FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
|
|
- Anita Niemelä
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet, mutta kompleksikertoimiset avaruudet määritellään täysin analogisesti: Avaruudessa E on yhteenlaskun x + y lisäksi annettu skalaarillla kertominen (λ, x) λx, kuvaus C E E, joka toteuttaa ehdot λ(x + y) = λx + λy, λ(µx) = (λµ)x ja (λ + µ)x = λx + µx kaikilla vektoreilla x, y E ja skalaareilla λ, µ C. Useimmiten kurssin tulokset ja käsitteet toimivat täysin samoin molemmille skalaarikunnan valinnalle, R tai C, ja käytämme silloin skalaarikunnalle merkintää K. Jos skalaarikunta pitää spesifioida, siitä huomautetaan erikseen. Esimerkkejä. C n = {x = (x 1,..., x n ) : x j C} on C-kertoiminen vektoriavaruus. Sellainen on myös kompleksisten polynomien avaruus P = {p(z) = a k z k : a k C, n N} k=0 Dimensio: Kerrataan ensin lineaarialgebran käsitteitä. Jos A E, sen virittämä E:n vektorialiavaruus on (2.1) span(a) = { λ k x k : x k A, λ k K} k=0 Lineaarialgebrasta muistetaan myös että vektorijono x 1,..., x n E on lineaarisesti riippumaton eli vapaa, jos λ 1 x 1 + λ n x n = 0 λ 1 = = λ n = 0 Honkasalon monisteen Lineaarialgebra I sivulla 50 on todistettu seuraava tulos, jonka oletamme tunnetuksi: Vektoriavaruus E on äärellisulotteinen (so. äärellisen vektorijoukon virittämä) jos ja vain jos E:n vapaiden jonojen pituudet ovat ylhäältä rajoitetut, so. on luku M < niin että jokaisessa E:n vapaassa joukossa on korkeintaan M vektoria. Muistetaan vielä, että äärellisulotteisen avaruuden E dimensio dim(e) on E:n kannan (so. vapaan virittäjäjoukon) lukumäärä; tämä lukumäärä on kannasta riippumaton luku.
2 8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Tämä kaikki toimii myös kun kerroinkuntana on C. Esimerkiksi yllä C n on äärellisulotteinen (tarkemmin, n-ulotteinen), kun taas P on ääretönulotteinen: Vektorit z n, n N, muodostavat vapaan joukon (Miksi?) ja koska tuo joukko on ääretön, yo. tuloksen nojalla dim(p) =. Keskeinen idea Funktionaalianalyysissä on tuoda hyödyllisiä struktuureja funktioiden muodostamiin vektoriavaruuksiin erilaisten normien avulla Määritelmä. Kuvaus p : E R + on normi E:ssä, jos (N1) (N2) (N3) p(x + y) p(x) + p(y) kaikilla x, y E ( kolmioepäyhtälö ) p(ax) = a p(x) kaikilla x E, a K ( homogeenisuus ) p(x) = 0 x = 0 (nolla-alkio E:ssä) Tavallisesti merkitään p(x) = x. Paria (E, ) eli vektoriavaruutta E varustettuna normilla sanotaan normiavaruudeksi. Huomautus. (1) normi edellyttää, että määrittelyjoukko E on lineaariavaruus: x + y E kun x, y E ja ax E kun x E, a K. (2) Kuvaus p : E R + on seminormi E:ssä, jos p toteuttaa ehdot (N1) ja (N2). 1 Tällöin p( 0) = p(0 0) = 0 p( 0) = 0, ja { x E : p(x) = 0 } on avaruuden E vektorialiavaruus ehtojen (N1) ja (N2) nojalla Esimerkkejä. (1) x 2 = j=1 x 2 j = x x x 2 n, x = (x 1,..., x n ) R n on avaruuden R n euklidinen normi, kun n = 1, 2,.... Ehdot (N1)-(N3) toteutuvat; katso Topo I. Hieman myöhemmin tämä todistetaan myös erikoistapauksena yleisemmän avaruuden l p yhteydessä. (2) Kun A on (m.v.) joukko, asetetaan B(A, K) := { f : A K : f := sup f(t) < }. t A Tämä on rajoitettujen kuvausten A K avaruus. Helposti nähdään, että f on normi: 1 tämä yleisempi käsite on joskus tarpeen; tällä kurssilla suhteellisen harvoin
3 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9 Perustelu. Olkoon f, g B(A, K) ja t A. Tällöin (f + g)(t) = f(t) + g(t) ey sup yli = t A f(t) + g(t) määr. f + g = sup (f + g)(t) f + g t A eli ehto (N1) on voimassa. Olkoon a R vakio. Tällöin f + g (af)(t) = af(t) = a f(t) sup yli t:n af = a f eli myös ehto (N2) on voimassa. Koska f = sup f(t) = 0 f(t) = 0 t A t A f on 0-funktio niin myös (N3) toteutuu. (3) Myös R n :ssä tai C n :ssä voidaan määritellä normi edellisen kohdan erikoistapauksena: tällöin A = {1,..., n}, jolloin saadaan normi x := sup( x 1,..., x n ), missä x = (x 1,..., x n ) K n. Vaikka tämä normi antaa entisen topologian, sup-normin geometria on hieman erilainen. Esimerkiksi dimensiossa n = 2 avaruuden E = (R 2, ) yksikköpallo B E = {x : x 1} näyttää seuraavalta: y (0, 1) (1, 0) x Kuva 3. Pallo B E avaruudessa E = (R 2, ) (4) Toinen erikoistapaus (2)-kohdasta saadaan, kun A = N. Tällöin merkitään l := B(N, K) = { (x n ) n=0 : x n K, x = sup x n < }. n Koska vektorit e n = (0, 0,..., 0, }{{} 1, 0,...) l ovat lineaarisesti n:s riippumattomia (Miksi?), on dim(l ) =.
