Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Binomihilan avulla voidaan laskea T vuoden ja tietyn kupongin sisältävän joukkovelkakirjan arvo eli hinta rekursiivisesti vaihtelevan koron tapauksessa. Korot määräytyvät binomihilassa kertoimilla u (ylöspäin) ja d (alaspäin) siten, että riskineutraalitodennäköisyyden ollessa q korko kasvaa u:n verran todennäköisyydellä q ja laskee d:n verran todennäköisyydellä ( q). r 0 = 0.06 u =.2 d = 0.9 q = 0.5 F = 00 C = 6 T = 3 Lyhyitä korkoja kuvaava hila: 0 2 0.06 0.072 0.0864 0.054 0.0648 0.0486 Tässä siis esim. 0.0648 = 0.06 u d = 0.06 d u. Tätä hilaa voidaan käyttää hyväksi määriteltäessä joukkovelkakirjan arvo rekursiivisesti: 0 2 3 V(0,0) V(,) V(2,2) V(3,3) V(0,) V(,2) V(2,3) V(0,2) V(,3) V(0,3) Nyt ensimmäisenä periodina (ei makseta kuponkia) odotettu arvo on: V (0, 0) = Viimeisessä periodissa odotettu arvo on: Muissa periodeissa odotetuksi arvoksi saadaan: V (s, t) = C + (qv (, ) + ( q)v (0, )) + r(0, 0) V (s, T ) = C + F (qv (s +, t + ) + ( q)v (s, t + )) + r(s, t) 0 2 3 05.25 03.54 03.57 06 06.87 05.55 06 07.09 06 06
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008. (L4.) Muodosta korkodynamiikkaa kuvaava hila 0 vuodeksi, kun ensimmäisen vuoden korko on 6% ja seuraavien vuosien korot määräytyvät binomihilassa kertoimilla u =.2 ja d = 0.9. Riskineutraali todennäköisyys on 0.5. a) Määritä 0 vuoden 6% kuponkikorkoisen joukkovelkakirjan hinta. b) Oletetaan, että joukkovelkakirjan liikkeellelaskija voi ostaa em. joukkovelkakirjan takaisin milloin tahansa 5. vuoden jälkeen, jolloin hän maksaa siitä nimellisarvon ja yhden kuponkimaksun. Mikä on tämän joukkovelkakirjan arvo, kun huomioidaan siihen kohdistuva takaisinostomahdollisuus (callable bond)? Muodostetaan ensin lyhyitä korkoja kuvaava hila, kun parametrit ovat u =.2 d = 0.9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 6.0% 7.2% 8.6% 0.4% 2.4% 4.9% 7.9% 2.5% 25.8% 3.0% 5.4% 6.5% 7.8% 9.3%.2% 3.4% 6.% 9.3% 23.2% 4.9% 5.8% 7.0% 8.4% 0.% 2.% 4.5% 7.4% 4.4% 5.2% 6.3% 7.6% 9.% 0.9% 3.% 3.9% 4.7% 5.7% 6.8% 8.2% 9.8% 3.5% 4.3% 5.% 6.% 7.3% 3.2% 3.8% 4.6% 5.5% 2.9% 3.4% 4.% 2.6% 3.% 2.3% Lisäksi tiedetään, että hilan ylöspäinsiirtymistodennäköisyys on q = 0.50 a) Lasketaan hinta 0 vuoden joukkovelkakirjalle, kun sen kuponkikorko on 6% eli Viimeisenä periodina (t = T ) odotettu arvo on C = 6 F = 00 V (s, T ) = F + C ja ensimmäisenä periodina (ei kuponkikorkoa) kaavalla V (0, 0) = (qv (, ) + ( q)v (0, )). + r(0, 0) Muina perioideina odotettu nykyarvo saadaan rekursiokaavalla V (s, t) = C + (qv (s +, t + ) + ( q)v (s, t + )). + r(s, t)
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 0 vuoden joukkovelkakirjan arvoa kuvaavaksi hilaksi saadaan: 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9.7 9.0 84.9 79.8 75.6 72.8 7.6 72.7 77. 86.9 06 03.5 97.2 9.8 87.2 83.8 8.9 82.0 84.9 92.0 06 08.2 02.5 97.7 93.8 9.2 90.2 9.6 96.3 06.8 06.7 02.4 99. 97.2 97.2 99.8 06 4.3 09.6 05.8 03. 0.8 02.5 06 5.5.2 07.8 05.5 04.7 06 5.5.5 08.4 06.5 06 4.5 0.7 07.8 06 2.5 08.8 06 09.6 06 06 b) Joukkovelkakirjaan on siis lisätty sen liikkeellelaskijalle optio lunastaa joukkovelkakirja takaisin. On siis pääteltävä kuinka option liikkeellelaskija tulee toimimaan. Jos joukkovelkakirjan arvo ylittää 06 (F + C = 00 + 6 = 06) niin liikkeellelaskija luonnollisesti lunastaa sen takaisin. Joukkovelkakirjan arvon rekursiokaavat muuttuvat vuodesta 5 eteenpäin siis seuraavasti (liikkeellelaskija lunastaa joukkovelkakirjan juuri ennen kupongin maksua): V (s, t) = min { F + C, C + } (qv (s +, t + ) + ( q)v (s, t + )) + r(s, t) 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 9.0 90.7 84.9 79.8 75.6 72.8 7.6 72.7 77. 