Magneettikentät ja niiden määrittäminen SSÄLTÖ: Magneettinen voima Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Tasavirrat Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Magneettinen momentti iot-savartin laki Ampèren laki Vektoripotentiaali Menetelmän valinta Magneettinen voima Magnetismi-ilmiö on monelle mysteeri. Siksi sen avulla voidaan helposti huijata ihmisiä ja myydä kaikenmaailman polttoaineen säästäjiä autoihin. Edelleen on kuitenkin kysymys Coulombin voimasta eli sähköisesti varautuneiden hiukkasten välisestä voimasta. Sen verran magnetismi-ilmiössä on outoa, että se voidaan johtaa suhteellisuusteorian avulla Coulombin voimasta. (Voitaisiin tietysti ajatella niinkin, että magneettinen voima on perusvoima ja Coulombin voima suhteellisuusteorian mukainen seuraus siitä.) Suppean suhteellisuusteorian ensimmäinen aksiooma sanoo, että fysiikan laeilla täytyy olla sama muoto kaikissa inertiaalikoordinaatistoissa eli tasaisella nopeudella toistensa suhteen liikkuvissa koordinaatistoissa. Magneettikenttää tarvitaan, jotta tämä aksiooma toteutuisi sähkömagnetismissa. (Tästä on puhuttu enemmän kirjassa Grant & Phillips: Electromagnetism, kappaleessa 13.) Liikkuva varattu partikkeli aiheuttaa lähistöönsä magneettikentän. Vastaavasti magneettikentän voimavaikutus kohdistuu liikkuvaan varattuun partikkeliin, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Arkielämästä tuttu kestomagneetin voimavaikutus perustuu myös varattujen partikkelien liikkeeseen, joka on materiaalin sisältämien atomien elektronien liikettä. Peruskurssin kirjassa on liikkuvan varatun (pistemäisen) partikkelin aiheuttama magneettikenttä esitetty yhtälöllä qv rˆ 4 r missä q on partikkelin varaus, v partikkelin nopeus, r partikkelin etäisyys siitä pisteestä, jossa magneettikenttä lasketaan ja rˆ yksikkövektori, joka ilmaisee suunnan varatusta partikkelista siihen pisteeseen, jossa magneettikenttä lasketaan. -kirjaimella merkityn suureen täsmällinen nimi on magneettivuon tiheys. Jos käytämme samaa merkitsemistapaa kuin luentomonisteessa on käytetty, yhtälö tulee muotoon ( r) 4 qv ( r r') r r' 3
Tässä yhtälössä vektori r ilmaisee sen pisteen, missä magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Jos yhtälöä osaa lukea oikein, huomaa, että magneettikentän voimaviivat kulkevat oheisen kuvan mukaisesti. Kuvasta ei näe magneettikentän voimakkuutta eri kohdissa, ainoastaan suunnan. Näitä asioita käsitellään myöhemmin tarkemmin. + v Varatun partikkelin liike sähkö- ja magneettikentässä Edellä kerrottiin, että magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, ei paikallaan pysyvään varaukseen. Voiman suunta ei ole magneettikentän suuntainen vaan kohtisuoraan kenttäviivoja vastaan. Yhtälönä tämä magneettikentän aiheuttama voima, niin kutsuttu Lorentz-voima, on F qv Voiman suunnan saa (oikean käden) kolmisormisäännöstä. Positiiviselle varaukselle voiman suunta on oheisen kuvan mukainen, negatiiviselle vastakkaissuuntainen. v F Jos varattu partikkeli joutuu sähkö- ja magneettikenttään, siihen vaikuttaa näiden miolempien kenttien aiheuttama summavoima: F qe qv