4 10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Seuraavaksi osoitetaan pari normin perusominaisuutta, joista seuraavan lauseen (2)-kohta liittää normiavaruudet metrisiin Lause. Olkoon (E, ) normiavaruus. Tällöin (1) kaikilla x, y E on voimassa x y x y eli ns. ey alaspäin. Erityisesti, kuvauksena normi x x on tasaisesti jatkuva E:ssa (2) kuvaus d: E E R +, d(x, y) := x y on metriikka avaruudessa E. Erityisesti x = d(x, 0), x E. Todistus. (1) (vrt. Topo I, D II) Olkoon x, y E. Tällöin x = x y + y ey = x y x y x y + y symm = y x y x (N2) = x y = x y x y (2) (vrt. Topo I) kaikilla x, y, z E on voimassa d(x, z) = x z = x y + y z (N1) x y + y z = d(x, y) + d(y, z), joten (M1) toteutuu. Ehto (M2) seuraa välittömästi ehdosta (N2). Edelleen d(x, y) = x y = 0 (N2) x y = 0 x = y, joten myös (M3) on voimassa. Metrisinä avaruuksina funktioavaruudet voivat olla melko suuria, esimerkkinä olkoon vaikkapa l, joka ei ole edes separoituva (vrt. Harjoitukset). Useille käytännössä eteen tuleville funktioavaruuksille separoituvuus toisaalta pätee; myöhemmin osoitamme tämän esimerkiksi C(0, 1):lle.
5 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 11 Normiavaruuden luonnolliset rakenteet ovat yhteensopivat, toisin sanoen: 2.5. Lause. Normiavaruudessa (E, ) ovat kuvaukset ψ 1 : E E E, ψ 1 (a, b) := a + b ja ψ 2 : K E E, ψ 2 (λ, a) := λa jatkuvia. Todistus. Harjoitukset 1. Huomautus. Normiavaruuden E metriikka on siirto- eli translaatioinvariantti: on siis voimassa, että d(x + a, y + a) = d(x, y) kaikilla x, y, a E Tästä sekä ominaisuudesta (N2) seuraa, että A E on avoin (vast. suljettu, kompakti) joss x 0 +A ja λa ovat avoimia (vast. suljettuja, kompakteja), missä λ K \ {0} ja x 0 E ovat mielivaltaisia. Samoin joukko U E, joka sisältää pisteen x 0 on pisteen x 0 ympäristö joss U x 0 on nolla-alkion 0 ympäristö. Pistejono (x n ) n=0 E suppenee alkioon y E joss x n y 0 kun n avaruudessa E. Edellä käytimme merkintöjä x 0 + A = { x 0 + y : y A } E, λa = { λx : x A } Samoin määritellään, kun A E, B E ja Λ K, A + B = { x + y : x A, y B }, ΛA = { λx : λ Λ, x A } Huomautus. Monet funktioavaruuksien konvergenssikäsitteistä voidaan kuvata normin avulla (ja kääntäen, normi antaa konvergenssikäsitteen): 2.6. Esimerkkejä. (1) Kun avaruus C(0, 1) = {f : [0, 1] K jatkuva } varustetaan tavallisella normillaan f = sup t [0,1] f(t), pätee f n f 0 kun n f n (x) f(x) tasaisesti joukossa [0, 1]
6 12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI (2) Toisaalta C(0, 1):ssä voidaan määritellä myös normi f 1 = 1 f(t) dt. 0 (Selvitä itsellesi miksi 1 on normi C(0, 1):ssä!). Nyt pätee lim f n f 1 = 0 n 1 0 f n (t) f(t) dt 0 f n (x) f(x) keskimäärin Esimerkiksi, jos f n (x) = x n, niin f n 0 keskimäärin eli normin 1 mielessä, sillä f n 1 = 1 0. Toisaalta jono ei konvergoi sup-normin n+1 mielessä nollaan, sillä f n = 1 jokaisella n N. Annetuista normiavaruuksista saadaan muodostettua uusia avaruuksia monella eri tavalla. Tulemme jatkossa näkemään tästä useitakin esimerkkejä. Aloitamme seuraavalla yksinkertaisella periaatteella Lause. Jokainen normiavaruuden (E, ) vektorialiavaruus F on normiavaruus (E:n indusoimalla normilla varustettuna) Esimerkkejä. (1) Voimme esimerkiksi valita E = B([0, 1], K), jolla on aliavaruutena jatkuvien funktioiden avaruus F = C(0, 1). (2) Olkoon sitten E = l ; seuraavat jonoavaruudet ovat sen vektorialiavaruuksia. c := { x = (x n ) n=0 : x n K, lim x n on olemassa, kun n }, c 0 := { x = (x n ) n=0 : x n K, lim x n = 0 }. Molemmissa normina toimii siis x = sup n x n. Joskus voi olla hyödyllistä muuttaa normia, ilman että sen määräämä topologia tai konvergenssi muuttuu. Tämä idea johtaa seuraavaan käsitteeseeen Määritelmä. Vektoriavaruuden E normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja, jos on olemassa vakiot C 1, C 2 > 0, joille C 1 x 1 x 2 C 2 x 1 x E Lause. Olkoot 1 ja 2 ekvivalentteja normeja avaruudessa E. Tällöin ne määrittelevät avaruudessa E samat avoimet ja suljetut joukot (eli ne määrittävät saman topologian). Todistus. Harjoitukset 1
