35. Kahden aallon interferenssi

35. Kahden aallon interferenssi 35.1 Interferenssi ja koherentit lähteet Superpositioperiaate: Aaltojen resultanttisiirtymä (missä tahansa pisteessä millä tahansa hetkellä) on yksittäisiin aaltoliikkeisiin (sellaisina kuin niistä kukin ilman muita aaltoja olisi) liittyvien (hetkellisten lokaalien) siirtymien vektorisumma. Interferenssi = kahden tai useamman aallon yhteisvaikutus. Monokromaattinen valo = valo jossa vain yksi taajuus. Koherentit lähteet = monokromaattiset saman taajuuden lähteet, joiden vaiheet ovat kiinteässä suhteessa toisiinsa, esim. 2 lähdettä: E 1 (t) cos(ωt + φ) E 2 (t) cos(ωt) missä φ=vaihe-ero. Vaihe-eron voi tuottaa aikaero tai matkaero. Tarkkaan ottaen superpositioperiaate pätee vain lineaaristen aaltoyhtälöiden kuvaamille (oletuksena yleisesti pienet siirtymät) aaltoliikkeille. 137 Kahden samassa vaiheessa olevan koherentin lähteen S 1 ja S 2 r tuottamille aalloille pisteessäp: 1 KONSTR P Konstruktiivinen interferenssi kun S 1 S r 2 r 1 = mλ (m Z) 2 r 2 r 1 Destruktiivinen interferenssi kun P S DESTR r 1 2 r 1 =(m +1/2)λ (m Z) S 2 r Kumpikin voi olla osittainen tai täydellinen. 2 Nämä kaavat toimivat, kun λ on vakio eli kun väliaine on optisesti homogeeninen. Rajapinnoilla on otettava huomioon λ:n muutos. Kuvut (antinoodit) = pisteet, joissa E 1 (t)+ E 2 (t) maksimoituu. Solmut (noodit) = pisteet, joissa E 1 (t)+ E 2 (t) =0. Jatkossa (luvut 35 36) oletamme, että aalloilla on sama polarisaatiotaso eli E1 E 2, jolloin voimme jättää pois vektorimerkit! 138

35.2 Kaksoisrakokoe Kuvan mukaisessa koejärjestelyssä aaltojen vaihe pisteissä S 1 ja S 2 on sama. Matka-ero niistä pisteeseen P riippuu kulmasta θ. Olettaen θ mono krom. pieneksi ja R d saadaan pienestä kolmiosta S 1 S 2 Q matkaero r 2 r 1 d sin θ, mistä konstr. ja destr. interferenssin ehdot ovat S 1 d S 2 Q r 1 r θ 2 d sin θ = mλ (konstruktiivinen) (64) d sin θ =(m + 1/2)λ (destruktiivinen) (65) Merkitäänpä m. intensiteettimaksimin paikkaa varjostimella y m :llä ja sitä vastaavaa kulman arvoa θ m :llä y m R tan θ m, missä d sin θ m = mλ pienillä kulmilla maksimit paikoissa y m mrλ/d. R P 139 y 0 varjostin 35.3 Interferenssikuvion intensiteetit Tutkitaan kahden monokromaattisen lähteen resultanttiaaltoa pisteessä, jossa aalloilla on sama amplitudi mutta vaihe-ero φ: E(t) =E 1 (t)+e 2 (t) E 1 (t) =E cos(ωt + φ) E 2 (t) =E cos(ωt) Käyttäen trigonometristen funktioiden laskusääntöjä saadaan E(t) =E P cos(ωt + δ), E P =2E cos φ, (66) 2 missä kulman δ arvo on jatkon kannalta epäoleellinen. Oleellista tässä on, että resultanttiaaltokin on sinimuotoinen ja sillä on sama taajuus kuin alkuperäisillä aalloilla. Sen amplitudi on E P. Resultanttiaallon intensiteetti amplitudin neliö (vrt. luku 33.5): I = I 0 cos 2 φ 2. (fysp105: I 0 =2ɛcE 2 ) (67) Havaitsemme, että esim. I =I 0 kun φ=2π ja I =0 kun φ=π. 140

