S-11446 Fysiikka IV (Sf) Tntti 95 1 Ammus (pistmäinn hiukkann, jonka massa on m, ) tömää kohtioon, jonka kokonaismassa on M Kohtion oltamm akntllisksi systmiksi, jolla massakskipistn liik-ngian lisäksi voi olla myös sisäistä kvantittunutta ngiaa, systmin alimmat ngiatasot olkoon 1 ja Kohtio on aluksi lvossa laboatoiokoodinaatistossa Kuinka suui on ammuksn ngian oltava, jotta tömäys voisi olla pälastinn ts jotta kohtiona olva systmi voisi viittyä tömäyksssä? Ratkaisu: Oltamm ttä ammus on pistmäinn hiukkann, jonka massa on m, ja kohtiona on systmi, jonka kokonaismassa on M Kohtion oltamm akntllisksi systmiksi, jolla voi massakskipistn liik-ngian lisäksi olla sisäistä kvantittunutta ngiaa Oltamm, ttä kohtio on aluksi lvossa laboatoiokoodinaatistossa Jos ammuksn liikmäää nnn tömäystä on p ja tömäyksn jälkn p ja dlln kohtion liikmäää tömäyksn jälkn on P, voimm kijoittaa liikmäään säilymislain muodossa p p' + P (1) Vastaavasti jos kohtio on aluksi stationääisssä tilassa jonka ngia on 1 ja pälastisn tömäyksn tapahduttua stationääisssä tilassa, voimm kijoittaa ngian säilymislain muodossa 1 p + 1 1 1 p + P + m m M Jos mkitsmm 1, voimm kijoittaa 1 1 1 p p + P + () m m M pälastisssa tömäyksssä, jossa kohtio viittyy ngiatilasta 1 ngiatilaan pinin mahdollinn ammuksn liik-ngian avo on 1 Tällöin skä ammus, ttä kohtiona olva systmi olisivat tömäyksn jälkn lvossa massakskipistkoodinaatistossa Kaikki massakskipistkoodinaatistossa käytttävissä olva liik-ngia olisi tällöin käyttty kohtion viittämisn tilalta 1 tilall Takastlmm nyt lähmmin tätä pinimpään tavittavaan ngiaan liittyvää tömäystä Tällöin skä ammus ttä kohtio liikkuvat tömäyksn jälkn laboatoiokoodinaatistossa samalla nopudlla joka on myös ammuksn ja kohtion muodostaman systmin massakskipistn nopus li v cm Voimm siis kijoittaa p' mv cm ja P Mv cm Toisaalta jos tidämm, ttä ammuksn nopus nnn tömäystä on v, voimm kijoittaa massakskipistn nopudn lauskkn muodossa v cm mv m + M ja sijoittamalla tämä liikmäään avoihin tömäyksn jälkn saamm m v mp p', m + M m+ M mmv Mp P m + M m+ M Nämä yhtälöt ovat titnkin sopusoinnussa yhtälön (1) kanssa Sijoittamalla nämä lauskkt yhtälöön () saamm pintn laskutoimitustn jälkn
M 1 p m+ M m tai 1 m k p 1+ m M (3) Yhtälö (3) antaa pinimmän mahdollisn liik-ngian avon jolla ammus voi nostaa kohtin nsimmäisll viittyll stationääisll tilall Jos ammus on paljon kohtiota kvympi voimm kijoittaa likimain k 1 Tämä vastaa likimain tilanntta pälastisissa tömäyksissä, joissa lktoni tömää atomiin tai molkyyliin Olmm hyödyntänt aimmin tätä likiavoa analysoidssamm Fankin-Htzin kotta Toisaalta jos takastlmm pälastisia tömäyksiä, joissa atomin ydin viittyy potonin tömätssä siihn, midän on käytttävä kynnysngian laskmisn yhtälöä (3) Tämä johtuu siitä, ttä ityissti kun potonit tömäävät kvyisiin ytimiin massasuhd m M i välttämättä ol pini ykkösn vattuna Osoita, ttä lähtin yhtälöstä 1 1 dp SL S mc d L, missä p on Coulombin potntiaalingia lktonin ja ytimn (Z potonia) vuoovaikutuksll, ja käyttän 1/ 3 :n odotusavoll lausktta 1 3, missä a o on Bohin säd, spin-ata-vuoovaikutusngian odotusavoll saadaan tulos Z 3 3 1 anl o l+ + 3 ( l 1) α Z n SL S L anl S L 1 nl l + ( l + 1) Coulombin potntiaalingia on o 1 Z, josta saadaan P 4πεo 1 dp 1 Z 1 1 Z d 4πε S m c 4 L 3 SL 3 πε o Spin-ata-vuoovaikutusngian odotusavo saadaan sijoittamalla tähän 1/ 3 :n odotusavo 3 1 Z Z SL S L mc 4πεo 3 3 1 anl o l+ ( l+ 1) Sijoittaan Bohin säd a 4πεo o m 4, jolloin saadaan aluksi 6 3 1 Z m SL S mc 4πεo 3 6 3 1 L, ( 4πεo) nl l+ ( l+ 1) joka tkijöitä jäjstlmällä saadaan dlln muotoon