7 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. (1) Helposti nähdään, että C n :n normit x 2 = x j 2 = x x x n 2 j=1 ja x = max 1 j n x j, x = (x 1,..., x n ) C n ovat ekvivalentit; jätämme lukijan tarkastettavaksi arviot x x 2 n x, jotka pätevät jokaisella x C n. Itse asiassa, tulemme myöhemmin näkemään, että äärellisulotteisen vektoriavaruuden kaikki normit ovat ekvivalentit. (2) Olkoon P = {p(z) = n k=0 a kz k : a k C, n N} polynomien muodostama vektoriavaruus. Tällöin esimerkiksi p 1 = k=0 a k ja p 2 = max a k k ovat hyvin määriteltyjä (Miksi?) normeja (Miksi?) avaruudessa P. Normit eivät ole kuitenkaan ekvivalentteja: jos p n (z) = n k=0 zk, niin jokaisella n, p n 2 = 1 mutta p n 1 = n. Koska tässä n voidaan valita mielivaltaisen suureksi, normit ovat epäekvivalentit Esimerkki. Merkitään C k (0, 1) = { f : [0, 1] K : f, f,..., f (k) ovat jatkuvia välillä [0, 1] }, kun k N. Normit ja f = sup f = 0 j k 0 t 1 k j=0 sup f (j) (t) sup 0 t 1 f (j) (t) ovat ekvivalentteja avaruudessa C k (0, 1), minkä todistus jää harjoitustehtäväksi. l p -avaruudet Normiavaruudet l, c ja c 0 ovat esimerkkejä klassisista Banachin avaruuksista. Mainitsemme vielä esimerkkinä avaruuden l 1 = { x = (x n ) n=0 : x 1:= x n < }, n=0
8 14 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI joka on itseisesti tai absoluuttisesti suppenevien lukujonojen avaruus. Myös tässä 1 on helppo todistaa normiksi. Vaikeammin käsiteltäviä esimerkkejä ovat muut ns. l p -avaruudet, joita nyt ryhdymme määrittelemään Määritelmä. Olkoon 1 p <. Tällöin ( l p := { x = (x n ) n=0 : x ) 1 p:= x n p p < }. n=0 Seuraavassa p ja q ovat reaalilukuja, jotka täyttävät ehdot: p > 1, q > 1 ja 1 p + 1 q = 1. Sanomme lukuja p ja q toistensa duaalieksponenteiksi. Esimerkiksi p = q = 2 tai p = 7, q = 7 ovat duaalieksponenttipareja. Edelleen on voimassa, että 6 q = ja p + q = pq. p p Lemma. Jos a 0, b 0 ja p ja q ovat duaalieksponentteja, niin (2.15) ab ap p + bq q. Todistus. Jos a = 0 tai b = 0, niin (2.15) on voimassa. Voimme olettaa: a, b > 0. Merkitään ϕ(t) = tp p + t q q, kun t > 0. Tällöin ϕ (t) = t p 1 t q 1, joten ϕ (t) < 0, kun 0 < t < 1 ja ϕ (t) > 0, kun t > 1. Siispä ϕ saa pienimmän arvonsa, kun t = 1, eli kaikilla t > 0 1 = ϕ(1) ϕ(t) = tp p + t q q. Sijoitetaan t = a 1/q b 1/p, jolloin saadaan 1 ap/q pb + bq/p qa, sillä p q + 1 = p ja q p + 1 = q. ab ap/q+1 p + bq/p+1 q = ap p + bq q, Lause (Hölderin epäyhtälö jonoille). Olkoot 1 < p, q < siten, että = 1. Tällöin 1 p + 1 q (H) x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q