Johdetaanpa tulos (66) geometrisella kikalla. E E γ = π φ P φ cos γ = cos φ, γ ωt jolloin kosinilauseesta E ωt E=fysikaalinen EP 2 = E2 + E 2 +2E 2 cos φ Ecos(ωt) Ecos(ωt+φ) kentta =2E 2 (1 + cos φ) josta kaksinkertaisen kulman cos:n kaavalla E P =2E cos(φ/2). Kuvassa fysikaaliset kentät ovat vaakasuorassa. Huomaamme, että ajan t kuluessa kuvan vektorit kiertävät yhden jakson aikana täyden kierroksen ja resultanttikentän amplitudi on E P. Kätevää! imag.kentta Huom: Konstruktio yllä, vaihevektorikaavio, on monikäyttöinen. Sen avulla voi helposti summata useampiakin saman taajuuden aaltoja, joilla voisi eri vaiheiden lisäksi olla eri amplituditkin. Eli yleistetty Pythagoraan lause a 2 = b 2 +c 2 2bc cos α ja cos 2x=2 cos 2 x 1. 141 Koherenteille lähteille esim. vaihe-ero φ = 2π vastaa matkaeroa r 2 r 1 = λ ja φ = π matkaeroa r 2 r 1 = λ/2. Kun φ r 2 r 1 kaikille φ, voimme kirjoittaa φ = 2π λ (r 2 r 1 )=k(r 2 r 1 ) (k =2π/λ). (68) Esim: Palaamme luvun 35.2 kaksoisrakokokeeseen eli Youngin kokeeseen: r I=I 0 cos 2 [π(d/λ)sinθ] 2 r 1 = d sin θ. Nyt (67,68) I = I 0 cos 2 φ 2 = I 0 cos 2{ π d λ sin θ}. Siis I maksimoituu, kun {...} = mπ 1 (d/λ)sinθ eli kun d sin θ = mλ, mikä oli konstruktiivisen interferenssin ehto! Pienillä θ on θ y/r I I 0 cos 2 (πyd/λr) eli intensiteetin maksimit y m ovat varjostimella tasavälein. Kurssikirjan www-sivun animaatiot 16.1-3 kannattaa käydä läpi. I 0 142

35.4 Interferenssi ohuissa kalvoissa Heijastukset rajapinnoista aallonpituusriippuva vaihe-ero konstr. tai destr. interferenssi eri värit näkyvät eri kulmissa. n a n b θ a h Kalvon paksuuden h ohella heijastuksissa syntyvään vaihe-eroon vaikuttavat myös väliaineiden taitekertoimet. Tarkastellaan yhtä heijastusta: Jos θ a =0jas on etäisyys rajapinnasta, havaitaan E r = n a n b n a + n b E a E a cos(ωt + ks) = tuleva aalto E r cos(ωt + ks) = heijastuva aalto (69) eli heijastumisessa voi tapahtua vaihesiirto: n a <n b : E r ja E a erimerkkisiä vaihesiirto = π. n a >n b : E r ja E a samanmerkkisiä vaihesiirto = 0 n a = n b : E r =0 ei heijastumista. Rajapinnan läpi menevä aalto ei koe vaihesiirtoa (mutta E b E a ). Johdettavissa Maxwellin yhtälöistä ja analogista mekaniikan aaltojen kanssa. 143 Kahden aallon välinen kokonaisvaihe-ero on siten matka-eroon liittyvän vaihe-eron ja heijastukseen liittyvän vaihesiirron summa. Interferenssin määrää kokonaisvaihe-ero. Esim: Newtonin renkaat linssillä, jonka sovellus on linssin muodon tarkastus: Pyörähdysymmetrisen (tavoite) linssin interferenssikuvio muodostuu samankeskisistä ympyrärenkaista. Esim: Silmälasin linssin pinta saadaan lähes heijastamattomaksi pinnoittamalla se ohuella kalvolla, jonka taitekerroin on pienempi kuin linssimateriaalin taitekerroin. Tälloin heijastuksissa kalvon ylä- ja alapinnoilta vaihesiirrot ovat samat. Kokonaisvaihe-ero muodostuu siten matka-eroista, jolloin valitsemalla kalvon paksuudeksi λ/4, missä λ on (ilmassa keltaisen) valon aallonpituus kalvomateriaalissa, saadaan φ = π ja destruktiivinen interferenssi. Esim: Michelsonin-Morleyn koe (kirjan luvuissa 32.1, 35.5, 37.1). 144

