. f( = ( = 0 = 0 ti = 0 = 0 ti = Anne: Tulo on noll, jo jokin tulon tekijöitä on noll b f( = ( = 6 f ( = 6-6 f '( 6( 6 Anne: Peruderivointi ottv moin ijoitu luekkeeeen
c ( 6 d / ( 4 (8 (8 0 Anne: Käytä merkinnöiä ulkuj, peruintegrointi ijoitukineen ottv
. Määrittelyehto: > 0 4 : : ( Anne: Voidn rtkit myö uorn neliöjuurien vull Neliöjuurt ei voi ott negtiiviet luvut
b t t 0 0 ( t ( t 4 ( t ( t t t Anne: Summn j erotuken tulo ( + b( b = b Hyvin tärkeä kv, kuten uein olen nonut c 4 00 00 0, 00 = ( 00 00 0, 00 = 00 00 0, 00 = ( 0, 00 = 00 = Anne: Potenin lkuäännöt, löytyy myö tulukkokirjt
. 4 relinen? 4 0 j 0 4 j 4 Anne: Kyeeä ei todellkn ole yhtälön rtkiu ( ei ole = merkkiä miään näkyviä. J on oleellinen juttu, ii molempien pitää oll voim. b. k + (k = 0 eriuurt rtkiu? D = (k - 4k (- = k 4k + 4 + 8k = k + 4k + 4 rtkiu, kun D > 0 k + 4k + 4 = (k + k - j k 0 Anne: Voidn rtkit myö ihn rtkiukvll,. teen epäyhtälö k 0 tulee iitä, että jo k = 0, yhtälö ei enää olii. teen yhtälö
4. Mrkn rvo lu Lkettiin enin 4% 0,96 itten 6 % 0,94 0,96 = 0,904 Virhe proenttein: 0,90 0,904 0,997 00 % - 99,7% = 0,7% (liin pieni Virhe proenttiykikköinä: 90,4 90 = 0,4 Vtu: 0,4 proenttiykikköä Anne: Tulukkokirjt löytyy käite proenttiykikkö Kirjin oltv mukn lkui (jo lukurvo kirjimen tilll, 4p Vertiluproentit
. h(t = -4,9t + 6,t Kpple ilm h(t = 0: -4,9t + 6,t = 0 t(-4,9t + 6, = 0 t = 0 ti -4,9t + 6, = 0 t 6, 4,9, Vtu: n., b Lkikorkeu lentojn puole välin: t =,/ =,6 ( h(,6 = -4,9,6 + 6,,6,4 Vtu:,4 m c Lähtönopeu: h (0 h (t = -9,8t + 6, h (0 = 6, Vtu: 6, m/ Anne: Lopullii vtuki oltv ykiköt mukn
6. ( + = + ( - = ( ( + = 4 + 4 + 6 + = 7 + Anne: Sii ijoitettv muuttuj on pienempi kuin lkuperäieä Voi tehdä myö toiell tp, ilmn yllä olev hokmit Toien teen yhtälö muoto: ( = + b + c ( + + b( + + c = + ( + + + b + b + c = + + ( + b + ( + b + c = + b = - b = - + b + c = + (- + c = => c = 9 ( = + 9 ( - = ( ( + 9 = - + + + 9 = 7 +
7. Määritä ellien ympyräektorin kekukulm, jonk pint-l on j piiri mhdolliimmn lyhyt. Ann tulo 0, teen trkkuudell. Kekukulm =, äde = r, kri = b A = ½rb = b r r Piiri: p(r = r + b r, r 0 p'( r r r p' ( r 0 : 0 r r r r jot r = kuuluu määrittelylueelle
0 r = ½ : p p m - min + p = 8 = - 6 < 0 r = : p = - ½ = ½ > 0 Kulkukvion mukn, kun r =, niin piiri lyhin Kekukulm: b r 60 4,6 Anne: Uein kun oveltv tehtävää kyytään uurint / pienintä rvo, niin tehtävä liittyy derivointiin ti 60 r 60 60 4,6
9. Olkoon Rtkie r( = r( r( 7 r( 7 Huom. pite jo tätä!!!! 7 7 ( ( 7 ( ( 7 ( ( 6 69 7 6 69 8 97 7 9 07 97 7 9 06 90 0 pitettä tähän menneä
Kok =, niin ( on tekijä J jkokulm. teen termi :llä t toien tekijän ( 4 + 46 ( ( 4 + 46 = 0 = 0 ti 4 + 46 = 0 Jälkimmäiellä tekijällä ei ole relijuurt (lke vikk ihn. teen rtk-kvll Aino juuri on =