9 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 15 kaikilla jonoilla (x k ) l p, (y k ) l q (tässä x k, y k K kaikilla k ja K = R tai K = C). Siis (x k y k ) 1 (x k ) p (y k ) q, ja erityisesti (x k ) l p, (y k ) l q = tulojono (x k y k ) l 1. Huomautus. Kun epäyhtälöön (H) sijoitetaan luvut, jotka toteuttaa lisäehdot 0 = x k = y k kaikilla k > n, saadaan erikoistapauksena äärellinen versio Hölderin epäyhtälöstä: x k y k ( x k p ) 1 p ( y k q ) 1 q kun (x 1,..., x n ), (y 1,..., y n ) K n ja n = 1, 2, 3,... Todistus. (Epäyhtälölle (H)): Merkitään A = ( x k p ) 1 p = (xk ) p, B = ( y k q ) 1 q = (yk ) q, jolloin A 0, B 0. Jos A = 0 tai B = 0, niin x k = 0 kaikilla k N tai y k = 0 kaikilla k N. Tällöin (H) on ilmeinen, sillä vasen puoli = 0. Voidaan siis olettaa: A > 0, B > 0. Kiinnitetään k N ja sovelletaan Lemmaa 2.14, kun a = x k ja b = y k. Saadaan A B x k A y k B 1 p x k p + 1 A p q y k q B, q mikä on voimassa kaikilla k N. Summataan edelliset muuttujan k suhteen, jolloin 1 x k x k y k = AB A y k B 1 x k p + 1 y k q p A p q B q = 1 p 1 x A p k p + 1 q 1 y B q k q = 1 p + 1 q = 1, } {{ } =A p } {{ } =B q joten kertomalla AB:llä puolittain, saadaan x k y k AB = (x k ) p (y k ) q.
10 16 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Hölderin erikoistapauksella p = q = 2 on oma nimitys ja merkitys (vrt. Hilbertin avaruudet, luku 4) Seuraus (Schwarzin epäyhtälö). Jos x = (x k ), y = (y k ) l 2, niin (S) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 = x 2 y 2 kaikilla jonoilla (x k ), (y k) l2. Lisäksi äärellisten jonojen erikoistapauksessa saadaan (S ) x k y k ( x k 2 ) 1 2 ( y k 2 ) 1 2 kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K ja kaikilla n N. Erityisesti, Schwarzin epäyhtälö takaa että avaruudessa l 2 bilineaarimuoto < x, y > = x k y k, x = (x k ), y = (y k ) l 2 on hyvin määritelty. Tämä antaa l 2 :een sisätulon struktuurin; tulemme näkemään Hilbertin avaruuksia koskevassa osaluvussa, että sisätuloavaruuksilla on monia poikkeuksellisen hyviä ominaisuuksia. Hölderin epäyhtälön avulla voimme osoittaa, että l p -normit toteuttavat kolmioepäyhtälön; saatua arviota sanotaan (usein) Minkowskin epäyhtälöksi Lause (Minkowskin epäyhtälö). Olkoon 1 < p <. Tällöin (M) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla jonoilla (x k ), (y k) lp. Erityisesti: Kun (x k ) l p, (y k ) l p, niin summajono (x k + y k ) l p, joten l p on siis vektoriavaruus. Valitsemalla x k = 0, y k = 0 kun k n + 1 saadaan äärellinen versio: (M ) ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p kaikilla luvuilla x 1,..., x n, y 1,..., y n K.
11 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 17 Todistus. Olkoon 1 < q < sellainen, että p = 1 (eli siis q = ). p q p 1 Hölderin epäyhtälön (H) ja K:n kolmioepäyhtälön avulla saadaan x k + y k p = x k + y k p 1 x k + y k }{{} x k + y k x k x k + y k p 1 + y k x k + y k p 1 (H) ( x k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q + ( y k p ) 1 p ( x k + y k q(p 1) ) 1 q. Koska q(p 1) = p, niin edellinen epäyhtälö. voidaan kirjoittaa muodossa (x k + y k ) p p ( ) (x k ) p + (y k ) p ( x k + y k p ) 1 q. Jakamalla saatu epäyhtälö puolittain termillä ( x k + y k p ) 1 q = (x k + y k ) p/q p ja käyttämällä identiteettiä p p/q = 1, saadaan (x k + y k ) p = (x k + y k ) p p/q p (x k ) p + (y k ) p, joka on tarkalleen etsitty Minkowskin epäyhtälö (M). Lisäys yllä olevaan todistukseen: Edellisessä todistuksessa on pieni ongelma; viimeisessä vaiheessa tehty jakaminen on mahdollista vain, jos 0 < x k + y k p <. Pulman korjaamiseksi huomataan: Jos x k + y k p = 0, niin väite (M) on triviaali. Voidaan siis olettaa x k + y k p > 0. Epäyhtälöä x k + y k p < varten käytetään arviota ( ) a + b p ( a + b ) p (2 max{ a, b }) p 2 p ( a p + b p ), mikä on voimassa kaikilla a, b K. Kun sijoitetaan a = x k, b = y k epäyhtälöön ( ) ja summataan yli muuttujan k saadaan x k + y k p 2 p ( x k p + y k p ) <, koska (x k ), (y k ) l p. Näin Lause 2.19 on saatu täydellisesti todistetuksi.