86.9 06 02. 96.7 9.7 87.2 83.8 8.9 82.0 84.9 92.0 06 05.9 0.5 97.4 93.7 9.2 90.2 9.6 96.3 06 07.9 04.8 0.9 99. 97.2 97.2 99.8 06 08.0 06.0 04.9 03.0 0.8 02.5 06 Lihavointi=lunastus mahdollinen Alleviivaus=joukkovelkakirja lunastetaan 06.0 06.0 06.0 05.3 04.7 06 06.0 06.0 06.0 06.0 06 06.0 06.0 06.0 06 06.0 06.0 06 06.0 06 06 Arvo on siis alempi, koska suotuisan kehityksen toteutuessa liikkeellelaskija lunastaa joukkovelkakirjan takaisin ja ostaja menettää tässä arvon S(t) 06 verran.
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 2. (L4.2) Olkoon V ks sellaisen vaihtuvakorkoisen lainan arvo, joka on otettu hetkellä k binomihilan tilassa s ja jonka alkupääoma on 00. Laina tulee kuolettaa periodiin n mennessä. Kunakin periodina maksettava korko on kyseisen periodin lyhyt korko plus preemio p. Velkaa kuoletetaan annuiteettilainana siten, että maksuerien suuruutta korjataan aina korkojen muuttuessa. Esitä V ks :n ekspisiittinen lauseke k:n ja s:n funktiona. Annuiteetin maksuerän suuruus on (kts. aiemmat laskarit): A = r( + r)n P ( + r) n Olkoon nyt r=(lyhyt korko + preemio p) ja alkupääoma P 00 = 00. Tällöin annuiteettimaksun suuruudeksi hetkellä k tilassa s saadaan missä P ks on solmussa ks jäljellä oleva lainapääoma. A ks = (r ks + p)( + r ks + p) n k P ks ( + r ks + p) n k, Lainapääoma kehittyy seuraavan kaavan mukaisesti (lainalle kertyvä korko miinus maksu): P (k+)s = P ks ( + r ks + p) A ks Pankki ja lainan ottaja näkee vain kassavirrat A, joten näistä voidaan laskea lainan arvo. Koska korot vaihtelevat, muodostetaan rekursiokaava kuten tehtävässä : V ks = A ks + + r ks (qv (k+)s + ( q)v (k+)(s+) ), missä q on binomihilan ylöspäinsiirtymistodennäköisyys ja r ks lyhyt korko hetkellä k tilassa s.
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 3. (L4.8). Tarkastellaan plain vanilla korkoswapia, jossa A maksaa B:lle vuosittain 0 miljoonan euron lainapääomasta kiinteää korkoa 6 vuoden ajan. B puolestaan maksaa A:lle samasta pääomasta kuusi vuotta vaihtuvaa korkoa. Korot noudattavat tehtävässä muodostettua binomihilaa. a) Muodosta hila, joka määrittää vaihtuvakorkoisten kassavirtasuoritusten nykyarvon. b) Millä kiinteällä korolla kiinteäkorkoisen ja vaihtuvakorkoisen kassavirran nykyarvot ovat samat? Tehtävän erityispiirteenä on, että vaihtuvakorkoisesta lainasta maksettava korko sekä diskonttokorko noudattavat binomihilaa. Kiinteäkorkoisessa lainassa lainasta maksettava korko on kiinteä, mutta diskonttokorko on edelleen vaihtuvakorkoinen. Parametrit ovat: F = 0 MEUR (lainapääoma) r 0 = 0.06 u =.2 d = 0.9 q = 0.5 Tehtävän hila uudestaan, r(s, t): 0 2 3 4 5 6 6.0% 7.2% 8.6% 0.4% 2.4% 4.9% 7.9% 5.4% 6.5% 7.8% 9.3%.2% 3.4% 4.9% 5.8% 7.0% 8.4% 0.% 4.4% 5.2% 6.3% 7.6% 3.9% 4.7% 5.7% 3.5% 4.3% 3.2% a) Vaihtuvakorkoisen kassavirtasuorituksen nykyarvo voidaan laskea rekursiokaavasta (pl. viimeinen periodi), koska seuraavana periodina tehtävä maksu määräytyy edellisen vuoden korkojen mukaan (so. siinä maksetaan edellisen vuoden korot): V (s, t) = (F r(s, t) + qv (s +, t + ) + ( q)v (s, t + )), + r(s, t) missä ensimmäinen termi on vaihtuvan koron mukainen suoritus ja jälkimmäinen on riskineutraali odotusarvo tulevasta arvosta.
