvittaessa! d) Tee harjoitustehtäviä! 11 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? 12 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? 13 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? 14 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? 15 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? 16 / 117

Kysymyksiä joihin osataan pian vastata Kysymyksiä a) Miten selvittää talletettavan rahamäärän suuruus kun halutaan säästää tietty summa esimerkiksi 5 vuodessa? b) Kuinka lasketaan lainan kuukausierän suuruus kun laina-aikana on 20 vuotta? c) Kuinka paljon laina/luotto oikeasti maksaa? d) Miten tutkia investoinnin kannattavuutta? e) Miten rahan arvon muutoksia seurataan? f) Miten seurata erilaisten hyödykkeiden kulutuksen muutoksia? 17 / 117

KORKOLASKENTAA 18 / 117

Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. 19 / 117

Prosenttilaskua Jos luku a kasvaa p%, niin uusi arvo on a + p 100 a. Jos luku a vähenee p%, niin uusi arvo on a p 100 a. 20 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 21 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 1 Paljonko on 1500 e maksava tuote 15% alennusmyynnissä? 1500 e 15 1500 e = 1275 e (= 0, 85 1500 e) 100 22 / 117

Prosenttilaskua Montako prosenttia luku a on luvusta b? p = a b 100% 23 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 24 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) 15 100% = 16, 7% (= 0, 1666666... 0, 167) 90 25 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 2 Montako prosenttia luku a on luvusta b? a) a = 15, b = 90 b) a = 90, b = 15 a) b) 15 100% = 16, 7% (= 0, 1666666... 0, 167) 90 90 100% = 600% (= 6, 00) 15 26 / 117

Prosenttilaskua Kuinka monta prosenttia p luku a on suurempi (pienempi) kuin luku b? p = a b b 100% 27 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? 28 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 29 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% 30 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% b) 175 25 175 = 0, 857 31 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% b) 175 25 175 = 0, 857 Vast. 85, 7% 32 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% b) 175 25 175 = 0, 857 Vast. 85, 7% 33 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% b) c) 175 25 175 160 20 160 = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 34 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 3 a) Kuinka monta % luku 160 on suurempi kuin 20? b) Kuinka monta % luku 25 on pienempi kuin 175? c) Kuinka monta % luku 20 on pienempi kuin 160? a) 160 20 20 = 7 Vast. 700% b) c) 175 25 175 160 20 160 = 0, 857 Vast. 85, 7% = 0, 875 Vast. 87, 5% 35 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? 36 / 117

Prosenttilaskua Esimerkki 4 a) Mistä luvusta 24 on 32%? b) Mitä lukua 80 on 20% pienempi? c) Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50? d) Mikä luku on 10% pienempi kuin 30? e) Mikä luku on 32% luvusta 24? a) 24 x = 0, 32 0, 32x = 24 x = 24 0, 32 = 75 37 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) 38 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 39 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) 40 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x 50 50 = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 41 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x 50 50 = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 42 / 117

Prosenttilaskua b) (Mitä lukua 80 on 20% pienempi?) x 80 x = 0, 2 0, 2x = x 80 0, 8x = 80 x = 100 c) (Mikä luku on 15 % suurempi kuin 50?) x 50 50 = 0, 15 x 50 = 7, 5 x = 57, 5 d) (Mikä luku on 10% pienempi kuin 30?) 30 x 30 = 0, 1 30 x = 3 x = 27 43 / 117

Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) 44 / 117

Prosenttilaskua e) (Mikä luku on 32% luvusta 24?) x = 0, 32 x = 24 0, 32 = 7, 68 24 45 / 117

Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). 46 / 117

Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. 47 / 117

Yksinkertainen korkolasku Korko on korvaus lainaksi saadusta/annetusta rahapääomasta (esim. luotto tai talletus). Korkokanta i on prosenttiluku, joka ilmoittaa kuinka prosenttia (%) pääoma kasvaa korkojakson aikana. Korkojakso Korkokanta 1 vuosi i pa. (per annum) 6 kk i ps. (per semester) 3 kk i pq. (per quartal) 1 kk, 2 kk i per (1) kk, i per 2 kk 48 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 49 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 50 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua sovelletaan ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Yksinkertainen korko Pääoma ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (1) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Korko ajanhetkellä t on K t K 0 = K 0 it. 51 / 117

Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, 52 / 117

Yksinkertainen korkolasku Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) 53 / 117

Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? 54 / 117

Yksinkertainen korkolasku Kysymys Korko on siis suoraan verrannollinen kuluneeseen aikaan korkojakson sisällä, koska missä c = K 0 i =vakio. K 0 it = ct, Pääoman kasvu on siis lineaarista korkojakson sisällä. (vrt. kuva) Mitä tapahtuu korkojakson lopussa? Vastaus Korkojakson lopussa korko liitetään pääomaan eli realisoidaan. Uusi kasvanut pääoma toimii seuraavan korkojakson alkupääomana. 55 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). 56 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. 57 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan 25 000 e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. 58 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan 25 000 e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) 59 / 117

Yksinkertainen korkolasku Yksinkertaista korkolaskua käyttävät esim. pankit (korko talletuksille). Prolongointi: pääomaa siirretään ajassa eteenpäin. Esimerkki 5 Talletetaan 25 000 e korkokannalla 6% pa. Määrää talletuksen arvo a) vuoden b) 8 kk:n c) 16 kk:n kuluttua? d) 16 kk:n kuluttua, ilman että korko realisoidaan pääomaan aina korkojakson lopussa. a) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa t = 1 ( korkojakson pituus 1 vuosi) K t = K 0 (1 + it) = 25000 e (1 + 0, 06 1) = 25000 e 1, 06 = 26500 e 60 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 61 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 62 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) (aika 8 kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 8 12 K t = K 0 (1 + it) = 25000 e (1 + 0, 06 = 26000 e 8 12 ) 63 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: 64 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = 25000 e (1 + 0, 06 1) = 26500 e 65 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) Nyt aika menee korkojakson yli, joten joudutaan laskemaan osissa: K 1 = 25000 e (1 + 0, 06 1) = 26500 e Realisoidaan korko pääomaan, jolloin K 2 = 26500 e (1 + 0, 06 4 12 ) = 27030 e 66 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = 25000 e i = 0, 06pa t = 16 12 ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) 67 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 16 12 K t = 25000 e (1 + 0, 06 16 12 ) = 27000 e 68 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) (aika 16kk = 1v + 4kk) Lasketaan ilman, että realisoidaan pääomaa. K 0 = 25000 e i = 0, 06pa ( korkojakson pituus 1 vuosi eli 12 kk) t = 16 12 K t = 25000 e (1 + 0, 06 16 12 ) = 27000 e Huom. 30 e erotus c) kohtaan verrattuna. (Miksi?) 69 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman 18 000 e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? 70 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman 18 000 e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = 18000 e(1 + 0, 08 10 12 ) = 19200 e 71 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman 18 000 e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = 18000 e(1 + 0, 08 10 12 ) = 19200 e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = 18000 e(1 + 0, 05 1) = 18900 e 72 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 6 Mikä on alkupääoman 18 000 e arvo 10 kk kuluttua, kun korkokantana on a) 8% pa. b) 5% ps.? c) 5% ps. (ilman koron realisointia pääomaan)? a) Korkojaksona 12 kk, joten 10 kk kuluttua pääoman arvo on K t = K 0 (1 + it) = 18000 e(1 + 0, 08 10 12 ) = 19200 e b) Korkojaksona 6 kk (< 10kk), joten lasketaan osissa: 0 6 kk : K 1 = 18000 e(1 + 0, 05 1) = 18900 e 6 10 kk : K t = 18900 e(1 + 0, 05 4 6 ) = 19530 e 73 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan 74 / 117