SL 4 4 Z m Z S L, c ( 4πε ) ( ) 1 o 4πεo n nl l + ( l + 1) α missä α 4πεo c on hinoaknnvakio ja mz n 4 ( πεo) n ngia Saadaan siis väittty tulos α n Z 1 SL S L anl S L nl l + ( l + 1) n 4 on pääkvanttilukua n vastaava ˆ ˆ 3 a) Lask kommutaattoit L z, L ja Lˆ, ˆ x L y b) Onko siis mahdollista, ttä hiukkann on tilassa, jossa sn kulmaliikmäään z-komponntilla ja kulmaliikmäään itsisavolla on samanaikaissti takka avo? c) ntä onko mahdollista mitata kaksi kulmaliikmääävktoin komponnttia takasti yhtäaikaissti? Johdtaan pai aputulosta (opaattoihatut jättty pois ): [ ] Lx, x ypz zpy, x [ ] Lx, y ypz zpy, y z py, y i z Lasktaan suaavaksi Lˆ, ˆ x L y Lˆ, Lˆ yp zp, L y p, L z, L p y i p i x p i L x y z y y z y y y ( ) ( ) x y z Vastaavasti osoittaan, ttä Lˆ, ˆ y L z i Lx Lˆ, ˆ z L x i Ly Lopuksi Lˆ ˆ z, L ˆ ˆ Lz, L Lz, Lx Lz, Ly + [ ] [ ] Lz, Lx Lx + Lx Lz, Lx + Lz, Ly Ly + Ly Lz, Ly ( i Ly) Lx Lx( i Ly) ( i Lx) Ly Ly( i Lx) + + + Tässä käytttiin suaavia hlposti osoitttavia kommutaattoin ominaisuuksia:
AA, AB, B[ AB, ] + [ AB, ] B Kulmaliikmäään z-kompontti voi siis saada samanaikaissti kulmaliikmäään itsisavon kanssa takan avon Sn sijaan hiukkann i voi olla tilassa, jossa sn kahdlla kulmaliikmäään vktoikomponntilla olisi takka avo 3 4 a) Dipolin sähköknttä on vannollinn suussn 1/ R Olttaan, ttä molkyyliin B indusoitunut dipolimomntti on vannollinn molkyylin A luomaan sähköknttään Osoita, ttä van d Waalsin 7 voima on vannollinn suusn 1/ R Van d Waalsin voima kahdn atomin tai molkyylin välillä aihutuu indusoidusta dipolimomntista, joka havaitaan kun kaksi atomia tai molkyyliä, joilla i ol pysyvää dipolimonttia lähstyy toisiaan Ilmiö voidaan ymmätää kvalitatiivissti suaavan klassisn mallin avulla Takastllaan yksinktaisuudn vuoksi kahta vtyatomia Unohdtaan molkyylioobitaalin muodostuminn ja olttaan, ttä lktonit säilyttävät alussa vapaan vtyatomin pallosymmtisn 1s aaltofunktion Toisn vtyatomin lktoni muodostaa yhdssä paikallaan olvan ytimn kanssa dipolin, jonka suunta ja suuuus vaihtl lktonin kitässä ydintä Kskimäääinn dipolimomntti on nolla, mutta htkllissti toinn vtyatomi näk dipolin muodostaman sähkökntän Dipolin p 1 muodostama sähköknttä on täisyydllä dipolista Sähkömagnttinn knttätoia; Staattist kntät) (ktaa Lindll Sihvola ( p ) 1 p1 1 3 4πε 3 5 (1) Tämä sähköknttä indusoi naapuivtyatomiin dipolimomntin, jonka suuuus on p α () missä α on atomin polaisoituvuus Koska atomit ovat symmtisssä asmassa ksknään ovat molmmat dipolimomntit p1, p htkllisiä indusoitunita dipolimomnttja Toisn dipolin potntiaalingia nsimmäisn muodostamassa kntässä on U p (3) Sijoittamalla (1-) yhtälöön (3) voidaan vuoovaikutus (3) kijoittaa muodossa ( 4πε ) ( 1 3cos θ ) α p U + (4) 6 missä θ on ja p vktoidn välinn kulma Yhtälön (4) antama tulos on titnkin vain kaka avio takmpi tulos saadaan vain kvanttimkaanislla laskulla Potntiaalingiasta aihutuu skä vääntömomntti, ttä adiaalinn ataktiivinn voima, jotka molmmat pykivät liikuttamalla ja vääntämällä dipolia pinntämään potntiaalingiaa Radiaalisn voiman suuuus saadaan yhtälöstä
