HILBRTIN AVARUUDT 802652S MIKAL LINDSTRÖM KVÄÄN 2010 ANALYYSI 3 -LUNTOJN PRUSTLLA TOIMITTANT TOMI ALAST JA LAURI BRKOVITS
Sisältö 1 Hilbertin Avaruudet 3 1.1 Normi- ja L p -avaruudet........................ 3 1.2 L p -avaruuksien täydellisyys...................... 8 1.3 Sisätuloavaruudet........................... 10 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä...................... 20 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta............. 28 2
Luku 1 Hilbertin Avaruudet 1.1 Normi- ja L p -avaruudet Olkoon X vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla "Lineaarialgebra"määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti. Avaruudessa X on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu kuvaus C X X, (λ, x) λx, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) = λx + λy α(λx) = (αλ)x (α + λ)x = αx + λx kaikilla vektoreilla x, y X ja λ, α C. simerkki. Avaruus C n = {u = (u 1,..., u n ) : u j C} on vektoriavaruus yli kunnan C. Vektorin u = (u 1,..., u n ) C n tavallinen normi on ei-negatiivinen reaaliluku (u 1,..., u n ) = u 1 2 +... u n 2. Sen avulla määritellään pisteiden (u 1,..., u n ) C n ja (v 1,..., v n ) C n välinen etäisyys (u 1,..., u n ) (v 1,..., v n ) = u 1 v 1 2 +... u n v n 2 Annamme nyt vektoriavaruudelle X aksiomaattisesti normin, jolla on samat perusominaisuudet kuin esim. avaruuden C n normilla. Määritelmä. Vektoriavaruuden X normi on kuvaus : X R, joka kaikille alkioille x, y X ja λ K (tässä K on joko R tai C) täyttää ehdot 3
1.1 Normi- ja L p -avaruudet 4 (N1) x 0, (N2) x = 0 jos ja vain jos x = 0, (N3) λx = λ x, (N4) x + y x + y. Paria (X, ) sanotaan normiavaruudeksi. Siinä määritellään kahden pisteen x, y X välinen etäisyys kaavalla d(x, y) = x y. Huomautus. Kuten aikaisemmin, merkitään L 1 = L 1 () = {f : R : f on mitallinen ja f dm < }. Jos määrittelemme funktioiten yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen pisteittäin, ts. (f + g)(x) = f(x) + g(x) (λf)(x) = λf(x), λ R, niin f + λg L 1 () aina, kun f, g L 1 () ja λ R. Näin ollen L 1 () on reaalikertoiminen vektoriavaruus. Merkitään f 1 = f dm, kun f L1 (). On helppo todistaa, että 1. f 1 0, 2. λf 1 = λ f 1 kaikille λ R, 3. f + g 1 f 1 + g 1, 4. f 1 = 0 jos ja vain jos f = 0 m.k. joukossa, joten 1 ei ole normi, sillä ehdosta f 1 = 0 ei aina seuraa f = 0. simerkki. Jos = R ja f = χ Q, niin f = 0, mutta f 0. Määritellään joukkoon L 1 () ekvivalenssirelaatio asettamalla f g jos ja vain jos f(x) = g(x)m.k.x. Merkitään [f] = {g L 1 () : g f}, eli [f] on funktion f määräämä ekvivalenssiluokka. Huomataan, että jos f 1 g 1 ja f 2 g 2, niin f 1 + f 2 g 1 + g 2. Tämä seuraa siirtymällä komplementteihin inkluusiossa {x : f 1 (x) = g 1 (x)} {x : f 2 (x) = g 2 (x)} {x : f 1 (x)+f 2 (x) = g 1 (x)+g 2 (x)}.
1.1 Normi- ja L p -avaruudet 5 Samoin λf 1 λg 1, jos f 1 g 1 ja λ R. Näin ekvivalenssiluokat muodostavat vektoriavaruuden: Määritellään nyt [λf + βg] = λ[f] + β[g], kun f, g L 1 () ja λ, β R. L [1] () = {[f] : f L 1 ()}. Huomataan, että f 1 = g 1 aina, kun f g, joten [f] 1 = f 1, f L [1] () on hyvin määritelty. Avaruus L [1] () on normiavaruus, sillä kohtien (1.)-(3.) lisäksi pätee: 4. [f] 1 = 0 jos ja vain jos [f] = [0], missä siis [0] = {f L 1 () : f = 0 m.k. x }. Jatkossa luovumme merkinnästä L [1] () ja puhumme normiavaruudesta L 1. Samoin puhumme L 1 -funktioista eikä ekvivalenssiluokista, t.s. samaistamme funktiot jotka yhtyvät m.k. Olkoon R n mitallinen joukko ja 1 p <. Määritellään L p = L p () = {f : R : f on mitallinen ja f p dm < }. Merkitään f p )( f p dm) 1/p. Kun tehdään vastaavat samaistukset kuin aiemmin, niin saadaan normiavaruus L p. ksponentti p vaikuttaa suuresti siihen, mitkä funktiot kuuluvat avaruuteen L p. Lause 1.1. Olkoon R n mitallinen joukko, jolle m() <. Jos 1 q p <, niin L p () L q (). Todistus. Olkoon f L p (). Nyt f(x) q dm max{1, f(x) p } dm dm + f(x) p = m() + f(x) p dm joten f L q (). <,
1.1 Normi- ja L p -avaruudet 6 Osoitamme seuraavaksi, että L p () on normiavaruus (edellä mainituilla samaistuksilla). Tätä varten tarvitsemme muutamia aputuloksia. Lemma 1.2 (Youngin epäyhtälö). Jos a, b 0, α, β > 0 ja α + β = 1, niin a α b β αa + βb. Todistus. Tapaus a = 0 tai b = 0 on selvä. Voidaan siis olettaa, että a, b > 0. Olkoon b = ax, missä x > 0. Tällöin a α b β αa + βb a α+β x β αa + βb ax β a(α + βx) x β 1 β + βx (a > 0, α + β = 1) 0 x β + 1 β + βx. Olkoon f(x) = 1 β + βx x β, kun x > 0. Tällöin f (x) = β βx β 1, joten f (x) < 0 kun 0 < x < 1 ja f (x) > 0, kun x > 1. Siis f saa pienimmän arvonsa, kun x = 1. Näin ollen kaikille x > 0 pätee 0 = f(1) f(x) = 1 β + βx x β. Seuraavaksi tärkeä epäyhtälö: Lause 1.3 (Hölderin epäyhtälö). Jos p, q > 1 ja 1 + 1 = 1, f L p () ja p q g L q (), niin fg L 1 () ja fg 1 f p g q, ts. fg dm ( f p dm) 1/p ( f q dm) 1/q. Todistus. Jos f p = 0, niin f(x) = 0 m.k. x. Tällöin (fg)(x) = 0 m.k. x, joten fg 1 = 0 ja väite on selvä. Vastaavasti, jos g q = 0, niin väite on selvä. Voidaan siis olettaa, että f p > 0 ja g q > 0. Samoin voidaan olettaa, että f(x) R ja g(x) R kaikille x. Sovelletaan Youngin epäyhtälöä tapaukseen a = f(x)p f p p jolloin saadaan Youngin epäyhtälön nojalla f(x) p f p p g(x) q g q q, b = g(x) q g q, α = 1 q p, β = 1 q, 1 f(x) p p f p + 1 p q g(x) q g q. q