Tasavirrat Tehdään tässä välissä pieni hyppäys tasavirtoihin. Sähkövirta on varausten liikettä. Virtatiheys määritellään yhtälöllä j Nev missä N on johde-elektronien tiheys (elektroneja tilavuusyksikössä), e alkeisvaraus ja v elektronikaasun nopeus. Miinusmerkki tulee tietysti siitä, että virran suunta on vastakkainen elektronien liikesuunnalle. Virtatiheys voidaan laskea myös käyttäen sähkökenttää ja johtavuutta σ, joka on kullekin aineelle ominainen suure: j E. Tätä kutsutaan Ohmin laiksi. Peruskurssista tutumpi Ohmin lain esitysmuoto on V = R. Kyse on samasta asiasta, sillä virta voidaa laskea yhtälöllä A j ds A E ds Jännitteen ja virran suhde on resistanssi R V l A, missä l on johtimen pituus ja A dq johtimen poikkipinta-ala. Edelleen pätee myös peruskurssista tuttu yhtälö dt kertoo, että virta on johtimen poikkipinta-alan läpi kulkenut varaus aikayksikössä., joka Magneettikentän voimavaikutus virtajohtimeen Koska magneettikenttä vaikuttaa liikkuvaan varaukseen, aiheuttaa se voiman myös virtajohtimeen. Virtahan on varausten liikettä. d l :n suuruiseen virtajohdinalkioon, jonka pituus on dl ja suunta virran suunta, aiheuttaa magneettikenttä voiman d F dl ja koko johtimeen voiman F dl. Suoraan virtajohtimeen magneettikenttä aiheuttaa voiman F l Vektori l on johdinvektori, jonka suunta on virran suunta ja pituus johtimen pituus.
Magneettimomentti Sähköstatiikassa esiteltiin sähköinen dipoli, jolla on suuri merkitys esimerkiksi eristeiden ymmärtämisessä. Vastaava ilmiö magnetismin puolella on virtasilmukka. Magneettiset materiaalit sisältävät pieniä virtasilmukoita samalla tavalla kuin eristeessä on pieniä dipoleja. Dipolimomenttia vastaa virtasilmukalla magneettimomentti. Se määritellää yhtälöllä m S missä on silmukassa kulkeva virta ja S pinta-alavektori, jonka suuruus on silmukan pintaala ja suunta riippuu virran suunnasta oheisen kuvan mukaisesti: S m Virtasilmukkaan vaikuttaa magneettikentässä voiman momentti (vääntömomentti) T m mistä aiheutuu potentiaalienergia U m iot-savartin laki Edellä esiteltiin liikkuvan varauksen aiheuttama magneettikenttä (tarkemmin sanottuna magneettivuon tiheys) yhtälöllä ( r) 4 qv ( r r') r r' 3 missä vektori r ilmaisee sen pisteen, jossa magneettikenttä lasketaan ja vektori r ' ilmaisee varauksen paikan. v on partikkelin nopeus. Kuten on ollut jo puhetta, tämä yhtälö antaa sekä magneettikentän suunnan että suuruuden. Aikaisemmin esitettiin kuva magneettikentän voimaviivoista liikkuvan varauksen lähellä.