12 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. Erikoistapauksessa p = 2 äärellisiä jonoja koskeva epäyhtälö (M ) on itse asiassa tuttu kolmioepäyhtälö kotiavaruuden K n euklidiselle normille (DII, Topo I), sillä x 2 = x x n 2, kun x = (x 1,..., x n ) K n, n = 1, 2,... Kootaan yhteen edelliset tulokset (tapaukset p = 1 tai käsiteltiin aikaisemmin) seuraavaksi tärkeäksi lauseeksi l p -avaruuksista Lause. (l p, p ) on normiavaruus kun 1 < p <. Todistus. Jos x = (x k ) l p, y = (y k ) l p niin x + y = (x k + y k ) ja Minkowskin epäyhtälön 2.19 mukaan x + y p = ( x k + y k p ) 1 p ( x k p ) 1 p + ( y k p ) 1 p = x p + y p (ja erityisesti x + y l p ). Siis (N1) pätee. Koska ax p = ( ax k p ) 1 p = a ( x k p ) 1 p = a x p, kun x = (x k ) l p, a K, niin myös homogeenisuusehto (N2) on voimassa. Edelleen 0 = (x k ) p = ( x k p ) 1 p ) = xk = 0 k N = (x k ) = (0, 0,...) = 0, joten myös (N3) toteutuu. Huomautus. l p -avaruuksien välillä pätevät seuraavat sisältyvyydet (joukkoina): l 1 l p l q c 0 l kun 1 < p < q <. Lisäksi x x q x p x 1 kaikille jonoille x = (x k ) (Harjoitukset 2). Edellä olemme piirtäneet yksikköpallot normien 2 ja suhteen. Entä yksikköpallo yleisten l p -normien suhteen? Alla kuva tapauksesta p = 3 ja p = 1; mieti millainen on yksikköpallo yleisellä p! (0, 1) y (0, 1) y (1, 0) x (1, 0) x
13 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 19 Huomautus (Lisätietoja). On olemassa luontevia vektoriavaruuksia E, joissa on luonnollinen siirtoinvariantti topologia τ, joka kuitenkaan ei ole minkään E:n normin indusoima (ts. ei ole olemassa sellaista normia : E R +, että τ = τ ). Sellaisten avaruuksien teoriaa ei käsitellä kurssin aikana; esimerkkeinä mainitaan kuitenkin (1) Varustetaan avaruus C(R n ) = {f : R n R jatkuva } topologialla τ, jossa jono f n f, jos lim sup f n (x) f(x) = 0 n x K kaikilla kompakteilla joukoilla K R n. Topologia τ saadaan kasvavasta seminormiperheestä ( m ), kun f m = sup x K m f(x), f C(R n ) ja K m = [ m, m] n R n, sekä m N. Konvergenssia ei kuitenkaan voi kuvata vain yhden normin avulla. Topologinen vektoriavaruus (C(R n ), τ) on ns. nukleaarinen Frechet n avaruus. Vastaava koskee myös äärettömästi derivoituvien funktioiden avaruutta C (0, 1) = {f : [0, 1] K, f (j) jatkuva jokaisella j N}. (2) Olkoon 0 < p < 1. Määritellään: jono x = (x k ) l p, jos x p = ( x k p ) 1 p < Tällöin x x p toteuttaa normin ehdot (N2) ja (N3) sekä kolmioepäyhtälön muodossa x + y p = ( x k + y k p ) 1 1 p 2 p 1 ( x p + y p ) kaikilla x = (x k ), y = (y k ) l p. Tässä 2 1 p 1 > 1, kun 0 < p < 1, eli p on ns. kvasinormi l p :ssä. Alla kuva yksikköpallosta {(x, y) R 2 : x p + y p 1}, kun p = 1/2. (0, 1) y (1, 0) x Huomautus. Jokaisessa normiavaruudessa yksikköpallo B E = {x E : x 1} on konveksi, so. jos x, y B E, niin tx + (1 t)y B E
14 20 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI kaikilla 0 < t < 1; nimittäin tx + (1 t)y t x + (1 t) y 1. Siispä myöskään yo. kuvan mukaan p ei voi olla normi: vastaava yksikköpallo ei ole konveksi. (3) Kaikkien jonojen avaruus s = { (x n ) : x k K jokaisella k N }. Avaruudessa s on summa ja skalaarilla kertominen määritelty kuten l p :ssä, ja metriikka d(x, y) = 1 2 x k y k k 1 + x k y k, kun x = (x k ), y = (y k ) s. Voidaan osoittaa, että d on siirtovariantti metriikka (HT). Avaruus s on myös nukleaarinen Frechet n avaruus. Lineaariset operaattorit Olkoon E ja F vektoriavaruuksia. Kuvaus T : E F on lineaarinen jos T (αx + βy) = αt (x) + βt (y) x, y E ja α, β K Sanomme usein että T on lineaarinen operaattori. Usein myös merkitsemme lyhyesti T x, merkinnän T (x) sijaan. Äärellisulotteisessa normiavaruudessa kaikki lineaariset kuvaukset ovat jatkuvia, mutta