1.1 Normi- ja L p -avaruudet 7 Kun integroidaan yli joukon (yllä olevassa epäyhtälössä esiintyvät funktiot ovat mitallisia), niin saadaan fg 1 1 f p p f p g q p f p + 1 g q q p q g q q Siis fg 1 f p g q. = 1 p + 1 q = 1. Kun p = q = 2, saadaan Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Olkoon f, g L 2 (). Tällöin f(x)g(x) dm ( f(x) 2 dm) 1/2 ( g(x) 2 dm) 1/2. Lause 1.4 (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 p <. Jos f, g L p (), niin f + g L p () ja f + g p f p + g p. Todistus. Tapaus p = 1 on ollut aikaisemmin. Olkoon p > 1 ja q = = 1. Jos a, b 0, niin 1 p + 1 q (a + b) p (2 max{a, b}) p = 2 p (max{a, b}) p 2 p (a p + b p ). Voidaan olettaa, että f(x), g(x) R kaikilla x, jolloin f(x) + g(x) p ( f(x) + g(x) ) p 2 p ( f(x) p + g(x) p. Näin ollen f + g L p (). Toisaalta, ja f(x) + g(x) p = f(x) + g(x) f(x) + g(x) p 1 f(x) f(x) + g(x) p 1 + g(x) f(x) + g(x) p 1 ( f(x) + g(x) p ) q 1 ) = f(x) + g(x) p. Tästä seuraa, että (f + g) p 1 L q () ja Hölderin epäyhtälön nojalla f + g p p = f + g p dm f f + g p 1 dm + g f + g p 1 dm f p ( ( f + g p 1 ) q ) 1/q + g p ( ( f + g p 1 ) q dm) 1/q = f p ( f + g p dm) 1/q + g p ( f + g p dm) 1/q = ( f p + g p ) f + g p/q p. p p 1, jolloin
1.2 L p -avaruuksien täydellisyys 8 Koska p/q = p 1, saadaan f + g p f p + g p. Olemme todistaneet seuraavan tuloksen: Lause 1.5. Jos 1 p <, niin L p () on normiavaruus, normina p. Huomautus. (a) Kun m() =, voi olla L p () L q (), kun 1 q < p. Olkoon = [0, [ ja f(x) = 1. Tällöin f 1+x Lp (), kun p > 1, mutta f / L 1 (). (b) Yleensä L p () L q (), kun p q. Yllä on tapaus 1 q < p, kun m() =. Olkoon =]0, 1[ ja f(x) = 1 x. Tällöin f L p (), kun 1 p < 2, ja f / L q (), kun q 2. 1.2 L p -avaruuksien täydellisyys Todistamme nyt, että normiavaruudet L p, 1 p <, ovat Banachin avaruuksia, eli täydellisiä normiavaruuksia. Olkoon (X, ) normiavaruus. Sanomme, että avaruuden X jono (x n ) on Cauchyjono, jos jokaiselle ε > 0 on olemassa N Z + siten, että x i x j < ε kun i, j N. Jono (x n ) suppenee avaruudessa X, jos on olemassa x 0 X siten, että x i x 0 0, kun i. Normiavaruus (X, ) on Banachin avaruus, eli täydellinen, jos jokainen avaruuden X Cauchy-jono suppenee kohti jotakin avaruuden X alkiota. Merkitsemme f j f avaruudessa L p, jos f j, f L p jokaiselle j Z + ja f j f 0, kun f. Lause 1.6. Jos (f i ) on Cauchyn jono avaruudessa L p, 1 p <, niin on olemassa osajono (f ik ) joka suppenee m.k. joukossa. Todistus. Olkoon k Z +. Valitaan i k Z + siten, että f j f i p < 1 2 k, kun i, j i k. Voidaan olettaa, että i 1 < i 2 < i 3 <.... Voidaan olettaa, että kaikki esiintyvät funktiot ovat reaaliarvoisia. Määritellään g k = f i1 + f i2 f i1 +... + fik+1 f ik.
1.2 L p -avaruuksien täydellisyys 9 jokaiselle k Z +. Tällöin 0 g k kaikilla k Z + ja jono (g k ) on kasvava. Näin ollen raja-arvo g(x) = lim k g k (x) [0, ] on olemassa kaikilla x. Minkowskin epäyhtälöstä seuraa, että k g k p = f i 1 + f v+1 f v f i1 p + f i1 p + f i1 + 1 v=1 p k fiv+1 f p iv kaikilla k Z +. Monotonisen konvergenssin lauseen nojalla g p dm = lim gk k p dm = lim g k p p ( f i 1 p + 1) p <, k v=1 k v=1 joten g(x) < m.k. x. Näin ollen sarja f i1 (x) + 1 2 v (f iv+1 (x) f iv (x)) v=1 suppenee m.k. x. Merkitään tätä summaa termillä f(x). Saatiin siis, että f ik+1 = f i1 + k (f iv+1 f ) f i v v=1 m.k. x, kun k. Lause 1.7. Olkoon R n mitallinen joukko. Tällöin L p () on Banachin avaruus, kun 1 p <. Todistus. Olkoon (f i ) Cauchyn jono avaruudessa L p (). dellisen lauseen nojalla on olemassa osajono (f ik ) siten, että f ik (x) f(x) m.k. x. Tällöin f on mitallinen joukossa. Osoitetaan, että f L p () ja että f i f avaruudessa L p (). Olkoon ε > 0. Tällöin on olemasa i 0 Z + siten, että
1.3 Sisätuloavaruudet 10 f i f j p < ε kun i, j i 0. Jos i i 0, niin Fatoun Lemman nojalla saadaan f i f p dm = lim f i f ik p dm k lim inf f i f ik p dm k = lim inf k ε p <. f i f ik p p Siis f i0 f L p () ja f i f p 0, kun i, eli f = f i0 (f i0 f) L p () ja f i f avaruudessa L p (), kun i. 1.3 Sisätuloavaruudet Olkoon H vektoriavaruus skalaarikuntana K = R tai C. Määritelmä. Kuvausta ( ) : H H K sanotaan sisätuloksi, jos seuraavat ehdot ovat voimassa: (S1) (y x) = (x y) aina, kun x, y H. (S2) (x x) 0 aina, kun x H. (S3) (x x) = 0 jos ja vain jos x = 0. (S4) (x + y z) = (x z) + (y z) aina, kun x, y, z H. (S5) (λx y) = λ (x y) aina, kun x, y H ja λ K. Paria (H, ( ) sanotaan sisätuloavaruudeksi. Ominaisuuksien (S4) ja (S5) nojalla sisätulo on ensimmäisen tekijän suhteen lineaarinen. Ominaisuuksista (S1), (S4) ja (S5) seuraa, että (x λy + µz) = λ (x y) + µ (x y) aina, kun x, y, z H ja λ, µ K. Sisätulo on siis toisen tekijän suhteen konjugaattilineaarinen. delleen, (0 y) = (x 0) = 0 kaikille x, y H, koska 2 (0 y) = (2 0 y) = (0 y). Merkitään x := (x x), x H. Tällöin x 0 kaikilla x H ja x = 0 jos ja vain jos (x x) = 0. Jos λ K ja x H, niin λx = (λx λx) = λλ (x x) = λ 2 x 2 = λ x. Jos vielä näytämme, että toteuttaa kolmioepäyhtälön, on se normi.