Jos johtimessa kulkee virta, voimme ajatella, että pieni johtimenpätkä dl sisältää liikkuvan pistevarauksen. Virta voidaan määritellä yhtälöllä dq dt Täten saamme q v dtv dx dt dt x dx Täällä on pituusalkiovektoria d tapana merkitä vektorilla d l. Nyt saamme edellä olevan yhtälön muotoon ( r) 4 dl r ( r r') r' 3 Kun integroimme yli koko johtimen, saamme kaikkien johdinalkioiden dl aiheuttaman summamagneettikentän: ( r) 4 dl' ( r r') r r' 3 Tämä on iot-savartin laki, jota käytetään virtajohtimen aiheuttaman magneettikentän laskemisessa. Ampèren laki Ampèren lain avulla voidaan laskea maneettikenttiä tietyissä symmetrisissä tapauksissa, kuten Gaussin lailla laskettiin sähkökenttiä. Ampèren lain integraalimuoto on kaavana: C dl SS Vasemmalla puolella integroidaan magneettivuon tiheyden ja pituusalkiovektorin pistetuloa pitkin suljettua käyrää, niin kutsuttua Ampèren silmukkaa. Oikealla puolella on Ampèren silmukan läpi kulkevat virrat kerrottuna tyhjiön permeabiliteetilla. Differentiaalimuoto Ampèren laista on Ampèren lain integraalimuodon oikea puoli kirjoitetaan usein j j ds eli Ampèren silmukan sisään jäävä virta lasketaan virtatiheysvektorin j ja johtimen poikkipinta-alan S avulla. Jos virtatiheys on vakio, kyseinen integraali tulee muotoon js. S
Vinkkejä Ampèren lain käyttöön laskettaessa magneettikenttiä: Varmista ensin, että voit käyttää kyseisessä tapauksessa Ampèren lain integraalimuotoa. Katso tämän kappaleen viimeistä kohtaa Menetelmän valinta. Valitse ensin Ampèren suljettu käyrä. Se on yleensä näissä laskuissa joko ympyrä tai suorakaide. (Katso kohtaa Menetelmän valinta.) Pitkille, suorille johtimille ja sylinterinmuotoisille johtimille valitaan ympyrä. Laajoille johtaville tasoille ja solenoideille valitaan suorakaide. Piirrä seuraavaksi virtojen aiheuttamat (magneetti)kenttäviivat ja Ampèren silmukka samaan kuvaan. Etsi ne kohdat, missä Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Siellä tulo dl voidaan kirjoittaa muotoon dl. Etsi seuraavaksi ne kohdat, joissa Ampèren silmukka ja kenttäviivat ovat kotisuorassa toisiaan vastaan (tai kenttäviivat ovat hyvin harvassa kuten solenoidin ulkopuolella). Siellä dl on nolla. Yleensä niissä silmukan kohdissa, joissa dl voitiin kirjoittaa muotoon dl, on -kenttä vakio, jolloin voidaan ottaa integraalimerkin eteen. Nyt C dl on pelkkä käyrän pituus Ampèren silmukan niistä kohdista, joissa silmukka ja kenttäviivat ovat yhdensuuntaiset. Huomaa, että nyt ei enää ole välttämättä kyseessä suljettu käyrä, jolle merkittäisiin dl. C Laske seuraavaksi Ampèren lain oikea puoli eli määritä suljetun käyrän sisään jäävät virrat SS. Joudut ehkä laskemaan virrat käyttäen virtatiheyttä j. Jos virtatiheys on vakio, virta on js eli virtatiheys kertaa johtimen poikkipinta-ala. Jos virtatiheys ei ole vakio johtimen poikkipinnalla, silloin integroit kylmän rauhallisesti käyttäen kaavaa j ds S Merkitse yhtä suuriksi se, minkä sait Ampèren lain vasemmalta puolelta ja se, minkä sait Ampèren lain oikealta puolelta. Ratkaise yhtälöstä magneettikenttä. Vektoripotentiaali Magneettikenttä voidaan lausua niin kutsutun vektoripotentiaalin A roottorina: A Katso Nygrénin monisteesta, mitä siellä kerrotaan vektoripotentiaalin yksikäsitteisyydestä. Opettele, mitä Coulombin mitta tarkoittaa. (Coulombin mittaa kysytään usein tentissä.)