äärettömän monen dimension avulla jatkuvuus on helppo rikkoa (annamme esimerkin hieman myöhemmin). Jos E, F ovat normiavaruuksia, on siis luonnollista kysyä: Koska lineaarinen kuvaus T : E F on jatkuva?? Vastausta varten tarvitsemme uuden käsitteen, rajoitetut operaattorit Määritelmä. Olkoot E ja F normiavaruuksia sekä T : E F lineaarinen. Sanomme, että T on rajoitettu, jos on vakio C < jolle T x F C x E kaikilla x E. Yleisesti sanotaan että normiavaruuden osajoukko A E on rajoitettu, jos sup{ x : x A} M < ; yhtäpitävästi (Miksi?), A:n halkaisija on äärellinen. Kuten Harjoituksissa 2 nähdään, lineaarinen kuvaus T on rajoitettu jos ja vain jos se kuvaa E:n rajoitetut joukot F :n rajoitetuiksi joukoiksi.
15 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon E = F = l 2 ja T : E F kuvaus T : (x k ) (3x k+1 ) kun x = (x k) l2. Tällöin T on lineaarinen (Miksi?) ja rajoitettu: ( ) 1/2 ( ) 1/2 ( ) 1/2 T x 2 = 3x k+1 2 = 3 x k x k 2 = 3 x 2 Huomaamme, että vaadituksi vakioksi voidaan ottaa C = 3. Operaattorin rajoittuneisuus voidaan myös testata seuraavan suureen avulla; nimittäin (Harjoitukset) T on rajoitettu jos ja vain jos (2.23) T := sup{ T x : x E, x 1} < Niinkuin merkintä jo vihjaa, saatua suuretta kutsutaan lineaarisen kuvauksen T normiksi. Se mittaa kuinka suureksi joukoksi T kuvaa yksikköpallon B E = {x E : x 1}. Siis operaattori T on rajoitettu jos ja vain jos normi T <. Jos tarve vaatii, merkitsemme avaruudet E ja F näkyviin, so. T E F. Huomautus. Koska Siis saamme x x T x x = = 1 jokaisella vektorilla x E, nähdään että ( ) x T T kaikilla x E x (2.24) T x T x jokaisella vektorilla x E ja lineaarikuvauksella T : E F. [vrt. myös Harjoitukset 2, tehtävä 3 c)] Esimerkkejä. a) Olkoon E = l 2 ja F = l 1 sekä T x = T (x k ) := ( 1 k x k Onko T rajoitettu (operaattorina T : l 2 l 1 )? Heti havaitaan että 1 T x 1 = k x k mutta helppo arvio x k ( x k 2) 1/2 ei ole yleisesti totta. Voimme kuitenkin käyttää Hölderin epäyhtälöä kun p = q = 2, 1 k x k ( 1 k 2 ) ) 1/2 ( ) 1/2 x k 2 = C x 2
16 22 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI missä C = 1/k2 <. (Itse asiassa, C = π 2 /6). Näin ollen T : l 2 l 1 on rajoitettu ja saamme normille arvion T π 2 /6. b) Rakennetaan sitten lineaarinen operaattori, joka ei ole rajoitettu. Voimme vaikkapa tarkastella avaruutta P = { p(z) = n k=0 a kz k : a k C, n N }, joka muodostuu kaikista polynomeista; varustetaan se normilla p = max{ a k }. Tällöin, esimerkiksi, (derivaatta)kuvaus T : n k=0 a kz k n k=0 k a k z k on lineaarinen (Miksi?), mutta ei rajoitettu: Jos p n = z n, n N, silloin p n = 1, T p n = n sup{ T p : p = 1, p P } =. Palataan sitten alkuperäiseen kysymykseemme, milloin lineaarinen kuvaus on jatkuva? Käy ilmi, että lineaarinen operaattori on jatkuva täsmälleen silloin kun se on rajoitettu! Lause. Olkoot E, F normiavaruuksia ja T : E F lineaarikuvaus. Tällöin seuraavat ehdot ovat yhtäpitäviä: (i) T on rajoitettu operaattori (ii) T on jatkuva (koko E:ssä) (iii) T on jatkuva yhdessä pisteessä x 0 E. Todistus. (i) (ii): jos x, y E ja ε > 0 T x T y T lin. = T (x y) T x y < ε kun x y ε T (ii) (iii): ilmeinen (iii) (i): Olkoon T jatkuva x 0 :ssa. Jos ε > 0 annettu, voimme valita sellaisen luvun δ > 0 että aina Jos nyt x E ja x < δ, saadaan x x 0 δ T x T x 0 < ε T x = T lin. T (x + x 0 ) T x 0 < ε. Toisaalta, jos x B E, on δx = δ x δ ja siis δ T x = T (δx) < ε, eli T x < ε δ x B E Olemme näin näyttäneet: T on rajoitettu. Erityisesti, näemme, että Esimerkki 2.25 b) antaa lineaarisen operaattorin, joka ei ole jatkuva. Näillä tiedoin voimme myös aloittaa johdannossa esitetyn integraalioperaattorin tarkemman tarkastelun. Tulemme palaamaan teemaan useasti myöhemminkin.