36. Diffraktio Diffraktio on interferenssi-ilmiö, jossa aalto interferoi itsensä kanssa, esim. osuttuaan (esim. läpinäkymättömään) esteeseen. Keskenään interferoivien aaltojen lähteitä on tällöin äärettömän monta (vrt. Huygensin periaate) tai lähde on jatkumo. 36.1 Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio Fresnel-alue: Lähde tai varjostin on lähellä estettä. Fraunhofer-alue: Lähde ja varjostin ovat kaukana esteestä. Diffraktiivisten perusilmiöiden havainnollistamiseksi keskitymme (matemaattisestikin yksinkertaiseen) Fraunhofer-alueeseen: - tulevan valon voidaan katsoa tulevan yhdestä suunnasta - varjostinta siirrettäessä interferenssikuvion muoto ei muutu -tässä alueessa oltava tyypillisesti Rλ > a 2 (a =lähteen koko) 145 36.2-3 Yksi rako y monokrom Aluksi: Valitaanpa raon a θ 0 (leveys a) sisältä kaksi R pistettäetäisyydellä a/2 toisistaan (jaamme siis raon kahteen osaan). Sivujen 138-139 tarkastelut destruktiivinen interferenssi varjostimella kohdissa a 2 sin θ = ±λ sin θ = ± λ 2 a Voimme jakaa raon jakaa pienempiinkin osiin siten, että niitä on parillinen määrä, jolloin ehdoksi tulee (a/2m) sin θ = ±λ/2. Päättelemme, että destruktiivinen interferenssi saadaan, kun varjostin sin θ = m λ a m = ±1, ±2, ±3,... (destruktiivinen) (70) Tämän mukainen interferenssi on täydellinen pienillä kulmilla; suuremmilla kulmilla varjostimella nähdään tummat kohdat. 146

Päättelemämme tulos (70) on helppo johtaa luvun 35.3 vaihevektorimenetelmällä, nyt summaamalla äärettömän monen lähdepisteen yli. Olkoon kokonaisvaihe-ero raon leveyden matkalla β. E P ωt β β/2 β/2 E 0 /β E P /2 E P /2 βe 0 /β = E 0 Kaarenpituus = kulma (rad) säde kolmioista saamme E P 2 = E 0 β sin β 2. Toisaalta intensiteetti amplitudi 2 eli I EP 2. Merkitsemällä nyt I 0 = max(i) =I(β 0) saamme I = I [ sin β/2] 2. 0 β/2 147 Vaihe-ero = (2π/λ) matka-ero, joten β =(2π/λ) a sin θ ja I 0 I [sin ( πa I = I λ sin θ) ] 2. 0 πa (71) λ sin θ θ 2 θ 1 0 θ θ 1 2 θ Intensiteetin keskusmaksimi: θ = 0 Muut maksimit: a sin θ ± ( m + 1 2) λ m =1, 2, 3,... Intensiteettiminimit: a sin θ m = ±mλ m =1, 2, 3,... Huom: Kun λ<a, antaa (71) minimejä välille π/2 <θ<π/2. Jos on λ a, keskusmaksimin leveys on θ 1 sin θ 1 = λ/a. Huom: Diffraktiomaksimien intensiteetit laskevat nopeasti m:n kasvaessa, koska tulos (71) on muotoa I x 2 sin 2 x. 148

