SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA

SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA Maarit Vesapuisto Vaasan liopisto Teknillinen tiedekunta Sähkötekniikka Luentomoniste 010

SISÄLLYLUETTELO 1. Vektorianalsi Vektori ja skalaari 1 Yksikkövektori Vektori karteesisessa koordinaatissa Vektorin pituus 3 Yksikkövektori 4 Vektorien hteen- ja vähennslasku 4 Skalaari- eli pistetulo 6 Vektori- eli ristitulo 8 Oikean käden- sääntö 9 Koordinaatistot 11 Koordinaatiston vaihto 13 Pituusalkiot 18 Pinta-alkiot 19 Tilavuusalkiot 1 Esim. Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa. Coulombin voimat ja sähkökentän voimakkuus Coulombin laki 3 Sähkökentän voimakkuus 5 Derivointikaavoja 6 Integrointikaavoja 7 Pistevarauksen aikaansaama sähkökentän voimakkuus 8 Varausjakaumat 9 3. Sähkövuo ja Gaussin laki Kokonaisvaraus 34 Sähkövuo 35 Sähkövuon tihes 35 Differentiaalinen sähkövuo 36 Gaussin laki 36 Pistevarauksen aikaansaama sähkövuon tihes ja sähkökentän voimakkuus 38 Gaussin pinta 38 4. Divergenssi ja divergenssi teoreema Divergenssi 40 Vektorikentän divergenssi 41 Sähkövuon tiheden divergenssi 47 Mawellin 1. htälö staattisille kentille 48 Nabla 48 Divergenssiteoreema 49 5. Sähköstaattinen kenttä: tö, energia ja potentiaali Varaus sähkökentässä 50 Tö ja differentiaalinen tö 51

Differentiaaliset etäissvektorit 51 Konservatiivisuus 5 Pisteiden välinen potentiaali 5 Pistevarauksen potentiaali 53 Varausjakauman potentiaali 53 Pisteiden (M ja N) välinen etäiss 54 Skalaarifunktio V 54 Gradientti 55 Sähkökentän voimakkuuden ja potentiaalin välinen htes 56 Staattisessa sähkökentässä oleva energia 56 Staattiseen sähkökenttään varastoitunut energia 57 6. Virta, virtatihes ja johteet Sähkövirta 58 Varaus thjiössä 58 Varaus nesteessä / kaasussa 59 Liikkuvuus 59 Virtatihes 60 Johdinvirtatihes 60 Johtavuus nesteessä / kaasussa 61 Johtavuus johteissa 61 Johtavuus puolijohteissa 6 Virta 6 Kokonaisvirta johtimessa 63 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa vakio 63 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa ei-vakio 64 Virtatason virtatihes 64 Virran jatkuvuusehto 65 Johteen ja eristeen väliset rajapintaehdot 65 Sähkökenttä ja vuontihes johteessa 66 Sähkökentän ja vuontiheden tangentiaalinen komponentti rajapinnassa 66 Gaussin lain sovellus rajapinnassa 67 7. Kapasitanssi ja eristeaineet Atomin polarisoituminen 68 Sähköinen dipolimomentti 69 Polarisaatio eristeessä 69 Polarisaatio makrotasolla 70 Polarisaatio isotrooppisessa aineessa 70 Kapasitanssi 71 Rinnan ktkett kapasitanssit 71 Sarjaan ktkett kapasitanssit 7 Sähkökenttään varastoitunut energia 7 Kapasitanssiin varastoitunut energia 73 Levkondensaattori vakiojännitteeseen ktkettnä 73 Levkondensaattorin levillä vakio varaus 74 Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla 74

8. Laplacen htälö Johdanto 76 Poissonin htälö 76 Laplacen htälö 77 Laplacen htälö eri koordinaatistoissa 77 Ainoa laatuisuus 79 Keskiarvoteoreema 79 Maksimiarvoteoreema 80 Yksi muuttuja karteesisessa koordinaatistossa 80 Integroinnit 81 Rajaehdot 81 Sähkökentän voimakkuus 8 Varaustihes johdelevillä 8 9. Amperen laki ja magneettikenttä Staattinen magneettikenttä 83 Magneettivuon tihes 84 Magneettikentän voimakkuus 84 Vektorikentän roottori 85 Roottori leisessä muodossa 85 Roottori eri koordinaatistoissa 86 Roottorin ominaisuuksia 87 Biot n ja Savartin laki 88 Amperen laki 89 Amperen lain sovelluksen ehdot 90 Magneettikentän voimakkuuden roottori 90 Magneettivuo 91 Magneettikentän vektoripotentiaali 91 Vektoripotentiaalit perusvirtajakaumille 9 Stokesin lause 9 10. Magneettikentässä vaikuttavat voimat ja vääntömomentit Lorenin voimalaki 93 Magneettisen voiman riippuvuus virran suunnasta 94 Tö 94 Vääntömomentti (N / m) 95 Virtasilmukka esimerkki : voima 95 Virtasilmukka esimerkki : vääntömomentti 96 Magneettimomentti 96

SATE.1060 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 1. VEKTORIANALYYSI Vektori ja skalaari vektorilla A on sekä pituus (magnitude) että suunta (direction) skalaarilla A on vain pituus 1.01.009 SATE.1060.01 / mv / 44 1

Yksikkövektori Yksikkövektorin e A (unit vector) pituus on 1. Vektorin A suuntainen ksikkövektori e A : e A = A A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 3 / 44 Vektori karteesisessa koordinaatistossa Karteesisessa koordinaatistossa (,, ): akselien suuntaiset ksikkövektorit: e, e, e mielivaltainen vektori: vektorin A pituus: A = A e + A e + A e A = A = A + A + A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 4 / 44

Vektorin pituus Olkoon vektori C = 5e + 3 e (,, -koordinaatistossa) C B A 5,83 Pthagoraan lauseen mukaisesti: C nt: A = C ja B = C = A + B C = C + C = 5 + 3 = 34 = 5,83 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 5 / 44 Vektorin pituus Olkoon vektori C = 5e + 3e + e (,, -koordinaatistossa) C = C + C C C = C + C = ( C + C ) + C C C C = C + C + C C C Pthagoraan lauseen mukaisesti: C = C + C + C = 5 + 3 + = 38 = 6,16 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 6 / 44 3

Yksikkövektori Olkoon vektori: A = e + 3e 4 e. Vektorin A suuntainen ksikkövektori: e A = A = e + 3e 4e A ( ) + 3 + 4 3 4 = e + e e 9 9 9 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 7 / 44 Vektorien hteen- ja vähennslasku A ± B ( Ae Ae Ae ) ( Be Be Be ) ( A B ) e ( A B ) e ( A B ) e = + + ± + + = ± + ± + ± 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 8 / 44 4

