TYÖ 30. JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS. Tehtävänä on määrittää jään tiheys.



Samankaltaiset tiedostot
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi

2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä

Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1

763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014

Matematiikan tukikurssi

VALTIOTIETEELLINEN TIEDEKUNTA TILASTOTIETEEN VALINTAKOE Ratkaisut ja arvostelu

Matematiikan tukikurssi

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 8: Integraalifunktio ja epäoleellinen integraali

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS

Ristitulo ja skalaarikolmitulo

Matematiikan tukikurssi. Hannu Kivimäki

LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat

L 0 L. (a) Entropian ääriarvo löydetään derivaatan nollakohdasta, dl = al 0 L )

11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS

Viikon aiheet. Pinta-ala

S Fysiikka III (EST), Tentti

θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö

A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.

Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut

II.1. Suppeneminen., kun x > 0. Tavallinen lasku

1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2, ,95

Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO

10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA

Kertymäfunktio. Kertymäfunktio. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 2/2. Kertymäfunktio: Mitä opimme? 1/2. Kertymäfunktio: Esitiedot

missä t on matkaan raosta varjostimelle kuluva aika. Jos suihkun elektronien liikemäärä x- sunnassa on p x,on min y0min 0min

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29

MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?

a = x 0 < x 1 < x 2 < < x n = b f(x) dx = I. lim f(x k ) x k=1

Integraalilaskenta. Määrätty integraali

TYÖNTEKIJÄN ELÄKELAIN MUKAISEN ELÄKEVAKUUTUKSEN YLEISET LASKUPERUSTEET

.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek

Riemannin integraalista

4 Pinta-alasovelluksia

MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille. Peruslaskutoimitukset. Isto Jokinen 2015

Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset

Differentiaali- ja integraalilaskenta 5 op

lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.

Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

Numeerinen integrointi

6 Kertausosa. 6 Kertausosa

****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:

Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.

Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.

LYHYEN MATEMATIIKAN SIMULOITU YO-KOE 2 RATKAISUT

Sinilause ja kosinilause

Kirjallinen teoriakoe

Luku 15. Integraali. Esimerkki Suoraan edellisen luvun derivointikaavojen perusteella on voimassa

Lisää määrätystä integraalista Integraalin arvioimisesta. Osoita: VASTAUS: Osoita: Osoita:

1. Derivaatan Testi. Jos funktio f on jatkuva avoimella välillä ]a, b[ ja x 0 ]a, b[ on kriit. tai singul. piste niin. { f (x) > 0, x ]a, x 0 [

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA

Sähkömagneettinen induktio

Sarjaratkaisun etsiminen Maplella

MS-A010{2,3,4,5} (SCI,ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 7: Integraali ja analyysin peruslause

R4 Harjoitustehtävien ratkaisut

x k 1 Riemannin summien käyttö integraalin approksimointiin ei ole erityisen tehokasta; jatkuvasti derivoituvalle funktiolle f virhe b

Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200

8.4 Gaussin lause Edellä laskettiin vektorikentän v = rf(r) vuo R-säteisen pallon pinnan läpi, tuloksella

Matematiikan tukikurssi

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f, eli missä k on jousen jousivakio. Neliöimällä yllä oleva yhtälö saadaan

5 ( 1 3 )k, c) AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI

Kuva 1. n i n v. (2 p.) b) Laske avaimiesi etäisyys x altaan seinämästä. (4 p.) c) Kuinka paljon lunta voi sulaa enintään Lassen suksien alla?

ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S

S Fysiikka IV (ES) Tentti RATKAISUT. 1,0*10 m. Kineettinen energia saadaan kun tästä vähennetään lepoenergia: 2

sin θ θ θ r 2 sin 2 θ φ 2 = 0.

Vastaa tehtäviin 1-4 ja valitse toinen tehtävistä 5 ja 6. Vastaat siis enintään viiteen tehtävään.

AVOIN MATEMATIIKKA 7 lk. Osio 3: Potensseja ja polynomeja

Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. Viivaintegraali: "Pac- Man" - tulkinta. "Perinteisempi" tulkinta: 1D 3/19/13

Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.