36.4-5 Monta rakoa ja hila Kannattaa ottaa käyttöön merkinnät φ =2π d λ β =2π a λ sin θ d = rakojen valimatka (72) sin θ a = kunkin raon leveys (73) Kaksi rakoa: Yhdistämällä sivujen 142 ja 148 tulokset saamme I I 0 diffraktio (1 rako) yhdistetty (2 rakoa) I = I 0 [cos(φ/2)] 2[ sin(β/2) ] 2 (74) β/2 0 θ Kun a/λ < d/λ < 1, rakojen keskinäinen interferenssi (φ) oskilloi nopeammin kuin rakojen (sisäinen) diffraktio (β). Kuvassa yllä on d = 3a ja diffraktio (katkoviiva) moduloi intensiteettiä. 149 N kapeaa rakoa: Tässä pätevin oletuksin saadaan I = I [ sin(nφ/2) ] 2 [ sin(β/2) ] 2 0 (N>1) (75) sin(φ/2) β/2 I I 0 m= 1 m=0 m=+1 Siis kapeat korkeat päämaksimit, joiden välissä N 1 minimiä. Diffraktiohila N 1: (75) päämaksimit samoissa kohdissa kuin N =2:lle ja N:n kasvaessa sivumaksimit vaimenevat näkyvistä. Siten päämaksimeille (kunhan a d λ) pätee (64) sellaisenaan d sin θ = mλ m =0, ±1, ±2,... (76) Terminologiaa: m = ±1 1. kertaluvun viivat jne. θ 150

Hilan erotuskyky: Kapeiden piikkien ansiosta hilalla saadaan hajotettua ei-monokromaattinen valo aallonpituuskomponentteihin spektrianalyysi! Erotuskyky R = λ/δλ, missä Δλ on pienin esiin saatava aallonpitusero. Lasketaanpa R: Intensiteettimaksimit: sin θ = mλ/d cos θδθ = mδλ/d Vaihe-ero: φ = 2π(d/λ) sin θ Δφ = 2π(d/λ) cos θδθ Piikin leveys vaiheyksiköissä: Δφ = 2π/N Näistä saamme hilan erotuskyvylle arvion mikä odotetusti paranee N:n kasvaessa. R = λ/δλ = Nm, (77) Huom: Edellä olemme tarkastelleet valoa läpäisevää hilaa. Samat yhtälöt toimivat konstruktion perusteella heijastavallekin hilalle. Esimerkki jälkimmäisestä on heijastus cd-levyn pinnasta. 151 36.6 Röntgen-sironta kiteestä Tutkitaan sirontaa kidetasoista, joiden välimatka toisistaan on d. Interferenssi on konstruktiivinen, kun matkaero on λ:n monikerta. Pienet kolmiot Braggin ehto: d θ 2d sin θ = mλ (78) Kiinteä kide toimii tässä heijastavana (monikerroksisena) hilana. Sovelluksia: Sironnan intensiteettikuviosta voidaan tunnistaa materiaalin kiderakenteen avaruussymmetria ja määrittää d. Röntgensironnalla voidaan selvittää myös suurten molekyylien rakenne, kun ne on ensin kiteytetty. Huom: Tässä havaintaan makrotasolla (kuvio varjostimella) seuraus mikrotason rakenteesta (raot, kiderakenne). 152