Yksinkertainen korkolasku c) Korkojaksona 6 kk eikä realisoida korkoa pääomaan K t = K 0 (1 + it) = 18000 e(1 + 0, 05 10 6 ) = 19500 e Huom. 30 e erotus b) kohtaan verrattuna. 75 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. 76 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) 77 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K 0 78 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K 0 1 + i 1 4 = 1 + 7 100 79 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 7 Mikä korkokanta i% pa. vastaa pääoman 7 % kasvua 3 kuukaudessa? Nyt K 0 = alkupääoma, korkojakso = 12kk ja t = 3 12 = 1 4. K 0 (1 + i 1 4 ) = 1, 07 K 0 1 + i 1 4 = 1 + 7 100 7 i = 4 100 = 28 100 = 28% 80 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? 81 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 82 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 83 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 1 + 0, 1t = 1, 08 84 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 1 + 0, 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 85 / 117

Yksinkertainen korkolasku Esimerkki 8 Missä ajassa pääoma kasvaa 8%, kun korkokanta on a) 10% pa. b) 5% ps.? a) Korkojakson pituus 12 kk. K 0 (1 + 0, 1t) = 1, 08 K 0 1 + 0, 1t = 1, 08 0, 1t = 0, 08 0, 08 t = 0, 1 = 0, 8 Siis kysytty aika on 0, 8 12kk = 9, 6kk. 86 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. 87 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 88 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 89 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 90 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 91 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 92 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, 05 + 1, 05 0, 05t = 1, 08 93 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, 05 + 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 94 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, 05 + 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 95 / 117

Yksinkertainen korkolasku b) Nyt korkokantana on 5% ps., joten yksi korkojakso ei riitä 8% kasvuun. Pääoman K 0 arvo 1. jakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + 0, 05 1) = 1, 05 K 0 Pääoman K 0 arvo 2. jakson hetkellä t: K t = K 1 (1 + 0, 05 t) = 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 Siis onko mahdollista 2. jaksossa, että K t = 1, 08 K 0? 1, 05 (1 + 0, 05t)K 0 = 1, 08 K 0 1, 05 + 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 05t = 1, 08 1, 05 0, 03 t = = 0, 571(< 1) 1, 05 0, 05 Kysytty aika: 6kk + 0, 571 6kk 9, 4kk. 96 / 117

Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on K t = K 0 (1 + it), (2) missä K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 97 / 117

Diskonttaus Yksinkertaista korkolasku yhden korkojakson sisällä ajanhetkellä t (0 t 1) on missä K t = K 0 (1 + it), (2) K 0 = alkupääoma(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Entä jos halutaan määrätä tunnettua (tulevan) ajanhetken t > 0 pääomaa K t vastaava alkupääoman arvo K 0? 98 / 117

Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin 99 / 117

Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 100 / 117

Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. 101 / 117

Diskonttaus Ratkaistaan yhtälöstä (2) K 0, jolloin Virallinen diskonttauskaava K 0 = K t 1 + it. (3) missä K 0 = pääoman K t diskontattu arvo, eli nykyarvo(t = 0) i = korkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Kuten yksinkertainen korkolasku, myös kaavan (3) mukainen diskonttaus toimii ainoastaan yhden korkojakson sisällä. Diskonttaus on siis toimenpide, missä pääomaa siirretään ajassa taaksepäin. 102 / 117

Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? 103 / 117

Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < 0 1 + it) }{{} <0 104 / 117

Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < 0 1 + it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t ( it ) 1 + it 105 / 117

Diskonttaus Kuinka paljon pääoma sitten muuttuu kun t 0? Muutos on tietenkin erotus K 0 K t = K t 1 + it K t ( ) 1 = K t 1 + it 1 ( ) it = K t < 0 1 + it) }{{} <0 Muutoksen itseisarvo eli diskontto on K t = K 0 K t = K t Vertaa korko K t K 0 = K 0 it. ( it ) 1 + it 106 / 117

Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? 107 / 117

Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. 108 / 117

Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. 109 / 117

Diskonttaus Mikä on koron ja diskonton suhde? Diskonton ja koron täytyy tietenkin olla samat. Tarkistetaan: ( ) it K t = K t 1 + it ( ) it = (K 0 (1 + it)) 1 + it = K 0 it. Siis prolongointi yksinkertaisella korkolaskulla ja virallinen diskonttaus ovat käänteisiä toimituksia. 110 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? 111 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? Nyt K t = 15000 e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. 112 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? Nyt K t = 15000 e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten 113 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? Nyt K t = 15000 e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it 114 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? Nyt K t = 15000 e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = 15000 e 1 + 0, 08 3 4 115 / 117

Diskonttaus Esimerkki 9 Mikä rahasumma kasvaa 9 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 15000 e? Nyt K t = 15000 e ja korkojakso on 12 kk, joten t = 9 12 = 3 4. Lisäksi K t = K 0 (1 + it), joten K 0 = K t 1 + it = 15000 e 1 + 0, 08 3 4 = 15000 e 1, 06 = 14151 e 116 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? 117 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? Nyt K t = 20000 e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. 118 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? Nyt K t = 20000 e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 119 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? Nyt K t = 20000 e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk 120 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? Nyt K t = 20000 e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = 20000 e 1 + 0, 08 3 12 121 / 117

Diskonttaus Esimerkki 10 Mikä rahasumma kasvaa 15 kuukaudessa korkokannalla 8% pa. arvoon 20000 e? Nyt K t = 20000 e, korkojakso on 12 kk ja aika on 15 kk, joka menee korkojakson yli. Diskontataan siis osissa: 15kk 12kk K 1 = 20000 e 1 + 0, 08 3 12 = 20000 e 1, 02 = 19607, 84 e 122 / 117

Diskonttaus 12kk 0kk 123 / 117

Diskonttaus 12kk 0kk K 0 = 19607, 84 e 1 + 0, 08 12 12 124 / 117

Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, 08 12 12 19607, 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e 125 / 117

Diskonttaus 12kk 0kk 19607, 84 e K 0 = 1 + 0, 08 12 12 19607, 84 e = 1, 08 = 18155, 41 e (Miten voit tarkistaa laskun?) 126 / 117

Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. 127 / 117

Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki 11 150000 e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. 128 / 117

Diskonttaus Virallista diskonttausta käytetään sijoitustodistusten kaupassa. Sijoitus todistus on pankin liikkeelle laskema velkakirja (hinta K 0 ), jonka haltialle pankki maksaa todistukseen mainitun rahan K t ajan t kuluttua. Esimerkki 11 150000 e sijoitustodistus erääntyy 8kk kuluttua. Määrää sen hinta, kun korkokanta on 5% pa. Diskontataan, jolloin K 0 = 150000 e 1 + 0, 05 8 12 = 145161 e 129 / 117

Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. 130 / 117

Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) 131 / 117

Vekselidiskonttaus Vekseleiden yhteydessä käytetään vekseli- eli kauppadiskonttausta. Vekselidiskonttauskaava K 0 = K t (1 it), (4) missä K 0 = vekselin käteis- eli nykyarvo K t = ajan t kuluttua erääntyvän vekselin nimellisarvo i = diskonttauskorkokanta jaksosta kulunut aika t = korkojakson pituus (0 t 1) Vekselidiskontto: K t = K t K 0 = K t K t (1 it) = K t it. 132 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. 133 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 12 Vekseli, jonka nimellisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on käteisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa. Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K 0 = 9000 e (1 0, 12 5 ) = 9000 e 450 e = 8550 e 12 134 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. 135 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 13 Mikä on edellisen esimerkin vekselin nykyarvo virallisen diskonttauksen mukaan. Käytetään virallista diskonttausta vekselidiskonttauksen sijaan. Tällöin 9000 e K 0 = 1 + 0, 12 5 = 9000 e 1, 05 = 8571 e 12 136 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 137 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 14 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, 12 5 12 = 9473, 68 e 138 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? 139 / 117

Vekselidiskonttaus Esimerkki 15 Vekseli, jonka käteisarvo on 9000 e, erääntyy 5kk kuluttua. Mikä on nimellisarvo, kun diskonttauskorkokanta on 12% pa.? Käytetään vekselidiskonttausta, jolloin K t = 9000 e 1 0, 12 5 12 = 9473, 68 e 140 / 117

Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). 141 / 117

Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. 142 / 117

Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. 143 / 117

Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. 144 / 117

Koronkorko Korkojakson sisällä pääoma kasvaa lineaarisesti yhtälön K t = K 0 (1 + it). Korkojakson lopussa korko realisoidaan pääomaan. Seuraavassa korkojaksossa uusi kasvanut pääoma kasva korkoa kunnes korko jälleen liitetään pääomaan. Näin edellisten korkojaksojen tuottama korko kasvaa korkoa aina seuraavilla jaksolla. Syntyy ns. koronkorko. 145 / 117

Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. 146 / 117

Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). 147 / 117

Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. 148 / 117

Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. 149 / 117

Koronkorko Oletetaan, että korkojaksoja on n kappaletta ja alkupääoma on K 0. Pääoma 1. korkojakson lopussa: K 1 = K 0 (1 + i). Pääoma 2. korkojakson lopussa: K 2 = K 1 (1 + i) = K 0 (1 + i) 2. Näin jatkamalla saadaan pääoma n. korkojakson lopussa: K n = K n 1 (1 + i) = K n 2 (1 + i) 2 = = K 0 (1 + i) n. Saadaan geometrinen jono (K j ) n j=1, missä K j+1 K j = 1 + i. korkotekijä 150 / 117

Koronkorko Koronkorko Pääoma n. korkojakson lopussa on K n = K 0 (1 + i) n, (5) missä K 0 on alkupääoma, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. (Huom. Vajaissa korkojaksoissa käytetään yksinkertaista korkolaskua.) 151 / 117

Koronkorko Jaksollinen diskonttaus Pääoman arvo alussa on K 0 = K n (1 + i) n, (6) missä K n on pääoman arvo lopussa, i on korkokanta ja n on kokonaisten korkojaksojen lukumäärä. Jaksojen lukumäärä Tästä voidaan selvittää myös jaksojen lukumäärä n: n = Kn ln K 0 ln(1 + i). (7) 152 / 117

Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. 153 / 117

Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. 154 / 117

Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e 155 / 117

Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. 156 / 117

Koronkorko Esimerkki 16 Mihin arvoon 1000 e kasvaa 6 vuodessa korkokannalla a) 4% pa. b) 2% ps. c) 1% pq. d) kun aika on 6,5 vuotta ja korkokanta 4% pa. a) Nyt i = 4% pa, joten korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl. Siis K 6 = K 0 (1 + i) n = 1000 e 1, 04 6 = 1265 e b) Nyt i = 2% ps, joten korkojaksoja on yhteensä n = 2 6 = 12 kpl. Siis K 12 = 1000 e 1, 02 12 = 1268 e 157 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. 158 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e 159 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. 160 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e 161 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? 162 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: 163 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 164 / 117

Koronkorko c) Nyt i = 1% pq, joten korkojaksoja on yhteensä n = 4 6 = 24 kpl. Siis K 24 = 1000 e 1, 01 24 = 1270 e d) Nyt i = 4% pa ja aika on 6,5 vuotta. Korkojaksoja on yhteensä n = 6 kpl ja yksi puolikas jakso. Nyt K 6,5 = 1000 e 1, 04 6,5 = 1290, 38 e Oliko tämä laskettu oikein? Ei sillä kaava (6) toimii ainoastaan kokonaisilla korkojaksoilla. Lasketaan tämä siis oikein: K 6 = 1000 e 1, 04 6 = 1265, 32 e 6 K 6,5 = K 6 (1 + 0, 04 ) = 1290, 62 e 12 165 / 117

Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? 166 / 117

Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. 167 / 117

Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. 168 / 117

Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = 3 1 + i = 8 3 i = 8 3 1 0, 147 169 / 117

Koronkorko Esimerkki 17 Millä korkokannoilla a) i pa. ja b) j ps. pääoma kolminkertaistuu 8 vuodessa? a) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 1 vuosi, eli korkojaksoja yhteensä n = 8 kpl. Halutaan siis kolminkertaistaa alkupääoma K 0. Siis K 0 (1 + i) 8 = 3K 0 (1 + i) 8 = 3 1 + i = 8 3 i = 8 3 1 0, 147 Haluttu korkokanta on siis 14, 7% pa. 170 / 117

Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. 171 / 117

Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = 3 1 + i = 16 3 i = 16 3 1 0, 071 172 / 117

Koronkorko b) Nyt aika on 8 vuotta ja korkojakson pituus 0,5 vuotta, eli korkojaksoja yhteensä n = 2 8 = 16 kpl. Siis K 0 (1 + i) 16 = 3K 0 (1 + i) 16 = 3 1 + i = 16 3 i = 16 3 1 0, 071 Haluttu korkokanta on siis 7, 1% ps. 173 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? 174 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 175 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 176 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 177 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 178 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 179 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln 5 3 13, 024 ln 1, 04 180 / 117

Koronkorko Esimerkki 18 Olkoon alkupääoma 30000 e ja korkokanta 4% ps. Tilille halutaan loppupääomaksi 50000 e. Kuinka pitkäksi aikaa talletus joudutaan tekemään? Selvitetään (kokonaisten) korkojaksojen lukumäärä 50000 e = 30000 e (1 + 0, 04) n 1, 04 n = 5 3 ln 1, 04 n = ln 5 3 n ln 1, 04 = ln 5 3 n = ln 5 3 13, 024 ln 1, 04 Tarvitaan siis vähintää 13 kokonaista jaksoa ja osa seuraavaa korkojaksoa. Miten selvitetään tarkka aika? 181 / 117

Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). 182 / 117

Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) 183 / 117

Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. 184 / 117

Korkokannoista (Relatiivinen korkokanta) Idea Jaetaan korkoprosentit ja korkojakso samassa suhteessa (esim. puolitetaan prosentti ja korkojakso). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään relatiivisia jos korkokantojen suhde on sama kuin korkojaksojen pituuksien suhde, ts. i j = p q. (8) Relatiivisessa korkokannassa saadaan suurempi korkotuotto, mitä lyhyempi korkojakson pituus on. Relatiiviset korkokannat eivät anna siis samaa tuottoa pääomalle (esim. 4% pa. ja 2% ps.). 185 / 117

Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). 186 / 117

Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. 187 / 117

Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) 188 / 117

Korkokannoista (Konforminen korkokanta) Idea Etsitään eri korkokannalle i (per p) sellainen korkokanta j (per q), että tuotto kummallakin korkokannalla on sama (samassa ajassa). Määritelmä Korkokannat i (per p) ja j (per q) ovat keskenään konformiset jos ne antavat saman tuoton (pääoma-arvon) kaikilla ajanhetkillä t, joka on korkojaksojen p ja q jokin monikerta. Jos siis aikaan t tarvitaan n kpl korkojaksoja p ja m kpl korkojaksoja q, niin täytyy olla np = mq = n m = q p. (9) Käyttäen jaksollista korkolaskua saadaan K 0 (1 + i) n = K 0 (1 + j) m j = (1 + i) q p 1 (10) 189 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. 190 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) 3 10 1 = 0, 0205 = 2, 05%. 191 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 19 Määritä korkokannalle 7% per 10kk a) konforminen neljännesvuosikorkokanta, b) relatiivinen neljännesvuosikorkokanta. a) Nyt i = 7% (per p = 10kk) ja j =? (per q = 3kk), joten j = (1 + i) q p 1 = (1 + 0, 07) 3 10 1 = 0, 0205 = 2, 05%. b) Relatiivinen neljännesvuosikorkokanta on 3 0, 07 = 2, 10%. 10 192 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan 50000 e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? 193 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan 50000 e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. 194 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 20 Loppupääomaksi halutaan 50000 e. Korkokanta on 4% ps. ja talletusaika on 6 vuotta. Paljonko on alkupääoman oltava? Nyt korkojaksoja on n = 2 6 = 12 kpl, joten ratkaistaan K 0 yhtälöstä K n = K 0 (1 + i) n. Täten saadaan K 0 = K n (1 + i) n = 50000 e 1, 04 12 = 31230 e. 195 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. 196 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 197 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 198 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, 06 1 0, 0296 = 2, 96% 199 / 117