> 1. = lim. ja lisäksi oletetaan, että integraali b

6 Integraalilaskentaa


2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt

CHEM-C2200 Kemiallinen termodynamiikka. Työ 3: Heikon yksiarvoisen hapon happovakion määritys johtokykymenetelmällä. Työohje

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 12, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

Vakioiden variointi kolmannen kertaluvun yhtälölle

Matematiikan perusteet taloustieteilijöille P

Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset

b) (max 3p) Värähtelijän jaksonajan ja taajuuden välinen yhteys on T = 1/ f (++), eli

Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on

4 DETERMINANTTI JA KÄÄNTEISMATRIISI

Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi

Matematiikan tukikurssi

ellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.

On määritettävä puupalikan ja lattian välinen liukukitkakerroin. Sekuntikello, metrimitta ja puupalikka (tai jääkiekko).

4. Määritä oheisen kehän plastinen rajakuorma. Tarkista, ettei myötöehtoa rikota missään. Piirrä tasapainoehdot toteuttava taivutusmomenttijakauma.

Mikrotalousteoria 2, 2008, osa III

Digitaalinen videonkäsittely Harjoitus 5, vastaukset tehtäviin 25-30

2.1 Vaillinaiset yhtälöt

Mika Hirvensalo. Insinöörimatematiikka B 2014

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 9: Integroimismenetelmät

Kognitiivinen mallintaminen I, kevät Harjoitus 1. Joukko-oppia. MMIL, luvut 1-3 Ratkaisuehdotuksia, MP

Tutkimusasetelmien tilastollisista menetelmistä

9 A I N. Alkuperäinen piiri. Nortonin ekvivalentti R T = R N + - U T = I N R N. Théveninin ekvivalentti DEE SÄHKÖTEKNIIKAN PERUSTEET

Transkriptio:

TYÖ 30 JÄÄN TIHEYDEN MÄÄRITYS Tehtävä älineet Tusttietoj Tehtävänä on äärittää jään tiheys Byretti (51010) ti esi 100 l ittlsi (50016) j siihen sopivi jääploj, lkoholi (sopii jäähdytinneste lsol), nlyysivk Adventurer (49950) ti Anlytil plus (49940), pipetti, pinsetit ts Tiheys sdn ssn j tilvuuden osääränä eden tiheyden rvo on noin 1000 kg/ 3 (MAOL s 78,81 j iln tiheys noin 1,9 kg/ 3 (MAOL s 78,81 F1, s 50-5 (44-46) Tiheydet riippuvt läpötilst j korkeudest Suoritusohjeit Byrettiin litetn esi pipetillä etnoli (lsoli) siten, että pint on 40 l:n kohdll Sitten ktkistn sopiv noin 1 jääpl j punnitn v ll 1 g:n trkkuudell Jääpl pudotetn yrettiin Nopeus on tärkeää, jott jääpl ei sul Nestepinnn nousukorkeudest sdn jään tilvuus Jää uppo kokonn etnoliin (lsoliin) Jääpln tilvuus voidn äärittää yös upottll jääpl nopesti ittlsiin, joss on lsoli Tää ei ole niin trkk tilvuuden äärityskeino kuin yrettiittus (1 l 1 3 ) Mittus knntt suoritt usell jääplll, esi viisi kert Jään tiheys lsketn keskirvon Tiheyden soluuttinen virhe lsketn virhekvll (**) Tuloksen iloitetn jään tiheys virherjoineen Mittuspöytäkirj Tulukko 1 Mss (g) Tilvuus ( 3 ) Tiheys (g/ 3 ) Keskirvo: ss Jään tihey s eli (*) tilvuus Jään tiheys

IRHETARKASTELUT: Tiheyden ksiivirheelle voidn joht luseke (tote!, ks liite 1) 1 (**) Lske tiheyden ksiivirhe, jok on yös tiheyden soluuttinen virhe Käytä ssn j tilvuuden rvon jonkin ittuksen rvoj Lsketn tiheyden soluuttinen virhe lusekkeen (**) ukn: TULOS: JÄÄN TIHEYS IRHERAJOINEEN: ± ( ± ) 10 3 kg/ 3 ert tulostsi tulukon rvoon (MAOL s 77) Tulukon rvo: jään tiheys Pohdi virhelähteitä Mitkä seikt iheuttivt tulokseen virhettä?