Liitäntä-, osittelu- ja vaihdantalaki: A+ ( B + C ) = ( A+ B ) + C ( ) k A+ B = ka + kb ( ) k + k A = k A + k A 1 1 A+ B = B + A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 9 / 44 Vektorien hteenlasku Olkoon vektorit: A = 4 e + e ja B = e + e C = A + B C = B + A B ( ) ( ) ( ) ( ) C 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 10 / 44 A = 4e + e + e + e = 5e + 3 e = e + e + 4e + e = 5e + 3 e 5

Vektorien vähennslasku Olkoon vektorit: A = 4 e + e ja B = e + e B -B C A C = A B ( B) = A + ( ) ( ) = 4e + e + e e = 3 e e 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 11 / 44 Skalaari- eli pistetulo A B = A B + A B + A B A B = AB cosθ θ on vektorien A ja B välinen pienempi kulma 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 1 / 44 6

Skalaari- eli pistetulo Skalaari- eli pistetulolle pätee osittelulaki ja skalaarien kertolaskusäännöt: ( ) A B + C = A B + A C A B = A B k k ( ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 13 / 44 Skalaari- eli pistetulo: C = A B = AB cosθ AB Olkoon vektorit: a) A = 8 e ja B = 4e + 4e B θ AB Bcosθ AB A A A = = = = A A 8 8 B = B = B + B = 4 + 4 = 3 = 4 B 4 1 cosθ AB = = = B 4 ( ) ( ) ( ) ( ) C = A B = 8e 4e + 4e = 8* 4 + 0* 4 = 3 1 C = AB cosθ AB = 8*4 * = 3 Eli: "vektorin A pituus" kertaa "vektorin B projision pituus vektorille A" 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 14 / 44 7

Skalaari- eli pistetulo: C = A B = AB cosθ AB Olkoon vektorit: b) A = 8 e ja B = 4e + 4e B Bcosθ AB θ AB A A A = = = = A A 8 8 ( ) B = B = B + B = 4 + 4 = 3 = 4 B 4 1 cosθ AB = = = B 4 ( ) ( ) C = A B = 8e 4e + 4e = 3 1 C = AB cosθ AB = 8*4 * = 3 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 15 / 44 Vektori- eli ristitulo ( ABsinθ ) A B = e θ on vektorien A ja B välinen pienempi kulma e n on vektorien A ja B määrittämän tason (kun ko. vektorit on piirrett samasta pisteestä) normaalin suuntainen ksikkövektori n 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 16 / 44 8

Oikean käden -sääntö Tason normaali valitaan oikean käden korkkiruuvisäännön mukaisesti: e n A B 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 17 / 44 Vektoritulo komponenttimuodossa A B ( Ae Ae Ae ) ( Be Be Be ) ( A B A B ) ( A B A B ) ( A B A B ) = + + + + = e + e + e A B = e e e A A A B B B 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 18 / 44 9

Vektori- eli ristitulo: C = A B = AB sinθ AB e n Olkoon vektorit: A = 3 e ja B = e + 3e C = A B A = = = = A A 3 3 A e n θ ΑΒ B Bsinθ AB B = B = B + B = 1 + 3 = 10 B 3 sinθ AB = = B 10 3 C = AB sinθ AB e n = 3* 10 * e = 9e 10 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 19 / 44 Vektori- eli ristitulo Olkoon vektorit: A = 3 e ja B = e + 3e C = A B A B e e e e e e C = A B = A A A = 3 0 0 = 9e B B B 1 3 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 0 / 44 10

Koordinaatistot Suorakulmainen (karteesinen) koordinaatisto: P (,, ) r P(,, ) r = e + e + e 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 1 / 44 Koordinaatistot Slinterikoordinaatisto: P ( ρ, ϕ, ) ρ r P(ρ,ϕ,) ϕ r = ρe + e ρ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv / 44 11

Koordinaatistot Pallokoordinaatisto: P( r, θ, ϕ ) θ ϕ r r P(r,θ,ϕ) r = re r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 3 / 44 Koordinaatistot Vektorit komponenttimuodossa: karteesinen: A = A e + A e + A e slinterik.: A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + A e pallok.: A = A e + A e + A e r r θ θ ϕ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 4 / 44 1

Koordinaatistot Suunta vektorit noudattavat oikean käden sääntöä: karteesinen slinterik. pallok. e e = e ρ e e = e e e = e ϕ ϕ e e = e e e = e e e = e r θ θ ρ e e = e ϕ e e = e ϕ ϕ ρ e e = e r r ϕ θ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 5 / 44 Karteesinen -> slinterik. r P(,, ) = P(,, ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 6 / 44 13

Karteesinen -> slinterik. P(,, ) r ρ = + ϕ ρ P(,, ) ϕ = arctan = 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 7 / 44 Slinterik. -> karteesinen ρ r ϕ P(ρ,ϕ, ) ρ = P(ρ,ϕ, ) taso 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 8 / 44 14

Slinterik. -> karteesinen ϕ r ρ = ρ cosϕ = ρ sinϕ = P(ρ,ϕ, ) ϕ ρ P(ρ,ϕ, ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 9 / 44 Karteesinen -> pallok. ( ) r = + + r = + + P(,, ) r P(,, ) r ρ ρ = + r = ρ + 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 30 / 44 15

Karteesinen -> pallok. P(,, ) r ρ = + ϕ ρ P(,, ) ϕ = arctan 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 31 / 44 ρ = + Karteesinen -> pallok. θ P(,, ) r ρ ρ arctan arctan + θ = = P(,, ) taso 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 3 / 44 16

Pallok -> karteesinen θ r r P(r,θ,ϕ) θ r ρ P(r,θ,ϕ) taso ϕ = r cosθ ρ = r sinθ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 33 / 44 Pallok -> karteesinen θ ρ = r sinθ r r ϕ P(r,θ,ϕ) ϕ ρ P(r,θ,ϕ) = ρ cosϕ = r sinθ cosϕ = ρ sinϕ = r sinθ sinϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 34 / 44 17

Pituusalkiot Karteesinen koordinaatisto: dl = d +d + d d d d 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 35 / 44 Pituusalkiot Slinterikoordinaatisto: dl = dρ + ρdϕ + d ρ ϕ ρdϕ dρ d 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 36 / 44 18

Pituusalkiot Pallokoordinaatisto: dl = dr + rdθ + r sinθdϕ ϕ rsinθ θ dϕ rsinθdϕ rdθ r dr dθ dϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 37 / 44 Pinta-alkiot Karteesinen koordinaatisto: ds ds ds = dd = dd = dd 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 38 / 44 19

