Mat-.8 ovlltun matmatiikan rikoistyö Osakindksisidonnaistn joukkovlkakirjojn hinnoittlumallit mu Nyholm (45757F) 3..4
ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm isällysluttlo JOHDANO... 3 HINNOIELUMALLI... 4. ARBIRAAIHINNOIELUN PERIAAE JA OLEUKE...4. MALLI...4 3 OPIOHINNOIELUMENEELMÄ... 3. OLEUKE... 3. BLACK & CHOLE... 3.3 BINOMIMALLI...5 3.4 MONE CARLO IMULOINI...8 3.5 MENEELMIEN VERAILU... 4 YHEENVEO JA JOHOPÄÄÖKE... LÄHDELUEELO
ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Johdanto Osakindksisidonnaist joukkovlkakirjat (jatkossa indksilainat) ovat ylnsä pankkin tai muidn rahoituslaitostn liikkll laskmia vlkakirjoja, joidn korkotuotto on sidottu jonkin osak-indksin tuottoon laina-aikana. Yksinkrtaisimmillaan indksilaina toimii sitn, ttä alussa sijoittaja maksaa liikklllaskijall mrkintähinnan, joka koostuu lainapääomasta ja liikklllaskijan prmiosta. Laina-ajan lopussa liikklllaskija palauttaa lainapääoman. Pääoman lisäksi liikklllaskija maksaa sijoittajan pääomall korkoa li tuotto-osuudn sn mukaan, kuinka monta prosnttia osakindksi on laina-aikana noussut. Jos osakindksi on laina-aikana lasknut, niin takaisinmaksttavasta pääomasta vähnntään vastaavasti ngatiivinn tuotto-osuus. Edllisn yksinkrtaisn simrkin lisäksi indksilainoihin liittyy usin suraavia järjstlyitä.. Liikklllaskija takaa tityn vähimmäismäärän palautttavall pääomall riippumatta osakindksin tuotosta (tappiosta).. Osakindksin tuotto määritllään kskiarvona osakindksin arvosta tittyinä laina-ajall määritltyinä arvostushtkinä. Voidaan simrkiksi määritllä, ttä osakindksin tuotto lasktaan käyttän indksin loppuarvona kskiarvoa indksin laina-ajan viimisn vuodn kuukausin viidnsintoista päivin päätöskurssista. 3. Osakindksin tuotoll sovlltaan tuottokrrointa, jolla osakindksin tuottoprosntti krrotaan tuottoosuutta laskttassa. Usin tuottokrrointa sovlltaan ainoastaan osakindksin tuoton ollssa positiivinn. 4. Osakindksi, jonka prustlla indksilainan tuotto määräytyy on notrattu ri valuutassa kuin its joukkovlkakirja. Esimrkiksi indksinä voidaan sovltaa jotain Yhdysvaltalaista osakindksiä, mutta joukkovlkakirjan mrkintähinta makstaan ja pääoma skä tuotto-osuus palauttaan uroina. 5. Indksinä voidaan sovltaa usan osakindksin painotttua kskiarvoa. ijoittajall dllä mainittujn järjstlyidn mukainn indksilaina tarjoaa mahdollisuudn sijoittaa yhtn tai usampaan ulkomaalaisn osakindksiin sitn, ttä sijoittajan mahdollissti kärsimä tappio on rajattu. Liikklllaskijall indksilaina taas tarjoaa mahdollisuudn krätä rahoitusta sijoittajilta skä suojata sijoituksiaan indksin kohtna olvissa instrumntissa. ijoittajan kannalta olnnainn kysymys on: mikä on käypä mrkintähinta indksilainall li kuinka suuri prmio liikklllaskijall kannattaa lainapääoman pääll maksaa. ässä rikoistyössä sittään hinnoittlumalli indksilainoill. Osoittautuu, ttä indksilainojn hinnoittlu palautuu vlkainstrumntin ja osto-option hinnoittluun. yössä tarkastllaan ri Englanninkilisssä kirjallisuudssa käyttään trmjä quity-linkd crtiicat o dposit(cd), quity-linkd guarantd invstmnt crtiicat (ELGIC), quity-linkd dbt, quity-linkd bond riippun vlkainstrumntin luontsta.
ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm optiohinnoittlumntlmin sovltuvuutta rityyppistn indksilainojn hinnoittluun. Lisäksi analysoidaan mntlmin sovltamisssa thtyjä oltuksia skä mntlmin hyvyyttä ksknään. Ensimmäisnä indksilainojn ominaisuuksia torttissti analysoivat Edlson ja Cohn (993). ämän jälkn mm. Brooks (996) skä Milvsky ja Kim (997) ovat sittänt hinnoittlumallja järjstlyiltään monimutkaismmill indksilainoill. Hinnoittlumalli. Arbitraasihinnoittlun priaat ja oltukst ässä luvussa sitttävä hinnoittlumalli indksilainall prustuu arbitraasihinnoittlun priaattsn. Määritllään arbitraasi suraavasti: arbitraasi on sijoitusstratgia, joka tuottaa positiivisn kassavirran välittömästi, mutta i ngatiivista kassavirtaa koskaan. Arbitraasi on siis ilmaista rahaa. Arbitraasihinnoittlun priaattssa lähdtään liikkll olttamukssta, ttä toimivilla markkinoilla arbitraasia i siinny. ästä suraa, ttä jos tityn sijoitusinstrumntin hintaa i tunnta, mutta sn tuottamat kassavirrat pystytään täydllissti rplikoimaan sllaisilla instrumntilla, joidn hinta markkinoilla tunntaan, niin rplikoidun instrumntin hinnan tul olla täsmälln sama kuin rplikoivin instrumnttin yhtnlaskttu hinta. Jos näin i olisi, niin ottamalla vastakkaist posititiot rplikoivista ja rplikoidusta instrumntista, sijoittaja voisi muodostaa arbitraasin. Usimmitn arbitraasihinnoittlua sovllttassa i pystytä huomioimaan kaikkia todllisia kustannuksia, jotka sijoittamisn liittyy jo plkästään sn vuoksi, ttä kustannukst ovat rilaisia ri sijoittajill skä vaihtlvat sijoituksn suuruudn ja position mukaan. ämän vuoksi joudutaan tkmään olttamuksia, jotta sittty rplikointistratgia pitää paikkansa. Usimmitn thtävät olttamukst ovat:. ijoittajill i koidu kaupankäynnistä tarkastltavilla instrumntilla transaktiokustannuksia.. Vrosuraamukst sijoittajill ovat samat kaikista tarkastltavista instrumntista koituvill nttovoitoill. 3. ijoittajat pystyvät skä lainaamaan ttä sijoittamaan rahaa riskittömästi samalla riskittömällä korolla. Esittyt olttamukst ovat päralistisia, jos niitä tarkastllaan kaikkin markkinoilla toimivin sijoittajin näkökulmasta. Priaattssa arbitraasihinnoittlun priaattn totutumisn kuitnkin riittää, ttä markkinoilla toimii yksikin sijoittaja, joll sittyt olttamukst ovat voimassa ja joka pyrkii aina tarttumaan siintyviin arbitraasimahdollisuuksiin.. Malli arkastllaan johdannossa sitltyä indksilainaa. Käyttään suraavaa notaatiota: E = indksilainan mrkitty pääoma
ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm = indksilainan laina-aika (vuotta) q = indksilainall taattu pääoman palautusprosntti (%) p = tuotto-osuudn tuottokrroin indksin tuoton ollssa positiivinn (ngatiivisll tuotoll ) s = indksin lasknnallinn tuotto (%) = indksin arvo alkuarvon määräytymishtkllä i = indksin arvo arvostushtkllä i = indksin lasknnallinn loppuarvo n = indksin arvostushtkin lukumäärä r = markkinoilla vallitsva riskitön vuotuinn korko lisättynä liikklllaskijan luottoriskiin liittyvällä korkoprmiolla P = indksilainan hinta sijoitttua pääomaa kohdn. Indksilainoill i tyypillissti maksta kuponkimaksuja vaan lainan räpäivänä makstaan sijoittajall kokonaisuudssaan pääoman palautus ja tuotto-osuus. Näin olln indksilainasta muodostuu sijoittajall täsmälln kaksi rillistä kassavirtaa: ngatiivinn kassavirta mrkintähinnan maksamissta ajanhtkllä t = skä positiivinn kassavirta pääoman ja tuotto-osuudn takaisinmaksusta ajanhtkllä t =. Pääomasta indksilainan räpäivänä takaisin maksttava summa RE määräytyy suraavasti: RE = ( q * E, s q s)* E, q s. E, s (-) uotto-osuutna sijoittajall maksttava summa RP on, s RP =. p * s * E, s (-) Indksin lasknnallinn loppuarvo = n i = n i. lasktaan indksin arvostushtkin arvojn kskiarvona: (-3) Indksin lasknnallinn tuotto määritllään lasknnallisn loppuarvon mukaan suraavasti: s =. (-4)
ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Kokonaisuudssaan sijoittajall räpäivänä takaisin maksttava summa R voidaan siis kirjoittaa indksin lasknnallisn loppuarvon ja tuottokrtoimn unktiona suraavasti (laskmalla yhtn (-) ja (-) skä sijoittamalla s kaavasta (-4)) : R = ( q * E * E p p * ) * E,, q *, q *. (-5) arkastllaan nsin yksinkrtaista rikoistapausta, jossa tuottokrroin p =. Kuvassa - on sittty indksilainan sijoittajall lainan räpäivänä maksama suhtllinn tuotto (R/E) kaavan (-5) mukaissti kun q = 8%. Kuvan prustlla indksilaina maksaa siis räpäivänä aina vähintäänkin 8 prosnttia pääomasta takaisin. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää 8 prosnttia alkuarvosta, niin suhtllinn tuotto alkaa kasvamaan tasasuhtaissti linaarissti. Jos indksin lasknnallinn loppuarvo ylittää alkuarvon, niin sijoittajall makstaan palauttun pääoman pääll tuotto-osuutta. Edlln kuvassa - on sittty kuinka indksilainan maksama tuotto ajan htkllä t = voidaan rplikoida kaikilla indksin lasknnallisilla loppuarvoilla sijoittamalla laina-ajaksi summa kiintäkorkoisn lainaan vuotuislla korolla r skä ostamalla q * ( r) * E kappaltta osto-optioita, joidn kohd- tuutna on indksin lasknnallinn loppuarvo, totutushintana K = q * ja juoksuaikana laina-aika. E Mrkitään osto-option hintaa symbolilla kassavirrat ajanhtkillä t = ja t =. c q. aulukko - sittää rplikoinnista sijoittajall koituvat aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia (tuottokrroin p=) Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Yhtnsä: E * c - q cq E * ( q ( r) ) E * ( q * E * E,, q * ) < q * q *,, < q * q *
ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm.6.4. uhtllinn tuotto: R/E.8.6.4 Indksilaina Kiintä laina Osto-optio...4.6.8..4.6 Indksin lasknnallinn loppu-arvo (*) Kuva -: Indksilainan suhtllinn tuotto räpäivänä (p = ja q =.8) Jos tuottokrroin p poikkaa ykkösstä, niin kaaviosta ja rplikoinnista muodostuu monimutkaismpi. Kuvassa - on sittty simrkit tuottokäyristä, jos tuottokrtoimt ovat.9 ja. ja q = 8%. ällöin indksilaina maksaa dlln räpäivänä vakio 8%:a pääomasta, jos indksin lasknnallinn loppuarvo lask all 8%:iin alkuarvosta. Jos lasknnallinn loppuarvo päätyy välill [8%,%] alkuarvosta, niin indksilaina maksaa vastaavasti 8%:sta %:iin pääomasta. Jos indksin loppuarvo päätyy alkuarvon yläpuolll, niin indksilaina maksaa pääoman kokonaan ja tuotto-osuutta pääll tuottokrtoimn mukaan. Kuvassa tuottokrtoimn vaikutus ilmn sitn, ttä indksilainan käyrät roavat kohd-tuudn arvon jälkn riippun tuottokrtoimsta.
ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm.8.6.4 uhtllinn tuotto: R/E..8.6.4. Kiintä laina Osto-optio (K=.8) Osto-optio (K=.) Osto-optio (K=.) Indksilaina (p=.9) Indksilaina (p=.) -...4.6.8..4.6 Indksin lasknnallinn loppuarvo (* ) Kuva -: Indksilainan suhtllinst tuotot räpäivänä (tuottokrtoimilla p=.9 ja p=. skä q =.8) Koska indksilainan tuottokäyrä koostuu kolmsta rillisstä osasta, niin myös rplikointiin tarvitaan usampia rilaisia instrumnttja. aulukko - sittää kuinka indksilainan kassavirrat ajan htkllä t = voidaan rplikoida kahdlla ri osto-optiolla (totutushinnat q * ja skä hinnat vastaavasti c q ja c ) skä kiintäkorkoislla lainalla. Jos taulukoissa asttaan p=, niin päädytään taulukon - tilantsn kutn luonnollista onkin.
ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm aulukko -: Indksilainan rplikoiva sijoitusstratgia Instrumntti t = t = Kiintä laina q E ( r) * q * E Osto-optio ( K = q * ) Osto-optio ( K = ) Yhtnsä: E * c q E ( p ) * * c E *(( p c ) * c q q ( r) ) ( E * ( E ( p ) * q * * ( q * E * E p p ) * E ),, ),, q * < q * q *,,, < < q * < Koska taulukossa - sittty sijoitusstratgia rplikoi täydllissti indksilainan sijoittajall tuottamat kassavirrat kun t >, niin tällöin i-arbitraasia argumnttiin vdotn voidaan todta, ttä sittyn sijoitusstratgian ajanhtkllä t = aihuttama ngatiivinn kassavirta sijoittajall tul olla täsmälln sama kuin sijoittajan indksilainasta maksama hinta. Eli tarkastllun indksilainan hinta P sijoitttua pääomaa kohdn voidaan kirjoittaa: c c q q P = ( p ), (-6) ( r) missä c q = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana q * ja matruritttina, c = osto-option hinta, jonka kohd-tuutna indksin lasknnallinn loppuhinta, totutushintana ja matruritttina. Kaavan (-6) prustlla havaitaan slkästi, ttä indksilainan hinta muodostuu kolmsta komponntista: q prosnttia pääomasta vastaavasta vlkainstrumntin hinnasta, totutushinnaltaan q prosnttia indksin
ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm alkuarvosta olvan osto-option hinnasta skä totutushinnaltaan indksin alkuarvon suuruisn osto-option hinnasta. Kaavasta (-6) voidaan suoraan luka alaraja indksilainan hinnall q P ( r), (-7) sillä osto-optioidn hinnat ovat aina positiivisia ja totutushinnaltaan suurmman osto-option hinta on aina pinmpi tai yhtä suuri kuin totutushinnaltaan pinmmän option hinta, jos optiot ovat muutn idnttist. c c q ällöin c cq, jolloin myös ( p ) mistä kaava (-7) suoraan suraa. Indksilainan hinnan alaraja on luonnollinn, sillä laina takaa q prosntin palautuksn pääomall kaikissa tilantissa. Edlln kaavasta (-6) ja osto-optioidn ylisistä ominaisuuksista voidaan päätllä, ttä indksilainan hinta nous muidn tkijöidn ollssa nnallaan kun indksin arvo nous tai indksin volatilittti kasvaa. n sijaan korkotason vaikutusta i voida yhtä suoraviivaissti arvioida, sillä muidn tkijöidn ollssa nnallaan korkotason nousu kasvattaa osto-option hintaa, mutta luonnollissti lask vlkainstrumntin hintaa. Eli voidaan ainoastaan todta, ttä indksilaina ragoi korkomuutoksiin laimammin tai päinvastaissti kuin vastaava tavanomainn vlkainstrumntti. Indksilainan rplikoinnissa sovllttavat osto-optiot voivat ominaisuuksiltaan olla suraavanlaisia:. Osto-optiot ovat urooppalaisia optioita li n voidaan totuttaa ainoastaan option juoksuajan lopussa (vrt. amrikkalaist optiot, jotka voidaan totuttaa milloin tahansa option juoksuaikana).. Osto-optiot ovat indksioptioita li niidn kohd-tuutna on yksi tai usampi osakindksi. Optioita, joissa kohd-tuutna on usan instrumntin kskiarvo kutsutaan baskt-optioiksi. 3. Osakindksin kohtna olvat osakkt maksavat osinkoa, jotn osto-optiot ovat optioita osinkoa maksavill kohd-tuuksill. 4. Osto-optioidn arvo totutushtknä määräytyy aritmttisna kskiarvona kohd-tuudn arvosta arvostushtkillä. ällaisia optioita kutsutaan ylissti polkuriippuvaiksiksi ja rityissti aasialaisiksi kskiarvohintaoptioiksi. 5. Osakindksin arvot notrataan ri valuutassa kuin indksilaina. ällöin kysssä on ns. quanto-optio, jossa option tuotto makstaan ri valuutassa kuin sn kohd-tuus notrataan. Arbitraasihinnoittlupriaattn prustlla voitaisiin määrittää indksilainan markkinahinta, jos markkinoilla olisi notratut hinnat dllä kuvatuill osto-optioill. Näin i kuitnkaan ol, jotn ostooptioidn hinnat tul määrittää jollakin torttislla optiohinnoittlumntlmällä. Hull (3) s. 69
ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm 3 Optiohinnoittlumntlmät Ylisimmät optiohinnoittlussa sovllttavat mntlmät ovat Black & chols malli, binomimalli ja Mont Carlo simulointi. Niidn jokaisn sovltamisssa on omat hyvät ja huonot puolnsa, lisäksi tityill optiotyypill voidaan sovltaa ainoastaan jotakin tai joitakin mntlmistä. Niinpä hinnoittlumntlmä tul valita sovlluskohtsta riippun. Kaikkin lutltujn mntlmin pohjalla on kuitnkin samat oltukst option kohd-tuudn hintaprosssista skä markkinoidn toiminnasta. Niinpä suraavassa käydään nsin läpi mallissa thtävät oltukst, tämän jälkn sitllään lyhysti ri mntlmät ja luvun lopussa analysoidaan mntlmin ominaisuuksia skä sittään mitä mntlmistä tulisi minkäkin tyyppisll indksilainall sovltaa. ässä luvussa noudattaan suraavaa notaatiota: = Option kohd-tuudn hinta = Option totutushtki K = Option totutushinta µ = Kohd-tuudn tuoton odotusarvo σ = Kohd-tuudn volatilittti (ts. σ t on kohd-tuudn tuoton kskihajonta aikavälillä t) r = Markkinoilla vallitsva vakio riskitön vuotuinn jatkuva korko y = Kohd-tuudn vuotuinn osinkotuotto (%) = Johdannaisinstrumntin (option) hinta. 3. Oltukst Ensimmäinn oltus sitttävissä optiohinnoittlumntlmissä on, ttä option kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä d = µ dt σdz, (3-) missä dz on Winr-prosssi. Diskrttiaikainn vrsio prosssista voidaan kirjoittaa = µ t σε t, missä ε ~ N(, ) on normaalijakautunut satunnaismuuttuja, jonka oltusarvo on ja kskihajonta. ällöin kohd-tuudn suhtllinn tuotto on myös normaalijakautunut: Kohd-tuudn hinta on ajan unktio li varsinaissti (t), tilan säästämisksi käyttään ylissti. n sijaan käyttään mrkintöjä =() ja =(). Johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio li ((t),t), tilan säästämisksi mrkitään plkkä. Jos mrkintää käyttään yksittäisnä arvona johdannaisinstrumntin hinnall, niin tarkoittaan arvoa =((),).
ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm ~ N( µ t, σ t ) ja dlln Ito:n lmman prustlla kohd-tuudn hinnan logaritmi on normaalijakautunut ln ~ N(ln ( µ σ ) t, σ ), jolloin kohd-tuudn hinnan sanotaan olvan log-normaalijakautunut paramtrilla ovat ajan suhtn vakiot. t ( µ σ ) t ja σ t. Mallissa olttaan, ttä paramtrit µ ja σ Muut mallisssa thtävät oltukst ovat:. Kohd-tuudn lyhyksi myynti on markkinoilla mahdollista.. Kohd-tuudn myynnistä tai ostosta i koidu transaktiokustannuksia tai vrosuraamuksia. 3. Kohd-tuus on täysin jaollinn li sitä voidaan ostaa ja myydä milivaltaisissa määrissä. 4. Kaupankäynti kohd-tuudlla on jatkuvaa. 5. Markkinoilla on mahdollista lainata rahaa skä sijoittaa riskittömään vlkainstrumnttiin vakio riskittömällä korolla. 3. Black & chols Jos kohd-tuudn hinta suraa gomtrista brownin liikttä kutn dllisssä kappalssa sitttiin ja johdannaisinstrumntin hinta on kohd-tuudn hinnan ja ajan unktio, niin Ito:n lmman prustlla d = ( µ σ ) dt σdz. (3-) t Yhtälössä satunnainn trmi on dz li Winr-prosssi. Muodostamalla jokaisna ajanhtknä portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista sitn, ttä johdannaisia myydään yksi kappaltta ja kohd- tuutta osttaan/myydään -kappaltta saadaan sijoitusstratgia, jossa satunnaistrmit kumoavat toisnsa li portolio on riskitön. Näin muodostttun portolion hinta on P = (3-3) ja hinnan muutos li tuotto on dp = d d. (3-4) ijoittamalla yhtälöt (3-) ja (3-) dllisn saadaan
ERIKOIYÖ 3(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm dp = ( µ σ ) dt, (3-5) t joka on riippumaton dz:sta li on riskitön. Nyt arbitraasihinnoittlun priaattn mukaan tämän riskittömän portolion tuotto tarkastltavalla ajanhtkllä tul olla täsmälln sama kuin vastaavan hintaisn riskittömän vlkainstrumntin tuotto portolion hinnan suuruisll pääomall. Näin olln dp = rpdt, (3-6) johon sijoittamalla P :n ja dp :n lauskkt saamm Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälön: r t = r σ. (3-7) ämä osittaisdirntiaaliyhtälö voidaan ratkaista :n suhtn rilaisill johdannaisinstrumntill. aadut ratkaisut riippuvat minkälaisia runahtoja osittaisdirntiaaliyhtälöll asttaan. Esimrkiksi urooppalaisll osto-optioll runahdot ovat (, ) = max( K,) ja (, t) =. Näillä runahdoilla yhtälöll on johdttu analyyttinn ratkaisu ln ( r σ ) r = N( d) K N( d ), d K =, d = d σ σ, (3-8) missä N(x) on standardoidun normaalijakauman kumulatiivinn todnnäköisyysunktio. uurimmall osasta rilaisia johdannaisinstrumnttja ratkaisua i voida johtaa analyyttisna lauskkna vaan joudutaan tyytymään osittaisdirntiaaliyhtälöidn numrisiin ratkaisumntlmiin kutn init dirnc mthod. Indksioptioill: Indksioptioill sovllttassa Black & chols yhtälössä tul huomioida indksin kohtna olvin osakkidn maksamat osingot. Nämä huomioidaan arvioimalla option juoksuaikana indksiin kuuluvin osakkidn maksamin osinkojn arvo Y ja muuntamalla tämä vuotuisksi jatkuvaksi koroksi y indksin Y arvoll. Eli jos optioidn maksamat osingot option juoksuaikana yhtnsä ovat Y, niin y = ln( ). ällöin dllisn kappaln Black & chols yhtälön johdossa kaavassa (3-4) tul huomioida portolion tuotossa osakkidn osinkotuotto dp = d ( d y), (3-9)
ERIKOIYÖ 4(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm jolloin Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälö saa muodon r t = ( r y) σ. (3-) Edlln analyyttinn ratkaisu urooppalaisll osto-optioll muuntuu muotoon = ln ( r y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ y σ. (3-) Quanto-optioill: Quanto-optioiksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuus notrataan ri valuutassa kuin its optio. Quantooptioita hinnoitltassa tul huomioida korrlaatio kohd-tuudn tuoton ja valuuttakurssin välillä. Voidaan osoittaa, ttä tällöin Black & chols yhtälöä johdttassa tul portolion tuottovaatimuksksi (3-6) asttaa riskittömän tuoton sijasta valuuttakurssiriskilllä