Menetelmän valinta On tärkeää oppia valitsemaan oikea menetelmä magneettikentän määrittämiseen. Tässä materiaalissa on esitelty iot-savartin laki ja Ampèren lain integraali- ja differentiaalimuoto. On tapauksia, joissa Ampèren laki ei käy. Tästä on tietoa alla olevassa taulukossa. YHTEENVETO TOMVSTA AMPÈREN SLMUKOSTA Johtimen muoto Ampèren silmukka Pitkä suora johdin Ympyrä Koaksiaalikaapeli Ympyrä Sylinterin muotoinen johdin Ympyrä Toroidi Ympyrä Solenoidi Suorakulmio Laaja johtava taso Suorakulmio Ympyrä Ei voi käyttää Ampèren lakia Neliö Ei voi käyttää Ampèren lakia Kolmio Ei voi käyttää Ampèren lakia Mikä tahansa silmukka Ei voi käyttää Ampèren lakia Lyhyt suora johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Epämääräisen muotoinen johdin Ei voi käyttää Ampèren lakia Esimerkki 1: Suorassa johtimessa, jonka pituus on 5 cm ja joka on x-akselin suuntainen, kulkee.5 A:n sähkövirta positiivisen x-akselin suuntaan. Johdin on magneettikentässä (.3T )ˆj (.1T ) kˆ Mikä on johtimeen vaikuttava voima? Ratkaisu: Virtajohtimeen vaikuttava voima on: F dl Nyt tässä suorassa johtimessa kaikkien johdinalkioiden d l suunta on sama positiivisen x- akselin suunta eli virran suunta. ntegraalista tulee silloin: F l
Lasketaan ristitulo: l liˆ ˆ j kˆ y z F iˆ l ˆj y kˆ z [ˆ( i ) ˆ( j l z ) kˆ( l y )] l iˆ z l kˆ y F (.5A.5m.3T )ˆj (.5A.5m.1T ) kˆ (7.5ˆ i 5ˆ) j 1 4 N Yksikkötarkastelua: Vs VAsm T AmT m m Muista: VAs = J!!! J m N Esimerkki : Neliön muotoisessa johdinsilmukassa (sivun pituus a) kulkee virta. Silmukka aseteaan magneettikenttään kuvan mukaisesti siten, että magneettikentän ja silmukan tason normaalin väliin jää kulma α. a) Mikä on virtasilmukan magneettimomentti? b) Mikä voiman momentti kohdistuu virtasilmukkaan? c) Mikä on virtasilmukan potentiaalienergia magneettikentässä? α Silmukka sivusta katsottuna Ratkaisu: a) Magneettimomentti on m S Snˆ Vektori nˆ tarkoittaa pinta-alkiovektorin suuntaista eli pinnan normaalin suuntaista yksikkövektoria.
Nyt m S a nˆ koska pinta-ala S on neliön muotoiselle silmukalle a. b) Voiman momentti on vektorimuodossa: T S Sn ˆ a nˆ Skalaarimuodossa voiman momentiksi tulee: T a ˆ n sin a sin c) Potentiaalienergia voidaan laskea kahdella tavalla. Joko yhtälöllä U P S Snˆ S nˆ cos a cos tai yhtälöllä U P m a ˆ n a nˆ cos a cos Esimerkki 3: Oheisessa kuvassa esitettyyn suorakaiteen muotoiseen alueeseen tulee positiivisesti varattu hiukkanen +q P jonka varaus on q, massa m ja nopeus v. Alueeessa on paperin tason suuntainen homogeeninen sähkö- d kenttä E, jonka suunta näkyy kuvassa. a) Minkä E suuruinen ja suuntainen homogeeninen magneetti- S kenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen P. b) Sähkökenttä E kytketään pois. Minkä suuruinen ja suuntainen magneettikenttä tarvitaan alueeseen, jotta varaus osuisi pisteeseen S.