36.7 Pyöreän aukon erotuskyky Diffraktio rajoittaa (säde)optisten laitteiden kulmaerotuskykyä. Pyöreälle aukolle (esim. mikroskoopin linssi) saadaan ympyrän muotoinen diffraktiokuvio: 1. intensiteettiminimi tulee kohtaan sin θ 1 1.22 λ D, (79) missä D on aukon halkaisija. Tulos on työläs johtaa, mutta varsin lähellä kapean raon destruktiivisen interferenssin ehtoa (70). Resoluutio paranee λ:n pienetessä jad:n kasvaessa. Esim: (radio)teleskooppi ja (elektroni)mikroskooppi. 36.8 Hologrammi Holografiassa tallennetaan esineestä heijastuvan ja suoraan monokromaattisesta lähteestä tulevan aallon interferenssikuvio, oleellisesti siis sekä intensiteetti että vaihe-ero. Vaihe-ero antaa esineen pisteen sijainnin kuvaussuunnassa syvyysvaikutelma... 153 36.X Kurssikirjan ja muita esimerkkejä Example 35.2 (edellisen pääluvun esimerkki) Taajuudella 1500 khz toimiva AM-asema (amplitudimodulaatio) käyttää lähetyksessään kahta 400 m etäisyydellä toisistaan olevaa antennia. Kaukana lähettimestä, missä suunnassa havaitaan suurin ja pienin intensiteetti? Ratkaisu: Nyt λ = c/f = 200 m. Yhtälöstä (64) intensiteettimaksimit ovat siten suunnissa sin θ = m/2 eli θ =0, ±30, ±90 asteen kulmissa vastaten m:n arvoja m = 0, ±1, ±2. Intensiteettiminimit taasen ovat näiden välissä eli yhtälöstä (65) θ = ±14.5, ±48.6 asteen kulmissa vastaten siinä m:n arvoja m =0, ±1, 2. Huomaa (kirjassakin käytetty) hieman epäsymmetrinen notaatio kahden lähteen intensiteettiminimien m-indeksoinnille. Ulos tuleva fysiikka on toki symmetristä, kun lähtötilanne on symmetrinen. 154

Example 36.4 Sähkömagneettisen aallonpituusspektrin näkyvän osan rajat ovat suunnilleen 400 (violetti) ja 700 nm (punainen). Olkoon hilassa 600 rakoa millimetrillä ja tuleva valo kohtisuorassa sen tasoa vastaan. Määritä ensimmäisen kertaluvun maksimien alue kulmayksiköissä. Entä menevätkö ensimmäisen, toisen ja/tai kolmannen kertaluvun spektrit varjostimella päällekkäin? Ratkaisu: Nyt d = 5/3 μm ja yhtälöstä (76) saamme ensimmäisien kertaluvun maksimeille näkyvän spektrin ääripäissä m =1 sin θ vio 0.24 θ vio 14 o m =1 sin θ pun 0.42 θ pun 25 o. Spektrin leveys varjostimella on näiden kahden erotus eli 11 o. Kysyttäessä spektrien päällekkäin menemistä vertaamme sin θ:n arvoja eri kertaluvuissa (toki kulmatkin saa laskea): d sin θ viol =4(m=1), 8(m=2), 12 (m=3) 10 7 m d sin θ pun =7(m=1), 14 (m=2), 21 (m=3) 10 7 m joten 1. ja 2. eivät mene päällekkäin mutta 2. ja 3. menevät. 155 Esim: Kaksi oleellisesti pistemäistä kaiutinta on toisistaan 3.36 m etäisyydellä. Olkoon niistä lähtevän testiäänen taajuus 400 Hz ja niiden värähtelyjen välillä vaihe-ero siten, että toinen kaiutin on 1/6 jaksoa edellä toista kaiutinta. Äänen nopeus on 330 m/s. Kuulija on kaukana kaiuttimista. Sopivin oletuksin (ei kaikuja jne) ja mitattuna kaiutinten välisen keskiviivan suhteen, missä kulmissa kuulija ei kuulisi pihaustakaan? Ratkaisu: Lähteillä on 1/6 jakson vaihe-ero, joten saamme ehdot d sin θ ± =(m +1/2 ± 1/6)λ, missä d =3.36 m ja λ =0.825 m. Ratkaisuja ovat (m=0,1,...-4): θ + =9.4, 24.2,..., 54.9 astetta θ =4.7, 19.1,..., 64.2 astetta Arvolla m =+4jakun m > 4 ei ratkaisuja. THE END 156