1.3 Sisätuloavaruudet 11 Lause 1.8 (Cauchy-Schwarzin epäyhtälö). Sisätuloavaruudessa H pätee (x y) x y kaikilla x, y H. Yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos vektorit x ja y ovat lineaarisesti riippuvia. Todistus. Voidaan olettaa, että x 0 ja y 0. Jokaisella λ K pätee Valitaan 0 (x + λy x + λy) = (x x) + λ (x y) + λ (y x) + λ 2 (y y) = x 2 + λ(x y) + λ (x y) + λ 2 y 2. λ = (x y) y 2. On hyvä huomata että tapauksessa K = R tämä on polynomin minimikohta. Nyt saadaan λ x 2 + 2λ (x y) + λ 2 y 2 0 x 2 2 (x y) 2 y 2 + (x y) 2 y 4 y 2 = x 2 (x y) 2 y 2. Tästä saadaan (x y) 2 x 2 y 2 mistä ensimmäinen väite seuraa. Yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos 0 = x + λy. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että x + λy = 0, eli yhtäsuuruus on voimassa jos ja vain jos x ja y ovat lineaarisesti riippuvia. Lause 1.9. Jokainen sisätuloavaruus on myös normiavaruus, kun normi määritellään kaavalla x = (x x) aina kun x H. Todistus. dellä nähtiin, että (N1), (N2) ja (N3) ovat voimassa. Riittää siis todeta, että kolmioepäyhtälö on tosi. Olkoon x, y H. Nyt x + y 2 = (x + y x + y) = (x x) + (x y) + (x y) + (y y) = x 2 + 2Re (x y) + y 2
1.3 Sisätuloavaruudet 12 Koska jokaiselle kompleksiluvulle z pätee Rez z, niin Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla saadaan x + y 2 x 2 + 2 (x y) 2 + y 2 x 2 + 2 x y + y 2 = ( x + y ) 2. Ottamalla neliöjuuri saadaan x + y x + y, joten on normi. Huomautus. Kuvaus : H R + on jatkuva, koska x y x y, kun x, y H. Sisätulon määräämä normi on sikäli erikoinen, että se toteuttaa ns. suunnikasyhtälön x + y 2 + x y 2 = 2 x 2 + 2 y 2. Tämä todetaan seuraavasti: x + y 2 + x y 2 = (x + y x + y) + (x y x y) = (x x) + (x y) + (y x) + (y y) + (x x) (x y) (y x) + (y y) = 2 x 2 + 2 y 2. Kääntäen, jos normi toteuttaa suunnikasyhtälön, niin voidaan osoittaa, että kaava (x y) = 1 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2) 4 määrittelee sisätulon ja x 2 = (x x). Tämä on ns. polarisaatiokaava (reaalisessa tapauksessa sen vastine on (x y) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 )). Lause 1.10. Olkoon H sisätuloavaruus. Jos x n x ja y n y avaruudessa H, niin (x n y n ) (x y) avaruudessa K, ts. ( ) : H H K on jatkuva kuvaus. Todistus. Oletetaan, että x n x 0 ja y n y 0 kun n. Tällöin (x n y n ) (x y) = (x n y n ) (x y n ) + (x y n ) (x y) (x n x y n ) + (x y n y) x n x y n + x y n y x n x M + x y n y jollekin M 0, sillä jono (y n ) on suppenee ja on siten rajoitettu. Tästä nähdään, että (x n y n ) (x y) 0 kun n.
1.3 Sisätuloavaruudet 13 Jos erityisesti (H, ( )) on täydellinen normin x = (x x) suhteen, eli Banachin avaruus, sanomme että (H, ( )) on Hilbertin avaruus. Hilbertin avaruuden nimitys tulee David Hilbertin 1862-1943 mukaan. simerkki. kuvaus 1. Jos x = (x 1,..., x n ) K n ja y = (y 1,..., y n ) K n, niin (x y) = x i y i on vektoriavaruuden K n sisätulo. Vastaava normi x 2 = (x x) = x 1 2 +... x n 2 on avaruuden K n tavallinen uklidinen normi. 2. Avaruudessa l 2 = {x = (x i ) : x i K ja määritellään sisätulo kaavalla (1.1) (x y) = x i 2 < } x i y i kun x = (x i ) l 2, y = (y i ) l 2. Sisätulon määärämä normi on x 2 = ( x i 2) 1/2, kun x = (xi ) l 2. Tämän normin suhteen l 2 on täydellinen, eli (l 2, 2 ) on Hilbertin avaruus. Cauchy-Schwarzin epäyhtälön nojalla saadaan x k y k ( x k 2 ) 1/2 ( y k 2 ) 1/2 <, k=1 k=1 kun x = (x k ) l 2 ja y = (y k ) l 2, joten sarja k=1 x ky k suppenee itseisesti avaruudessa K ja (1.1) on täten järkevä. simerkki. Jos avaruus C([a, b]) = {f : [a, b] K : f on jatkuva} varustetaan sisätulolla (f g) = b a k=1 f(t)g(t)dt,
1.3 Sisätuloavaruudet 14 kun f, g C([a, b]), niin (C([a, b]), 2 ) ei ole Hilbertin avaruus, missä f 2 = (f f) = ( sillä (C([a, b]), 2 ) ei ole täydellinen. b a f(t) 2 dt) 1/2, Olkoon a = 0 ja b = 1. Olkoon 1, jos 0 t < 1/2 f n (x) = nx + n/2 + 1, jos 1/2 t 1/2 + 1/n 0, jos 1/2 + 1/n < t 1 ja f(x) = { 1, jos 0 t 1/2 0, jos 1/2 < t 1. Tällöin f n C([0, 1]) jokaiselle n Z + ja jono (f n ) approksimoi epäjatkuvaa funktiota f 2 -normissa. simerkki. Olkoon R n mitallinen joukko. Tällöin avaruus L 2 () varustettuna sisätulolla (1.2) (f g) = f(x)g(x)dm, kun f, g L 2 (), on Hilbertin avaruus normissa f 2 = ( f(x) 2 dm) 1/2. Katso Lause 1.7. Huomaa, että Schwarzin epäyhtälön nojalla tulofunktio f(x)g(x) on integroituva ja (1.2) on siis hyvin määritelty, kun f, g L 2 (). simerkki. Avaruus varustettuna normilla l 1 = {(x i ) : x i K i Z + ja x 1 = x i x i < } on Banachin avaruus. Avaruus (l 1, 1 ) ei kuitenkaan ole Hilbertin avaruus. Olkoon e 1 = (1, 0, 0,...) l 1 ja e 2 = (0, 1, 0, 0,...) l 1. Tällöin e 1 + e 2 1 = e 1 e 2 1 = 2 ja e 1 1 = e 2 1 = 1
1.3 Sisätuloavaruudet 15 joten e 1 + e 2 2 1 + e 1 e 2 2 1 = 22 + 2 2 = 8 4 = 2( e 1 2 1 + e 2 2 1 ). Siispä (l 1, 1 ) ei ole sisätuloavaruus. simerkki. Avaruus (C([0, π/2], ), missä f = sup f(t), i [0,π/2] on Banachin avaruus, mutta ei Hilbertin avaruus. Olkoon f(t) = cos(t), g(t) = sin(t). Tällöin f = g. Lisäksi ja f + g = f g = sup cos(t) + sin(t) = (2) t [0,π/2] sup cos(t) sin(t) = 1, t [0,π/2] joten f + g 2 + f g 2 = 3 4 = 2( f 2 + g 2 ). Siispä (C(0, π/2), ) ei ole sisätuloavaruus. Määritelmä. Sisätuloavaruuden H vektorit x ja y ovat ortogonaaliset (eli kohtisuorat), jos (x y) = 0. Tätä merkitään x y. Vektorijoukko S H on ortogonaalinen, jos x y kaikille x, y S, x y. Ortogonaalinen vektorijoukko on ortonormaali, jos x = 1 kaikille x S. Osoitetaan, että ortogonaalinen vektorijoukko S, joka ei sisällä nollavektoria, on lineaarisesti riippumaton. Olkoot x 1,... x p S ja λ 1,..., λ p K siten, että p λ j x j = 0, j=1 Tällöin jokaiselle 1 k p pätee ( p ) 0 = (0 x k ) = λ j x j x k = j=1 p λ j (x j x k ) = λ k x k 2, j=1 joten λ k = 0. Jos H on sisätuloavaruus ja S H, niin merkitään span(s) = { λ k x k : n Z +, λ k K, x k S}, k=1 jolloin span(s) on joukon S virittämä lineaarinen aliavaruus.