Ratkaisu: Sähkö- ja magneettikentässä varaukseen q vaikuttaa Lorentz-voima: F qe qv a) Varaukseen vaikuttavan magneettikentän aiheuttaman voiman ja sähkökentän aiheuttaman voiman täytyy kumota toisensa, sillä varauksen rata on suora: q E qv Sähkökentän voima osoittaa alaspäin. Silloin magneettikentän voiman täytyy osoittaa ylöspäin. Käytetään kolmisormisääntöä magneettikentän suunnan määrittämiseksi: v F Kuvan mukaan magneettikentän täytyy olla suoraan paperin tasosta sisäänpäin, jotta sen aiheuttama voima olisi ylöspäin, kun positiivisesti varattu kappale liikkuu vasemmalta oikealle. Koska nyt nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan: v v Nyt saadaan magneettikentän suuruus. q E qv qe qv E v Magneettikentän suunta on siis kohtisuorassa paperin tasoa vastaan ja sisäänpäin. b) Sähkökenttää ei nyt ole. Varaus pitäisi saada kääntymään alaspäin. Kolmisormisäännön mukaan se vaatii magneettikentän, jonka suunta on suoraan paperin tasosta ulospäin. Varaus alkaa kulkea ympyrärataa pitkin. Radan säteen r pitäisi olla sopivan suuruinen, jotta varaus osuisi pisteeseen S eli r = d. Ympyräradalla keskeisvoimana toimii magneettikentän aiheuttama voima. Voimme laskea skalaareilla ja otamme huomioon, että nopeus ja magneettikenttä ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, jolloin magneettikentän aiheuttama voima on F = qv: Keskeisvoima = Lorentz-voima mv mv mv qv r qr qd Suunta määritettiin edellä
Esimerkki 4: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. dl' ( r r') Ratkaisu: iot-savartin laki: ( r) 3 4 r r' Jos sitä pistettä, jossa magneettikenttä lasketaan, merkitään P:llä, vektori r kuvaa P:n paikkaa ja vektori r ' kuvaa johdinalkion dl' paikkaa. Yleensä P sijoitetaan origoon, jolloin r =. l a α P Merkitään, että r = jolloin saadaan: ( r) 4 dl' ( r r') r r' 3 4 dl' ( r') r' 3 4 dl' ( r') r' 3 4 r' dl' r' 3 Tehdään tällä kertaa niin, että päätellään magneettikentän suunta ja sen jälkeen lasketaan skalaareilla. Tämä tapa ei ole kuitenkaan suositeltava. Jäljempänä on esimerkki siitä, miten pituutta l käytetään muuttujana. Kolmisormisäännön avulla saadaan, että vektorin r ' dl' suunta on paperin tasosta sisäänpäin: P
Siirrytään nyt skalaareihin: r ' r ' dl' a cos r' dl 'sin r'sin dl' r'(cos ) dl' 1 l' atan dl' a cos d iot-savartin laista saamme nyt: 1 (cos ) a r'cos dl' cos dl' cos ( r) 3 4 ( r') 4 ( r') 4 a cos d 4 cos a d Kun on kyseessä äärettömän pitkä johdin, kulma α vaihtelee välillä π/ π/. Tästä saamme integroimisrajat: cos ( r) d / sin [1 ( 1)] 4 a 4 a 4 a a Tämä on pitkän suoran virtajohtimen aiheuttama magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta. Magneettikentän suunta on kohtisuoraan johdinta vastaan ja pisteessä P (katso kuva!) paperin tasosta sisäänpäin.
Esimerkki 5: Pitkässä suorassa virtajohtimessa kulkee virta. Laske magneettikenttä etäisyydellä a virtajohtimesta. Ratkaisu: Ampéren laki on kaavan muodossa: dl sis Yhtälön vasen puoli kuvaa magneettikentän (= magneettivuon tiheyden) integraalia pitkin suljettua käyrää (niin kutsuttua Ampéren silmukkaa). d l on pituusalkiovektori, jonka suuruus on pituusalkio dl ja suunta silmukan suuntainen. Oikea puoli on tyhjiön permeabiliteetti kertaa Ampéren silmukan sisään jäävä kokonaisvirta. Lasketaan pitkän suoran virtajohtimen kenttä: dl a Valitaan Ampéren silmukaksi a-säteinen ympyrä. Virtajohtimen kenttä muodostaa virtajohtimen ympärille ympyröitä, joiden keskipiste on virtajohtimen keskipisteessä. Ampéren lain vasen puoli on siten: dl dl koska ja dl yhdensuuntaisia vektoreita.. dl dl koska on vakio koko valitsemamme silmukan alueella. dl a eli integraali dl on vain silmukan pituus. Yhtälön oikealla puolella μ on tyhjiön permeabiliteetti ja SS silmukan sisään jäävät virta, joka on tässä tapauksessa vain johtimen virta. Oikea ja vasen puoli yhdistettynä on siis: a a