Korkokannat (Konforminen korkokanta) Esimerkki 21 Määritä korkokannalle 6% pa. konforminen puolivuotiskorkokanta. On siis oltava K 0 (1 + 0, 06) = K 0 (1 + j) 2 missä j on kysytty puolivuotiskorkokanta ja K 0 on alkupääoma. Täten 1, 06 = (1 + j) 2 j = 1, 06 1 0, 0296 = 2, 96% Konforminen puolivuotiskorkokanta on siis j = 2, 96% ps. (vrt. relatiivinen). 200 / 117

Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? 201 / 117

Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. 202 / 117

Jatkuva korkolasku Miten korkolaskulle käy jos korkojakson pituus lyhennetään mielivaltaisen pieneksi? Korkojakson pituus siis lähestyy nollaa, joten korkoa liitetään pääomaan jatkuvasti. Idea: lasketaan siis koronkorkoa mielivaltaisen pienellä korkojakson pituudella. 203 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 204 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 205 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 206 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 207 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea Olkoon K 0 alkupääoma, K t pääoma hetkellä t > 0, i korkokanta jotakin korkojaksoa kohti. 1 Koronkoron kaava: K t = K 0 (1 + i) n 2 Nyt t = (aika) (korkojakson pituus) ( korkojaksojen lkm ), joten (aika) = t (korkojakson pituus) 3 Jaetaan aikaväli [0, t] n:ään yhtäsuureen osaa ja realisoidaan korko jokaisen osavälin lopussa. 4 Nyt uudeksi korkojaksoksi saadaan (uusi korkojakso) = (aika) n = t (korkojakson pituus) n 208 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 209 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 210 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 211 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Uusi korkokanta on nyt uusi korkokanta = t i per uusi korkojakso. n 2 Korkojaksoja on nyt n kpl välillä [0, t], joten K (n) t = K 0 (1 + i t n )n 3 Sijoitetaan it n = 1 x, jolloin n = x it. 4 Siis K (n) t = K 0 ( 1 + 1 x ) x it. 212 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 213 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 214 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakson pituus t n 0, ts. korkojakson pituus lähestyy nollaa. 215 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuvan korkolaskun idea 1 Annetaan nyt n, jolloin myös x. 2 Mitä tapahtuu? 3 Nyt korkojakson pituus t n 0, ts. korkojakson pituus lähestyy nollaa. 4 Itseasiassa koska ( K (n) t = K 0 1 + 1 ) x it [( = K 0 1 + 1 ) x ] it x x ja ( lim 1 + 1 ) x = e 2, 718... x x 216 / 117

Jatkuva korkolasku Jatkuva prolongointi Jatkuva prolongointi voidaan suorittaa kaavalla missä K 0 = alkupääoma K t = pääoman arvo ajanhetkellä t K t = K 0 e it, (11) i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 217 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? 218 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. 219 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 220 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo normaalilla korkolaskulla (koronkorko): K 0 (1 + i) n = K 0 1, 03 8 221 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 22 Kuinka monta prosenttia suurempi on jatkuvan korkolaskun mukainen pääoma-arvo korkointensiteetillä 3% pa. verrattuna tavanomaiseen koronkorkolaskuun korkokannalla 3% pa. 8 vuoden kuluttua? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo normaalilla korkolaskulla (koronkorko): Arvojen suhde: K 0 (1 + i) n = K 0 1, 03 8 K 0 e 0,03 8 K 0 1, 03 8 = e0,03 8 1, 03 8 1, 0035 V : 0, 35% suurempi 222 / 117

Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus Jatkuva diskonttaus saadaan ratkaisemalla K 0 yhtälöstä (11) K o = K t e it = K t e it, (12) missä K t = pääoman arvo ajanhetkellä t i = korkointensiteetti jotakin aikaväliä d kohti (esim. 6% pa.) kulunut aika t = d (t 0) 223 / 117

Jatkuva diskonttaus Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoman siirtäminen on riippumaton siirtoreitistä. Jatkuvan korkolaskun malli on teoreettinen ja sitä käytetään mm. erilaisten maksusysteemien vertailuissa. 224 / 117

Jatkuva diskonttaus Huom 1 Jatkuvassa korkolaskussa pääoman siirtäminen on riippumaton siirtoreitistä. Jatkuvan korkolaskun malli on teoreettinen ja sitä käytetään mm. erilaisten maksusysteemien vertailuissa. Huom 2 Jatkuvan korkolaskun mukainen korko on aina suurempi kuin yksinkertainen korko ja koronkorko, koska e it = 1 k! (it)k = 1 + it + 1 2 (it)2 + > 1 + it k=0 e in = (e i ) n > (1 + i) n 225 / 117

Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? 226 / 117

Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. 227 / 117

Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. 228 / 117

Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. Pääoma ajanhetkellä t { K 0 (1 + ĩ) t (koronkorko) K 0 e it (jatkuva korkolasku) 229 / 117

Jatkuva diskonttaus Kysymys Miten saadaan selville korkointensiteetin i (jatkuva korko) kanssa konforminen korkokanta ĩ normaalissa korkolaskussa (koronkorko)? Olkoon korkojakson pituus d. Tiedetään siis korkointensiteetti i per d ja selvitetään (konforminen) korkokanta ĩ per d. Pääoma ajanhetkellä t { K 0 (1 + ĩ) t (koronkorko) K 0 e it Konformisuus = (jatkuva korkolasku) K 0 e it = K 0 (1 + ĩ) t (e i ) t = (1 + ĩ) t 230 / 117

Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan ĩ, joten e i = 1 + ĩ ĩ = e i 1 231 / 117

Jatkuva diskonttaus Ratkaistaan ĩ, joten e i = 1 + ĩ ĩ = e i 1 Voidaan myös ratkaista i, eli saadaan {ĩ = e i 1 i = ln(1 + ĩ) 232 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? 233 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. 234 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 235 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokannan ĩ mukaan: K n = K 0 (1 + ĩ) n 236 / 117

Jatkuva korkolasku Esimerkki 23 Mikä on edellisen esimerkin (esim. 22) korkointensiteetin konforminen korkokanta normaalissa (koronkorko) korkolaskussa? Nyt i = 3% pa. ja aika on 8 vuotta, joten t = n = 8. Pääoma-arvo jatkuvalla korkolaskulla: K t = K 0 e it = K 0 e 0,03 8 Pääoma-arvo korkokannan ĩ mukaan: Koska oltava konformiset, niin K n = K 0 (1 + ĩ) n K 0 e 0,03 8 = K 0 (1 + ĩ) 8 ĩ = e 0,03 1 0, 0305 V: 3,05% pa. 237 / 117

Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. 238 / 117

Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? 239 / 117

Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: 240 / 117

Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: - 1. jakson maksu k(1 + i) n 1-2. jakson maksu k(1 + i) n 2-3. jakson maksu k(1 + i) n 3. - n-1. jakson maksu k(1 + i) - n. jakson maksu k 241 / 117

Jaksolliset suoritukset Tarkastellaan maksusysteemiä, jossa on n jakson ajan (jakson lopussa) toistuva maksu k. Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo viimeisen suorituksen hetkellä? Prolongoidaan jokainen maksuerä korkokannalla i per jakso. Tarkastellaan miten talletusten arvo muuttuu: - 1. jakson maksu k(1 + i) n 1-2. jakson maksu k(1 + i) n 2-3. jakson maksu k(1 + i) n 3. - n-1. jakson maksu k(1 + i) - n. jakson maksu k Mikä on maksusysteemin pääoma-arvo lopussa? 242 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli 243 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k 244 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 245 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 = k 1 (1 + i)n 1 (1 + i) 246 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i 247 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i = k (1 + i)n 1 i 248 / 117

Jaksolliset suoritukset Maksusysteemin pääoma-arvo lopussa on näiden summa, eli K n = k(1 + i) n 1 + k(1 + i) n 2 + k(1 + i) + k n 1 = k(1 + i) j (Huom. geom. sarja, q = 1 + i) j=0 1 (1 + i)n = k 1 (1 + i) 1 (1 + i)n = k i = k (1 + i)n 1 i = k A n,i, missä A n,i = (1 + i)n 1 i 249 / 117

Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten prolongointi Talletetaan n jakson lopussa toistuva maksu k kun korkokantana on i% (per jakso). Tällöin pääoma-arvo lopussa on missä K n = k (1 + i)n 1 i A n,i = (1 + i)n 1 i = k A n,i, (13) 250 / 117

Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten diskonttaus Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaan diskontaamalla K n alkuun. Siis K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n = k a n,i, (14) missä a n,i = A n,i (1 + i) n = (1 + i)n 1 i(1 + i) n 251 / 117

Jaksolliset suoritukset Jaksollisten suoritusten diskonttaus Systeemin pääoma-arvo alussa (t = 0) saadaan diskontaamalla K n alkuun. Siis K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n = k a n,i, (14) missä a n,i = A n,i (1 + i) n = (1 + i)n 1 i(1 + i) n Huom 3 Systeemin pääoma-arvo alussa on se rahasumma K 0, joka kasvaisi korkoa n jakson aikana korkokannalla i per jakso summaan K n. 252 / 117

Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. 253 / 117

Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokantana vuosikorkoa i%pa. 254 / 117

Jaksolliset suoritukset Muutama huomio: Jaksollisissa suorituksissa korkoprosenttiin i täytyy olla korkojaksona maksuerien välinen jakson pituus. Ts. ei siis voida käyttää esim. kuukausittaisissa maksusuorituksissa korkokantana vuosikorkoa i%pa. Jaksollisten suoritusten yhteydessä käytetään relatiivisia korkokantoja, ellei toisin mainita. 255 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? 256 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. 257 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. b) K n = k (1 + i)n 1 i = 6000 1, 0512 1 0, 05 = 95503 e 258 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 24 Olkoon 6000 e vuoden lopussa toistuva maksu 12 vuoden ajan. Mikä on maksusysteemin a) alkuarvo ja b) loppuarvo, kun korkokanta on 5% pa.? Nyt k = 6000 e, i = 5% pa. ja n = 12. b) K n = k (1 + i)n 1 i = 6000 1, 0512 1 0, 05 = 95503 e a) K 0 = K n (1 + i) n = k (1 + i)n 1 1, 05 12 1 i(1 + i) n = 6000 = 53180 e 0, 05 1, 0512 259 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? 260 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. 261 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. 262 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. Lisäksi K n = 10000 e ja k =?, joten 263 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. Lisäksi K n = 10000 e ja k =?, joten K n = k A n,i 264 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. Lisäksi K n = 10000 e ja k =?, joten K n = k A n,i K n A n,i = k 265 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. Lisäksi K n = 10000 e ja k =?, joten K n = k A n,i K n A n,i = k k = K n i (1 + i) n 1 266 / 117

Jaksolliset suoritukset Esimerkki 25 Minkä suuruinen kuukausittain maksettavan erän tulisi olla, että 12 vuodessa maksusysteemin loppuarvo on 10000 e kun korkokanta 6% pa.? Nyt korkokantana on 6% pa., joten kuukausittainen relatiivinen korkokanta on i = 0, 5% per kk. Korkojaksoja nyt n = 12 12 = 144 kpl. Lisäksi K n = 10000 e ja k =?, joten K n = k A n,i K n = k A n,i k = K i n (1 + i) n 1 0, 005 k = 10000 e 1, 005 144 1 = 47, 59 e 267 / 117

Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). 268 / 117

Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) 269 / 117

Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä 270 / 117

Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä Käytetään relatiivisia korkokantoja ellei toisin pyydetä. 271 / 117

Annuiteettiperiaate Huom 4 Jaksollisten suoritusten periaate soveltuu luonnollisesti laina- ja luottolaskelmiin. Lähtökohtaisena yhtälönä on yhtälö (14). Annuiteetti Nimellisarvoltaan K 0 suuruisen lainan maksuerä k, joka suoritetaan n:llä tasaerällä tasavälein korkokannassa i, saadaan yhtälöstä k = K 0 i(1 + i) n (1 + i) n 1. (15) Kuoletus = lyhennys+korko; Annuiteetti = tasamaksuerä Käytetään relatiivisia korkokantoja ellei toisin pyydetä. Annuiteetissa maksettu korko lasketaan jäljellä olevasta luoton määrästä. 272 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain 50000 e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? 273 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain 50000 e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? Nyt n = 10 ja i = 0, 12, joten 274 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 26 Kuinka suuren pankkilainan pankki voi asiakkaalleen myöntää, kun asiakas pystyy kuolettamaan luottoa vuosittain 50000 e, laina-aika on 10 vuotta ja korkokanta on 12% pa.? Nyt n = 10 ja i = 0, 12, joten K 0 = k a n,i = k (1 + i)n 1 i(1 + i) n 1, 12 10 1 = 50000 e 0, 12 1, 12 10 = 282511, 15 e 283000 e 275 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? 276 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. 277 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 25019 e 0, 065 1, 06524 1, 065 24 1 278 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 25019 e 0, 065 1, 06524 1, 065 24 1 279 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 25019 e 0, 065 1, 06524 1, 065 24 1 Siis vuosittain yht. 2 25019 e = 50038 e. 280 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 27 Mikä on 12 vuodeksi annetun 300000 e euron lainan puolivuosiannuiteetti korkokannalla 13% pa.? Korkokantaa 13% pa. vastaava relatiivinen puolivuotiskorko on i = 6, 5% ps. Lisäksi 6 kk:n korkojaksoja on n = 2 12 = 24 kpl. Puolivuotisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 25019 e 0, 065 1, 06524 1, 065 24 1 Siis vuosittain yht. 2 25019 e = 50038 e. Maksettu korko: 24 25019 e 300000 e = 300456 e. 281 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? 282 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = 13 12 % = 1, 083333% per kk ja korkojaksoja on n = 12 12 = 144 kpl. 283 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = 13 12 % = 1, 083333% per kk ja korkojaksoja on n = 12 12 = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 284 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = 13 12 % = 1, 083333% per kk ja korkojaksoja on n = 12 12 = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 4124 e 0, 01083333 1, 01083333144 1, 01083333 144 1 285 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = 13 12 % = 1, 083333% per kk ja korkojaksoja on n = 12 12 = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 4124 e 0, 01083333 1, 01083333144 1, 01083333 144 1 Siis vuosittain yht. 12 4124 e = 49488 e (< 50038 e). 286 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 28 Mikä on kuukausiannuiteetti edellisen esimerkin lainalle? Nyt i = 13 12 % = 1, 083333% per kk ja korkojaksoja on n = 12 12 = 144 kpl. Kuukausittaisannuiteetti on k = K 0 i(1 + i) n = K 0 a n,i (1 + i) n 1 = 300000 = 4124 e 0, 01083333 1, 01083333144 1, 01083333 144 1 Siis vuosittain yht. 12 4124 e = 49488 e (< 50038 e). Maksettu korko: 144 4124 e 300000 e = 293856 e. 287 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan 100000 e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? 288 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan 100000 e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja n = 2 2 = 4. Puolivuosittainen kuoletus on 289 / 117

Annuiteettiperiaate Esimerkki 29 Nimellisarvoltaan 100000 e laina kuoletetaan 2 vuoden kulueassa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosiannuiteetteja. Mikä on koron ja lyhennuksen osuus kussakin annuiteetissa? Nyt i = 7% ps. ja n = 2 2 = 4. Puolivuosittainen kuoletus on k = 100000 e 0, 07 1, 074 1, 07 4 1 = 29523 e 290 / 117

Annuiteettiperiaate Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus: Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen 1. 100 000 7000 29523 22523 77477 2. 77477 5423 29523 24100 53377 3. 53377 3736 29523 25787 27590 4. 27590 1931 29523 27590 0 Yht. 18092 118092 100 000 (Huom. pyöristysvirheet) 291 / 117

Tasalyhennys Esimerkki 30 Nimellisarvoltaan 100000 e laina kuolletetaan 2 vuoden kuluessa korkokannalla 14% pa. käyttäen puolivuosittaisia tasalyhennyksiä. Määrää kuoletuserien suuruudet ja koron sekä lyhennyksen osuus kussakin kuoletuksessa. Muodostetaan taulukko, missä näkyvät korko, lyhennys sekä kuoletus. 292 / 117

Tasalyhennys Nyt laina kuoletetaan siis tasalyhennyksin. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen 1. 100 000 7000 32000 25000 75000 2. 75000 5250 30250 25000 50000 3. 50000 3500 28500 25000 25000 4. 25000 1750 26750 25000 0 Yht. 17500 117500 100 000 293 / 117

Lainan kuolettaminen Esimerkki 31 100000 e laina kuoletetaan seuraavasti: vuoden kuluttua lyhennetään 70000 e ja kahden vuoden kuluttua 30000 e. Määrää kuoletuserien suuruudet kun korkokantana on 14% pa.. Erä Ennen lyh. Korko Kuoletus lyhennys Lyh. jälkeen 1. 100 000 14000 84000 70000 30000 2. 30000 4200 34200 30000 0 294 / 117

Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä T = n j=1 a jt j n j=1 a, (16) j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. 295 / 117

Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki Keskimaksuhetki on ajanhetki (tai korkoaika), jonka kuluttua voidaan suorittaa osamaksujen (esim. kuukausierien) summan suuruinen maksu ilman, että kummallekaan osapuolelle tulee korkotappioita. Keskimaksuhetki T saadaan yhtälöstä T = n j=1 a jt j n j=1 a, (16) j missä a j on hetkellä t j erääntyvä maksuerä. Huom 5 Lainan arvon kannalta on sama maksetaanko laina useissa erissä vai kerralla keskimaksuhetkenä. 296 / 117

Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, niin a 1 = a 2 =... = a n = k. Tällöin n j=1 T = kt j n j=1 k = k n j=1 t n j j=1 = t j. (17) n k n 297 / 117

Keskimaksuhetki 1 Jos maksut ovat yhtäsuuret, niin a 1 = a 2 =... = a n = k. Tällöin n j=1 T = kt j n j=1 k = k n j=1 t n j j=1 = t j. (17) n k n 2 Jos maksut ovat yhtäsuuret ja tasaväliset, niin a 1 = a 2 =... = a n = k ja t j = t 1 + (j 1)d. Tällöin 1):n nojalla T = n j=1 t j n = n (t 1+t n) 2 n = t 1 + t n. (18) 2 298 / 117

Todellinen vuosikorko Todellinen vuosikorko Olkoon K luottomäärä (se osa käteishinnasta, jolle luotto saadaan) ja R luoton kustannukset. Todellinen vuosikorko p saadaan keskimaksuhetken T ja maksusysteemin rahallisen arvon K + R avulla. Keskimaksuhetkellä siis pätee yhtäsuuruus K + R = K(1 + pt ), mistä saadaan p = R K T. (19) 299 / 117

Todellinen vuosikorko Esimerkki 32 50000 e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? 300 / 117

Todellinen vuosikorko Esimerkki 32 50000 e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = 50000 e. 301 / 117

Todellinen vuosikorko Esimerkki 32 50000 e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = 50000 e. Kuukausiannuiteetti on k = 50000 e 0, 01 1, 0136 1, 01 36 1 = 1661 e 302 / 117

Todellinen vuosikorko Esimerkki 32 50000 e maksava tuote myydään osamaksuluotolla, jonka nimelliskorko on 12% pa. ja luottoaika 3 vuotta. Maksu tapahtuu kuukausiannuiteetein. Mikä on luoton keskimaksuhetki? Mikä on luoton todellinen vuosikorko? Nyt n = 3 12 = 36, i = 1% per kk ja K 0 = 50000 e. Kuukausiannuiteetti on k = 50000 e 0, 01 1, 0136 1, 01 36 1 = 1661 e Maksut tasavälisiä tasaeriä, joten keskimaksuhetki T = 1kk + 36kk 2 = 18, 5kk = 1, 5417v 303 / 117

Todellinen vuosikorko Luottokustannukset R = Luoton hinta Luoton määrä eli R = 36 1661 e 50000 e = 9796 e. 304 / 117

Todellinen vuosikorko Luottokustannukset R = Luoton hinta Luoton määrä eli R = 36 1661 e 50000 e = 9796 e. Luottomäärä on K = 50000, joten p = R KT = 9796 = 0, 12708 50000 1, 5417 eli todellinen vuosikorko on p = 12, 7% pa. 305 / 117

Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. 306 / 117

Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. 307 / 117

Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. Sisäisen korkokannan menetelmä on melko haastava käyttää eikä ole täysin ongelmaton. 308 / 117

Todellinen vuosikorko Huomioitavaa Edellinen keskimaksuhetkeen perustuva todellinen vuosikorko antaa vain arvion vuosikorosta. Tarkempi arvio todellisesta korosta saadaan ottamalla huomioon mm. koronkorko. Sisäisen/efektiivisen korkokannan menetelmä on tarkempi menetelmä todellisen korkokannan löytämiseksi. Sisäisen korkokannan menetelmä on melko haastava käyttää eikä ole täysin ongelmaton. Sisäisen korkokannan menetelmä on erittäin yleisesti käytetty menetelmä investointilaskelmissa. 309 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e 310 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i 311 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i Pyritään siihen, että vähennyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. 312 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Idea Sijoitetaan lainapääoma L jollakin tuntemattomalla korolla i e Tehdään annetut vähennykset (kuoletukset) M i ajanhetkillä t i Pyritään siihen, että vähennyksistä huolimatta sijoitus ei tuota tappiota. Etsitään siis korkokanta i e siten, että sijoituksen arvo tehtävät vähennykset huomioonottaen menee nollaan (eli pienempi korko toisi tappiota). 313 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 314 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 2 Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). 315 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Siis... 1 Diskontataan maksuerät M i alkuhetkeen t = 0 käyttäen koronkorko-korkolaskun mukaisesti tuntemattomalla korkokannannalla i e (=efektiivinen korkokanta valittua korkojaksoa kohti). 2 Asetetaan diskontattujen arvojen summa samaksi kuin lainan nimellisarvo L (tai asiakkaan saama summa=nimellisarvo-kulut). 3 Ratkaistaan yhtälöstä L = i=1 M i (1 + i e ) t i (20) korkokanta i e. (Huom. Tarvittaessa haarukoimalla riittävän tarkasti.) 316 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. 317 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 318 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 10000 = 5600 1 + i e + 5600 (1 + i e ) 2 319 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 10000 = 5600 1 + i e + 5600 (1 + i e ) 2 10000 = x 5600 + x 2 5600 (missä x = 1 1 + i e ) 320 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 10000 = 5600 1 + i e + 5600 (1 + i e ) 2 10000 = x 5600 + x 2 5600 (missä x = 1 1 + i e ) Ratkaistaan siis yo. toisen asteen yhtälö, jolloin saamme efektiivisen koron kaavasta 321 / 117

Efektiivinen/sisäinen korkokanta Esimerkki 33 10000 e laina kuoletetaan kahdessa vuodessa vuosiannuiteetein 5600 e. Laske efektiivinen korkokanta. Nyt K 0 =10000 e ja lyhennetään laina vuosiannuiteetein 5600 e kahdessa vuodessa. 10000 = 5600 1 + i e + 5600 (1 + i e ) 2 10000 = x 5600 + x 2 5600 (missä x = 1 1 + i e ) Ratkaistaan siis yo. toisen asteen yhtälö, jolloin saamme efektiivisen koron kaavasta i e = 1 x 1 ( x = 0, 9268 i e = 0, 08 = 8% pa. ) 322 / 117

Investoinneista Investointeihin liittyviä käsitteitä: M n 1 J =jäännösarvo (aika) M 1 M 2 M 3 M4... k 1 k2 k3 k4... investointiaika M n k n 1 kn (tuotot) (kustannukset) H =investointikustannukset (Yo. kuvassa M i : t ovat investointituottoja (esim. vuosituotto) ja k i : t investoinnin käyttökustannukset (esim. koneen käyttö-ja huoltokustannukset).) 323 / 117

Investointilaskelmia Nykyarvomenetelmä (Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo.) Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset nykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TNA KNA. 324 / 117

Investointilaskelmia Nykyarvomenetelmä (Nykyarvo = alkuhetkeen diskontattu arvo.) Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset nykyarvoiksi TNA ja KNA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TNA KNA. Annuiteettimenetelmä Menetelmä: Muutetaan tuotot ja kustannukset vuosiannuiteeteiksi TA ja KA ja todetaan investointi kannattavaksi jos TA KA. 325 / 117