1.3 Sisätuloavaruudet 16 Lause 1.11 (Pythagoras). Olkoon H sisätuloavaruus. Jos {x 1,..., x n } H ja vektorit x i, 1 i k, ovat keskenään ortogonaaliset, eli x i x j kun i j, niin Todistus. Harjoitustehtävä. x 1 +... + x n 2 = x 1 2 +... + x n 2. Huomautus. Olkoon (X, ) normiavaruus ja A X joukko. (a) Joukon A sulkeuma A saadaan, kun joukkoon A lisätään kaikki sen kasautumispisteet. (b) Piste x on joukon A kasautumispiste jos ja vain jos on olemassa jono (x n ) siten, että x n A ja x n x kaikille n Z + sekä x n x, kun n. (c) Joukko A on suljetu jos ja vain jos A = A. Määritelmä. Olkoon S H vektorijoukko, missä H on Hilbertin avaruus. Joukkoa S = {x H : (x y) = 0 aina, kun y S} sanotaan joukon S ortogonaaliseksi komplemtiksi. Joukko S on totaali, jos S = {0}. Lause 1.12. Olkoon S H vektorijoukko, missä H on Hilbertin avaruus. Joukko S on avaruuden H suljettu lineaarinen aliavaruus. Todistus. Selvästi 0 S, joten S. Olkoot x 1, x 2 S ja λ K. Jos y S, niin (λx 1 + x 2 y) = λ (x 1, y +) (x 2, y =) 0, joten λx 1 + x 2 S. Siten S on aliavaruus. Osoitetaan nyt, että S on suljettu. Olkoon x S, jolloin on olemassa jono (x n ) siten, että x n S jokaiselle n Z + ja x n x, kun n. Koska x n S kaikilla n Z +, niin sisätulon jatkuvuuden nojalla saamme jokaiselle y S, että ( ) (x y) = lim x n y n Näin ollen x S, ja siten S on suljettu. On helppo todeta, että H = {0},{0} = H = lim n (x n y) = 0. jos S 1 S 2, niin S 2 S 1 S S {0} (yhtäsuuruus esim. jos 0 S)
1.3 Sisätuloavaruudet 17 Jos L, M H ovat avaruuden H lineaarisia joukkoja, niin niiden summa L + M = {x + y : x L, y M}, on myös lineaarinen. Jätetään harjoitustehtäväksi osoittaa yleinen kaava: (L + M) = L M. Seuraavaksi alamme tarkastella minimointitehtäviä. Kun tilanteita mallinnetaan Hilbertin avaruuksilla, tulee usein tehtäväksi selvittää, millä ehdoin joukosta löytyy normin minimoivia alkioita. On itse asiassa yllättävää, että Hilbertin avaruuksissa minimointitehtävä ratkeaa suhteellisen yleisesti. Olennainen ominaisuus tällaisissa minimointitehtävissä on konveksisuus. Muistetaan, että pisteiden x ja y välinen yhdysjana on joukko {x + t(y x) : t [0, 1]} = {tx + (1 t)y : t [0, 1]}. Vektoriavaruuden H osajoukko S on konveksi, jos pisteiden x, y S välinen yhdysjana aina sisältyy joukkoon S, eli jos tx + (1 t)y S aina, kun x, y S ja 0 t 1. Seuraava ns. miniminormilause on tärkeä peruslause Hilbertin avaruuksien teoriassa ja sillä on paljon käyttöä myös optimointiteoriassa. Lause 1.13 (Miniminormilause). Olkoon S Hilbertin avaruuden H suljettu konveksi osajoukko sekä x H. Silloin on olemassa täsmälleen yksi alkio y 0 S, jolle x y 0 = inf{ x y : y S}. Todistus. Infimumin määritelmän mukaan on olemassa jono (y n ) S siten, että x y n d := inf{ x y : y S}, kun n. Koska S on konveksi, niin 1/2(y n + y m ) S kaikille n, m Z +, joten x 1 2 (y n + y m ) d, eli 2x (y n + y m ) 2d. Suunnikassäännön nojalla saamme y n y m 2 = (y n x) + (x y m ) 2 = 2( x y n 2 + x y m 2 ) 2x (y m + y n ) 2 2( x y n 2 + x y m 2 ) 4d 2.
1.3 Sisätuloavaruudet 18 Koska 2( x y n 2 + x y m 2 ) 4d 2 0 kun n, m, niin (y n ) on Cauchyn jono avaruudessa H. Koska H on täydellinen, on olemassa y 0 H siten, että lim n y n = y 0. Koska S on suljettu, saadaan y 0 S. delleen, koska normi on jatkuva funktio, niin x y 0 = lim n x y n = d. Oletetaan, että y 1 S on toinen vektori, jolle x y 1 = d. Tällöin 1 2 (y 0+y 1 ) S ja suunnikassäännön nojalla saadaan y 0 y 1 2 2( x y 0 2 + x y 1 2 ) 4d 2. Koska x y 0 = d ja x y 1 = d, niin y 0 y 1 2 0, joten y 0 = y 1. Lemma 1.14. Olkoon M sisätuloavaruuden H lineaarinen aliavaruus ja x H. Silloin x M jos ja vain jos x y x kaikilla y M. Todistus. Oletetaan ensin, että x M. Jos y M, niin (x y) = 0. Siis eli x y x. x y 2 = x 2 + y 2 x 2, Oletetaan sitten, että x y x jokaiselle y M. Koska λy M aina, kun y M ja λ K, niin x λy x. Tässä joten Oletetaan, että y 0. Olkoon Nyt saadaan x λy 2 = x 2 λ (x y) λ (y x) + λ 2 y 2, λ (x y) λ(x y) + λ 2 y 2 0. λ := (x y) (x y) 2, jolloin λ = y y 2. (x y) 2 y 2 (x y) 2 y 2 + (x y) 2 y 2 0, eli (x y) 2 y 2 0. Siis (x y) = 0 kaikilla y M, eli x M. (Tämä pätee selvästi myös kun y = 0.)
1.3 Sisätuloavaruudet 19 Lause 1.15. Olkoon M Hilbertin avaruuden H suljettu vektorialiavaruus. Silloin jokaisella vektorilla x H on olemassa yksikäsitteinen esitys x = y + z, missä y M ja z M. Todistus. Jos M = {0}, niin lause on triviaali, koska M = H ja x = 0+x kaikilla x H. Voidaan siis olettaa, että M {0}. Olkoon x H. Joukko M on konveksi ja suljettu. Miniminormilauseen mukaan on olemassa y M, jolle x y x u kaikilla u M. Olkoon z := x y, jolloin x = y+z. Koska M on lineaarinen aliavaruus, y+u M jokaiselle u M, ja siten z = x y x (y + u) = x y u = z u. Näin ollen z z u kaikilla u M, joten Lemman 1.14 nojalla z M. Vektori x voidaan siis esittää muodossa x = y + z missä y M ja z M. Oletetaan, että x = y + z = y 1 + z 1, missä y, y 1 M ja z, z 1 M. Tällöin y y 1 = z z 1, y y 1 M ja z z 1 M, joten y y 1 M M ja z z 1 M M. Selvästi M M = {0}, joten y = y 1 ja z = z 1. Seuraus. Jos M on Hilbertin avaruuden H suljettu vektoriavaruus ja M H, niin on olemassa z 0, z H, siten, että z M. Todistus. Koska H M, niin on olemassa x H siten, että x / M. Lauseen 1.15 nojalla x = y + z, missä y M ja z M. Jos z = 0, niin x = y M, mikä on ristiriita. Siispä z 0. Jos L, M H ovat Hilbertin avaruuden H vektorialiavaruuksia, sanomme, että H on niiden suora summa ja käytämme merkintää H = L M, mikäli L M = {0} ja jokaisella x H on olemassa esitys x = y + z, missä y L ja z M. Seuraus. Olkoon H Hilbertin avaruus ja M avaruuden H suljettu vektorialiavaruus. Tällöin H = M M. Lause 1.16. Olkoon S Hilbertin avaruuden H osajoukko. Tällöin span(s) = H jos ja vain jos S = {0}. Todistus. Oletetaan ensin, että span(s) = H. Selvästi {0} S. Olkoon x S. Koska x H = span(s), on olemassa jono (x n ) siten, että x n span(s) jokaiselle n Z + ja x n x, kun n. Jokainen m n x n = λ (n) i y (n) i,
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 20 missä λ (n) i K, y (n) i S, i = 1,... m n, n Z +. Kaikilla n Z + pätee m n (x n x) = ( ) y (n) i x = 0. Sisätulon jatkuvuuden nojalla saadaan ( ) (x x) = x lim x n = lim (x x n ) = 0, n n joten x = 0 ja siten x = 0. Näin ollen S {0}, ja täten S = {0}. Oletetaan nyt, että S = {0}. Mikäli spans H, on Seurauksen 1.3 nojalla olemassa z 0 siten, että z (span(s)). Siispä (z y) = 0 kaikilla s span(s). rityisesti (z y) = 0 kaikilla y S, joten z Z. Näin ollen z = 0, mikä on ristiriita. Siten täytyy olla span(s) = H. 1.4 Ortogonaalinen kehitelmä Olkoon x = (ξ 1, ξ 2, ξ 3 ) R 3. Jos e 1 = (1, 0, 0), e 2 = (0, 1, 0) ja e 3 = (0, 0, 1), joka on ortonormaali vektorijoukko avaruudessa R 3, niin saadaan x = ξ 1 e 1 + ξ 2 e 2 + ξ 3 e 3, missä ξ i = (x e i ), i = 1, 2, 3. Tällöin saadaan, että x 2 = (x e 1 ) 2 + (x e 2 ) 2 + (x e 3 ) 2. Tarkoituksenamme on nyt noudattaa samaa prosessia Hilbertin avaruudessa. i-triviaalilla Hilbertin avaruudella H {0} on aina ortonormaaleja joukkoja, esim jos x 0, x H, niin joukko {x/ x } on aina sellainen. Yleisemmin, jos {x 1,... x n } H on äärellinen tai numeroituva lineaarisesti riippumaton vektorijoukko, niin voidaan osoittaa, että seuraava ns. Gram-Schmidtin prosessin antamat vektorit {y 1, y 2,...} ovat ortogonaalisia ja nollasta eroavia: y 1 = x 1 y 2 = x 2 (x 2 y 1 ) (y 1 y 1 ) y 1 y 3 = x 3 (x 3 y 1 ) (y 1 y 1 ) y 1 (x 3 y 2 ) (y 2 y 2 ) y 2 Suorittamalla vielä normeeraus e n = y n / y n saadaan äärellinen tai numeroituva ortonormaali vektorijoukko {e 1, e 2,...}.
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 21 Lemma 1.17. Olkoon {e 1,..., e n } ortonormaali vektorijoukko sisätuloavaruudessa H sekä λ 1,... λ n K. Jos x H, niin 2 x λ i e i = x 2 + λ i c i 2 i = 1 n c i 2, missä c i = (x e i ). Todistus. Helposti nähdään, että ( λ i e i Näin ollen x λ i e i 2 = ( x = (x x) = x 2 = x 2 + = x 2 + = x 2 + ) λ i e i = λ i e i x λ i λ i. ) λ i e i λ i (e i x) λ i c i λ i (x e i ) + λ i c i + λ i λ i (λ i λ i λ i c i λ i c i + c i c i ) (λ i c i )(λ i c i ) λ i c i 2 c i 2. c i 2 λ i λ i c i c i Oletetaan nyt, että x ja kaikki vektorit e i, 1 i n, ovat kiinnitettyjä. Tällöin { λ i e i : λ i K, i = 1,..., n, n Z + } = span{e 1,..., e n } on suljettu aliavaruus. Koska c 0 = (x e i ) on kiinnitetty, niin edellisestä lemmasta seuraa, että lauseke x λ i e i saa pienimmän arvonsa, kun λ i = c i, i = 1,..., n. Tuloksena saamme
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 22 Lause 1.18. Olkoon {e 1,,..., e n } ortonormaali vektorijoukko sisätuloavaruudessa H ja olkoon x H. Se piste y span{e 1,..., e n }, jonka etäisyys pisteestä x on pienin, on y = (x e i ) e i ja etäisyys d = x y saadaan kaavalla d 2 = x 2 Seuraus. Jos x span{e 1,..., e n }, niin x = (x e i ) 2. (x e i ) e i. Lause 1.19 (Besselin epäyhtälö). Jos (e k ) k=1 on ortonormaali jono sisätuloavaruudessa, niin (x e k ) 2 x 2 ja lim (x e k ) = 0 k aina, kun x H. Todistus. Olkoon y n saadaan, että joten k=1 = n k=1 (x e k) e k jokaiselle n Z +. dellisestä lauseesta x y n = x 2 (x e k ) 2, k=1 (x e k ) 2 = x 2 x y n 2 x 2. k=1 Kun n, saadaan, että k=1 (x e k) 2 x 2. Koska kyseessä oleva sarja suppenee, täytyy olla lim k (x e k ) = 0. Toivomme, että muodollisesta sarjasta (x e n) e n tulisi vektorin x esitys. Siksi meidän täytyy seuraavaksi määritellä, mitä tarkoitetaan sillä, että ääretön sarja suppenee normiavaruudessa. Määritelmä. Olkoon (X, ) normiavaruus ja (x n ) jono avaruudessa X. Olkoon x n normiavaruuden X alkioiden muodostama sarja. Mikäli osasummien jono ( kx n)k = 1 suppenee kohti vektoria x X, eli k x n x 0, kun k, niin sanotaan, että sarja x suppenee avaruudessa X ja sen summa on x. Tällöin merkitään x = x n.
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 23 Lause 1.20. Olkoon {e n : n Z + } ortonormaali vektorijoukko Hilbertin avaruudessa H. Jos λ n K kaikilla n Z +, niin sarja λ ne n suppenee avaruudessa H jos ja vain jos λ n 2 <, eli (λ n ) l 2. Todistus. Olkoon S k = k λ n e n ja S k = k λ n 2 jokaiselle k Z +. Olkoon k, l Z +. Koska vektorit e n, n Z +, ovat ortonormaalit, niin vektorit λ n e n, n Z + ovat ortogonaaliset, joten Pythagoraan lauseen nojalla saadaan, että S k+l S k 2 = k+l n=k+1 λ n e n = k+l n=k+1 λ n e n 2 = k+l n=k+1 λ n 2 = S k+l S k. Tästä nähdään, että (S k ) k=1 on Cauchyn jono avaruudessa H jos ja vain jos (S k ) k=1 on Cauchyn jono avaruudessa K. Koska H ja K ovat täydellisiä, niin väite seuraa tästä. Besselin epäyhtälön ja edellisen lauseen nojalla saadaan, että sarja (x e n) e n suppenee kaikille x H. mme voi kuitenkaan olla varmoja, että tämä raja-arvo on aina x. simerkki. Tarkastellaan avaruutta l 2 = {x = (x n ) : x n < }, missä sisätulo on annettu kaavalla (x y) = x n y n. Olkoon e n = (0,..., 0, 1, 0,...), missä luku 1 esiintyy koordinaatissa n. Tällöin {e n : n Z + } on ortonormaali joukko. Olkoon f n = e n+1 jokaiselle n Z +. Tällöin myös {f n : n Z + } on ortonormaali joukko. Jos x = (x n ) l 2, niin (x f n ) f n = (x e n ) e n = (0, x 2, x 3,...) x, n=2 kun x 1 0. Muodostetaan virhe Kun j Z +, niin y = x (y e j ) = (x e j ) (x e n ) e n. (x e j ) (e n e j ) = 0.