Tehtävä 1 Jääkpple, jonk tilvuus on, kelluu vedessä Jään tiheys on 0,9 g/ 3 j veden 1,0 g/ 3 Kuink ont prosentti jääkppleest on veden pinnn yläpuolell? Tehtävä Miksi järvet jäätyvät vin pinnlt eikä pohjst?

Liite 1 Tuloksen virheen äärittäinen virheen ksutuissääntöjen vull; tulos virherjoineen: ± TULOKSEN IRHE OIDAAN MONISSA TAPAUKSISSA LASKEA SEURAAIEN YKSINKERTAISTEN, IRHEEN KASAUTUMISTA KUAAIEN SÄÄNTÖJEN AULLA: (1) - () (3) (4) n n (5) Eksponentti n säännössä 5 voi oll negtiivinen ti urtoluku, joten sääntöä 5 voi sovelt yös juurilusekkeiden käsittelyyn Säännöt 1 5 perustuvt ns kokonisdierentiliin Kolen uuttujn x, y, z tpuksess kokonisdierentili nt säännön: δ δ δ x y z (6) δx δy δz Säännöissä 1 6 esiintyvät itseisrvoerkit voidn jättää pois niistä tereistä, jotk tiedetään positiivisiksi Tällöin virheen tulkitn edustvn virheen itseisrvo Yksiköiden sijoittinen ei ole trpeen, kosk ne supistuisivt välittöästi pois Kun uist, että virheen rvioinnill pyritään selvittäään virheen suuruusluokk, nuerosijoituksiss voi pyöristää suureiden rvoj Asoluuttinen virhe sdn kertoll ittustuloksen perusteell lskettu rvo (yleensä keskirvo) suhteellisell virheellä irhetrkstelu on ohjeiss sekä esi seurvss kirjllisuudess: - Arinen-Mäkelä-Mäkinen-Puhkk-ierinen: Fysiikn lortoriotyöt, Tertekniikk pinos, 1999 s 9-1 - Luo-Rhkonen-Tuovinen: Kokeellinen ysiikk s 14-15, - Hirvinen-Suvilinn-irtnen: Fysiikn töitä, MAOL, Ky 1983 s 13-14, - Mäki-ljkk-ulli: Fysiikn työt I os I, TTKK 1999 s 9-33) (Suorkulisen säriön tilvuuden virheelle on johdettu jo iein (ks työ 1) luseke:, issä, j ovt särien pituudet

Suorkulisen säriön tilvuus 1 irheen ksutuissäännön 3 ukn sdn: 1 1 Terien olless positiivisi voidn itseisrvoerkit jättää pois Kerrotn yhtälön olet puolet tilvuudell 1 ; 1, jolloin sdn: 1 j supistll sdn edelleen: 1 Tiheyden ksiivirhekvn johtinen TAPA I: irheen ksutuissääntöjen vull Tiheys irheen ksutuissäännön 4 vull sdn: Sijoitetn lusekkeet j yhtälöön: Tällöin sdn: j edelleen sijoittll sdn;, jost seur Kerrotn nyt ko yhtälön olet puolet :llä, jolloin seur:, jos sdn j lopuksi sdn tiheyden virhekv 1

TAPA II irhervio voidn lske kokonisdierentilin ti logritisen derivoinnin vull Tiheyden ksiivirhekvn johtinen Kokonisdierentilin vull Tiheys (ks Luo-Rhkonen-Tuovinen: Kokeellinen ysiikk s 14-15, Hirvinen-Suvilinn-irtnen: Fysiikn töitä, MAOL, Ky 1983 s 13-14, Mäki-ljkk-ulli: Fysiikn työt I os I, TTKK 1999 s 9-33) Tiheyden ksiivirheelle sdn osittisderivoinnill j direntioill: δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ 1, jost edelleen sdn ksiivirheen luseke: 1 TAPA III Jos yhtälössä on vin kerto- j jkolskuj sekä potenssiinkorotuksi, virhekvn johto yksinkertistuu käyttäällä logritist derivointi stv tiheyden ksiivirheen tulos voidn joht yös seurvsti: Otetn oleist puolist logriti, jolloin sdn: ln ln J edelleen: ln ln - ln Derivoill yhtälön olet puolet j lskell yhteen terien itseisrvot sdn tiheyden suhteelliselle ksiivirheelle yhtälö: 1