Investointilaskelmia Sisäisenkorkokannan menetelmä Menetelmä: Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla. Investointi on kannattava, jos sen sisäinen korkokanta on riittävän suuri. Usein asetetaan kriteeri, jonka mukaan investointiprojekteilta vaaditaan tietyn arvon ylittävä sisäinen korkokanta. 326 / 117

Investointilaskelmia Sisäisenkorkokannan menetelmä Menetelmä: Investoinnin sisäinen korkokanta on se laskentakorko, jolla investoinnin nettonykyarvo on nolla. Investointi on kannattava, jos sen sisäinen korkokanta on riittävän suuri. Usein asetetaan kriteeri, jonka mukaan investointiprojekteilta vaaditaan tietyn arvon ylittävä sisäinen korkokanta. Esimerkki 34 Koneen hankintahinta on 400 000 e ja arvioitu käyttöikä 5 vuotta. Vuosittainen investointituotto on 270 000 e ja käyttökustannukset 180 000 e. Jäännösarvo on 200 000 e ja laskentakorkokanta 15 % pa. Tutki onko investointi kannattava. (Ratkaisu luennolla) 327 / 117

Haarukointimenetelmästä Funktion nollakohtien (yhtälön ratkaisu) etsiminen saattaa olla usein hankalaa. Usein kuitenkin riittää löytää riittävän tarkka likimääräisratkaisu nollakohdan määräämiseksi. Tähän helppo menetelmä on ns. haarukointimenetelmä, missä käytetään hyväksu jatkuvien funktioiden ominaisuutta. Idea on seuraava: Haarukointimenetelmä 1 Ratkaistavana yhtälö f (x) = 0 (esim. x 2 1 3x = 0). 2 Etsitään kaksi pistettä x 1 ja x 2, missä funktio f (x) saa erimerkkiset arvot (esim. f (x 1 ) < 0 ja f (x 2 ) > 0). 3 Kun pisteet löydetään, niin tiedetään, että eräs nollakohta löytyy näiden välistä. 4 Pienennetään väliä [x 1, x 2 ] esim. testaamalla minkä arvon f (x) saa kun valitaan piste välin [x 1, x 2 ] puolesta välistä. Palataan kohtaan 2 ja toistetaan välivaiheita 2-4 kunnes ollaan löydetty riittävä tarkkuus nollakohdalle. 328 / 117

Haarukointiesimerkki Esimerkki 35 Ratkaise yhtälö ln x + x 2 = 0 kahden desimaalin tarkkuudella. Ratkaisu. Merkitään f (x) = ln x + x 2. Kokeilemalla huomataan, että f (1, 5) < 0 ja f (2) > 0, joten funktion f (x) eräs nollakohta on välillä 1, 5 < x < 2. x f(x) 1,5-0,094535 <0 2,0 0,693147 >0 ( nollakohta välissä 1, 5 < x < 2, 0) 1,6 0,070004 >0 ( nollakohta välissä 1, 5 < x < 1, 6) 1,55-0,011745 <0 ( nollakohta välissä 1, 55 < x < 1, 6) 1,56 0,004686 >0 ( nollakohta välissä 1, 55 < x < 1, 56) 1,555-0,003524 <0 ( nollakohta välissä 1, 555 < x < 1, 56) 1,558 0,001403 >0 ( nollakohta välissä 1, 555 < x < 1, 558) Siis nähdään, että nollakohta kahden desimaalin tarkkuudella on x 1, 56 (f (1, 56) = ln(1, 56) + 1, 56 2 = 0, 004686). 329 / 117

Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä 330 / 117

Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) 331 / 117

Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. 332 / 117

Indeksiteoriaa Indeksin avulla kuvataan jonkin ryhmän yhteisen suureen kehitystä tilanteesta toiseen ilman, että tutkitaan jokaisen ryhmän jäsenen ko. suureen kehittymistä Erilaisia indeksejä: Hintaideksi mittaa hinnan muutoksia Volyymi-indeksi mittaa määrän muutoksia Arvoindeksi mittaa arvonmuutoksia (esim. tuonti ja vienti eri vuosina) Indeksi kuvaa aina suhteellista muutosta johonkin peruskohtaan nähden. Indeksi on aina prosenttiluku vaikka sitä ei merkitä. 333 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? 334 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. 335 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. KHI muodostetaan painotettuna keskiarvona eri pääryhmien indekseistä (Laspeyresin hintaindeksi). 336 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten mitata rahan arvon muutoksia? Kuluttajahintaindeksi (KHI) on sovittu kulutustavaroiden ja palveluiden hintakehityksen mittari. KHI muodostetaan painotettuna keskiarvona eri pääryhmien indekseistä (Laspeyresin hintaindeksi). Inflaatioprosentti Kuluttajahintaindeksin muutosprosentti = inflaatioprosentti 337 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Inflaatioprosentti Olkoon t ja t kaksi ajanhetkeä ja P t sekä P t niitä vastaavat KHI:t. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P ( ) t = P t 1 (21) P t P t 338 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Inflaatioprosentti Olkoon t ja t kaksi ajanhetkeä ja P t sekä P t niitä vastaavat KHI:t. Inflaatioprosentti hetkestä t hetkeen t on P t P ( ) t = P t 1 (21) P t P t Ostovoima KHI:n käänteisluku 1 P t (tässä P t ei ole prosenttina) on rahan ostovoima hetkellä t verrattuna perusvuoteen. Ostovoiman muutosprosentti aikavälillä t t on 1 P t 1 P t 1 P t = P t P t P t (22) 339 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten vertailla eri ajanhetkien rahamäärien arvoja ottaen huomioon inflaation? 340 / 117

Kuluttajahintaindeksi (KHI) Kysymys Miten vertailla eri ajanhetkien rahamäärien arvoja ottaen huomioon inflaation? Rahan reaaliarvo Rahamäärän x t reaaliarvo hetkellä t on x t P t. (23) 341 / 117

Deflatointi ja inflatointi Deflatointi ja inflatointi Olkoon x t rahamäärä hetkellä t ja x t rahamäärä hetkellä t. Olkoon lisäksi P t ja P t vastaavat kuluttajahintaindeksit. Jos halutaan rahamäärän x t siirtyvän hetkestä t hetkeen t siten, että reaaliarvo säilyy (ts. inflaatio otetaan huomioon), niin asetetaan kyseisten rahamäärien reaaliarvot samoiksi. Siis x t P t = x t P t. Jos esim. x t on tuntematon, se saadaan ratkaistua kaavasta x t = x t P t P t. (24) Jos t < t, niin kyseessä on inflatointi. Jos t < t, niin kyseessä on deflatointi. 342 / 117

Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. 343 / 117

Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. 344 / 117

Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). 345 / 117

Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). Vastaavasti muodostetaan tietenkin myös volyymi-indeksit. 346 / 117

Keskilukumalli Indeksejä voidaan muodostaa usealla eri tavalla. Kuitenkin esim. määrä- ja hintasuhteet ovat laaduttomia lukuja, joten ne ovat keskenään vertailukelpoisia. Hinnan vaihtelua kuvaavaksi indeksiluvuksi otetaan usein hintasuhteiden keskiarvo (usein painotettu). Merkintä Vastaavasti muodostetaan tietenkin myös volyymi-indeksit. Tarkastellaan n:n hyödykkeen ryhmää. Merkitään i. (1 i n) hyödykkeen hintoja p it :llä ja määriä q it :llä ajanhetkellä t. 347 / 117

Hintaindeksiluvut (aritm. hintaindeksi) P A 0t = 100 n i=1 n p it p i0 (25) Huom (geom. hintaindeksi) P G 0t = 100 (harm. hintaindeksi) P H 0t = 100 ( n i=1 ) 1 n p it p i0 n n i=1 Aritmeettinen hintaindeksi korostaa suuria muutoksia ja harmoninen taas pieniä. Hintaindeksien laskemisessa ei oteta huomioon kulutuksen määriä (ongelma?). (26) p i0 (27) p it 348 / 117