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 24 Jos joukko {e n : n Z + } on totaali, ts. ainoa vektori y H, joka toteuttaa yhtälön (y e n ) = 0 jokaiselle n Z 0, on y = 0, niin toivottu esitys pätee. Lause 1.21. Olkoon (e n ) totaali ortonormaali jono Hilbertin avaruudessa H. Tällöin x = (x e n ) e n ja x 2 = (x e n ) 2 jokaiselle x H. Todistus. nsimmäisen osan lauseesta olemme jo todistaneet. Jos N Z +, niin Pythagoraan lauseen nojalla saamme, että N 2 N (x e n ) e n = (x e n ) 2. Koska normi on jatkuva, niin saamme x 2 2 N = (x e n ) e n = lim N (x e n ) e n 2 = lim N N (x e n ) 2. Määritelmä. Olkoon H Hilbertin avaruus. Vektorijono (e n ) on avaruuden H ortonormaali kanta, jos se on ortonormaali ja totaali. Lause 1.22. Olkoon H Hilbertin avaruus ja (e n ) ortonormaali jono avaruudessa H. Silloin seuraavat väitteet ovat yhtäpitäviä: (a) Jono (e n ) on totaali, eli ortonormaali kanta. (b) span{e n : n Z + } = H. (c) Kaikilla x H pätee x = (x e n) e n. (d) Kaikilla x H pätee x 2 = (x e n) 2. Todistus. (a) (b): Lauseen 1.16 mukaan span(s) = H jos ja vain jos S = {0}, missä S H on mielivaltainen joukko. Olkoon S = {e n : n Z + }. Nyt S = {0} jos ja vain jos ainoa vektori x H, mikä toteuttaa (x e n ) = 0 jokaiselle n Z +, on x = 0. Tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että jono (e n ) on totaali. (a) (c): Olkoon x H. Lauseen 1.21 mukaan x = (x e n) e n. (c) (d): Tämä seuraa Lauseen 1.21 todistuksesta. (d) (a): Oletetaan, että (e n ) ei ole totaali, eli on olemassa x H, x 0, siten, että (x e n ) = 0 kaikilla n Z +. Tällöin x = 0, mutta (x e n) 2 = 0, mikä on ristiriita kohdan (d) kanssa.
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 25 simerkki. (a) (b) ja Olkoon l 2 = {x = (x i ) : x i K ja (x y) = x i y i. x i < } Tällöin jono (e k ) k=1, missä e 1 = (1, 0, 0,...), e 2 = (0, 1, 0, 0,...) jne., on ortonormaali jono avaruudessa l 2. delleen, jos x = (x i ) l 2, niin (x e k ) = x k jokaiselle k Z + ja x 2 = x k 2 = (x e k ) 2. k=1 Näin ollen Lauseesta 1.22 seuraa, että (e k ) k=1 on avaruuden l2 ortonormaali kanta ja x = (x e k ) e k = x k e k. Olkoon ja k=1 k=1 k=1 L 2 ([a, b]) = {f : [a, b] K : f on mitallinen ja (f g) = b a f(x)g(x)dx b a f(x) 2 dx < } aina, kun f, g L 2 ([a, b]). Tällöin L 2 ([a, b]) on Hilbertin avaruus. Tällä avaruudella on useita ortonormaaleja kantoja. Olkoot a =, b = π sekä (e k ) k=, missä Tällöin (e k e n ) = 1 π e k (t) = 1 e ikt, k = 0, ±1, ±2,... e ikt e int dt = 1 { π e i(k n)t 1, kun k = n dt = 0, kun k n. Näin ollen (e k ) k= on ortonormaali jono avaruudessa L2 ([, π]). Toinen ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]) on 1 2x, 1 π cos t, 1 π sin t, 1 π cos(2t),...
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 26 Myöhemmin todistamme, että (e k ) k= on myös totaali, eli ortonormaali kanta. Jos (e k ) k=1 on Hilbertin avaruuden H ortonormaali kanta, niin jokaisella vektorilla x H on esitys Fourier-sarjana x = (x e k ) e k. k=1 Tässä esiintyviä lukuja (x e k ) sanotaan vektorin x Fourier-kertoimiksi jonon (e k ) k=1 suhteen. Lauseen 1.22 (d) kohdan nojalla pätee ns. Parsevalin kaava x 2 = (x e k ) 2. k=1 Koska jono (e k ) k=1, missä e k(t) = 1 e ikt, on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]), voimme kirjoittaa tuloksen: Seuraus. Jos f L 2 ([, π]), niin f(t) = k= (f e k ) e k (t) = k= ( π Merkinnällä ˆf(t) = 1 π f(t)eikt saadaan Fourier-sarja f(t) = k= f(t)e ikt, ) f(t) e ikt 1 dt e ikt missä sarja suppenee L 2 -mielessä. Konkreettisesti tämä tarkoittaa π m lim m f(t) 2 f(k)e ikt dt = 0. k= m Parsevalin kaava on koska kaikilla k Z +. 1 π f(t) 2 dt = k= f(k) 2, f(t) = 1 π f(t)e ikt dt = 1 (f e k )
1.4 Ortogonaalinen kehitelmä 27 Määritelmä. Hilbertin avaruuden H sanotaan olevan separoituva, jos sillä on totaali ortonormaali jono (voi olla äärellinen). Todistamme seuraavaksi, että kaikki ääretönulotteiset separoituvat Hilbertin avaruudet ovat avaruuden l 2 näköisiä. Määritelmä. Olkoot H ja K Hilbertin avaruuksia. Kuvaus T : H K on unitaarinen, jos se on lineaarinen, bijektiivinen ja toteuttaa (säilyttää sisätulon) (T x T y) K = (x y) H kaikille x, y H. Hilbertin avaruudet H ja K ovat isomorfisia, jos on olemassa unitaarinen kuvaus T : H K. Lause 1.23. Olkoot H ja K Hilbertin avaruuksia ja T : H K lineaarinen surjektio. Tällöin T on unitaarinen jos ja vain jos T x = x kaikilla x H. Todistus. Oletetaan, että T x = x kaikilla x H. Selvästi T on injektio. Polarisaatiokaavan avulla saadaan kaikille x, y H, että (T x T y) K = 1 4 ( T (x + y) 2 T (x y) 2 + i T (x iy) 2 i T (x iy) 2 ) = 1 4 ( x + y 2 x y 2 + i x + iy 2 i x iy 2 ) = (x y) H. Kääntäen, jos (T x T y) K = (x y) H kaikilla x, y H, niin (T x T x) K = (x x) H kaikilla x H, joten T x = x kaikilla x H. Lause 1.24. Olkoon H separoituva Hilberin avaruus ja olkoon (e n ) totaali ortonormaali jono avaruudessa H. Tällöin H on isomorfinen avaruuden l 2 kanssa. Todistus. Määritellään T : H l 2 kaavalla T x = T ( (x e n ) e n ) = (ξ n ), missä ξ n = (x e n ). Parsevalin kaavan nojalla saadaan, että kun x H, niin T x 2 = (T x T x) = ξ n 2 = (x e n ) 2 = x 2 <, joten T x l 2 ja edelleen T x = x kaikilla x H. Selvästi kuvaus T on lineaarinen. Lauseen 1.23 nojalla riittää osoittaa, että T on surjektio. Olkoon
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 28 (η n ) l 2, ts. η n 2 <. Tällöin Lauseesta 1.20 seuraa, että sarja η ne n suppenee avaruudessa H, ts. on olemassa x H siten, että x = η n e n. Siis η n = (x e n ) kaikilla n Z + ja T x = (η n ). Näin ollen H ja l 2 ovat isomorfisia. 1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta Tässä pykälässä osoitamme vihdoin, että e n (x) = 1 e inx, n Z +, on ortonormaali kanta avaruudessa L 2 ([, π]). Tulemme huomaamaan, että tämä vaatii paljon työtä ennen kuin tulos on saavutettu. Lause 1.25. Olkoon e n (x) = 1 e inx, x π, n Z. Tällöin (e n ) n= on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]). Todistus. Olemme aikaisemmin nähneet, että (e n ) n= Lauseen 1.22 nojalla riittää osoittaa, että on ortonormaali jono. span{e n : n Z} = L 2 ([, π]), missä sulkeuma otetaan L 2 -normin mielessä. Tarvitsemme seuraavan tuloksen, jonka esitämme ilman todistusta: Olkoon X = {f : [, π] C : f on jatkuva ja -perioidinen}, ts. f X jos ja vain jos f on jatkuva ja f(x + ) = f(x) kaikilla x R. Tällöin X = L 2 ([, π]), eli jatkuvat -perioidiset funktioit ovat tiheässä avaruudessa L 2 ([, π]). Näin ollen riittää osoittaa, että X span{e n ; n Z}. Olkoon f X. Haluaisimme konstruoida jonon avaruudessa span{e n : n Z}, joka suppenee avaruudessa L 2 ([, π]) kohti funktiota f. On olemassa luonnollinen ehdokas, nimittäin m f m = (f e n ) e n. n= m Selvästi f m span{e n : n Z}. Meidän on todistettava, että f m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m.