Pinta-alkiot Slinterikoordinaatisto: ( ρ ϕ ) ds = d d = ρdϕd ds ρ ϕ = dρd ( ) ds = dρ ρdϕ = ρdρdϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 39 / 44 Pinta-alkiot Pallokoordinaatisto: ( )( ) ( ) ( θ ) dsr = rd r sin d = r sin d d ds = dr rsinθdϕ = rsinθdrdϕ θ ds = dr rd = rdrdθ ϕ θ θ ϕ θ θ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 40 / 44 0

Tilavuusalkiot Karteesinen koordinaatisto: dv = ddd Slinterikoordinaatisto: dv = dρ ρdϕ d = ρdρdϕd ( ) Pallokoordinaatisto: dv = dr rd r sin d = r sinθdrdθdϕ ( θ )( θ ϕ ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 41 / 44 Tilavuusalkiot Animaatiosivu pinta- ja tilavuusalkioista: http://www.uwasa.fi/~mave/sah105anim1.html 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 4 / 44 1

Esim. 5: Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa (1/) ( 3π ) P ( π ) Pisteiden P1 4,,0 ja 5,,10 välinen etäiss: Määritetään ensin vektorit r ja r karteesisessa koordinaatistossa: 1 1 ( 3π ) ( 3π ) = 4*cos = 0 1 = 4*sin = 4 = 0 1 ( π ) ( π ) = 5*cos = 0 = 5*sin = 5 = 10 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 43 / 44 Esim. 5: Kahden pisteen välinen etäiss slinterikoordinaatistossa (/) Joten r = 4 e ja r = 5e + 10e 1 Ja pisteiden välinen etäiss: ( ) r = r1 r = 4e 5e + 10e = 9e + 10e ( ) = 9 + 10 = 181 13, 4 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 44 / 44

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA. COULOMBIN VOIMAT JA SÄHKÖKENTÄN VOIMAKKUUS Coulombin laki Kahden varauksen välillä vaikuttaa voima F [N], joka on suoraan verrannollinen varauksien (Q 1 ja Q [C]) suuruuteen ja kääntäen verrannollinen etäisden (d [m]) neliöön: Q Q F = 4πε d 1 e (väliaineen permittiiviss: ε = ε 0 ε r ; thjön permittiiviss: ε 0 = 8,854*10-1 F/m ε r = suhteellinen permittiiviss 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 46 / 44 3

Coulombin laki: kaksi pistevarausta Q Q Q Q = R 1 F 1 1 = e 1 3 4πε R1 4πε R1 1 F 1 on varauksen Q aiheuttaa voima varaukseen Q 1 e 1 on ksikkövektori, jonka suunta on varauksen Q (olinpaikka)pisteestä r varauksen Q 1 pisteeseen r 1 R 1 = R 1 e 1 on vektori, joka pisteestä r pisteeseen r 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 47 / 44 Coulombin laki: useita pistevarauksia F Q Q n 1 k 1 = e k1 4πε k = Rk1 F 1 on varauksien Q... Q n hteensä aiheuttama voima varaukseen Q 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 48 / 44 4

Coulombin laki: varaukselle Eristetn varauksen Q mpärillä voimakenttä on pallosmmetrinen (varaus pallokoord. origossa) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 49 / 44 Sähkökentän voimakkuus Sähkökentän voimakkuus E [V/m tai N/C] on määritelt Coulombin lain avulla: t E = F Q t F t = QtQ 4πε r e r F t on varauksen Q aiheuttama voima etäisdellä r olevaan pieneen testivaraukseen Q t (Q t << Q) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 50 / 44 5

Derivointikaavoja 1/ Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita d 1) 0 d A = d ) A = A d d d d 4) v u uv = u + v d d d du dv d u v u 5) = d d d v v d n n 3) A = na d 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 51 / 44 Derivointikaavoja / Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita d du 6) sin u = cosu d d d du 7) cosu = sin u d d d 1 du 8) ln u = d u d d u du 9) e = e d d u 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 5 / 44 6

1) A d = A Integrointikaavoja 1/3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita ( ) = ( ) ) Af d A f d ( ) 3) u ± v ±... d = u d ± v d ±... 4) u dv = uv v du 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 53 / 44 n+ 1 n u 5) u d u =, n 1 n + 1 1 ln u, u > 0 6) du = u ln u, u < 0 Integrointikaavoja /3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita u 7) e du = e u u ln A u u u ln A e A 8) A du = e d u =, A 0, A 1 ln A = ln A > 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 54 / 44 7

9) sin u du = cosu Integrointikaavoja 3/3 Seuraavissa kaavoissa u ja v ovat :n funktioita; A ja n ovat vakioita 10) cosu du = sin u cos A 11) sin A d = A sin A 1) cos A d = A A A e 13) e d = A 14) ln d = ln 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 55 / 44 Pistevarauksen aikaansaama sähkökentän voimakkuus E P(r,θ,ϕ) E P(,, ) Q re r Q P( 1, 1, 1 ) Q Q E = e E = e r 4πε r 4πε R R=( - 1 )e +( - 1 )e + ( - 1 )e R 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 56 / 44 8

Varausjakaumat: tilavuusvaraus Tilavuusvaraus ρ V [C/m 3 ]: dq ρ V = dq = ρ d dv V V Sähkökentän voimakkuus: de = E = dq 4πε R V ρv 4πε R e R e d R V R dq=ρ V dv ρ V de P V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 57 / 44 Varausjakaumat: tasovaraus Tasovaraus ρ S [C/m ]: dq ρ S = dq = ρ ds S ds Sähkökentän voimakkuus: dq de = e R 4πε R ρs E = e d s R S 4πε R dq=ρ S ds 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 58 / 44 S de P R ρ S 9

Varausjakaumat: viivavaraus Viivavaraus ρ l [C/m]: dq ρ l = dq = ρ l dl dl Sähkökentän voimakkuus: dq de = e R 4πε R ρl E = e d l R l 4πε R 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 59 / 44 L de P R dq=ρ l dl ρ l Varausjakaumat: pistevaraus E Q re r P(r,θ,ϕ) E = Q 4πε r e r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 60 / 44 30

Varausjakaumat: ääretön viivavaraus dq ρld de = e R = e R 4πε R 4πε R ρld ρeρ + e de1 = 4πε ( ρ + ρ + ) ρld ρeρ e de = 4πε ρ + ρ + ( ( ) ) ( ) Koska jokaiselle paikassa olevalle varaukselle dq on olemassa paikassa varaus dq => -komponentti katoaa - ρ l + dq=ρ l d ρ R R 1 dq=ρ l d P de 1 de 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 61 / 44 Varausjakaumat: ääretön viivavaraus ρlρd E = e ρ ( ) 3 ρ l + 4πε ρ + ρlρ d E = 4π ρ ε e ρ + d ( ) 3 = ( ) 3 + A A + A ρlρ E = / 4πε ρ ρ ( ) 1 + e ρ ρ P E 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 6 / 44 31

Varausjakaumat: ääretön viivavaraus E ρ l = 4π ερ ρ ρ ( ) ( + ) + ( ) 1 1 e ρ ρ l + E ρ l = 4π ερ e ρ ρ P E E = ρ l e π ερ ρ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 63 / 44 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus dq ρsds de = e R = e R 4πε R 4πε R ρs ρdρdϕ ρeρ + e de = 4πε ρ + ρ + ( ( ) ) ( ) 1 d E : ρe 1 ρ d E : ρe ρ e = = + e + e e ( ) + ( ) ρ S + e de 1 de P R 1 R ρ ρ + dq=ρ l ρdρdϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 64 / 44 3

E = π 0 0 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus Koska jokaiselle paikassa (, ) olevalle varaukselle dq on olemassa paikassa (-, -) varaus dq => ρ-komponentti katoaa ρs E = 4πε ρ ρ dρdϕ S 4πε ρ π ( ) 3 + ρdρ e dϕ ( ) 3 0 0 ρ + d 1 = ( ) 3 + A + A e + dq=ρ l ρdρdϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 65 / 44 ρ S + de 1 de R ρ e ρ P R 1 Varausjakaumat: ääretön tasovaraus ρ π S E = / ϕ / 4πε 0 0 1 ρ + ρs 1 1 E = *π* 4πε e e E E = ρs e ε n + ρ S e n e n + 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 66 / 44 E 33

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 3. SÄHKÖVUO JA GAUSSIN LAKI Kokonaisvaraus Q Kokonaisvaraus Q saadaan integroimalla varaustihes ρ ko. viivan, pinta-alan tai tilavuuden li : Viivavaraus: Tasovaraus: Tilavuusvaraus: dq = ρldl Q = ρldl dq = ρsds Q = ρsds dq = ρv dv Q = ρv dv l S V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 68 / 44 34

Sähkövuo Ψ Sähkövuo Ψ [C] lähtee positiivisesta varauksesta +Q ja päätt negatiiviseen varaukseen -Q (tai äärettömteen) Ψ = Q +Q -Q +Q 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 69 / 44 Sähkövuon tihes D Jos pisteen P läheisdessä vuoviivat ovat ksikkövektorin e n suuntaisia ja jos vuo dψ kulkee alan ds (ko. tason normaali e n ) läpi, niin sähkövuon tihes D [C/m ] pisteessä P: Ψ D = dψ e ds n ds P e n D 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 70 / 44 35

Differentiaalinen sähkövuo dψ Alan ds läpäisevä diff. sähkövuo dψ : dψ = DdS cosθ = D dse = D ds n S ds ρ V e n θ V D 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 71 / 44 Gaussin laki Kuvaa suljetun pinnan sisällä olevien lähteiden ja pinnan läpi kulkevan vektorivuon välistä htettä: D d S = Q enc 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 7 / 44 36

Gaussin laki: pistevaraus Q = D d S = D ds r = De dse r e n D π π = D r sinθdθdϕ 0 0 π π = Dr sinθdθ 0 0 dϕ Q ds 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 73 / 44 Gaussin laki: pistevaraus π π Q = Dr sinθdθ dϕ 0 0 π π = Dr / ( cos θ ) / ϕ 0 0 = Dr ( 1+ 1 )*π Q ds e n D ( 4π ) = D r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 74 / 44 37

Pistevarauksen aikaansaama sähkövuon tihes ja sähkökentän voimakkuus Q Q D = e n = e 4πr 4πr Q E = e r 4πε r D = ε E r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 75 / 44 Vaatimukset: Gaussin pinta Pinnan on oltava suljettu Jokaisessa pinnan pisteessä sähkövuon D on oltava suunnaltaan ko. pinnalle normaali tai tangentiaalinen D on paikallisesti vakio osissa, joissa D on suunnaltaan normaali ko. pinnalle 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 76 / 44 38

Gaussin pinta Q = D d S D d S + 1 D d S S S S3 = 1 + D d S 3 ρ l S 1 S + ds 1 D S S D ds = De ds e = 0 1 1 3 3 1 ρ 1 S 3 ρ 3 S ( ) ds D ds = De ds e = 0 ds 3 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 77 / 44 D S 3 D S D ds = De ds e = S ρ S DdS L π 0 0 L = D ds = D ρ d ϕ d π = Dρ d dϕ 0 0 ( πρ ) Q = D L S Gaussin pinta ρ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 78 / 44 ρ l + ds 1 D D ds D ds 3 39

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 4. DIVERGENSSI JA DIVERGENSSI TEOREEMA Divergenssi Jos vektorikentän divergenssi on positiivinen, ko. alueella on olemassa lähteitä (=> +Q). Jos vektorikentän divergenssi on negatiivinen, ko. alueella on olemassa nieluja (=> -Q). Jos vektorikentän divergenssi on nolla, ko. alueella ei ole lähteitä eikä nieluja. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 80 / 44 40

Vektorikentän divergenssi Vektorikentän A divergenssi pisteessä P: div A = lim V 0 A d S V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 81 / 44 Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa Vektorikenttä A pisteessä P: A = A e + A e + A e A P 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 8 / 44 41

vasen Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa ( ) A d S A A d S A ( + ) ( ) oikea A A + vasen A ds + A ds A oikea = A () ds P 1 A ( + ) ds 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 83 / 44 Vektorikentän divergenssi karteesisessa koordinaatistossa A A A A d S = + + d div A = lim A S V 0 V A A A div A = + + 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 84 / 44 4

Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa Vektorikenttä A pisteessä P: A = Aρ eρ + Aϕ eϕ + A e ρ ϕ ρ P A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 85 / 44 vasen Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa ( ) A d S Aρ ρ ρ ϕ oikea ( )( ) A ρ (ρ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 86 / 44 ds A d S Aρ ρ + ρ ρ + ρ ϕ Aρ Aρ ( ρ ) + ρ ( ρ + ρ ) ϕ ρ P A ρ (ρ + ρ) ds Aρ Aρ ( ρ ) ρ ϕ + Aρ ( ρ ) + ρ ρ ϕ ρ 43

vasen Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa A ds + A ds oikea Aρ Aρ ( ρ ) + ρ ρ ϕ ρ ( ρ Aρ ) ρ ϕ ρ 1 ρ ρ ( ρ Aρ ) v A ρ (ρ) ds P A ρ (ρ + ρ) ds ( ρ A ) = ρ A ( ρ ) + ρ A ρ ρ ρ ρ ρ ρ v = ρ ρ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 87 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen ( ) A d S Aϕ ϕ ρ oikea ( ) A d S Aϕ ϕ + ϕ ρ ds Aϕ Aϕ ( ϕ ) + ϕ ρ ϕ P A ϕ (ϕ + ϕ) ds A ϕ (ϕ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 88 / 44 44

Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen A ds + A ds oikea Aϕ ϕ ρ ϕ ds P A ϕ (ϕ + ϕ) ds A ϕ (ϕ) 1 Aϕ v ρ ϕ v = ρ ρ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 89 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen ( ) A d S A ρ ρ ϕ oikea ( ) A d S A + ρ ρ ϕ A A ( ) + ρ ρ ϕ ds P ds A ( + ) A () 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 90 / 44 45

Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa vasen A ds + A ds A oikea A ρ ρ ϕ v ds P ds v = ρ ρ ϕ A ( + ) A () 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 91 / 44 Vektorikentän divergenssi slinterikoordinaatistossa ( ρ ρ ) ( ρ ρ ) 1 A 1 A A A d S ϕ = + + v ρ ρ ρ ϕ d div A = lim A S V 0 V 1 A 1 Aϕ A div A = + + ρ ρ ρ ϕ ρ ϕ ρ P A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 9 / 44 46

Vektorikentän divergenssi pallokoordinaatistossa ( r Ar ) ( A sinθ ) 1 1 θ 1 Aϕ div A = + + r r r sinθ θ r sinθ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 93 / 44 Sähkövuon tiheden divergenssi Gaussin laista: D d S V = Q enc V d Q div D = lim D S = lim enc = ρ V 0 V V 0 V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 94 / 44 47

Mawellin 1. htälö staattisille kentille: Jos ε on vakio : div D =ρ div E = ρ ε Jos ε ei ole vakio : div ε E = ρ E ja D-kenttien divergenssi on nolla kaikissa isotrooppisissa varauksettomissa kentissä. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 95 / 44 Nabla karteesisessa koordinaatistossa: ( ) ( ) ( ) = e + e + e Nabla (ksinään) kuvaa osittaisderivaatan ottamista jokaisesta ksikkövektorista erikseen. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 96 / 44 48

Karteesisessa koordinaatistossa: A = e + e + e e + e + e ( A A A ) A A A = + + = div A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 97 / 44 Divergenssiteoreema Gaussin laista: D ds = ρ V dv = Q enc Toisaalta: ρ = D => (Gaussin) divergenssiteoreema: ( ) D d S = D dv 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 98 / 44 49

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 5. SÄHKÖSTAATTINEN KENTTÄ: TYÖ, ENERGIA JA POTENTIAALI Varaus Q sähkökentässä E +Q F a F E Varaukseen Q vaikuttaa sähkökentässä E voima F: F = QE Jotta varaus Q psisi paikallaan, on siihen vaikutettava ulkoinen voima F a : F a = - QE 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 100 / 44 50

Tö W ja differentiaalinen tö dw dw = F dl = QE dl a Jos varaus Q on positiivinen ja dl on E:n suuntaan dw < 0, eli sähkökenttä tekee tötä. Jos dw > 0, tehdään tötä sähkökenttää vastaan. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 101 / 44 Differentiaaliset etäissvektorit Karteesinen koordinaatisto: dl = de + de + de Slinterikoordinaatisto: dl = dρeρ + ρdϕeϕ + de Pallokoordinaatisto: dl = dre + rdθe + r sinθdϕe r θ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 10 / 44 51

Konservatiivisuus Staattisessa sähkökentässä teht tö (siirrettäessä pistevaraus kohdasta B kohtaan A) on riippumaton kätetstä reitistä. A E d l = d 1 E l 1 1- eli E d l = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 103 / 44 B Pisteiden välinen potentiaali Pisteen A potentiaali pisteeseen B verrattuna = tö, joka tehdään siirrettäessä positiivinen ksikkövaraus Q u pisteestä B pisteeseen A V AB A W = = d Q E l u B ( J/C tai V) Huom: Referenssipiste on viivaintegraalin alarajana. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 104 / 44 5

Pistevarauksen Q potentiaali Pistevarauksen Q aikaansaama sähkökenttä E on radiaalinen. A Referenssipisteen B ollessa äärettömdessä: V A A V AB = E d l A Q dr = Erer drer = Erdr = B B B 4πε r rb r Q A 1 Q 1 1 = / = 4πε rb r 4πε ra rb Q 1 1 Q = V = 4πε ra 4πε r A r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 105 / 44 Varausjakauman ρ V potentiaali Differentiaalisen varauksen aikaansaama diff. potentiaali pisteessä P: dv dq = 4πε R Kokonaispotentiaali pisteessä P: dq dv V = V 4πε R = ρ 4πε R V V dq R dv P 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 106 / 44 53

Pisteiden (M ja N) välinen etäiss: r M(,, ) dr N(+d, +d, +d) r + dr dr = de + de + de 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 107 / 44 Skalaarifunktio V Funktion V muutos dv siirrttäessä pisteestä M pisteeseen N: V V V dv = d + d + d 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 108 / 44 54

Gradientti V V V V V = e + e + e Gradientti esittää skalaarifunktion muutosnopeutta avaruudessa (vrt. derivaatta) M V dr N V(,, ) = c V(,, ) = c 1 Gradientin suunta: funktion V ma kasvusuunta dv = V dr 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 109 / 44 Gradientti V Potentiaalifunktion gradientti on vektorikenttä, joka on kohtisuorassa vakiopotentiaalipintaa vastaan V V V V = e + e + e V V V V = eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ V V V V = er + eθ + e r r θ r sinθ ϕ ϕ ( karteesinen koord. ) ( slinterikoord. ) ( pallokoord. ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 110 / 44 55

Sähkökentän voimakkuuden E ja potentiaalin V välinen htes V = E d l dv = E dl Toisaalta: dv = V dr Koska dl = dr E = V Sähkökentän E suunta on korkeammasta alempaan potentiaaliin. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 111 / 44 Staattisessa sähkökentässä oleva energia W E Tuotaessa varaus Q 1 paikkaan 1, on tarvittava tö nolla. Tuotaessa varaus Q paikkaan, tarvittava tö on verrannollinen varauksen suuruuteen ja varauksen 1 potentiaaliin. Kokonaistö: W = W + W + W E 1 3 ( QV,1 ) ( Q3V 3,1 Q3V 3, ) = 0 + + + 1 3 Q 1 Q Q 3 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 11 / 44 56

Staattiseen sähkökentään varastoitunut energia W E W n 1 = Q V E m m m= 1 WE W E 1 = dv D E 1 = VVdV ρ 1 WE = ε E dv W E 1 D = dv ε 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 113 / 44 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 6. VIRTA, VIRTATIHEYS JA JOHTEET 57