Volyymi-indeksiluvut (aritm. volyymi-indeksi) Q A 0t = 100 n i=1 n q it q i0 (28) Huom (geom. volyymi-indeksi) Q G 0t = 100 ( n (harm. volyymi-indeksi) Q H 0t = 100 i=1 ) 1 n q it q i0 n n i=1 (29) q i0 (30) q it Aritmeettinen volyymi-indeksi korostaa suuria muutoksia ja harmoninen taas pieniä. Volyymi-indeksien laskemisessa ei oteta huomioon hintoja (ongelma?). 349 / 117

Painotetut indeksiluvut Keskilukumallin painotetu indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. 350 / 117

Painotetut indeksiluvut Keskilukumallin painotetu indeksiluvut saadaan laskettua hinta-/määräsuhteiden painotettuina keskiarvoina. Painoina voidaan käyttää mm. perusvuoden kulutuksen arvoja p i0 q i0 ; vertailuvuoden kulutuksen arvoja p it q it ; muita kulutuksen arvoja. 351 / 117

Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. 352 / 117

Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. Voidaan esimerkiksi laskea hintojen yksinkertainen kokonaissumma n i=1 P 0t = p it n i=1 p 100. i0 353 / 117

Kokonaislukumallit Kokonaislukumallit muodostetaan laskemalla hyödykkeiden määriä tai hintoja sopivasti yhteen. Voidaan esimerkiksi laskea hintojen yksinkertainen kokonaissumma n i=1 P 0t = p it n i=1 p 100. i0 Tällä indeksillä ei ole kuitenkaan käytännön merkitystä sillä se riippuu hinnoitteluyksiköstä. 354 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 355 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 356 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuoden kulutuksen määriä (α i = q it ) 357 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä hintaindeksiä saadaan laskettua hintojen painotettuna kokonaisummana n i=1 P 0t = 100 p it α i n i=1 p, (31) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden kulutuksen määriä (α i = q i0 ) 2 vertailuvuoden kulutuksen määriä (α i = q it ) 3 jonkin muun, yhden tai useamman vuoden kulutuksen määriä (esim. α i = (q i0 + q it )/2) 358 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 359 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 360 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 2 vertailuvuoden hintoja (α i = p it ) 361 / 117

Kokonaislukumallit Kolme käytetyintä volyymi-indeksiä saadaan laskettua määrien painotettuna kokonaisummana n i=1 Q 0t = 100 q it α i n i=1 q, (32) i0 α i missä painona α i voidaan käyttää 1 perusvuoden hintoja (α i = p i0 ) 2 vertailuvuoden hintoja (α i = p it ) 3 jonkin muun, yhden tai useamman vuoden hintoja (esim. α i = (p i0 + p it )/2) 362 / 117

Laspeyresin indeksit Valitaan painoksi α i perusvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Laspeyresin hintaindeksi: n P0t L i=1 = 100 p itq i0 n i=1 p. (33) i0q i0 363 / 117

Laspeyresin indeksit Valitaan painoksi α i perusvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Laspeyresin hintaindeksi: n P0t L i=1 = 100 p itq i0 n i=1 p. (33) i0q i0 Valitaan painoksi α i perusvuoden hinnat, jolloin saadaan Laspeyresin volyymi-indeksi: n Q0t L i=1 = 100 q itp i0 n i=1 q. (34) i0p i0 364 / 117

Paaschen indeksit Valitaan painoksi α i vertailuvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Paaschen hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p itq it n i=1 p. (35) i0q it 365 / 117

Paaschen indeksit Valitaan painoksi α i vertailuvuoden kulutuksen määrät, jolloin saadaan Paaschen hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p itq it n i=1 p. (35) i0q it Valitaan painoksi α i vertailuvuoden hinnat, jolloin saadaan Paaschen volyymi-indeksi: n Q0t L i=1 = 100 q itp it n i=1 q. (36) i0p it 366 / 117

Marshal Edgeworthin indeksit Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p it(q i0 + q it ) n i=1 p i0(q i0 + q it ). (37) 367 / 117

Marshal Edgeworthin indeksit Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden kulutuksen määrien keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin hintaindeksi: n P0t P i=1 = 100 p it(q i0 + q it ) n i=1 p i0(q i0 + q it ). (37) Valitaan painoksi α i perus- ja vertailuvuoden hintojen keskiarvo, jolloin saadaan Marshal Edgeworthin volyymi-indeksi: n Q0t P i=1 = 100 q it(p i0 + p it ) n i=1 q i0(p i0 + p it ). (38) 368 / 117

Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). 369 / 117

Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). Paaschen hintaindeksi on Harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p it q it ). 370 / 117

Keski- ja kokonaislukumallien yhteys Laspeyresin hintaindeksi on Aritmeettinen hintaindeksi, jonka painoina ovat perusvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p i0 q i0 ). Paaschen hintaindeksi on Harmoninen hintaindeksi, jonka painoina ovat vertailuvuoden kulutuksen arvot (hintojen ja määrien tulot p it q it ). Vastaavasti myös volyymi-indekseille. 371 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 372 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 373 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 374 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. 375 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 376 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 1 Ajankääntökriteeri: P 0t P t0 = 1 377 / 117

Fisherin indeksikriteerit Käytetään indeksilukujen luotettavuuden tarkasteluissa suhdelukuja (siis esim. 127,3 1,273) Peruskriteerit: 1 Identiteettikriteeri: P tt = 1 2 Suhdekriteeri: jos p it = λ p i0 kaikille hyödykkeille i, niin P 0t = λ. 3 Yksinkönvaihtokriteeri: P 0t on riippumaton raha- ja määräyksiköistä. Transitiivisuuskriteerit: 1 Ajankääntökriteeri: P 0t P t0 = 1 2 Ketjutuskriteeri: P 0s P st = P 0t kun s t 378 / 117

Fisherin indeksikriteerit Kertomakriteeri: missä P 0t Q 0t = V 0t, (39) V 0t = n i=1 p itq it n i=1 p i0q i0 (40) on ns. arvoindeksi, joka ilmoittaa perus- ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen suhteen. 379 / 117

Fisherin indeksikriteerit Kertomakriteeri: missä P 0t Q 0t = V 0t, (39) V 0t = n i=1 p itq it n i=1 p i0q i0 (40) on ns. arvoindeksi, joka ilmoittaa perus- ja vertailuvuoden kulutuksen arvojen suhteen. Huom. Edellisistä indeksiluvuista kaikki toteuttavat peruskriteerit. Transitiivisuuskriteerin toteuttaa vain painottamaton geometrinen hintaindeksi. Kertomakriteeriä ei toteuta mikään aikaisemmista. 380 / 117

Fisherin indeksikriteerit Vaikka kertomakriteeriä ei aikaisemmista indekseistä toteuta mikään, sen avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta laskemalla tulo P 0t Q 0t ja vertaamalla sitä ihannearvoon n i=1 V 0t = p itq it n i=1 p. i0q i0 381 / 117

Fisherin indeksikriteerit Vaikka kertomakriteeriä ei aikaisemmista indekseistä toteuta mikään, sen avulla voidaan tutkia eri indeksien luotettavuutta laskemalla tulo P 0t Q 0t ja vertaamalla sitä ihannearvoon n i=1 V 0t = p itq it n i=1 p. i0q i0 Mitä lähempänä tulo P 0t Q 0t on arvoa V 0t, sitä luotettavampana indeksiä pidetään. 382 / 117

Fisherin ihanneindeksi Ottamalla Laspeyresin ja Paaschen indeksien geometrinen keskiarvo, saadaan Fisherin ihanneindeksit P0t F = P0t L PP 0t (41) Q0t F = Q0t L QP 0t (42) 383 / 117

Fisherin ihanneindeksi Ottamalla Laspeyresin ja Paaschen indeksien geometrinen keskiarvo, saadaan Fisherin ihanneindeksit P0t F = P0t L PP 0t (41) Q0t F = Q0t L QP 0t (42) Nämä indeksit toteuttavat kertomakriteerin sekä ajankääntökriteerin mutta eivät ketjutuskriteeriä. 384 / 117