F ad U θ 1 7 5 lktonit, joidn ngiat ovat 1 V, 3 V js 9 V, tömäävät 1 V:n potntiaalivalliin (kynnyksn) pistssä x Lask missä x-akslilla kunkin lktonin todnnäköisyystihys on pudonnut kymmnntn osaan sn avosta kynnyksn kohdalla Alussa x > aaltoyhtälö on ( < ) d ψ m k ψ, missä k ( ) dx Ratkaisu on muotoa k x k x ψ A + B, missä A, muutn aaltofunktio divgoi ikä ol nomitttavissa Rajapinnalla Vallin sisällä on k x ψ ( x ) B ψ ( x) B hto todnnäköisyystihydn pinnnmisll kymmnntn osaan ψ ( x) kx ln1 ln1 1 x ψ ( x ) k m Numoavoiksi saadaan ( ) x 1V,75Å 3V,85Å 9V,5Å 6 Olkoon lktonin aaltofunktion pallokoodinaatiston kulmasta φ iippuva osa i1φ iφ ( ) ψφ ( ) A 8 + φ [,π ] a) Mitkä ovat yksittäisssä mittauksssa saatavat L z :n
mahdollist avot täll lktonill? b) millä todnnäköisyydllä n saadaan? c) Mikä on kulmaliikmäään z-komponntin odotusavo? Apunuvo: Voidaan osoittaa, ttä pallokoodinaatistossa L ˆz i Määää nomitusvakio A sitn, φ ttä π ψφ ( ) dφ 1 Aloitamm ylisillä takastluilla Voidaan osoittaa, ttä pallokoodinaatistossa L ˆz i, missä φ φ on kitokulma z-akslin ympäi Suaavissa takastluissa mm kuitnkaan tavitspallokoodinaatiston ominaisuuksia i φ i3φ Mkitään χ1 ( φ ) ja π ( ) χ φ Kokilmalla huomaamm, ttä L ˆ zχ1 1 π χ, kysssä on siis L ˆz ominaisfunktio ominaisavolla toisaalta L ˆ zχ 3 χ, kysssä on siis L ˆz ominaisfunktio ominaisavolla 3 Lisäksi huomataan, ttä π π 1 d χ ( φ) φ χ ( φ) dφ 1 ja π π * * 1 d 1 χχ φ χχdφ (1) Tällaisia funktioita sanotaan otonomatuiksi a) Nomitusvakion laskminn : π π * * ( 1 )( 1 ) ψφ ( ) dφ π A χ + 8χ χ + 8χ dφ π * * * * ( 1 1 1 1) π A χ χ + 8 χ χ + 8χ χ + 8χ χ dφ 1 Yhtälöidn (1) pustlla saamm suoaan π A ( ) 5 + 8 1 A 484 Valitsimm 34π tässä A :n aalisksi, sillä aaltofunktion mahdollislla komplksislla vakio-vaihtkijällä i ol vaikutusta hiukkasn fysikaalisiin ominaisuuksiin (on hlppo simkiksi havaita, ttä L z :n odotusavo i muutu, jos komm aaltofunktion millä tahansa vaihtkijällä iδ missä δ i iipu kulmasta φ b) Mkitään nyt c 1 A π ja c 8A π Tällöin alkupäinn aaltofunktio voidaan kijoittaa ψ c1χ1+ cχ ja lisäksi c1 + c 1 L ˆz :n odotusavoksi saamm : (huomaa, ttä jakajana olva intgaali 1, koska aaltofunktio on jo nomitttu)
z π π * * * φ z z π ( )( ˆ ˆ 1 1 1 1 ) L ψ i ψdφ c χ + c χ c L χ + c L χ dφ * * ( c1χ1 + cχ)[ c1 χ1+ c( 3 ) χ] dφ c1 + c ( 3 ) 46 missä taas käytimm yhtälöä (1) Sijoittamalla lopuksi ktoimt c 1, saadaan L z 17 c) Yksittäisissä mittauksissa mahdollisia avoja ovat L ˆz :n ominaisavot Kijoittamalla 1 ( ) L c + c 3 z () huomaamm, ttä L z :n ominaisavo on L ˆz :n ominaisavojn tkijöillä c 1 ja kskiavo Yksittäisssä mittauksssa saamm tuloksksi todnnäköisyydllä todnnäköisyydllä c 1 c painotttu c ja 3 Vakioita 31 7 7 7 p n m 9,191 1 kg m 1,675 1 kg m 1,6748 1 kg amu 1,665 1 kg 19 8 34 4 1 c µ B 1, 61 1 C, 9979 1 m/s 1, 545 1 Js 9, 73 1 JT 1-1 - 6 K Km ε 8, 8544 1 C N m 1/ 4πε µ 1, 566 1 mkgc µ / 4π 11 3 1-1 -1-3 1 A γ 6, 67 1 Nm kg N 6, 5 1 mol R 8, 3143 JK mol k1,385 1 JK