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 29 Osoittautuu kuitenkin helpommaksi muodostaa aritmeettinen keskiarvo F m = 1 m + 1 (f 0 + f 1 +... + f m ), m = 0, 1, 2,..., joka kuuluu avaruuteen span{e n : n Z}, ja osoittaa, että F m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m. Nyt (f e n ) = 1 π f(x)e inx dx. Siis Näin ollen Merkitään f m (y) = m n= m = 1 = 1 F m (y) = 1 m + 1 = 1 m + 1 = 1 π (f e n ) e n (y) m ( π n= m π f(x) f j (y) j=0 m j=0 1 π ) f(x)e inx dx e iny m n= m 1 f(x) m + 1 K m (t) = 1 m + 1 f(x) m m e in(y x) dx. j e in(y x dx n= j j=0 n= j j=0 n= j Tämä on ns. Fejerin ydin. Tällöin saadaan, että F m (y) = 1 π j e in(y x) dx. j e int. f(x)k m (y x)dx =: (K m f)(y), missä funktion K m f sanotaan olevan funktioiden K m ja f konvoluutio. Lemma 1.26. Kaikilla t R, t n, n Z, on K m (t) = 1 sin 2 ( (m+1)t ) 2 m + 1 sin 2 ( t ). 2
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 30 Todistus. Saadaan 2j j e int = e ijt (eit) n. n= j n=2 Soveltamalla geometrisen sarjan kaavaa, saadaan j n= j e int = e ijt ( 1 e i(2j+1)t 1 e it ) = e ijt e i(j+1)t 1 e it. Jos merkitään z = e it, niin z 1 kun t n, n Z, ja saadaan, että Nyt delleen, (m + 1)K m (t) = j n= j = m e int = zj z j+1. 1 z j j=0 n= j m j=0 e int z j z j+1 1 z = 1 ( m m ) z j z j+1 1 z j=0 j=0 = 1 ( 1 z m+1 z(1 zm+1 ) ) 1 z 1 z 1 z = 1 ( 1 z m+1 zz(1 zm+1 ) ) 1 z 1 z z(1 z) = 1 ( 1 z m+1 (1 zm+1 ) ) 1 z 1 z z 1 = 1 ( 1 z m+1 + 1 ) zm+1 1 z 1 z 1 z = zm+1 + 2 z m+1 1 z 2. 1 z = 1 e it = e it/2 (e it/2 e it/2 ) = e it/2 e it/2 = 2 sin(t/2),
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 31 missä ulerin kaavalla e ix e ix = 2i sin x. Lisäksi Näin ollen saadaan, että z m+1 2 + z m+1 = e i(m+1)t 2 + e i(m+1)t = (e i(m+1)t/2 e i(m+1)t/2 ) 2 = (2i sin( (m + 1)t )) 2. 2 (m + 1)K m (t) = 4 sin2 ( (m+1)t 2 ) 2 sin 2 ( t 2 ). Lemma 1.27. Fejerin ytimellä on seuraavat ominaisuudet: (i) (ii) K m (t) 0 kaikilla t R, m = 0, 1, 2,.... π K m(t)dt =, m = 0, 1, 2,.... (iii) Kaikilla δ > 0, 0 < δ < π, on δ K m (t)dt + π δ K m (t)dt 0 kun m. Todistus. (i) Lemmasta 1.26 seuraa, että K m (t) 0 kaikille t R, t n, n Z. Koska K m (t) on jatkuva, saadaan, että K m (t) 0 kaikille t R. (ii) π e int dt = {, jos n = 0 0, jos n 0 joten π K m (t)dt = 1 m + 1 m j j=0 n= j π e int dt = 1 (m + 1) =. m + 1 (iii) Jos < t < δ tai δ < t < π, niin sin 2 (t/2) sin 2 (δ/2). Lemmasta 1.26
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 32 seuraa, että 0 K m (t) = 1 sin 2 ( (m+1)t ) 2 m + 1 sin 2 ( t ) 2 1 1 m + 1 sin 2 ( t ) 2 1 1 m + 1 sin 2 ( δ ), 2 kun < t < δ tai δ < t < π. Jos δ, 0 < δ < π, on kiinnitetty, niin saadaan kun m. 0 δ K m (t)dt + π δ K m (t)dt 2δ (m + 1) sin 2 (δ/2) + (m + 1) sin 2 (δ/2) (m + 1) sin 2 (δ/2) 0, Palataan päälauseen todistukseen. Tarkoituksenamme on todistaa, että F m f avaruudessa L 2 ([, π]), kun m, missä F m (y) = 1 π f(x)k m (y x)dx kaikilla y [, π]. Kiinnitetään y [, π] ja olkoon t = y x Lemmassa 1.27 kohdassa (ii). Tällöin y+π y K m (y x)dx = Kerrotaan puolittain termillä f(y)/, jolloin saadaan Kun t R ja r Z, niin f(y) = 1 y+π f(y)k m (y x)dx. y K m (t + r) = 1 m + 1 m j=0 k= j j e int e inr = K m (t).