17 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Esimerkki. Olkoon K : [0, 1] [0, 1] C jatkuva. Kun f C(0, 1), muunnamme sen uudeksi funktioksi T f, missä (T f)(x) = 1 0 K(x, s)f(s)ds, x [0, 1] Väite: näin saadaan jatkuva lineaarinen operaattori T : C(0, 1) C(0, 1). Meidän siis on osoitettava kolme asiaa, 1. f T f on lineaarinen, 2. T f on jatkuva funktio aina kun f on jatkuva välillä [0, 1], ja 3. operaattorina T on rajoitettu C(0, 1) C(0, 1). Jätetään 1. väite lukijan tehtäväksi. Väite 2. kertoo että todellakin T ( C(0, 1) ) C(0, 1). Sitä varten arvioidaan (T f)(x) (T f)(y) = K(x, s)f(s)ds 1 K(x, s) K(y, s) f(s) ds 0 K(y, s)f(s)ds Funktion T f:n jatkuvuus siis palautuu K:n ominaisuuksiin. Heti kuitenkin huomataan, että pelkkä pisteittäinen K:n jatkuvuus ei riitä, vaan arvio pitää tehdä tasaisesti s:n suhteen. Tarvitsemme siis hieman tietoja Topologian kurssilta: Oletamme tunnetuksi, että kompaktissa joukossa määritelty jatkuva funktio on tasaisesti jatkuva 2. Sovellamme tätä ytimeen K(x, s). Koska [0, 1] [0, 1] on kompakti, jokaisella ε > 0 löydämme δ:n niin että jos x y < δ eli (x, s) (y, s) < δ, silloin (2.28) K(x, s) K(y, s) < ε kaikilla s [0, 1] Erityisesti, vaaditun δ:n suuruus ei riippunut pisteestä s. Saamme siksi (2.29) (T f)(x) (T f)(y) ε 1 0 f(s) ds ε f, kun x y < δ Koska ε oli mielivaltainen, olemme osoittaneet T f:n jatkuvuuden (väite 2). Myös väite 3. käyttää topologista tulosta: Koska K on jatkuva kompaktissa joukossa [0, 1] [0, 1], se saa siinä suurimman arvonsa, ja erityisesti K on rajoitettu. Siis eräällä vakiolla M <, K(x, s) M < kaikilla x, s [0, 1] 2 Funktio g : A C on tasaisesti jatkuva jos jokaista ε > 0 kohti löytyy δ > 0 niin että x y < δ g(x) g(y) < ε. Olennaista tässä siis että vaadittu δ riippuu vain etäisyydestä x y, eikä siitä missä pisteet x, y sijaitsevat.
18 24 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Näin voimme arvioida (T f)(x) 1 0 K(x, s) f(s) ds M f mikä antaa T f M f. Näin ollen T on rajoitettu operaattori; itse asiassa voimme valita M = K ja siis saamme arvion T K. Olemme siten todistaneet viimeisenkin väitteen Huomautus. Yllä esitetty integraalioperaattorin jatkuvuuden todistus antaa hieman enemmänkin kuin mitä Esimerkki 2.27 tarvitsi: Havaitaan että T f:n jatkuus riippuu olennaisesti vain ytimestä K eikä niinkään funktiosta f. Koska tällä havainnolla on käyttöä myöhemmin, formalisoidaan sitä hieman, käyttäen jatkuvuusmodulin käsitettä: Olkoon meillä w : [0, ) [0, ) jolle t w(t) jatkuva, aidosti kasvava ja w(t) = 0 t = 0 Sanomme silloin että w on jatkuvuusmoduli. y w(t) t Nimittäin, jos funktiolle g : A C pätee (2.31) g(x) g(y) w( x y ) kaikilla x, y A niin w kertoo kuinka jatkuva g on. [Tyypillinen esim: w(t) = t α, 0 < α < 1] Jos g:llä on jatkuvuusmoduli joukossa A, eli (2.31) pätee, se on selvästikin tasaisesti jatkuva (Miksi?). Mutta pätee myös kääntäen, jokaisella tasaisesti jatkuvalla funktiolla on jatkuvuusmoduli. Voimme nimittäin asettaa w 0 (t) = sup{ g(x) g(y) : x, y A, x y t} Tasaisen jatkuvuuden nojalla w 0 on jatkuva ja w 0 (t) 0 kun t 0. Aidosti kasvava siitä saadaan määrittelemällä w(t) = w 0 (t) + t. Tälle (2.31) selvästi pätee, ja siten g:llä on jatkuvuusmoduli w. Jos palaamme Esimerkkiin 2.27, ytimellä K on ylläolevan nojalla jatkuvuusmoduli w K. Lisäksi, arviot (2.28), (2.29) antavat (2.32) (T f)(x) (T f)(y) w K (x y) f w K (x y) mikäli f 1, eli f B E, E = C(0, 1). Toisin sanoen, oli f:n jatkuvuus miten heikkoa tahansa, T f:n jatkuvuus on aina vähintään luokkaa w K!
2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26 Kari Astala ja Petteri Piiroinen Sopivaa oheis- ja lisälukemistoa tarjoavat esimerkiksi seuraavat
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006, 2008 ja Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 26, 28 ja 21 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 26) Hans-Olav Tylli (v. 28 ja 21) Huom.: tämä
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2012 Kari Astala
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 212 Kari Astala Luentomuistiinpanot perustuvat aikaisempiin versioihin vuodelta 26 (Kari Astala
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto. Luennot, kevät 2012 Kari Astala. Luennot, syksy 2017 Hans-Olav Tylli
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen osasto Luennot, kevät 212 Kari Astala Luennot, syksy 217 Hans-Olav Tylli Luennot, syksy 218 Jani Lukkarinen Luentomuistiinpanot
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006, 2008 ja 2010 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 ja 2010)
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 14.3.2015 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 14.3.2015 1 / 64 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L), ke 810 (L), ma 1214
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotVektorianalyysi I MAT Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21.
Vektorianalyysi I MAT21003 Luennoitsija: Ritva Hurri-Syrjänen Luentoajat: ti: 14:15-16:00, to: 12:15-14:00 Helsingin yliopisto 21. syyskuuta 2017 1 Sisältö 1 Euklidinen avaruus 3 1.1 Euklidinen avaruus
Lisätiedot1 Lineaarialgebraa Vektoriavaruus Lineaarikuvaus Zornin lemma ja Hamelin kanta... 10
Sisältö I Banachin avaruudet 5 1 Lineaarialgebraa 7 1.1 Vektoriavaruus................................. 7 1.2 Lineaarikuvaus................................. 8 1.3 Zornin lemma ja Hamelin kanta........................
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotHelsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Luennot, kevät 2006 ja kevät Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v.
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Helsingin Yliopisto, Matematiikan ja tilastotieteen laitos Luennot, kevät 2006 ja kevät 2008 Kari Astala ja Petteri Piiroinen (v. 2006) Hans-Olav Tylli (v. 2008 hienosäätöä)
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 7 1 Metriset avaruudet 9 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori = (,..., ). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotHY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset. I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset I.1. Todista Cauchyn-Schwarzin epäyhtälö kun x, y R. x y x y, Ratkaisu: Tiedetään, että x + ty 2
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotLuento 8: Epälineaarinen optimointi
Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSI 2017
FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
LisätiedotInjektio (1/3) Funktio f on injektio, joss. f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f )
Injektio (1/3) Määritelmä Funktio f on injektio, joss f (x 1 ) = f (x 2 ) x 1 = x 2 x 1, x 2 D(f ) Seurauksia: Jatkuva injektio on siis aina joko aidosti kasvava tai aidosti vähenevä Injektiolla on enintään
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotHilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr
Hilbertin avaruudet, 5op Hilbert spaces, 5 cr Pekka Salmi 26. huhtikuuta 2017 Pekka Salmi Hilbertin avaruudet 26. huhtikuuta 2017 1 / 115 Yleistä Opettaja: Pekka Salmi, MA327 Kontaktiopetus ti 1012 (L),
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotTodennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset
Todennäköisyyslaskenta IIa, syys lokakuu 2019 / Hytönen 3. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Olkoon X satunnaismuuttuja, ja olkoot a R \ {0}, b R ja Y = ax + b. (a) Olkoon X diskreetti ja f sen pistetodennäköisyysfunktio.
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotSelvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x
Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
LisätiedotTasainen suppeneminen ja sen sovellukset
Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset Tuomas Hentunen Matematiikan pro gradu tutkielma Kesäkuu 2014 Tiivistelmä: Tuomas Hentunen, Tasainen suppeneminen ja sen sovellukset (engl. Uniform convergence
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Matriisinormi, häiriöalttius Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Matriisinormi Matriisinormi Matriiseille
Lisätiedot