766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, PREPPAUSTA PÄÄTEKOKEESEEN 2014 Tässä materiaalissa on Soveltavan sähkömagnetiikan vanhoja pääte- ja loppukokeita. Alussa on kokonaisia tenttejä. Myöhemmin on vain muutamia laskuja eri tenteistä, koska on paljon samantyyppisiä tehtäviä. Materiaalin lopussa ovat vastaukset. Älä odota päätekokeeseen juuri näitä tehtäviä, mutta samantyyppisiä voi tulla ja tuleekin. Teoria kannattaa lukea huolellisesti. Alla olevista tenteistä näet, että ensimmäinen kysymys on ollut käsitteiden määrittelytehtävä. Tätä käytäntöä jatketaan vielä tammikuun 2014 päätekokeessa. Kaikki käsitteet siis kannattaa opetella hyvin, vaikka niitä on paljon enemmän kuin alla olevissa esimerkeissä. Muistathan selittää käyttämäsi symbolit. Vektorimerkkejä kannattaa käyttää huolellisesti. Älä laita vektorimerkkiä skalaareihin kuten potentiaaliin, energiaan, sähkökentän tai magneettikentän vuohon. Ennen Soveltavan sähkömagnetiikan päätekoetta, joka pidetään tiistaina 21.1.2014 klo 14 18 salissa L1, järjestetään seuraavat preppaustilaisuudet Anttilansalissa FY1103: Ma 13.1. klo 17 20 Ke 15.1. klo 17 20 Pe 17.1. klo 17 20 Ma 20.1. klo 17 20 Näissä tapaamisissa voi: -laskea ja näyttää kaikkia syksyn 2013 laskuharjoitustehtäviä, niistä saa vielä pisteitä, -laskea ja palauttaa kaikkia puuttuvia (arvosteltavia) kotitehtäviä, -laskea tässä materiaalissa olevia (tai muita) preppaustehtäviä, -kysyä neuvoa kaikkiin edellä mainittuihin tehtäviin.
Loppukoe 2.11.2010 1. Esitä tai määrittele kaavan avulla a) dipolimomentin määritelmä b) Poissonin yhtälö potentiaalille c) skalaaripotentiaalin, vektoripotentiaalin ja sähkökentän välinen riippuvuus d) Biot-Savartin laki magneettivuon tiheydelle e) sähkökenttä nopeudella u laboratoriokoordinaatiston suhteen liikkuvassa koordinaatistossa, kun sähkökenttä laboratoriokoordinaatistossa on E. f) Poyntingin vektori. Selitä myös, mitä käyttämäsi symbolit tarkoittavat. 2. Kaksi identtistä kondensaattoria kytketään rinnakkain ja varataan jännitteeseen U. Sitten toinen kondensaattoreista täytetään eristeaineella, jonka suhteellinen permittiivisyys on ε. Tämän jälkeen kondensaattorit irrotetaan jännitelähteestä. Seuraavaksi poistetaan eristeaine. Mikä on kondensaattorikytkennän jännite tämän jälkeen? 3. Pallosymmetrinen varaustiheys alueessa r < R on muotoa ( ) missä ρ 0 ja R ovat vakioita ja r on etäisyys symmetria-akselista. Tämän alueen ulkopuolella varaustiheys on nolla. Laske varaustiheyden aiheuttama sähkökenttä kummassakin alueessa. 4. Tasosymmetrinen virtatiheys noudattaa yhtälöä, missä z 0 > 0 on vakio. Laske virran aiheuttama magneettivuon tiheys. 5. Monokromaattisen sähkömagneettisen aallon sähkökenttä on muotoa. Laske aallon Poyntingin vektori.
Loppukoe 21.9.2010 1. Esitä tai määrittele kaavan avulla a) Stokesin lause b) sähkökentän, sähkövuon tiheyden ja polarisoituman välinen riippuvuus c) magneettikentän, magneettivuon tiheyden ja magnetoituman välinen riippuvuus d) Coulombin mitta vektoripotentiaalille e) sähkökentän energiatiheys f) magneettikentän energiatiheys. 2. Äärettömän pitkä lanka sijaitsee z-akselilla. Lanka on varattu siten, että varaus pituusyksikköä kohti on λ, kun z > 0 ja λ, z < 0. Laske sähkökenttä etäisyydellä r langasta kohdassa z = 0. Opastus: Luennolla käsiteltiin tilanne, joka oli muuten samanlainen, mutta varaustiheys pituusyksikköä kohti oli vakio. Tämä tehtävä on muunnos luentotehtävästä. 3. Pallokondensaattorin sisäsäde on a ja ulkokuoren säde b. Kondensaattori on täytetty kahdella eristeaineella siten, että kumpikin aine on pallokuoren muotoinen. Sisempi kuori täyttää alueen a < r < c ja ulompi alueen c < r < b. Sisemmässä alueessa suhteellinen permittiivisyys on ε 1 ja ulommassa ε 2. Laske kondensaattorin kapasitanssi. 4. Kaksi äärettömän laajaa virtalevyä sijaitsee etäisyydellä d toisistaan. Toisessa levyssä kulkee virtakate J ja toisessa virtakate J/2 ja virtojen suunnat ovat vastakkaiset. Laske magneettivuon tiheys levyjen välissä ja levyjen ulkopuolella. 5. Tyhjiössä etenevässä sähkömagneettisessa aallossa siirtymävirran tiheyden amplitudi on 10-5 A/m 2. Aallon taajuus on 10 8 Hz. Laske aallon sähkökentän ja magneettivuon tiheyden amplitudit.
Loppukoe 9.2.2010 1. Esitä tai määrittele kaavan avulla a) dipolimomentti b) Gaussin laki c) polarisoituma d) Lorentz-voima e) magneettivuon tiheyden lähteettömyys f) Biot-Savartin laki. 2. Kolme äärettömän pitkää ohutta varattua lankaa sijaitsee avaruudessa siten, että ne kaikki ovat z- akselin suuntaisia. Yksi langoista kohtaa xy-tason pisteessä au x, toinen pisteessä 2au y ja kolmas pisteessä a(u x - u y ). Kunkin langan varaus pituusyksikköä kohti on λ. Laske sähkökenttä z-akselilla. Opastus: äärettömän pitkän langan aiheuttama sähkökenttä on muotoa λ/2πε 0 r, missä r on kohtisuora etäisyys langasta. 3. Johtavan pallokuoren sisälle on asetettu samankeskinen johtava pallo. Pallon säde on a ja pallokuoren sisäsäde b. Pallon varaus on q ja pallokuoren varaus q. Laske tämän systeemin potentiaalienergia. Opastus: Potentiaalienergia voidaan laskea sähkökentän energiatiheyden avulla. 4. Ympyränmuotoinen virtasilmukka, jonka säde on a, sijaitsee xy-tasossa siten, että sen keskipiste on origossa. Silmukassa kulkee virta I ja virran kiertosuunta positiivisen z-akselin suuntaan katsottaessa on oikeakätinen. Toisen ympyränmuotoisen virtasilmukan säde on 2a ja siinä kulkee virta 10 I. Missä silmukka sijaitsee, kun magneettivuon tiheys ensimmäisen virtasilmukan keskipisteessä on nolla? Onko ratkaisuja enemmän kuin yksi? Opastus: Magneettivuon tiheys ympyränmuotoisen virtasilmukan akselilla on μ 0 Ia 2 /[2(a 2 +s 2 ) 3/2 ], missä s on etäisyys keskipisteestä. 5. Sähkömagneettisen aallon sähkökenttä on muotoa, missä ω ja k ovat positiivisia vakioita. a) Mikä on aallon etenemissuunta? b) Mikä on aallon polarisaatio, jos ϕ = 0? c) Mikä on aallon polarisaatio, jos ϕ = π/2 ja E 0x = E 0y? d) Mikä on aallon polarisaatio, jos ϕ = π/2 ja E 0x E 0y? e) Mikä on aallon polarisaatio, jos ϕ = - π/2 ja E 0x = E 0y? f) Mikä on aallon polarisaatio, jos ϕ = - π/2 ja E 0x E 0y?
Päätekoe 19.1.2010 1. Esitä tai määrittele kaavan avulla a) Varauskate johteen pinnalla, kun sähkökenttä pinnan ulkopuolella on E b) Ohmin laki differentiaalimuodossa c) Coulombin mitta d) magneettimomentti e) kelan varastoima magneettinen energia, kun kelan itseinduktanssi on L ja kelassa kulkee virta I f) Lorenz-mitta. 2. Sähkökenttä pallokoordinaatistossa on muotoa, missä ρ 0 ja r 0 ovat vakioita. Laske varaustiheys, joka aiheuttaa tämän kentän. 3. Sylinterisymmetrinen virtatiheys noudattaa sylinterikoordinaatistossa yhtälöä alueessa r < r 0. Tämän alueen ulkopuolella virtatiheys on nolla. Laske virran aiheuttama magneettivuon tiheys eri alueissa. 4. Neliönmuotoisen virtasilmukan sivun pituus on a. Silmukan tasossa sen kahden vastakkaisen sivun suuntaisena on pitkä suora virtajohdin, jossa kulkeva virta on I 0. Johtimen etäisyys toisesta sivusta on a/4 ja toisesta sivusta 3a/4. Johdin ja silmukka siis koskettavat toisiaan, mutta niiden päällä on eriste, joten niiden välillä ei ole sähköistä kontaktia. a) Laske silmukan läpi kulkeva magneettivuo. b) Kuinka suuri jännite indusoituu silmukkaan, jos johtimessa kulkeva virta pienenee lineaarisesti nollaan ajassa t 0? 5. Laske, mikä on teoreettisesti radioaallon suurin mahdollinen intensiteetti ilmassa, kun ilman läpilyöntikestävyys on 3 10 6 V/m.
Loppukoe 28.04.2009 1. Esitä tai määrittele kaavan avulla a) Gaussin laki b) pistevarauksen aiheuttaman potentiaalin lauseke c) sähkökentän ja potentiaalin välinen riippuvuus d) Faradayn laki differentiaalimuodossa e) virtatiheyden lauseke, kun väliaineen johtavuus on σ ja aineessa vaikuttaa sähkökenttä E f) pitkän suoran virtajohtimen aiheuttaman magneettivuon tiheyden lauseke (helppo johtaa, jos periaate tiedossa). 2. Origossa sijaitsee positiivinen pistevaraus, jonka suuruus on q 0. Negatiivinen pistevaraus, jonka suuruus on q sijaitsee x-akselilla kohdassa x = a. a) Laske työ, joka on tehtävä varauksen q siirtämiseksi pitkin x-akselia pisteeseen x = 2a. b) Laske työ, joka on tehtävä varauksen q siirtämiseksi pitkin suoraa viivaa y-akselille pisteeseen y = 2a. 3. Johtavan pallokuoren säde on R ja varaus q. Laske a) varauskate pallon pinnalla. b) sähkökenttä pallon sisällä keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona. c) sähkökenttä pallon ulkopuolella keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona. 4. a) Johtavasta aineesta valmistetun sylinterin muotoisen kappaleen pituus on d ja poikkipinta-ala A. Aineen johtavuus on σ. Laske kappaleen päiden välinen resistanssi Ohmin lain differentiaalimuodosta lähtien. b) Kahden samansuuntaisen virtajohtimen välinen etäisyys on 1,3 m. Johtimissa kulkevat virrat ovat 1,2 A ja 3,1 A. Kuinka suuri on johtimiin kohdistuva voima pituusyksikköä kohti? c) Lentokone lentää vaakasuoraan nopeudella 600 km/h paikassa, jossa maan magneettikentän magneettivuon tiheyden pystysuora komponentti on 25 μt. Koneen siipien kärkiväli on 15 m. Kuinka suuri jännite syntyy siivenkärkien väliin. 5. Tutki, millä ehdolla sähkökenttä [ ] on aaltoyhtälön ratkaisu. Päättelyn on käytävä selvästi ilmi vastauksesta. Loppukoe 10.03.2009 3. Eristepallo, jonka säde on R, on varattu tasaisesti siten, että vapaa varaustiheys on ρ f. a) Laske sähkövuon tiheys pallon sisällä keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona. b) Laske sähkökenttä pallon sisällä keskipisteestä mitatun etäisyyden funktiona, kun tiedetään, että pallon suhteellinen permittivisyys on ε. 5. Tyhjiössä etenevän monokromaattisen sähkömagneettisen aallon intensiteetti on 1 W/m 2. Laske aallon sähkökentän ja magneettivuon tiheyden amplitudit.
Päätekoe 20.1.2009 2. Kuusi pistevarausta sijaitsee tasavälein ympyrän kehällä. Ympyrän säde on 20 cm ja kunkin varauksen suuruus on 25 nc. Missä pisteessä ympyrän akselilla sähkökenttä saa suurimman arvon? Laske tämä arvo. 4. Kun johtava pallo asetetaan vakiosähkökenttään, pallon pinnalle syntyy varausjakautuma, joka voidaan kuvalähdeperiaatetta käyttäen korvata pallon keskipisteeseen asetetulla dipolilla. Laske tarvittavan dipolimomentin suuruus, kun vakiosähkökentän suuruus on E 0 ja pallon säde R. Opastus: Dipolipotentiaali on pallokoordinaatistossa muotoa Loppukoe 4.11.2008 2. Äärettömän laajan vaakasuoran johtavan tason yläpuolella etäisyydellä a tasosta sijaitsee varaus q. Laske sähkökenttävektori tason pinnalla suoraan varauksen alapuolella. 4. Sylinterin muotoisen vastuksen pituus on L ja poikkileikkauksen säde R. Vastuksen johtavuus käyttäytyy sylinterisymmetrisesti siten, että se pienenee akselilta pinnalle mentäessä lineaarisesti arvosta 2σ 0 arvoon σ 0. Laske vastuksen resistanssi. Loppukoe 23.9.2008 3. Avaruudessa vaikuttaa magneettikenttä, jonka vuon tiheys sylinterikoordinaatistossa on, j 0 ja r 0 ovat vakioita. Laske, millainen virtatiheys aiheuttaa tämän kentän. 5. Tyhjiössä etenevän sähkömagneettisen aallon sähkökenttä on [ ]. Laske aallon intensiteetti.
Loppukoe 10.6.2008 4. Laske kuormittamattoman homopolaarisen generaattorin jännite, kun generaattori pyörii kulmanopeudella ω kentässä, jonka magneettivuon tiheys on B. Generaattorin pyörivän levyn säde on b ja akselin säde on a. Selosta päättelysi jokainen vaihe (pelkkä kaavojen kirjoittaminen ei riitä). 5. a) Kirjoita lauseke monokromaattisen lineaarisesti polarisoituneen sähkömagneettisen aallon sähkökentälle, kun aallon kulmataajuus on ω, aaltolukuvektori on k ja amplitudi on E 0. (2 p) b) Mikä on tämän aallon aallonpituus, kun eteneminen tapahtuu tyhjiössä? (1 p) c) Mikä on E 0 :n komponentti aaltovektorin suunnassa? d) Mikä on aallon intensiteetti? (1 p) e) Kirjoita sähkökentän lauseke aallolle, joka on muuten samanlainen kuin kohdan a) aalto, mutta etenee päinvastaiseen suuntaan. (1 p) Päätekoe 22.1.2008 4. Ideaalisen muuntajan ensiökäämissä on 100 kierrosta ja siihen on yhdistetty sinimuotoinen jännite, jonka (tehollinen) arvo on 230 V ja taajuus 50 Hz. Toisiokäämin päiden välille on kytketty vastus, jonka resistanssi on 130 Ω. Mikä on toisiokäämin kierrosluku, jos vastuksessa kulkeva (tehollinen) virta on 2,3 A?
VASTAUKSET: Loppukoe 2.11.2010 2. 3. r > R: r < R: ( ) 4. [ ] kun z > 0 [ ] kun z < 0 5.. Loppukoe 21.9.2010 2. 3. ( ) ( ) 4.,, 5. 1,8 10-3 V/m, 6,0 10-12 T Loppukoe 9.2.2010 2. 3. 4.
Päätekoe 19.1.2010 2., 3. r < r 0 r > r 0 4. a) b) 5. 1,2 10 10 W/m 2 Loppukoe 28.04.2009 2. a) ja b) 3. a) b) 0 c) 4. a) b) 0,57 μn/m c) 63 mv 5. Loppukoe 10.03.2009 3. a) b) 5. 27 V/m, 92 nt Päätekoe 20.1.2009 2. 14 cm, 13 kv/m 4. 4πε 0 E 0 R 2
Loppukoe 4.11.2008 2. suunta alas 4. Loppukoe 23.9.2008 3. 5. Loppukoe 10.6.2008 4. Päätekoe 22.1.2008 4. 130