Sähkövirta I = tietn pisteen tai tietn pinta-alan läpi kulkevan sähkövarauksen määrä aikaksikössä Yksikkö A = C/s Virtatihes J (A/m ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 115 / 44 Varaus Q thjössä +Q U E Thjössä olevassa sähkökentässä E varaukseen Q vaikuttava voima F = QE saa aikaan vakiokiihtvden => Varaus liikkuu E:n suuntaan kiihtvällä nopeudella U. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 116 / 44 58

Varaus Q nesteessä / kaasussa Nesteessä tai kaasussa varaus Q törmäilee väliaineen hiukkasiin suunta vaihtuu satunnaisesti. Vakio kentässä E ja homogeenisessa väliaineessa on keskimääräinen kentän suuntainen nopeus U (= kenttänopeus) +Q U E 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 117 / 44 Liikkuvuus µ Kenttänopeus U on suoraan verrannollinen kentänvoimakkuuteen E. U = µ E µ = liikkuvuus (m /Vs) vaihtelee lämpötilan ja kappaleen kiderakenteen mukaan 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 118 / 44 59

Virtatihes J Tilavuusvaraustihentmä ρ V liikkuu oikealle kenttänopeudella U. Tihentmän kulkiessa pinta-alan S lävitse, se aikaan saa konvektiovirran, jonka virtatihes on J = ρ V U U ρ V V S 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 119 / 44 Johdinvirtatihes J Aiheutuu johtimen sisällä olevasta sähkökentästä: J = ρ U ja U = µ E V J = σ E U σ = ρ µ (= johtavuus S/m) v S E 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 10 / 44 60

Johtavuus σ nesteessä / kaasussa Aiheuttajina positiiviset ja negatiiviset ionit: J E σ = ρ µ + ρ + µ + 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 11 / 44 Johtavuus σ johteissa Aiheuttajina valenssielektronit: J E σ = ρ µ e e 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 1 / 44 61

Johtavuus σ puolijohteissa Aiheuttajina elektroni-aukko -parit: J E σ = ρ eµ e + ρ hµ h 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 13 / 44 Virta I Jos virrantihes J kulkee pinta-alan S lävitse ds di = J I = ds J d S S S J 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 14 / 44 6

Kokonaisvirta I johtimessa Kun vakiopoikkipintaiseen A pituudeltaan l olevan johtimen päiden välillä on jännite-ero U, niin E = U U ja J l = σ l E, J A olettaen, että virta on tasaisesti jakautunut pintaalalle A. l U 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 15 / 44 Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa vakio Em. tilanteessa kokonaisvirta: σ AU I = JA = l Ohmin lain mukaisesti: l U = RI R = Ω σ A ( ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 16 / 44 63

Johtimen resistanssi R virtatiheden ollessa ei-vakio Ohmin lain mukaisesti: U R = = I U U = J d S σ E ds Jos vain sähkökentän voimakkuus on tiedossa: R = E dl σ E ds 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 17 / 44 Virtatason virtatihes K Kun kokonaisvirta I kulkee suuntaan slinterinmuotoista (säde ρ) tasoa, niin jokaisessa ko. tason pisteessä ρ I K = e πr Yleisessä muodossa integroidaan K:n normaalikomponenttia: = I K l C n d K 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 18 / 44 64

Virran jatkuvuusehto Suljetulla pinnalla: J d S = I Jaetaan molemmat puolet V:llä: J ds ρ V dv = V t V Kun V V ρ 0, niin J = t dq = = V dv dt t ρ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 19 / 44 E d l Johteen ja eristeen väliset rajapintaehdot Sähkökenttä on konservatiivinen => 3 4 1 = E d l + E d l + E d l + E d l = 0 1 3 4 1 Eriste 4 3 Johde 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 130 / 44 65

Sähkökenttä ja vuontihes johteessa Staattisessa tilanteessa kaikki varaukset ovat johtimen ulkopinnalla johtimen sisällä : ρ = 0 D = 0 E = 0 4 3 1 E d l = 0 E dl + E dl + E dl = 0 3 3 1 E dl = E dl = 0 4 1 4 Annetaan etäisksien 3 ja 4 1 lähestä nollaa: E d l = 0 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 131 / 44 Sähkökentän ja vuontiheden tangentiaalinen komponentti rajapinnassa Sähkökenttä E on välillä 1 eristeen pinnalla tangentiaalinen: E dl = E dl = 0 1 1 t Joten: sähkökentän voimakkuuden ja sähkövuontiheden tangentiaalinen komponentti johteen ja eristeen rajapinnassa on nolla: E = D = 0 t t 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 13 / 44 66

Gaussin lain sovellus rajapinnassa D d S = D d S + D d S + D ds läp. alap. sivu = Q enc Sähkövuon tiheden tangentiaalinen komponentti on 0 D d S = 0 sivu D ds + D ds = Qenc läp. alap. D n läp. S ds läp. Eriste Johde alap. ds alap 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 133 / 44. Gaussin lain sovellus rajapinnassa Sähkövuon tihes johteessa on 0 D d S = 0 alap. D d S = Q läp. enc Sähkövuon tiheden suunta lälaipassa on tason pinnalle normaali: D ds = D ds = ρ ds n läp. läp. A D = ρ S E = ρ ε n S n 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 134 / 44 S 67

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 7. KAPASITANSSI JA ERISTEAINEET Atomin polarisoituminen Sähkövuon tihes D on eristeaineessa suurempi kuin thjössä (E:n ollessa sama) => eristeaine polarisoituu sähkökentässä + + E 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 136 / 44 68

Sähköinen dipolimomentti p Positiivisen ja negatiiviisen varausalueen siirtminen vastakkaisiin suuntiin => Sähköinen dipolimomentti p = Qd d Q E 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 137 / 44 => Polarisaatio P Polarisaatio P eristeessä Polarisoituneella eristealueella V on N kappaletta dipolimomentteja p P = Np lim C/m V V 0 ( ) Tällöin oletetaan, että dipolimomentit noudattavat jatkuvaa jakaumaa ko. tilavuudessa, mikä ei pidä paikkaansa. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 138 / 44 69

Polarisaatio P makrotasolla Makroskooppisella tasolla: D = ε 0 E + P E:n ja P:n suunnat voivat erota toisistaan (tiett kristalliset eristeaineet). 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 139 / 44 Polarisaatio P isotrooppisessa aineessa Isotrooppisilla, lineaarisilla materiaaleilla E ja P ovat samansuuntaiset kaikissa pisteissä: P = χ ε e 0 E, missä χ = ε D = ε E, missä ε r = ε e ( ) D = ε 1 + χ E = ε ε E, sähköinen suskeptibiliteetti 0 e 0 missä ε = 1 + χ suhteellinen permittiiviss r e 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 140 / 44 r 70

Kapasitanssi C Kahden johtavan alueen, joiden välissä on thjö tai eristeainetta, välillä on kapasitanssi: Ψ + + + + + + + Q C = V ( F) Kapasitanssin suuruus riippuu vain järjestelmän geometriasta ja eristeen ominaisuuksista. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 141 / 44 Rinnanktkett kapasitanssit A 1 A d V ε 0 ε r1 ε 0 ε r C 1 C V Kaksi kapasitanssiltaan erilaista eristeainetta on rinnakkain: ε 0ε r1a1 ε 0ε r A C1 = ja C = d d ε 0 Ckok = C + C = ε r A + ε r A d ( ) 1 1 1 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 14 / 44 71

Sarjaanktkett kapasitanssit d 1 ε 0 ε r1 A V C 1 V d ε 0 ε r C Kaksi kapasitanssiltaan erilaista eristeainetta on peräkkäin: ε ε A ε ε A C = ja C = 0 r1 0 r 1 d1 d 1 1 1 ε r d + ε r d = + = C C C ε ε ε A 1 1 kok 1 0 r1 r 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 143 / 44 Sähkökenttään varastoitunut energia Sähkökenttään varastoitunut energia (integrointi johteiden välisessä tilavuudessa, hajavuota ei huomioida): WE 1 = dv D E D = ε ε E 0 r 1 = ε ε WE 0 re dv 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 144 / 44 7

Kapasitanssiin varastoitunut energia Kapasitanssiin varastoitunut energia (integrointi johteiden välisessä tilavuudessa, hajavuota ei huomioida): WE = 1 CV 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 145 / 44 Levkondensaattori vakio jännitteeseen ktkettnä => Levjen välissä vakio E E V = e d 0 n Kun levjen välissä olevan eristeen permittiiviss ε r : ε V D = ε E = e d 0 0 0 0 n d E = E D = ε r 0 D 0 V ε 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 146 / 44 73

Levkondensaattorin levillä vakio varaus => Levjen välissä vakio D Q 1 Q D0 = en E0 = D0 = e A ε 0 ε 0 A Kun levjen välissä olevan eristeen permittiiviss ε r : D = D E = 1 ε r 0 E 0 +Q -Q n ε 0 A d 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 147 / 44 Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla E:n tangentiaalinen komponentti on jatkuva eristeiden rajapinnassa: Dt 1 Dt Et1 = Et = ε r1 ε r D:n normaalikomponentti on ko. rajapinnassa epäjatkuva ( ρ :n suuruuden verran): ε r E θ 1 Dn 1 Dn = ρ ε r1 s θ ρ s ε r1en1 ε r En = ε0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 148 / 44 E 1 74

Rajapintaehdot kahden eristeaineen rajapinnalla Tavallisesti eristeaineiden välisessä rajapinnassa ei ole varauksia, joten rajapintaehdot tulevat olemaan: E D D = E = ε ε t1 t t1 t r1 r D = D ε E = ε E n1 n r1 n1 r n 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 149 / 44 SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 8. LAPLACEN YHTÄLÖ 75

Johdanto Sähkökentän voimakkuuden määrittäminen on vaikeaa integroimalla varausjakaumia tai Gaussin lain perusteella, koska leensä varausjakaumaa ei tunneta potentiaalifunktion gradientin kautta, koska leensä potentiaalifunktiota ei tiedetä koko alueella 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 151 / 44 D = ρ Poissonin htälö D = ε E ε E = ρ Homogeenisessa väliaineessa: ρ ε ( V ) V = E ε = ρ V = V = ρ ε 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 15 / 44 76

Laplacen htälö Homogeenisessa varauksettomassa väliaineessa: V = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 153 / 44 Laplacen htälö karteesisessa koordinaatistossa V V V V = e + e + e A = + + A A A V V V V = + + = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 154 / 44 77

Laplacen htälö slinterikoordinaatistossa V 1 V V V = eρ + eϕ + e ρ ρ ϕ 1 1 Aϕ A A = ( ρ Aρ ) + + ρ ρ ρ ϕ ρ ρ ρ ρ ϕ 1 V 1 V V V = ρ + + = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 155 / 44 Laplacen htälö pallokoordinaatistossa V 1 V 1 V V = er + eθ + e r r θ r sinθ ϕ 1 1 1 Aϕ A = ( r Ar ) ( Aθ sinθ ) + r r r sinθ θ r sinθ ϕ 1 V 1 V 1 V V r θ = + sin + = 0 r r r r sinθ θ θ r sin θ ϕ ϕ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 156 / 44 78

Ainoalaatuisuus Sähköstaattisella probleemalla on vain ksi ratkaisu V 1 V V =100V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 157 / 44 Keskiarvoteoreema Varauksettomassa alueessa: Ymprän tai pallon keskipisteessä potentiaali V on keskiarvo kaikista ko. alueella olevista arvoista 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 158 / 44 79

Maksimiarvoteoreema Varauksettomassa alueessa: Potentiaalilla V ei voi olla maksimi- tai minimiarvoa ko. alueessa. => Potentiaalin V maksimiarvo on alueen rajapinnassa 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 159 / 44 Yksi muuttuja karteesisessa koordinaatistossa Levjen välissä oleva tila on varaukseton. V V V V = + + = 0 Hajavuota ei huomioida. Potentiaali on vain :n funktio. V = 0 d V = 0V V =100V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 160 / 44 80

Integroinnit Integroidaan kahteen kertaan: V V = = 1. integr. 0 A V. integr. = A V = A + B 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 161 / 44 Rajaehdot Kätetään apuna htälön kertoimien ratkaisussa rajaehtoja: V = 0, kun = 0 B = 0 100 V = 100, kun = d A = d V = 100 ( V) d 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 16 / 44 81

Sähkökentän voimakkuus V V V E = V = e + e + e 100 V Nt E V = = 100 = e d e d e m ε100 C D = e d m 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 163 / 44 Varaustihes johdelevillä ε100 C ρs d m = d + ja = 0 = Dn = ± 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 164 / 44 8

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 9. AMPÈREN LAKI JA MAGNEETTIKENTTÄ Staattinen magneettikenttä Staattisen magneettikentän saa aikaiseksi 1. vakiovirta. kestomagneetti 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 166 / 44 83

Magneettivuon tihes B ksikkö T= Vs i m kuvaa avaruuteen jakautunutta magneettista voimaa, joka saa sähkövirran muutamaan suuntaansa 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 167 / 44 A i ksikkö m Magneettikentän voimakkuus H B H = B = µ H (lineaariselle väliaineelle) µ µ = µµ = permeabiliteetti 0 r 7 thjön permeabiliteetti µ 0 = 4π*10 H/m voidaan käsittää matemaattiseksi apusuureeksi E:n ja H:n välillä smmetria (dualismi) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 168 / 44 84

