T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont ohdatus tlastoteteeseen akssuuntanen varanssanals T (c lkka Melln (005 akssuuntanen varanssanals: Mtä opmme? Tarkastelemme tässä luvussa seuraavaa ksmstä: Mten tavanomanen kahden rppumattoman otoksen t-test lestetään tlanteeseen, ossa rhmä on useampa kun kaks? Ykssuuntasessa varanssanalsssa perusoukko on aettu rhmn hden tekän suhteen a tavotteena on testata rhmstä pomttuhn tosstaan rppumattomn ksnkertasn satunnasotoksn perustuen hpoteesa, onka mukaan tarkasteltavan muuttuan rhmäkohtaset odotusarvot ovat htä suura. aks- ta useampsuuntasessa varanssanalsssa perusoukko on aettu rhmn kahden ta useamman tekän suhteen a tavotteena on testata rhmstä pomttuhn tosstaan rppumattomn ksnkertasn satunnasotoksn perustuen hpoteesa, onka mukaan tarkasteltavan muuttuan rhmäkohtaset odotusarvot ovat htä suura. akssuuntanen varanssanals >> Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln (005 3 T (c lkka Melln (005 4 Varanssanals: ohdanto Varanssanals: ohdanto ahden otoksen t-test Avansanat ahden rppumattoman otoksen t-test m-suuntanen varanssanals Odotusarvo Rhmä Test Varanss Ykssuuntanen varanssanals Suhdeastekollslle muuttulle tarkotettua testeä kästelleessä kappaleessa tarkasteltn kahden rppumattoman otoksen t-testä. Testn testausasetelma on seuraava: ( Perusoukko koostuu kahdesta rhmästä. ( Havannot noudattavat kummassakn rhmässä normaalakaumaa. ( ummastakn rhmästä on pomttu tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset. (v Tehtävänä on testata rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta. T (c lkka Melln (005 5 T (c lkka Melln (005 6
T (c lkka Melln (005 7 Varanssanals: ohdanto Varanssanalsn perusongelma Varanssanals: ohdanto Rhmn ako varanssanalsssa Varanssanals vodaan mmärtää kahden rppumattoman otoksen t-testn lestkseks tlantesn, ossa perusoukko koostuu useammasta kun kahdesta rhmästä: ( Perusoukko koostuu kahdesta ta useammasta rhmästä. ( Havannot noudattavat okasessa rhmässä normaalakaumaa. ( okasesta rhmästä pomtaan tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset. (v Tehtävänä on testata rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta. Perusoukon ako rhmn vodaan tehdä hden ta useamman tekän perusteella. os perusoukon ako rhmn perustuu hteen tekään, puhutaan kssuuntasesta varanssanalssta. os perusoukon ako rhmn perustuu m tekään, puhutaan m-suuntasesta varanssanalssta. Huomautus: Tässä luvussa kästellään kakssuuntasta varanssanalsa. T (c lkka Melln (005 8 Varanssanals: ohdanto Varanssanalsn nm akssuuntanen varanssanals Varanssanalsn nm on harhaanohtava. Varanssanalsssa testataan rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta tlanteessa, ossa perusoukko on aettu kahteen ta useampaan rhmään. Varanssanalsn nm ohtuu stä, että rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruuden testaamnen perustuu er tavolla määrätten varanssen htäsuuruuden testaamseen F-testellä. Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln (005 9 T (c lkka Melln (005 0 akssuuntanen varanssanals a sen suorttamnen akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma /6 Avansanat F-test nterakto äännösnelösumma akssuuntanen varanssanals χ -test okonaskeskarvo okonasnelösumma okonasvahtelu Margnaalkeskarvo Nelösumma Odotusarvo Päävakutus Reunakeskarvo Rhmen ssänen vahtelu Rhmen välnen vahtelu Rhmä Rhmäkeskarvo Rhmänelösumma Taso Test Vapausaste Varanss Varanssanalshaotelma Varanssanalstaulukko Yhdsvakutus Ylenen lneaarnen mall Oletetaan, että tutkmuksen kohteena oleva perusoukko vodaan akaa rhmn kahden tekän (ta muuttuan A a B suhteen. Oletetaan, että tekällä A on tasoa a tekällä B on tasoa, ollon aossa snt rhmä kappaletta. Oletetaan, että rhmstä on pomttu tosstaan rppumattomat ksnkertaset satunnasotokset, oden koko on. T (c lkka Melln (005 T (c lkka Melln (005