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 Viimeisellä periodilla on vain maksu eli kassavirran arvo: +r(s,t) F r(s, t). Saadaan seuraavanlainen hila ja vaihtuvakorkoisen 0 2 3 4 5 3.240 3.64 2.984 2.66 2.32.299 2.505 2.359 2.095.668.007.842.632.293 0.775.260 0.994 0.593 0.760 0.45 0.342 Tässä siis esim. arvo 2.095 (alleviivattuna) saadaan seuraavasti (laskettu tarkoilla arvoilla): (0 0.078 + 0.5.668 + 0.5.293) = 2.095 + 0.078 b) Kiinteäkorkoisen kassavirran rekursiokaava on muuten sama kuin vaihtuvakorkoisen, mutta F :n kertoimena on jokin kiinteä korko r. Nykyarvot täsmäävä korko voidaan hakea esimerkiksi Excelin Goal Seektoiminnolla. Kiinteä korko r = 0.0669. Kiinteäkorkoisen kassavirran arvo: 0 2 3 4 5 3.240 2.695 2.65.643.2 0.582 2.836 2.276.723.69 0.60 2.366.787.207 0.67.838.238 0.629.26 0.639 0.646
Mat-2.34 Investointiteoria Laskuharjoitus 2/2008, Ratkaisut 29.04.2008 4. (L4.9) Swaptio antaa haltijalleen oikeuden swap-sopimukseen. Oletetaan, että yrityksellä B on velkaa 0 miljoonaa euroa, josta se maksaa kuuden vuoden ajan 6.69%:n kiinteää korkoa. Yritys A tarjoaa yritykselle B swaptiota, jossa kiinteäkorkoinen laina vaihdetaan vaihtuvakorkoiseen obligaatioon, jonka maksut määräytyvät lyhyiden korkojen mukaan ja jonka pääoma ja päättymispäivä ovat samat kuin alkuperäisen lainan. Swaptio voidaan toteuttaa ainoastaan vuoden 2 alussa, jolloin edellisen vuoden maksut on maksettu ja tulevan vuoden korot ovat tiedossa. Jos oletetaan, että lyhyet korot noudattavat tehtävän hilaa, niin mikä on tämän swaption arvo? Swaptio on optio swap-sopimukseen. Nyt swap-sopimuksella voidaan vaihtaa tehtävän 3 kiinteäkorkoinen kassavirta vaihtuvakorkoiseen kassavirtaan. Kuten aiemmin, vaihto kannattaa tehdä vain jos vaihtuvakorkoisen kassavirran arvo on suurempi kuin kiinteäkorkoisen. Nyt voidaan hyödyntään tehtävän 3 hiloja. Periodin 2 alussa swaption sisältävän kiinteäkorkoisen lainan avo on (lainan ottajan tapauksessa) minimi kiinteäkorkoisesta ja vaihtuvakorkoisesta lainasta. Huom! Lainan antajalle se on maksimi, jos hän saa päättää swaption toteutuksesta. Periodien ja 2 rekursiokaavat ovat kuten aiemminkin eli: missä r kiinte on tehtävän 3b kiinteä korko. + r(s, t) (F r kiinte + 0.50 V (s +, t + ) + 0.50 V (s, t + )), Swaption sisältävän kiinteäkorkoisen lainan arvo: 0 2 3.23 2.695 2.65 2.588 2.276.842 Toisin sanoen alimmassa tilassa swaptio toteutetaan. Swaption arvo on normaalin kiinteäkorkoisen lainan ja swaption sisältävän lainan erotus eli (tehtävästä 3, lainan arvo on 3.240): V swaptio = 3.240 3.23 = 0.7 MEUR