Vektorikentän A roottori mittaa vektorifunktion pörteisttä 1. vektorifunktion muuttuminen omaa suuntaansa vastaan kohtisuorassa suunnassa. suunnan kaartuminen A A A 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 169 / 44 Roottori leisessä muodossa 1 A = h h h 1 3 h e h e h e 1 3 h A h A h A 1 3 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 170 / 44 85

Roottori karteesisessa koordinaatistossa e e e A = A A A A A A A A A = e + e + e 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 171 / 44 Roottori slinterikoordinaatistossa e ρe e ρ 1 A = ρ ρ ϕ ϕ A ρ A A ρ ϕ A A ϕ Aρ A 1 Aρ = ρ + ϕ + ( ρ Aϕ ) ρ ϕ e ρ e ρ ρ ϕ e 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 17 / 44 86

Roottori pallokoordinaatistossa A = r e re r sinθe r 1 sinθ r θ ϕ A ra r sin A r θ θ ϕ ϕ 1 Aθ 1 1 Ar = ( A sinθ ) er + ( ra ) e r sinθ θ ϕ r sinθ ϕ r 1 Ar + ( raθ ) eϕ r r θ ϕ ϕ θ 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 173 / 44 Roottorin ominaisuuksia 1. Kaikille vektorikentille A: Roottorin divergenssi on nolla (skalaari) ( A) = 0. Kaikille skalaarifunktioille f: Gradientin roottori on nolla (vektori) ( f ) = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 174 / 44 87

Biot n ja Savartin laki Suoran pitkän virtajohtimen magneettikentän laki: I e e ϕ I H I H e ρ R 1. Kentän suunta saadaan oikeankäden säännön mukaisesti. Kentän voimakkuus on verrannollinen virtaan I ja kääntäen verrannollinen etäisteen R 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 175 / 44 Biot n ja Savartin laki Yleisessä muodossa: dh = Idl e 4πR R [ A/m] Id l R H = Idl e 4πR R [ A/m] d H 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 176 / 44 88

Ampèren laki Kahden samansuuntaisen suoran virtajohtimen välisen voiman laki: 1. Yhden suuntaiset suorat virtajohtimet vetävät toisiaan, jos virrat ovat samansuuntaiset I 1 I e e ϕ F L e ρ F I H. Johtimen osaan vaikuttava voima F on verrannollinen osan pituuteen L ja kumpaankin virtaan I 1 ja I sekä kääntäen verrannollinen johdinten välimatkaan R 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 177 / 44 Ampèren laki H d l = I alue Suljettu viivaintegraali magneettikentän voimakkuuden tangentiaalisesta komponentista = kokonaisvirta ko. viivaintegraalin sisään jäävässä alueessa 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 178 / 44 89

Ampèren lain sovelluksen ehdot 1. Kunkin pisteen suljetulla reitillä H tulee olla joko tangentiaalinen tai normaali reitille. H on htä suuri jokaisessa reitin pisteessä, missä H on tangentiaalinen 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 179 / 44 Magneettikentän voimakkuuden H roottori Ampèren lain mukaisesti: I di e = lim = J = 0 ds I di H e = lim = J = H = J 0 ds I di e = lim = J = 0 ds ( H ) ( ) ( H ) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 180 / 44 90

Magneettivuo Φ (Wb) Φ = B d S S Gaussin laki magneettivuolle: Suljetun pinnan läpi ulos tuleva magneettivuo on nolla. Φ = 0 Magneettivuo on jatkuva. 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 181 / 44 Magneettikentän vektoripotentiaali A (Wb/m) Staattinen magneettikenttä on aina roottorikenttä: On olemassa vektorikenttä A, jonka pörteiss on kentän magneettivuon tihes B: A = Jos vektoripotentiaali halutaan määrittää alueella olevan virran perusteella, tarvitaan lisäehto: B A = 0 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 18 / 44 91

Vektoripotentiaalit perusvirtajakaumille µ Idl Virtalanka: A = 4πR µ ds Virtataso: A = K 4πR µ dv Virtatihes: A = J 4πR R on etäiss virtaelementistä pisteeseen, jossa vektoripotentiaalia ollaan määrittämässä. S V 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 183 / 44 Stokesin lause Suljetulla reitillä C olevat vektorikentän F tangentiaaliset komponentit = alueen S läpi kulkevat vektorikentän F roottorin normaalikomponentit ( ) F d l = F d S C Magneettikentille: S A dl = B ds = Φ C S F S 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 184 / 44 9

SAH105 STAATTINEN KENTTÄTEORIA 10. MAGNEETTIKENTÄSSÄ VAIKUTTAVAT VOIMAT JA VÄÄNTÖMOMENTIT Lorenin voimalaki Määrittää sähköiseen liikkuvaan varaukseen kohdistuvan sähköisen ja magneettisen voiman: F = Q( E + U B) Kun kseessä on jatkuva sähkövirta, saadaan pelkäksi magneettiseksi voimalaiksi: F = J B 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 186 / 44 93

Magneettisen voiman riippuvuus virran suunnasta B B F F F=0 I I I B B B B B B ( ) F = I L B I B I B F F 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 187 / 44 Tö Magneettikenttä aiheuttaa virralliseen johtimeen Lorenin lain mukaisen voiman F. Jotta virrallinen johdin ps paikallaan, on siihen vaikutettava em. voimalle vastakkainen voima F a. Tö, joka joudutaan tekemään liikutettaessa virrallista johdinta magneettikentässä: W = loppu F alku a d l 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 188 / 44 94

Vääntömomentti T (N/m) Tietssä pisteessä vaikuttava vääntömomentti saadaan ko. pisteestä lähtevän voiman varren ja voiman ristitulosta: T = r F T O r F P 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 189 / 44 Virtasilmukka esimerkki: voima Olkoon ksikierroksinen kela tasolla = 0. Vain + -suuntaan oleva virta aikaansaa voimavaikutuksen: ( B ) ( ) B F = I le e vasen ( ) F = I l e e oikea B l I I B w 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 190 / 44 95

Virtasilmukka esimerkki: vääntömomentti w w T = ( e ) BIl ( e ) + e BIle w = BIl ( e ) = BIA( e ) B B l I I w 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 191 / 44 Magneettimomentti m Magneettimomentti m = IAe virtasilmukalle: n jossa ksikkönormaalivektori e n saadaan oikean käden säännön mukaisesti. T = m B Eli: Alueessa, jossa vaikuttaa magneettikenttä B, on olemassa vääntömomentti T, joka prkii kääntämään virtasilmukkaa sellaiseen asentoon, jossa m ja B ovat samaan suuntaan (jolloin vääntömomentti menee nollaksi) 1.01.009 SATE.1060.01 / mv 19 / 44 96