0. Ooit, että funktio toteutt yhtälön y + = e y y ln ln( ln( ln ln y y ' Sijoitu, ven puoli: ( Sijoitu, oike puoli: e e e y ( ln( ln( = ven puoli Anne: Derivointi voidn tehdä myö ilmn, että lu käytetään logritmin kvoj
. Kki uhkpelj heittää vuorotellen nopp. Molemmt ettvt pottiin pnokeki 000. Potin voitt pelj, jok eniki kuutoen. Lke pelin loittjn nettovoiton odoturvo. K = 6 E = ei 6 P(K =/6 P(E = /6 Aloittj voitt: K, EEK, EEEEK,. Näiden todennäköiyydet: 4,( 6 6 P(loittj (,( 6 6 voitt (,... 6 6 ( 6 6 P( loittj ei voit Nettovoitto, - 000, 000 Geometrinen rj, = /6, q = (/6 ( ( 6 6 4 (... 6 6 ( 6 6 Anne: Kto MAA, vtv eimerkki. 6 6 E( X 000 ( 000 9(
. Ooit, että luku n 4 on jollinen luvull 8 in, kun n on priton kokoniluku. n = k +, k Z n 4 = (n + (n = ((k + + ((k + = (4k + 4k + + (4k + 4k + = (4k + 4k + (4k + 4k = (k + k + 4(k + k = 8(k + k + (k + k Kok tekijänä 8, niin n 4 on in jollinen luvull 8. Anne: Prillinen luku k, Priton k + ti k Huom: T ummn j erotuken tulon käyttöä
. Ooit, että funktioll f( = + + + 6 + in on käänteifunktio. Lke ( f '(6 f ( = 4 + 6 + + co Kok co 0, niin f > 0 kikkill, jolloin f on idoti kvv, joten funtioll käänteifunktio f(0 = 0 + 0 + 0 + 6 + in0 = 6 ( f '(6 f '(0 co 0 Anne: Vert meidän MAA:n koe Kirjn (MAA eimerkkib,. 86 j olln tehty iheieen liittyviä tehtäviäkin
*4. Kolmio yki kärki on origo, toinen piteeä A= (9, 0, B=(,6 Ooit, että kolmion pyörähtäeä -kelin ympäri yntyvän kppleen tilvuu on m kuin kolmion pint-ln j pinopiteen kulkemn mtkn tulo. Rtkiu: Piirrä kolmio koordintitoon Pinopite: 0 9 0 0 6 (, (4, Sen kulkem mtk: = r = = 4 Kolmion l: A = ½ 9 6 = 7 Tulo = 7 4 = 08 Pyörähdykpple kootuu khdet ympyräkrtiot: V 6 6 6 08 tulo Huom: kekirvoll jo pitettä! Anne: Tehtävätä i helpoti irtopiteitä Trkt rvot oltv ei pyöritää Tilvuu menee myö integrleill
*. To uorn uunt voidn ilmoitt kulmkertoimen vull. Kolmiulotteien vruuden uorll ei ole kulmkerroint. Sen ij en uut voidn ilmoitt uuntkoinien vull. Suuntkoini = uorn uuntvektorin j poitiivien koordinttikelien välien kulmn koini. Lke uorn L: uuntkoinit (4 pit. y z 7 Suorn uuntvektorit on = i + j + 7k (Huom. Suorn tulukkokirj. 46 7 6 (Huom. Suorn tulukkokirj. 4, i co(, i (Huom. Tulukkokirj. 4, 8. i 6 6 co(, j j j 6 6 co(, k k k 7 6 7 6
b. Määritä uuntkulmt ( pit co(, i 6 (, i 7, co(, j 6 (, i 67,6 co(, k 7 6 (, i 7, c Neliöiden umm: ( pit ( 6 ( 6 ( 7 6 4 6 9 6 49 6 6 6
d Ooit, että tulo on m kikille kolmiulottien vruuden uorille k j i z y n z y z y k j i n n n n n n S z y z y Anne: Lähetulkoon tulukkokirjn käyttöä. No hiemn piti ymmärtääkin, lkun eri viheit
8. Ktkitun ympyräkrtion pohjien äteet ovt r j r ekä korkeu r. Kpple pyörii lppeelln vkuorll lutll iten, että lutn muodotuu ympyräreng. Lke en pint-l. = r, b = r. Yhdenmuotoiuudet: r r r r r = r + = 0r Kok y = r, niin r = r j r = 4r = 40r Renkkn l on = r - r = 0r = 0r