T (c lkka Melln (005 3 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma /6 Olkoon k = k. havanto tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, k =,,, =,,,, =,,, ätetstä otantamenetelmästä seuraa, että havannot k vodaan olettaa rppumattomks (a sten mös korrelomattomks satunnasmuuttuks. akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 3/6 Oletetaan, että havannot k ovat normaalakautuneta: k N(µ, σ, k =,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 4 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 4/6 Havannosta k tehdstä oletuksesta seuraa: ( aklla samaan rhmään (, kuuluvlla havannolla on sama odotusarvo: E( k = µ, k =,,, =,,,, =,,, ( aklla havannolla on rhmästä rppumatta sama varanss: D ( k = σ, k =,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 5/6 Haluamme testata nollahpoteesa stä, että rhmäkohtaset odotusarvot E( k = µ, k =,,, =,,,, =,,, ovat htä suura. Asetetaan ss nollahpotees H 0 : µ = µ =,,,, =,,, os nollahpotees rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruudesta pätee, rhmät vodaan hdstää kakssa havantoen keskmääräsä arvoa koskevssa tarkastelussa. T (c lkka Melln (005 5 T (c lkka Melln (005 6 akssuuntasen varanssanalsn perusasetelma 6/6 akssuuntasessa varanssanalsssa nollahpotees H 0 : µ = µ =,,,, =,,, on tapana akaa kolmeks nollahpoteesks, otka koskevat teköden A a B päävakutuksa a teköden A a B nteraktota el hdsvakutusta. Tämä tekee rhmäkohtasten odotusarvoen htäsuuruutta koskevan testausongelman monmutkasemmaks kun kssuuntasessa varanssanalsssa. Tämä ohtuu stä, että teköden A a B päävakutuksa e voda tarkastella erllsnä, os teköllä A a B on nteraktota el hdsvakutusta. T (c lkka Melln (005 7 akssuuntasen varanssanalsn nollahpoteest / akssuuntasessa varanssanalsssa testattava nollahpoteesea on kolme kappaletta. Teköden A a B hdsvakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H AB : E hdsvakutusta os nollahpotees H AB ää vomaan, havantoen rhmttelä teköden A a B suhteen vodaan tarkastella erllsnä. T (c lkka Melln (005 8
T (c lkka Melln (005 9 akssuuntasen varanssanalsn nollahpoteest / Tekän A vakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H A : E A-vakutusta Tekän B vakutusta koskeva nollahpotees on muotoa H B : E B-vakutusta Huomautus: Nollahpoteest H A a H B ovat kssuuntasen varanssanalsn nollahpoteesea. akssuuntanen varanssanals: Määrtelmä akssuuntanen varanssanals tarkottaa em. testausasetelman nollahpoteesen H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta testaamsta. T (c lkka Melln (005 0 Yhdsvakutus: Havannollstus /3 Tarkastellaan ksnkertasten esmerkken avulla rhmtteleven teköden A a B nterakton el hdsvakutuksen lmenemstä rhmäkohtasa odotusarvoa kuvaavssa odotusarvodagrammessa. Oletetaan, että molemmlla rhmttelevällä teköllä A a B on kaks tasoa: A : A, =, B : B, =, Olkoot vastaavat rhmäodotusarvot µ, =,, =, Yhdsvakutus: Havannollstus /3 E hdsvakutusta: µ µ µ µ B µ B A A A A un tekän B tasoa muutetaan, rhmäodotusarvo muuttuu htä palon tekän A tasosta rppumatta. µ µ µ µ B µ B T (c lkka Melln (005 T (c lkka Melln (005 Yhdsvakutus: Havannollstus 3/3 Yhdsvakutusta saattaa esntä: µ µ µ µ B B µ A A A A un tekän B tasoa muutetaan, rhmäodotusarvo muuttuu er tavalla rppuen tekän A tasosta. µ µ B µ µ µ B akssuuntanen varanssanals a koesuunnttelu / akssuuntasta varanssanalsä vodaan kättää koetulosten analsn seuraavassa koeasetelmassa: ( Oletetaan, että kokeen tavotteena on verrata, mten kästtelt A, A,, A a B, B,, B vakuttavat knnostuksen kohteena olevan muuttuan keskmääräsn arvohn. T (c lkka Melln (005 3 T (c lkka Melln (005 4
T (c lkka Melln (005 5 akssuuntanen varanssanals a koesuunnttelu / ( Valtaan kästtelkombnaaton (A, B kohteeks kakken kokeen kohteks valttuen kslöden oukosta satunnasest kslöä, =,,,, =,,, a = N. ( Mtataan vasteet k el knnostuksen kohteena olevan muuttuan arvot: k, k =,,, =,,,, =,,, Huomaa, että koeasetelma on tädellsest satunnastettu: Sattuma määrää tädellsest mllasen kästteln kohteeks kokeen kohteks valtut kslöt outuvat. Rhmäkeskarvot Määrtellään havantoarvoen k rhmäkeskarvot el rhmäkohtaset artmeettset keskarvot tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, : =, =,,,, =,,, k k = os kakk nollahpoteest H AB, H A a H B pätevät, on odotettavssa, että rhmäkeskarvot evät pokkea kovn palon tosstaan. T (c lkka Melln (005 6 okonaskeskarvo Reunakeskarvot os rhmäkohtaset otokset hdstetään hdeks otokseks, hdstetn otoksen havantoarvoen les- el kokonaskeskarvo on k = = k = = ossa = N on havantoen kokonaslukumäärä. T (c lkka Melln (005 7 Määrtellään havantoarvoen k margnaal- el reunakeskarvot kaavolla: = k, =,,, = k= = k, =,,, = = Reunakeskarvo on havantoen k keskarvo tekän A määräämässä rhmässä, kun B-rhmtstä e oteta huomoon. Reunakeskarvo on havantoen k keskarvo tekän B määräämässä rhmässä, kun A-rhmtstä e oteta huomoon. T (c lkka Melln (005 8 Rhmäkeskarvot, kokonaskeskarvo a reunakeskarvot okonaskeskarvo on rhmäkeskarvoen keskarvo: = = = Mös reunakeskarvot vodaan määrtellä rhmäkeskarvoen avulla: =, =,,, = =, =,,, = Pokkeamat keskarvosta rotetaan dentteett k = ( + ( + ( + + ( k -suuntasen varanssanalsn testt nollahpoteeselle H AB, H A a H B perustuvat pokkeamen (,(, ( +, ( k nelösummlle. T (c lkka Melln (005 9 T (c lkka Melln (005 30
T (c lkka Melln (005 3 Pokkeamat a varanssanalsn testt /3 Pokkeamat a varanssanalsn testt /3 -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H AB : E hdsvakutusta perustuu pokkeamen ( +,( k nelösummlle. os nollahpotees H AB pätee, on odotettavssa, että erotukset ( + evät ole tsesarvoltaan kovn suura. -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H A : E A-vakutusta perustuu pokkeamen (,( k nelösummlle. os nollahpotees H A pätee, on odotettavssa, että erotukset ( evät ole tsesarvoltaan kovn suura. T (c lkka Melln (005 3 Pokkeamat a varanssanalsn testt 3/3 okonasnelösumma -suuntasessa varanssanalsssa test nollahpoteeslle H A : E B-vakutusta perustuu pokkeamen (,( k nelösummlle. os nollahpotees H B pätee, on odotettavssa, että erotukset ( evät ole tsesarvoltaan kovn suura. Määrtellään havantoarvoen kokonasvahtelua kuvaava kokonasnelösumma: SST = ( = = k= os rhmäkohtaset otokset hdstetään hdeks otokseks, saadun hdstetn otoksen varanss on s = SST ossa = N on havantoen kokonaslukumäärä. k T (c lkka Melln (005 33 T (c lkka Melln (005 34 Päävakutusten nelösummat Määrtellään tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma: SSA = ( = Määrtellään tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma: SSB = ( = Yhdsvakutuksen nelösumma a äännösnelösumma Määrtellään teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma: SSAB = ( + = = Määrtellään rhmen ssästä vahtelua kuvaava (äännös- nelösumma: SSE = ( k= = = k T (c lkka Melln (005 35 T (c lkka Melln (005 36
T (c lkka Melln (005 37 äännösnelösumman tulknta Varanssanalshaotelma / Havantoen k rhmävaransst el rhmäkohtaset varansst saadaan lausekkesta s = ( k k = =,,,, =,,, Sten rhmen ssästä vahtelua kuvaava nelösumman SSE lauseke vodaan esttää mös muodossa SSE = ( s = = orottamalla dentteett k = ( + ( + ( + + ( k potenssn kaks a laskemalla hteen saadaan varanssanalshaotelma ( =( +( +( + +( k k T (c lkka Melln (005 38 Varanssanalshaotelma / Varanssanalshaotelman tulknta Edellä estetten nelösummen määrtelmen perusteella varanssanalshaotelma ( =( +( +( + +( k vodaan esttää muodossa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE T (c lkka Melln (005 39 k Varanssanalshaotelmassa SST = SSA + SSB + SSAB + SSE kokonasnelösumma SST = ( k on haotettu nelän osatekän summaks, ossa osatekä SSAB = ( + kuvaa teköden A a B hdsvakutusta, osatekät SSA = ( SSB = ( kuvaavat teköden A a B päävakutuksa a osatekä SSE = ( k kuvaa rhmen ssästä vahtelua. T (c lkka Melln (005 40 Test hdsvakutukselle Testsuure hdsvakutukselle a sen akauma / os teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB = ( + on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan SSE =( k nollahpotees H AB : E hdsvakutusta on asetettava kseenalaseks. Määrtellään F-testsuure ( SSAB FAB = ( ( SSE ossa SSAB = ( + on teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma a SSE = ( k on rhmen ssästä vahtelua kuvaava nelösumma. T (c lkka Melln (005 4 T (c lkka Melln (005 4
T (c lkka Melln (005 43 Testsuure hdsvakutukselle a sen akauma / Test A-vakutukselle os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H AB : E hdsvakutusta pätee, testsuure F AB on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( ( a ( : FAB F(( (, ( Testsuureen F AB normaalarvo on suurlle N = N E( FAB = H AB N Suuret testsuureen F AB arvot ohtavat nollahpoteesn H AB hlkäämseen. os tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma SSA = ( on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan SSE = ( nollahpotees H A : E A-vakutusta on asetettava kseenalaseks. k T (c lkka Melln (005 44 Testsuure A-vakutukselle a sen akauma / Testsuure A-vakutukselle a sen akauma / Määrtellään F-testsuure ( SSA FA = SSE ossa SSA = ( on tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma a on rhmen ssästä vahtelua kuvaava äännösnelösumma. SSE =( k os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H A : E A-vakutusta pätee, testsuure F A on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( a ( : FA F((, ( Testsuureen F A normaalarvo on suurlle N = N E( FA = H A N Suuret testsuureen F A arvot ohtavat nollahpoteesn H A hlkäämseen. T (c lkka Melln (005 45 T (c lkka Melln (005 46 Test B-vakutukselle Testsuure B-vakutukselle a sen akauma / os tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma SSB = ( on suur verrattuna rhmen ssästä vahtelua kuvaavaan äännösnelösummaan nollahpotees H B : E B-vakutusta on asetettava kseenalaseks. SSE =( k Määrtellään testsuure ( SSB FB = SSE ossa SSB = ( on tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma a on äännösnelösumma. SSE = ( k T (c lkka Melln (005 47 T (c lkka Melln (005 48
T (c lkka Melln (005 49 Testsuure B-vakutukselle a sen akauma / os havannot ovat normaalakautuneta a nollahpotees H B : E B-vakutusta pätee, testsuure F B on akautunut Fshern F-akauman mukaan vapausasten ( a ( : FB F((, ( Testsuureen F B normaalarvo on suurlle N = N E( FB = HB N Suuret testsuureen F B arvot ohtavat nollahpoteesn H B hlkäämseen. Rhmen ssäsen vahtelun nelösumman SSE a kokonasnelösumman SST akaumat Vodaan osottaa, että ana pätee SSE χ ( ( σ Vodaan osottaa, että os nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta pätevät, nn SST χ ( σ T (c lkka Melln (005 50 Nelösummen SSAB, SSA, SSB akaumat Edelleen vodaan osottaa, että os nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta pätevät, nn SSAB χ (( ( σ SSA χ ( σ SSB χ ( σ T (c lkka Melln (005 5 Nelösummen SSAB, SSA, SSB, SSE rppumattomuus / Varanssanalshaotelman mukaan SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Edellä estetn mukaan suureet SST SSA SSB SSAB SSE,,,, σ σ σ σ σ ovat nollahpoteesen H AB, H A, H B pätessä χ -akautuneta vapausasten, otka toteuttavat htälön = ( + ( + ( ( + ( T (c lkka Melln (005 5 Nelösummen SSAB, SSA, SSB, SSE rppumattomuus / Sten suureet SSA SSB SSAB SSE,,, σ σ σ σ ovat Cochrann lauseen mukaan rppumattoma (ks. lukua Ykssuuntanen varanssanals. Testsuureden akaumat Edellä estetn noalla testsuureet F AB, F A, F B noudattavat nollahpoteesen H AB, H A, H B pätessä Fshern F-akaumaa suoraan F-akauman määrtelmän mukaan: MSAB FAB = F(( (, ( MSE MSA FA = F((, ( MSE MSB FB = F((, ( MSE T (c lkka Melln (005 53 T (c lkka Melln (005 54
T (c lkka Melln (005 55 Testsuureden tulknnat / Testsuureden tulknnat / Testsuureet F AB, F A, F B vodaan tulkta varanssen vertalutestsuureks, ossa varanssea MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( ( verrataan rhmen ssäseen varanssn MSE = SSE ( Estmaattor MSE = SSE ( on ana harhaton havantoen k varansslle σ, mutta estmaattort MSAB = SSAB, MSA = SSA, MSB = SSB ( ( ovat harhattoma havantoen k varansslle σ van, os nollahpoteest H AB, H A, H B pätevät. T (c lkka Melln (005 56 Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus /3 Tarkastelemme seuraavassa lähemmn ehtoa, oden pätessä estmaattort MSE = SSE ( SSAB MSAB = ( ( SSA MSA = SSB MSB = ovat harhattoma havantoen k varansslle σ T (c lkka Melln (005 57 Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus /3 ätämme hväks stä, että kakssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan esttää muodossa (ks. tarkemmn seuraavaa kappaletta: k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa a α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = N(0, σ εk k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 58 Varanssestmaattoreden MSE, MSAB, MSA, MSB harhattomuus 3/3 Vodaan osottaa, että nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta ovat ekvvalenttea seuraaven ehtoen kanssa: H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, H A : α = α = = α = 0 H B : β = β = = β = 0 Varanssestmaattorn MSE harhattomuus Vodaan osottaa, että E( MSE = E( SSE = σ ( Sten MSE on ana varanssn σ harhaton estmaattor. T (c lkka Melln (005 59 T (c lkka Melln (005 60
T (c lkka Melln (005 6 Varanssestmaattorn MSAB harhattomuus Varanssestmaattorn MSA harhattomuus Vodaan osottaa, että E( MSAB = E( SSAB ( ( = + σ = = ( αβ Sten MSAB on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, pätee. ( ( Vodaan osottaa, että E( MSA = E( SSA α = = σ + Sten MSA on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H A : α = α = = α = 0 pätee. T (c lkka Melln (005 6 Varanssestmaattorn MSB harhattomuus Varanssanalstaulukko / Vodaan osottaa, että E( MSB = E( SSB β = = σ + Sten MSB on varanssn σ harhaton estmaattor, os nollahpotees H B : β = β = = β = 0 pätee. Vahtelun lähde A B AB äännös okonasvahtelu SS SSA SSB SSAB SSE SST df ( ( ( MS MSA = SSA/df MSB = SSB/df MSAB = SSAB/df MSE = SSE/df F F A = MSA/MSE F B = MSB/MSE F AB = MSAB/MSE T (c lkka Melln (005 63 T (c lkka Melln (005 64 Varanssanalstaulukko / akssuuntanen varanssanals Varanssanalstaulukon nelösummat toteuttavat htälön SST = SSA + SSB + SSAB + SSE Yhtälö on varanssanalshaotelma. Varanssanalstaulukon nelösummen vapausasteet toteuttavat htälön N = =( + ( + ( ( + ( Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn malln parametren estmont T (c lkka Melln (005 65 T (c lkka Melln (005 66
T (c lkka Melln (005 67 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan parametroda seuraavalla tavalla: ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, Mallssa ( k = -muuttuan k. havantoarvo rhmässä (, µ = -muuttuan odotusarvo rhmässä (, akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 E-satunnaset vakot µ, =,,,, =,,, a äännösvaranss σ ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, parametrea. T (c lkka Melln (005 68 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront 3/3 Malla ( koskevsta oletukssta seuraa, että E( k = µ k =,,,, =,,,, =,,, a D( k = σ k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall vodaan parametroda mös seuraavalla tavalla: ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = a äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 69 T (c lkka Melln (005 70 akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront /3 E-satunnaset vakot µ α, =,,, β, =,,, (αβ, =,,,, =,,, a äännösvaranss σ ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, parametrea. akssuuntasen varanssanalsn tlastollnen mall: Parametront 3/3 Malla ( koskevsta oletukssta seuraa, että E( k = µ + α + β + ( αβ k =,,,, =,,,, =,,, a D( k = σ k =,,,, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 7 T (c lkka Melln (005 7
T (c lkka Melln (005 73 Parametronten a vertalu / Parametronten a vertalu / Mallssa ( k = µ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, -havannot estetään rhmäkohtasten odotusarvoen µ, =,,,, =,,, avulla. Mallssa ( k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, -havannot estetään seuraaven teköden summana: Ylesodotusarvo µ Rhmttelevän tekän A tason vakutus (efekt α =,,, Rhmttelevän tekän B tason vakutus (efekt β =,,, Yhdsvakutus (αβ =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 74 Parametronten a ekvvalenss /4 Parametronten a ekvvalenss /4 Mallt ( a ( ovat ekvvalenttea mallt on van parametrotu er tavolla. Määrtellään µ = µ = µ = µ = µ = µ = µ = µ = = = = rotetaan dentteett = µ + ( µ µ + ( µ µ k a merktään α = µ µ + ( µ µ µ + µ + ( µ k β = µ µ ( αβ = µ µ µ + µ ε = µ k k T (c lkka Melln (005 75 T (c lkka Melln (005 76 Parametronten a ekvvalenss 3/4 Parametronten a ekvvalenss 4/4 Tällön = α = 0 = β = 0 ( αβ = ( αβ = 0 = = Sten = µ + ε k k = µ + ( µ µ + ( µ µ + ( µ µ µ + µ + ( k µ = µ + α + β + ( αβ + ε k k k ovat kakssuuntasen varanssanalsn tlastollsen malln ekvvalenttea estsmuotoa. T (c lkka Melln (005 77 T (c lkka Melln (005 78
T (c lkka Melln (005 79 Nollahpoteesen ekvvalenss aks- a useampsuuntanen varanssanals Edellä estetstä seuraa, että nollahpoteest H AB : E hdsvakutusta H A : E A-vakutusta H B : E B-vakutusta ovat ekvvalenttea seuraaven ehtoen kanssa: H AB : ( αβ = 0, =,,,, =,,, H A : α = α = = α = 0 H B : β = β = = β = 0 Varanssanals: ohdanto >> akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont T (c lkka Melln (005 80 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn mall akssuuntasen varanssanalsn mall vodaan parametroda seuraavalla tavalla: k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = a äännöstermt ε k ovat rppumattoma a normaalakautuneta: εk N(0, σ k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort / Malln k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = parametrt vodaan estmoda penmmän nelösumman menetelmällä. T (c lkka Melln (005 8 T (c lkka Melln (005 8 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort / Parametren PNS-estmaattoreks saadaan ˆ µ = ˆ α =, =,,, ˆ β =, =,,, ( ˆ αβˆ = +, =,,,, =,,, akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto /5 Estmodaan malln k = µ + α + β + ( αβ + ε k k =,,,, =,,,, =,,, ossa α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = parametrt PNS-menetelmällä. T (c lkka Melln (005 83 T (c lkka Melln (005 84
T (c lkka Melln (005 85 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto /5 Etstään nelösumman SS = ( µ α β ( αβ k = = = k mnm parametren suhteen tavanomaseen tapaan: ( Dervodaan nelösumma SS parametren suhteen. ( Merktään dervaatat nollks. ( Ratkastaan saadut normaalhtälöt parametren suhteen ottamalla huomoon sde-ehdot α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 3/5 Normaalhtälöt ovat seuraavaa muotoa: = = = = ( µ : µ + α + β + ( αβ = ( α : µ + α + β + ( αβ = =,,, (3 β : µ + α + β + ( αβ =,,, = (4 ( αβ : µ + α + β + ( αβ = =,,,, =,,, = = = = T (c lkka Melln (005 86 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 4/5 Huomaa, että