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 33 Nyt f(x + r)k m (y x r) = f(x)k m (y x), joten funktio x f(x)k m (y x) on -perioidinen. Siten F m (y) = 1 π joten tästä seuraa, että F m (y) f(y) = 1 f(x)k m (y x)dx = 1 y+π y y+π y f(x)k m (y x)dx, [f(x) f(y)]k m (y x)dx. Tämä integraali on pieni, kun m, koska f(x) f(y) on pieni, kun x y ja kun x y on iso, niin K x (y x) on pieni. Seuraavassa todistamme tämän yksityiskohtaisesti. Kaikilla y [, π] ja 0 < δ < π pätee F m (y) f(y) 1 y+π f(x) f(y) K m (y x)dx = 1 + 1 + 1 y y δ y y+δ y δ y+π y+δ f(x) f(y) K m (y x)dx f(x) f(y) K m (y x)dx f(x) f(y) K m (y x)dx. Olkoon ɛ > 0. Yritämme löytää sellaisen m 0 Z +, että kun m m 0, niin F m (y) f(y) < ɛ kaikille y [, π]. Koska f on jatkuva ja -perioidinen, on olemassa M > 0 siten, että f(x) M kaikilla x R. Analyysistä tiedämme, että jatkuva funktio kompaktilla välillä on tasaisesti jatkuva. Näin ollen f on tasaisesti jatkuva välillä [, 2, π], joten on olemassa sellainen δ, 0 < δ < π, että jos y π ja x y < δ, niin tällöin f(x) f(y) < ɛ/2. Lemman 1.27 kohdan (iii) mukaan on olemassa sellainen m 0 Z +, että kun m m 0, niin δ Olkoon t = y x. Tällöin y δ y K m (y x)dx + K m (t)dt + y+π y+δ π δ K m (t)dt < π 2M ɛ. K m (y x)dx < π ɛ kun m m 0.
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 34 Koska f(x) f(y) f(x) + f(y) 2M kaikilla x, y R, saadaan jokaiselle m m 0, että 1 y δ f(x) f(y) K m (y x)dx + 1 y+π f(x) f(y) K m (y x)dx y y+δ < 1 2M π 2M ɛ = ɛ 2. Toisaalta, f(x) f(y) < ɛ/2 kun x (y δ, y + δ) ja y [, π], joten 1 y+δ ɛ 1 2 y δ y+δ f(x) f(y) K m (y x)dx y δ y+π K m (y x)dx ɛ 1 K m (y x)dx 2 y = ɛ 1 2 = ɛ 2. Siis jokaiselle y [, π] ja jokaiselle m m 0 pätee F m (y) f(y) < ɛ/2+ɛ/2 = ɛ. Olemme todistaneet, että tai sup F m (y) f(y) 0, kun m, y [,π] F m f 0, kun m, eli F m f avaruudessa (C([, π], ). Mutta 0 F m f 2 2 = π F m (y) f(y) 2 dy F m f 2 π = F m f 2, joten F m f L 2 -normin mielessä, kun m ja f span{e n : n Z}. Siis X span{e n : n Z} ja siten X = span{e n : n Z} = L 2 ([, π]). Suppeneminen avaruudessa L 2 ([, π]) on tosi heikko, joten palaamme edellisen lauseen todistukseen ja mainitsemme mitä me oikeastaan todistimme: dy
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 35 Lause 1.28. Olkoon f : R C jatkuva -perioidinen funktio. delleen, olkoot s n (f, x) = k= n f(k)e ikx, missä f(k) = 1 π f(x)e ikx dx, ja Tällöin σ n (f, x) = 1 n + 1 s k (f, x). k=0 sup σ n(f, x) f(x) 0, kun n. x R Todistus. Merkinnöillä s n (f, x) = f n (x) ja σ n (f, x) = F n (x) osoitimme edellisen lauseen todistuksessa, että sup F n (x) f(x) 0, kun n. x [,π] Koska f ja kaikki funktiot F n ovat -perioidisia, seuraa tästä, että F n f tasaisesti koko avaruudessa R, kun n. Huomautus. Koska jatkuvan -perioidisen funktion Fourier-osasummien aritmeettinen keskiarvo suppenee tasaisesti kohti funktiota f avaruudessa R, seuraa tästä, että tämä keskiarvo suppenee myös pisteittäin kaikilla x R. Lause 1.29. Olkoot f, g L 2 (π, π]) ja niiden Fourier-sarjat f(x) = n= f(n)e inx, g(x) = n= ĝ(n)e inx. Tällöin 1 π f(x)g(x)dx = n= f(n)ĝ(n). Todistus. Olkoon l 2 Z Hilbertin avaruus, joka koostuu kaikista jonoista (ξ n) n Z, ξ n C kaikille n Z, joille n= ξ n 2 < varustettuna sisätulolla ((ξ n ) (η n )) = n= ξ n η n.
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 36 Tiedämme, että e n (x) = 1 e inx, n Z, on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]). Tällöin voidaan osoittaa (katso Lause 1.24), että T : L 2 ([, π]) l 2 Z, T f = (ξ n ) n Z, missä ξ n = (f e n ) kaikilla n Z, on unitaarinen. Siis kaikilla f, g L 2 ([, π]). Nyt f(n) = 1 (f g) L 2 ([,π]) = (T f T g) l 2 Z. π f(x)e inx dx = 1 (f e n ), joten T f = ( f(n)) n Z ja T g = (ĝ(n)) n Z. Näin ollen π f(x)g(x)dx = (f g) L 2 ([,π]) = (T f T g) l 2 Z = n= f(n)ĝ(n). Seuraus. Jos funktion f L 2 ([, π]) Fourier-sarja on f(x) = f(n)e inx, niin n= 1 π f(x) 2 dx = n= f(n) 2. simerkki. Olkoon f L 2 ([, π]). Tällöin 1, n = 0 e n (x) = 1 π cos(nx), n = 2k, k Z + x [, π], 1 π sin(nx), n = 2k 1, k Z + on totaali ortonormaali jono avaruudessa L 2 ([, π]) (harjoitustehtävä). Lauseen 1.22 nojalla f(x) = n=0 (f e n) e n (yhtäsuuruus L 2 -normin mielessä). Jokaiselle n Z + on voimassa (f e 2n ) = 1 π π (f e 2n 1 ) = 1 π π (f e 0 ) = 1 π f(x) cos(nx)dx f(x) sin(nx)dx f(x)dx
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 37 joten Olkoon f(x) = (f e 0 ) e 0 + (f e 2n ) e 2n + = 1 π f(x)dx + ( 1 π + π jolloin voidaan kirjoittaa π (f e 2n 1 ) e 2n 1 ( 1 ) f(x) cos(nx)dx cos(nx) π ) f(x) sin(nx)dx sin(nx). a 0 = 1 a n = 1 π b n = 1 π f(x) = a 0 + π π π f(x)dx f(x) sin(nx) f(x) cos(nx), (a n sin(nx) + b n cos(nx)). Tämä yhtälö pätee siis L 2 -normin mielessä. Parsevalin kaavan nojalla eli joten tai f 2 = f 2 = (f e 0 ) 2 + π (f e k ) 2, k=0 ( (f e2n 1 ) 2 + (f e 2n ) 2) = a 0 2 + π a n 2 + π b n 2, [ f(x) 2 dx = a 0 2 + 1 2 1 π f(x) 2 dx = a 0 2 + 1 2 ( an 2 + b n 2)] ( an 2 + b n 2).
1.5 Avaruuden L 2 ([, π]) ortonormaali kanta 38 Koska π f(x) 2 dx <, niin ( a n 2 + b n 2 ) <, joten lim n a n = lim n b n = 0. Siis a n 0 ja b n 0, kun n, eli π lim n π f(x) sin(nx)dx = lim f(x) cos(nx)dx = 0. n Kirjallisuutta P. Hästö: Analyysi III, luentomoniste 2007 W. Rudin: Real and complex analysis, third edition, McGraw-Hill, 1987 N. Young: An Introduction to Hilbert Spaces, Reprinted, Cambridge University Press, 1995