korjattu tuotto. Olttaan, ttä kohd-tuus notrataan valuutassa A ja johdannaisinstrumntti valuutassa B. Olkoot σ A / B valuuttakurssin (notrattuna x A pr B ) volatilittti ja ρ valuuttakurssin ja kohd-tuudn tuoton välinn korrlaatio. Edlln olkoot riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa A ja r B riskitön vuotuinn jatkuva korko valuutassa B. ällöin Black & chols yhtälö saa muodon ra r B = ( ra σ t ρσ A / Bσ y), (3-) jolloin urooppalaisll osto-optioll ratkaisu on = * ln ( rb y σ ) r N( d) K N( d ), d K =, d = d σ * y B σ, (3-3) missä y * = rb ra ρσ A / Bσ y. Aasialaisill optioill: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida ksaktisti hinnoitlla Black & chols mallin mukaissti, sillä kohd-tuudn arvostushtkin kskiarvohinta i noudata tarkasti log-normaalia jakaumaa, mikä oli yksi Black & chols mallin lähtöoltuksista. Kskiarvohinnan jakaumaa voidaan kuitnkin approksimoida log- Hull (3) s. 499 Hull (3) s. 444
ERIKOIYÖ 5(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm normaalilla jakaumalla laskmalla kksiarvohintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja laskmalla näistä vastaavan log-normaalin jakauman paramtrit odotusarvo ja varianssi. Momntit lasktaan M M = n = ( n n i= ( r y) ti n i n ( r y) ti i= = j< i ( r y) ti ( r y) t j σ ti ), (3-4) missä t i kohd-tuudn arvostushtki. ällöin Black & chols yhtälössä voidaan käyttää suraavia paramtrja = ( r y) M σ = ln M M. (3-5) Baskt-optioill: Baskt-optioksi kutsutaan optioita, joidn kohd-tuutna on usan instrumntin painotttu kskiarvo. Vastaavasti kuin aasialaisilla optioilla, niin myöskään baskt-optiolla usan kohd-tuudn painotttu kskiarvo i noudata täsmällissti log-normaalia jakaumaa. ässäkin tapauksssa approksimatiivinn ratkaisu saadaan muodostttua laskmalla kohd-tuuksin korin hintajakauman kaksi nsimmäistä momnttia ja sovltamalla näitä aasialaistn optioidn tapaan Black & chols yhtälössä. Kohd-tuuksin korill momntit lasktaan M M = = n i= n n ( r yi ) n i= j= i i ( r yi ) j ( r y j ) ρijσiσ j, (3-6) missä i on kohd-tuudn i alkuarvo ja ρ ij on kohd-tuuksin i ja j välinn korrlaatio. 3.3 Binomimalli Binomimallin priaat on täsmälln sama kuin Black & chols yhtälön johtamisssa noudatttu priaat: jokaislla ajanhtkllä muodosttaan riskitön portolio kohd-tuudsta ja johdannaisinstrumntista. Koska portolio on riskitön, niin sn tuotto on arbitraasihinnoittlupriaattn mukaan riskittömän vlkainstrumntin tuotto. Binomimallissa toisin kuin Black & chols yhtälössä porolion tuottoa tarkastllaan diskrttinä ajanhtkinä. Lisäksi kohd-tuudn hintaprosssia tarkastllaan diskrttinä urnbull (99) Hull (3)
ERIKOIYÖ 6(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm prosssina, jossa jokaisna ajanhtknä hinta voi nousta vakiokrtoimlla u tai laska vakiokrtoimlla d. Näin olln kohd-tuudn hinnoista voidaan muodostaa kuvassa 3- sittty binomihila. u u = u = ( p r t uu ( p) ud ) uu uu = uu = max( uu K,) ud ud = ud = max( ud K,) = = ( p r t u ( p) d ) u d = d = r t ( p ud ( p) dd ) dd dd = dd = max( dd K,) Kuva 3-: Binomimalli urooppalaisll osto-optioll Olkoot kohd-tuudn hinta htkllä t = ja hilapistidn aikaväli hinta on joko u tai d ja dlln htkllä t. Htkllä t = t kohd-tuudn t = t kohd-tuudn hinta on joko uu, ud tai dd jn. Mrkitään vastaavasti johdannaisinstrumntin hintoja htkllä t = :llä ja htkllä t t d :llä jn. = u :lla tai Muodosttaan htkllä t = portolio kohd-tuudsta ja johdannaissta sitn, ttä myydään yksi johdannainn ja osttaan/myydään k-kappaltta kohd-tuuksia. Valitaan k sitn, ttä portoliosta muodostuu riskitön li portolion arvo pysyy vakiona liikkui kohd-tuudn hinta ylös tai alas. Näin saadaan k:ll hto u ku = d kd. (3-7) Lisäksi vaaditaan arbitraasihinnoittlun priaattsn vdotn, ttä näin muodosttun riskittömän portolion tuoton tul olla riskittömän vlkainstrumntin tuotto samall pääomall. Portolion hinta alussa oli k, jolloin tuotto kohd-tuudn hinnan liikkussa ylös ja vlkainstrumntin tuotto ovat r t u ku = ( k ). (3-8)
ERIKOIYÖ 7(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm Näin on saatu muodostttua kahdll tuntmattomall k ja kaksi yhtälöä (3-7) ja (3-8), joista ratkaismalla = r t ( p u ( p) d ), p = r t u - d. d (3-9) Edllä sittty logiikka pät binomihilassa yhtälaissti millä tahansa aikavälillä. Kaava (3-9) muodostaa siis binomihilassa palautuskaavan, jolla hilassa voidaan liikkua taakspäin. Näin olln tul nsin määrittää johdannaisinstrumntin arvot hilan lopussa li totutushtkllä t = ja sittn laska hila taakspäin palautuskaavaa sovltan. avanomaisn osto-option hinta totutushtkllä on max( K,) ja myyntioption max( K,). Krtoimt u ja d tul binomimallissa valita sitn, ttä binomihilan muodostama hintaprosssi noudattaa mahdollisimman tarkasti kaavassa (3-) sitttyä gomtrista brownin liikttä. ämä voidaan suorittaa täsmäämällä hintaprosssin odotusarvot ja varianssit. Kaavan (3-) mukaan hinnan odotusarvo htkllä t = t on t µ (i), binomihilassa hinnan odotusarvo taas on pu ( p) d (ii), missä p on todnnäköisyys, ttä hinta nous. Vastaavasti varianssi brownin liikkssä on pu σ t (iii) ja binomihilassa ( p) d ( pu ( p) d) (iv). Yksi hdot (i) = (ii) ja (iii) = (iv) approksimatiivissti totuttava ratkaisu on valita u = d = σ t σ t, (3-) joita nimittään Cox, Ross ja Rubinstinin krtoimiksi niidn kksijöidn mukaan. Yhtnvtona binomihinnoittlumntlmä toimii suraavasti.. Valitaan aika-askl t.. Lasktaan krtoimin u ja d arvot kaavoilla (3-). 3. Muodosttaan kohd-tuudn hinnall binomihila lähtin liikkll kohd-tuudn alkuarvosta. 4. Lasktaan option arvot hilan loppupistissä kysisn johdannaisinstrumntin totutushtkn arvon kaavalla. 5. Lasktaan palautuskaavalla (3-9) option hinta hilan lopusta alkuun, jolloin option hinta on hilan nsimmäisssä solussa. Indksioptioll: Binominallissa indksioptioidn osingot huomioidaan samaan tapaan kuin Black & chols mallissa li muodosttun riskittömän portolion tuoton kaavassa (3-8) huomioidaan osinkotuotto y
ERIKOIYÖ 8(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm u r t r y t ku ( ) = k, (3-) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t ( p u ( p) d ), p = ( r y) u t - d. (3-) d Quanto-optioll: Myös valuuttakurssiriippuvaistn quanto-optiodn huomioiminn binomimallissa tapahtuu idnttissti Black & chols mallin kanssa. Kaavassa (3-8) tul kohd-tuudll riskittömän tuoton lisäksi vaatia valuuttakurssista aihutuva riskilisä u ku = rb t k ( r ρσ A A / Bσ y) t, (3-3) jolloin binomihilan palautuskaavaksi saadaan = r t B ( p u ( p) d ), p = ( r ρσ / σ y) t A A B u d - d. (3-4) Aasialaisill optioll: Aasialaisia kskiarvohintaoptioita i voida hinnoitlla binomimntlmällä. Baskt-optioill: Priaattssa baskt-optiot voidaan hinnoitlla binomihila-mallilla muodostamalla kolmi- tai usampiulottisia hiloja. ällaisia mallja ovat sittänt mm. Hull ja Whit skä Rubinstin. Käytännössä näidn mallin implmntaatiot ovat niin monimutkaisia, ttä suositltavampaa baskt-optioidn hinnoittlussa on sovltaa sitttyä Black & chols mallin approksimaatioita tai Mont Carlo simulointia. 3.4 Mont Carlo simulointi Mont Carlo simuloinnin johtamisssa sovlltaan riskinutraalin hinnoittlun priaattta. Johdannaisinstrumntill johdtussa Black & chols -osittaisdirntiaaliyhtälössä i siinny kohdtuudn tuoton oltusarvoa dustavaa paramtria µ. Esitttyjn oltustn vallitssa johdannaisintrumntin hinta on siis riippumaton kohd-tuudn tuoton oltusarvosta. n sijaan johdannaisinstrumntin hinta riippuu kohd-tuudn alkuhinnasta, totutushinnasta, volatilittistä ja riskittömästä korosta. Näistä mikään i ol riippuvainn sijoittajan riskiprrnssistä li johdannaisinstrumntin hinta on täysin riippumaton Hull (994) Rubinstin (994)
ERIKOIYÖ 9(5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm sijoittajan riskiprrnssistä. ällöin sijoittajan hyötyunktion muodolla i ol vaikutusta johdannaisinstrumntin hintaan, jotn hyötyunktioksi voidaan valita linaarinn unktio, jolloin sijoittaja on riskinutraali. ijoittajan riskinutralittistä suraa, ttä sijoittajan sijoituksll vaatima tuotto on vakio riippumatta sijoituksn liittyvästä riskistä li sijoittajan tuottovaatimuksna voidaan sovltaa riskitöntä korkoa. anotaan, ttä tällöin sijoituskohtita tarkastllaan riskinutraalissa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa prusajatuksna on simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa ja simulointin prustlla laska stimaatti johdannaisinstrumntin tuottamill kassavirroill riskinutraalissa maailmassa. ämän jälkn stimaatit diskontataan johdannaisinstrumntin alkupäivään, jolloin tämä muodostaa arbitraasihinnoittlun prustlla hinnan johdannaisinstrumntill riskinutraalissa maailmassa ja koska tarkastltavan johdannaisinstrumntin hinta i ol riippuvainn riskiprrnssistä, niin sama hinta pät myös todllisssa maailmassa. Mont Carlo simuloinnissa kohd-tuudn hinnan olttaan noudattavan gomtrista Brownin liikttä riskinutraalissa maailmassa d = rdt σdz, (3-5) missä dz on standardi winr-prosssi, r on riskitön vuotuinn jatkuva korko ja σ on kohd-tuudn vuotuinn volatilittti. ämä on yhtäpitävää suraavan diskrtin prosssin kanssa (vrt. kappal 3.) σ ( t t) = ( t) * xp ( r ) t σε t, (3-6) missä ε ~ N(,) on satunnaismuuttuja standardoidusta normaalijakaumasta. Kaavalla (3-6) voidaan simuloida kohd-tuudn hintaprosssia riskinutraalissa maailmassa. avanomaisll urooppalaisll osto-optioll Mont Carlo -simulointiprosssi tn suraavasti.. imuloidaan kaavalla (3-36) kohd-tuudn hinnat t aikavälill t = ja t = askllla. Lasktaan simuloitujn hintojn prustlla johdannaisinstrumntin htkllä t = tuottama kassavirta c. avanomaisll osto-optioill c = max( K,). 3. Lasktaan johdannaisinstrumntin hinta diskonttaamalla instrumntin tuottama kassavirta htkn t = r riskittömällä korolla = c. Laittaan laskttu muistiin. 4. oisttaan asklt 3 m-krtaa. 5. Lasktaan osto-option hinnan stimaatti kohdassa 3 laskttujn osto-option hintojn kskiarvona: m ˆ = * i = i. m 95%:n luottamusväli dllä kuvatulla mnttlyllä lasktull option hinnall on t.
ERIKOIYÖ (5) EKNILLINEN KORKEAKOULU mu Nyholm s s ˆ.96ˆ.96ˆ < c < ˆ m, (3-7) m missä ŝ on option hintojn i kski-hajonta stimaatista ). Indksioptioill: Indksioptioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan indksin kohtna olvin osakkidn osinkotuotto y, jolloin simuloinnissa sovllttava asklunktio saa muodon σ ( t t) = ( t) *xp ( r y ) t σε t. (3-8) Quanto-optioill: Vastaavasti quanto-optioilla kohd-tuudn hintaprosssissa riskinutraalissa maailmassa huomioidaan valuuttakurssiriskin aihuttama tuottovaatimuksn lisä. ällöin simuloinnissa sovlltaan asklunktiota σ ( t t) = ( t) *xp ( ra ρσ A / Bσ y ) t σε t (3-9) ja johdannaisn tuotto diskontataan korolla r. B Aasialaisill optioill: Aasialaistn kskiarvohinta optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnissa onnistuu yksinkrtaissti. Valitaan simulointiaskl t sitn, ttä kohd-tuudll saadaan arvot kaikilla arvostuhtkillä ja lasktaan jokaislla simulointikirrokslla kohd-tuudn lasknnallinn loppuhinta arvostuhtkin arvojn kksiarvona. Muutn simulointi suorittaan kutn dllä on sittty. Ensimmäisnä Mont Carlo - simulointimallin aasialaisill optioill sittivät Kmma ja Vorst (99). Baskt-optioill: Myös baskt-optioidn hinnoittlu Mont Carlo simuloinnilla onnistuu yksinkrtaissti. n sijaan, imuloidaan vuorotlln jokaislla simulointiaskllla kaikkin kohd-tuuksin hinnat omina hintaprosssina. imuloitassa on huomioitava kohd-tuuksin välinn korrlaatio. imuloinnissa käytttävin normaalijakautunidn satunnaismuuttujin korrlaatioidn tul vastata kohd-tuuksin korrlaatioita raalimaailmassa. Korrloitunidn satunnaismuuttujin gnrointi voidaan totuttaa simrkiksi Cholsky hajotlmalla.