parametren lukumäärä normaalhtälössä on + + + a htälöden lukumäärä on mös + + + Yhtälöt ovat kutenkn lparametrotua: ( Yhtälöden ( summana saadaan htälö (. ( Yhtälöden (3 summana saadaan htälö (. ( Yhtälöden (4 summana saadaan knteälle htälö (. Yhtälöden (4 summana saadaan knteälle htälö (3. Sten htälössteemn htälöden välllä on + + lneaarsta rppuvuutta a ssteemllä e ole kskästtestä ratkasua. akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln parametren PNS-estmaattort: ohto 5/5 Yhtälössteem vodaan kutenkn ratkasta ottamalla huomoon sdeehdot α = β = ( αβ = ( αβ = 0 = = = = Huomaa, että rppumattomen sde-ehtoen lukumäärä on htälössteemn ratkasemseks tarvttava + + Ratkasuks saadaan ottamalla o. sde-ehdot huomoon ˆ µ = ˆ α =, =,,, ˆ β =, =,,, ( ˆ αβˆ = +, =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 87 T (c lkka Melln (005 88 akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont akssuuntasen varanssanalsn malln sovtteet a resduaalt Estmodun malln sovtteet saadaan htälöstä ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k = µ + α + β + ( αβ = + ( + ( + ( + = k =,,,, =,,,, =,,, Estmodun malln resduaalt saadaan htälöstä e ˆ k = k k = k k =,,,, =,,,, =,,, akssuuntanen varanssanals Varanssanals: ohdanto akssuuntasen varanssanalsn mall a sen parametren estmont >> T (c lkka Melln (005 89 T (c lkka Melln (005 90
T (c lkka Melln (005 9 Havannot Rhmäsummat, reunasummat a kokonassumma Olkoon k = k. havanto tekän A tason a tekän B tason määräämässä rhmässä (, k =,,, =,,, =,,, Määrtellään seuraavat summat: T = k k = T = = T k = k= = T = = T k = k= = T = = T = T = T k = = k= = = = = =,,,, =,,, T (c lkka Melln (005 9 Havantoarvoen nelöden summat Määrtellään tekän A tason a tekän B tason määräämän rhmän (, havantoarvoen k nelöden summa kaavalla k, =,,,, =,,, k = a kakken havantoarvoen k nelöden kokonassumma kaavalla k = = k= Rhmäkeskarvoen, reunakeskarvoen a kokonaskeskarvon laskemnen Havantoarvoen rhmäkeskarvot saadaan kaavolla = k,,,,,,,, = k T = = = reunakeskarvot saadaan kaavolla = k = T, =,,, = k= = k = T, =,,, = k = a kokonaskeskarvo saadaan kaavalla = T k = = = k= T (c lkka Melln (005 93 T (c lkka Melln (005 94 Rhmävaranssen a kokonasvaranssn laskemnen Havantoarvoen rhmävaransst saadaan kaavolla s,,,,,,,, T = = = = a kokonasvaranss saadaan kaavalla s T = k = = = okonasnelösumman sekä päävakutusten nelösummen laskemnen okonasnelösumma SST vodaan laskea kaavalla SST = ( k = k T = = k= = = k= Tekän A päävakutusta kuvaava nelösumma SSA saadaan kaavalla SSA = ( T T = = = a tekän B päävakutusta kuvaava nelösumma SSB saadaan kaavalla SSB = ( T T = = = T (c lkka Melln (005 95 T (c lkka Melln (005 96
T (c lkka Melln (005 97 Yhdsvakutuksen nelösumman laskemnen äännösnelösumman laskemnen Teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB kannattaa laskea kahdessa vaheessa. Lasketaan ensn rhmäkeskarvoen kokonasvahtelua kuvaava nelösumma SS = ( T T = = = = = Teköden A a B hdsvakutusta kuvaava nelösumma SSAB saadaan kaavalla SSAB = ( + = = = SS SSA SSB Rhmen ssästä vahtelua kuvaava äännösnelösumma SSE saadaan varanssanalshaotelman noalla kaavalla SSE = SST SSA SSB SSAB ta kaavalla SSE = SST SS T (c lkka Melln (005 98 Laskutomtusten ärestämnen taulukoks / Laskutomtusten ärestämnen taulukoks / Havannot kannattaa ärestää seuraavaks taulukoks: A A A B,,,,,,,,, B,,,,,,,,, B,,,,,,,,, k k k k k k k k k Taulukosta lasketaan havantoarvoen nelöden kokonassumma k = = k= a okasen solun (, havantoarvoen summa T = k, =,,,, =,,, k = T (c lkka Melln (005 99 Muden tarvttaven summen laskemnen ärestetään taulukoks seuraavalla tavalla: A A A Summa B T T T T B T T T T B T T T T Summa T T T T ossa ss T = k, =,,,, =,,, k = on solun (, havantoarvoen summa. T (c lkka Melln (005 00