Tämä on pitkän suoran virtajohtimen magneettikenttä etäisyydellä a johtimesta (tarkemmin johtimen keskipisteestä). Magneettikentän suunta saadaan oikean käden säännöllä: Puristetaan virtajohdinta oikealla kädellä niin, että peukalo on johtimen suuntaisesti ja osoittaa virran suuntaan. Muut sormet osoittavat kenttäviivojen suuntaan. Esimerkki 6: Kuutio, jonka sivun pituus on a, on sijoitettu xyz-koordinaatistoon kuvan mukaisesti siten, että yksi nurkka on origossa ja kolme särmää on koordinaattiakseleilla. Alueella on x-akselin suuntainen magneettivuon tiheys, jonka itseisarvo on. Kuution ympärille on kiedottu viiden nurkan kautta kulkeva johdinsilmukka, joka koostuu viidestä suorasta osasta kuvan mukaisesti. Johdinsilmukassa kulkee virta. Laske kuhunkin johtimen suoraan osaan vaikuttava voima. Anna tulokset vektorimuodossa. y 1 3 x 5 4 a z
Ratkaisu:
Esimerkki 7: Neliön (sivun pituus a) muotoisen johdinsilmukan yksi sivu on y-akselilla. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Alueessa on + z akselin suuntainen magneettikenttä, jonka suuruus riippuu y-akselista mitatusta etäisyydestä ja jonka yhtälö on Kxˆ k, missä K on vakio. a) Määritä silmukan magneettinen momentti? b) Määritä silmukkaan vaikuttava kokonaisvoima? c) Määritä magneettikentän silmukkaan aiheuttama voiman momentti (= vääntömomentti). y a Kx a x Ratkaisu:
Esimerkki 8: Alla olevassa kuvassa on virtasilmukka, joka koostuu kolmesta suorasta osasta ja puoliympyrästä. Suorien osien pituudet ovat a, a ja a ja puoliympyrän kaarevuussäde a. Lyhyet sivut ovat kohtisuorassa pitkää sivua vastaan. Puoliympyrä ei ole kontaktissa pitkän sivun kanssa. Silmukassa kulkee virta kuvan mukaisesti. Laske -kenttä puoliympyrän kaarevuuskeskipisteessä P. a ei kontaktia a P Ratkaisu:
VAKAVA VAROTUS: Kun käytät iot-savartin lakia, älä ota johdinalkiota alueen reunasta, vaan jostakin epämääräisestä paikasta: dl Ei, ei ja ei! r P
Esimerkki 9: Pienen virtasilmukan säde on b ja siinä kulkee virta. Pisteessä P, joka on etäällä virtasilmukasta (katso kuva!), on virtasilmukan aiheuttama vektoripotentiaali pallokoordinaateissa lausuttuna: b A sin eˆ 4r Määritä -kenttä pisteessä P. Opastus: Saatat tarvita kaavakokoelmaa, joka jaetaan tentissä ja joka on myös tämän kurssin kotisivulla. z P θ r x φ y
Ratkaisu:
Esimerkki 1: Laaja levy, jonka paksuus on d, on asetettu xz-tason suuntaisesti symmetrisesti xz-tasoon nähden. (Katso kuva!). Levyssä kulkee virta, jonka virtatiheys noudattaa yhtälöä j j uˆ z Laske -kenttä y:n funktiona levyn sisällä ja levyn ulkopuolella. y x
Esimerkki 11: Pitkän, suoran virtajohtimen poikkipinta-ala on R-säteinen ympyrä. Virtatiheys johtimessa noudattaa yhtälöä r j j, R missä r on etäisyys johtimen keskiakselista ja j on vakio. Laske -kenttä johtimen sisäpuolella ja ulkopuolella a) käyttäen Ampèren lain integraalimuotoa, b) käyttäen Ampèren lain differentiaalimuotoa. Ratkaisu: