Suprajohtavuuden sovellukset Petriina Paturi 13. marraskuuta 2003 1
Petriina Paturi - Turun yliopisto 2 Sisältö 1 Tavoite 3 2 Suprajohtavuuden perusteet 3 2.1 Kvasistaattiset approksimaatiot.................... 6 2.2 Londonin ensimmäinen yhtälö.................... 9 2.3 Londonin toinen yhtälö........................ 15 2.4 Vuon kvantittuminen......................... 17 2.5 Josephsontunnelointi ja -liitokset................... 20
Petriina Paturi - Turun yliopisto 3 1 Tavoite Tämän kurssin tavoitteena on kertoa opiskelijoille suprajohteiden jo olemassa olevista ja mahdollisesti tulevista sovelluksista. Kurssin alussa kerrataan/opiskellaan suprajohtavuuden perusteet, jotta sovellusten toiminta olisi helpommin ymmärrettävissä. Itse sovellukset on jaettu kolmeen ryhmään, joista ensimmäiseen kuuluvat yksinkertaiset sovellukset, joiden ymmärtämiseen ei tarvita kuin yhtä suprajohteiden ominaisuuksista. Kaksi muuta ryhmää ovat tehosovellukset ja elektroniikan sovellukset, jotka molemmat ovat kaiken aikaa hurjan kehityksen alla. Niinpä kurssimonisteen loppupuolella on linkkejä erilaisten yritysten ja yliopistojen sivuille, joista suprajohteiden sovelluksista saa lisää ajankohtaista tietoa. Slide 1 Tämä kurssi perustuu pääasiassa kahteen kirjaan (SLIDE 2) sekä lukuisaan määrään tieteellisiä julkaisuja, henkilökohtaisia keskusteluja ja WWW-sivuja. Edellä mainittujen kirjojen ostaminen ei ole välttämätöntä (eikä jälkimmäisen varmaan kannattavaakaan sen hinnan takia) kurssin suorittamiseksi. 2 Suprajohtavuuden perusteet Suprajohtavuus ilmiönä löydettiin 1911 kun Heike Kamerlingh Onnes tutki elohopean jäännösresistanssia. Siihen aikaan uskottiin, että metallien resistanssi kasvaisi absoluuttista nollapistettä lähestyttäessä. Kuitenkin kun elohopean lämpötila oli laskenut 4.2 K:iin sen resistanssi yhtäkkiä putosi mittaustarkkuuden rajoissa nollaan. Koetta toistettaessa näin tapahtui yhä uudestaan. Selitystä ilmiölle jouduttiinkin sitten odottamaan aina 1950-luvulle asti. 1933 Meissner ja Ochsenfeld löysivät
Petriina Paturi - Turun yliopisto 4 Slide 2 Foundations of Applied Superconductivity by Terry P. Orlando ja Kevin A. Delin, Addison-Wesley Publishing Company, Inc., 1991. Handbook of Applied Superconductivity vol. 1 & 2, edited by Bernd Seeber, Institute of Physics Publishing, 1998, suprajohtavuuden toisen merkittävän ominaisuuden: suprajohde sulkee magneettikentän sisältään. Myöhemmin tämä osoittautui olevan hedelmällisempi lähestymistapa suprajohtavuuden teoriaan kuin nolla resistanssi. Ensimmäinen teoria suprajohtavuudesta oli Meissnerin ilmiön fenomenologisesti selittävä Londonien teoria. 1950 Ginzburg ja Landau esittivät semi-fenomenologisen teoriansa, jota yhä käytetään monien suprajohtavuudesta aiheutuvien ilmiöiden selittämiseen. Mikroskooppinen teoria suprajohtavuudesta saatiin vuonna 1957, kun Bardeen, Cooper ja Schrieffer julkaisivat oman BCS-teoriansa. Tämä teoria selittää hyvin matalien lämpötilojen suprajohteiden ominaisuudet ja suurimman osan myös korkean lämpötilan suprajohteiden ominaisuuksista, tosin ei aivan kaikkea. Alkuaineista 26 on suprajohtavia normaalipaineessa, ja lisäksi 10 muuta korkeassa paineessa tai ohuina filmeinä (SLIDE 3). Korkein kriittinen lämpötila on niobiumilla ( = 9.25 K). Ensimmäinen suprajohde pumpatun vedyn lämpötilaalueella, NbN, löydettiin 1941, sen kriittinen lämpötila on 15 K. Myöhemmin todettiin, että monilla muilla AB ja A B rakenteisilla yhdisteillä on myös suprajohdetransitio 30 K alapuolella. Myös joidenkin orgaanisten aineiden on todettu olevan suprajohteita, tosin vain kun 10 K. Kun Bednorz ja Müller vuonna 1986 huomasivat La Ba CuO :n muuttuvan suprajohtavaksi 35 K:ssä, alkoi korkean lämpötilan suprajohteiden kausi. Seuraavana vuonna Wu et al. löysivät 92 K:ssä suprajohtavaksi muuttuvan YBa Cu O. Näin suprajohtavan tilan saavuttamiseen voitiin käyttää halpaa nestemäistä typpeä. Samasta rakenneperheestä löytyi myöhemmin muitakin korkean lämpötilan suprajohteita: Bi Sr Ca Cu O (BSCCO-2223,! #" 110 K), Tl Ba Ca Cu O ( $" 125 K) ja tämänhetkisen ennätyksen haltija HgBa Ca Cu O%&, jonka #" 135 K ja voimakkaan paineen alla ' $" 164 K.
T c (K) 180 160 140 120 100 80 60 40 20 Slide 4 Kriittisen lämpötilan kehitys 164 K (under pressure) 1993 HgBaCaCuO 135 K 1993 HgBaCaCuO 125 K 1988 Tl 2 Sr 2 Ba 2 Cu 2 O 9 110 K 1987 Bi 2 Sr 2 CaCu 2 O 9 92 K 1986 YBa 2 Cu 3 O 7 35 K 1986 LaBaCuO 23 K 4 4.2 K 1973 Nb 3 Ge 1911 Hg 0 1900 1920 1940 1960 1980 2000 2020 2040 Vuosiluku Slide 3 Petriina Paturi - Turun yliopisto 5
Petriina Paturi - Turun yliopisto 6 Slide 5 Critical Current Density, A/mm² 100,000 10,000 1,000 100 Advancing Critical Currents in Superconductors 2223 YBCO 222 2212 YBCO 75 K H c NbTi At 4.2 K Unless Otherwise Stated 1.8 K Nb-Ti Nb 3Sn 0 5 10 15 20 25 Applied Field, T 1.8 K Nb-Ti-Ta YBCO 75 K H a-b Nb 3Al 2212 PbSnMo 6S 8 Nb 3Sn University of Wisconsin-Madison Applied Superconductivity Center September 9th 1999 - Compiled by Peter J. Lee jcprog5_white99e.ppt ppt,, jcprog5_99c.xls Nb-Ti: Nb-Ti/Nb (21/6) 390 nm multilayer '95 (5 ), 50 µ V/cm - McCambridge et al. (Yale) Nb-Ti: Nb-Ti/Ti (19/5) 370 nm multilayer '95 (0 ), 50 µ V/ cm - N. Rizzo et al. LTSC'96 (Yale) Nb-Ti: APC strand Nb-47wt.%Ti with 24vol.%Nb pins (24nm nominal diam.) - Heussner et al. (UW-ASC) Nb-Ti: Aligned ribbbons, B ribbons, Cooley et al. (UW-ASC) Nb-Ti: Best Heat Treated UW Mono-Filament. (Li and Larbalestier, '87) Nb-Ti: Example of Best Industrial Scale Heat Treated Composites ~1990 (compilation) Nb-Ti(Fe): 1.9 K, Full-scale multifilamentary billet for FNAL/LHC (OS-STG) ASC'98 Nb-Ti: Nb-47wt%Ti, 1.8 K, Lee, Naus and Larbalestier (UW-ASC'96) ICMC-CEC1997. Nb-44wt.%Ti-15wt.%Ta: at 1.8 K, monofil. optimized for high field, unpub. Lee, Naus and Larbalestier (UW-ASC'96) Nb 3 Sn: Internal Sn High J c design CRe1912, OI-STG, - Zhang et al. ASC'98 Paper MAA-06 Nb 3Sn: Internal Sn High J c design ORe0038, OI-STG, - Zhang et al. ASC'98 Paper MAA-06 Nb 3Sn: Internal Sn, ITER type low hysteresis loss design - (IGC - Gregory et al.) [Non-Cu J c] Nb 3Sn: Bronze route int. stab. -VAC-HP, non-(cu+ta) J c, - Thoner et al., Erice '96. Nb 3Sn: SMI-PIT, non-cu J c, 10 µv/m, 36 fil., 0.8 mm dia. (42.6% Cu), - U-Twente & NHFML data provided April 29th 1999 by SMI. Nb 3Sn: Tape from (Nb,Ta) 6Sn 5+Nb-4at.%Ta powder, [Core J c, core ~25 % of non-cu area] Tachikawa et al. (Tokai U.), ICMC-CEC '99 Nb 3Al: 84 Fil. RHQT Nb/Al-Mg(0.6 µm), - Iijima et al. NRIM ASC'98 Paper MVC-04 Nb 3 Al: 84 Fil. RHQT Nb/Al-Ge(1.5 µm), - Iijima et al. NRIM ASC'98 Paper MVC-04 Nb 3Al: Nb stabilized 2-stage JR process (Hitachi,TML-NRIM, IMR-TU), Fukoda et al. ICMC/ICEC '96 Nb 3Al: Transformed rod-in-tube Nb 3Al (Hitachi,TML-NRIM), Nb Stabilized - non-nb J c, APL, vol. 71(1), p.122, 1997 YBCO: /Ni/YSZ ~1 µm thick microbridge, H c 4 K, - Foltyn et al. (LANL) '96 YBCO: /Ni/YSZ ~1 µm thick microbridge, H ab 75 K, - Foltyn et al. (LANL) '96 YBCO: /Ni/YSZ ~1 µm thick microbridge, H c 75 K, - Foltyn et al. (LANL) '96 Bi-2212: 3-layer tape (0.15-0.2 mm 4.0-4.8 mm) B tape at 4.2 K face - Kitaguchi et al,`iss'98, 1 µv/cm Bi-2212: paste, B tape, 4.2 K - Hasegawa et al. (Showa) IWS'95 Bi-2212: stack, B tape, 4.2 K - Hasegawa et al. (Showa) IWS'95 Bi-2212: 19 filament tape B tape face - Okada et al (Hitachi) '95 Bi-2212: Round multifilament strand - 4.2 K - (IGC) Motowidlo et al. ISTEC/MRS '95 Bi-2223: multi, B tape, 4.2 K - Hasegawa et al. (Showa) IWS'95 Bi 2223: Rolled 85 Fil., Tape, B, - (AmSC) UW'6/96 Bi 2223: Rolled 85 Fil. Tape, B, - (AmSC), UW'6/96 PbSnMo 6S 8 (Chevrel Phase): Wire with 20%SC in 14 turn coil, - (Univ. Geneva/HFML&RIM - NL/U-Rennes), 97 2.1 Kvasistaattiset approksimaatiot Vaikka suprajohteiden tunnetuin ominaisuus on nolla resistanssi, ei niiden resistanssi ole nolla kuin tasavirralla. Heti kun aineessa olevia elektronien liikkeensuuntaa joudutaan kääntämään, kuluu siihen energiaa, joka ilmenee vastuksena. Tarkastellaan Maxwellin yhtälöitä (SLIDE 6). Ensimmäinen eli Faradayn laki kertoo, että muuttuva magneettivuon tiheys synnyttää sähkökentän. Toinen eli Ampèren laki kertoo, että magneettikentän luovat virta ( ja ajassa muuttuva sähkökenttä ). Kolmas ja neljäs ovat Gaussin sähköinen ja magneettinen lait, jotka kertovat, että sähkökentällä on lähde ja se on varaus ja että magneettikenttä on lähteetön. Vapaan varauksen säilymisen laki on johdettavissa ottamalla Ampèren laista (2) divergenssi ja sijoittamalla se Gaussin sähköiseen lakiin (3). Jos oletetaan, että aine on homogeenistä (ominaisuudet eivät vaihtele paikasta toiseen), isotrooppista (ominaisuudet eivät ole riippuvaisia suunnasta), lineaarisia (ominaisuudet eivät riipu kentänvoimakkuudesta), paikallisia (ominaisuudet riippuvat vain kyseissä paikassa olevista kentistä) ja aikainvariatteja (ominaisuudet eivät muutu ajan mukana), voidaan kirjoittaa SLIDE 7:n mukaiset yhtälöt. Koska mahdollisuus dispersiivisyyteen (ominaisuudet riippuvat taajuudesta) jätettiin auki, nämä yhtälöt ovat hyvin yleispäteviä. Rajoitukset ominaisuuksiin mahdollistavat Maxwellin lakien lineaarisuuden hyväksikäytön, mikä mahdollistaa superposition. Näin ollen riittää, että tarkastellaan aineen käyttäytymistä taajuudeen funktiona. Jos systeemiä ajetaan satunnaisella signaalilla, voidaan aina käyttää Fourier-analyysiä varsinaisen vasteen selvittämiseen. Käyttämällä SLIDE 7 ja SLIDE 6:n yhtälöitä saadaan aaltoyhtälö, jossa on toisen asteen derivaatat sekä ajan että avaruuden suhteen. Periaatteessa tästä voidaan laskea aineen ominaisuudet, mutta käytännössä se on usein mahdotonta tai aina-
) 2 ( = : = = 5 7 ( 5 Petriina Paturi - Turun yliopisto 7 Maxwellin yhtälöt Slide 6 *,+.- /1032 045 *,+.6 *98 04 *98 " (1) (2) (3) (4) ja näista johdettavissa vapaan varauksen säilymisen laki *98 7 0 04 " (5) Slide 7 2 <; )@<; 5>= 5>= "? " A - 6 <; <; 5>= 5>= (6) (7) (8) ja Ohmin laki (B<; 5>= "DC - <; 5>= (9)
= S 5 Petriina Paturi - Turun yliopisto 8 kin hyvin työlästä. Onneksi suurimmassa osassa vastaantulevista ongelmista energia varastoituu joko magneettiseen tai sähköiseen muotoon ja yhtälöitä voidaan yksinkertaistaa huomattavasti. Siis tunnistamalla se energiamuoto, johon energia pääasiassa varastoituu, ja yksinkertaistamalla yhtälöitä sen mukaisesti, muuttuvat ongelmat ratkaistaviksi. Tämä on kvasistatiikan perusta. Seuraavaksi täytyy siis löytää se taajuusalue, jossa kvasistatiikka on voimassa. Tiedämme, että vapaasti kulkevassa sähkömagneettisessa aallossa energiaa on varastoitunut yhtä paljon sekö magneettiseen että sähköiseen muotoon. Vastaavasti, jos EM-aaltoa ei synny on energia varastoinut pääasiassa jompaan kumpaan muotoon. Tämä voi tapahtua, jos EM-aallonpituus on paljon pidempi kuin systeemin "JILKNM dimensiot. SLIDE 8:ssa EGF H on elektromagneettinen kytkeytymisaika ja I on systeemin dimensioita kuvaava mitta. Slide 8 Jos systeemin dimensiot ovat paljon pienemmät kuin siihen vaikuttavan sähkömagneettisen kentän aallonpituus, on sähköisen ja magneettisen kentän kytkentä heikko ja kvasistaattinen approksimaatio on voimassa. Eli kvantitatiivisemmin ERFQH I O P O FQH (10) (11) Kvasistaattinen approksimaatio saattaa aluksi näyttää oudolta, mutta se ei poikkea mitenkään yksinkertaisten RLC-piirien käsittelystä. Emme koskaan oleta RLCpiirin elementin varaavan energiaa sekä sähköisessä, että magneettisessa muodossa, vaikka ne niin oikeasti tekevätkin. Tarkastellaan SLIDE 9 mukaista systeemiä. Oletetaan aluksi, että johdinten välissä oleva aine on häviöllinen ja dielektrinen. Kuten tiedämme sellainen materiaali on eriste ja sen läpi on vaikea saada kulkemaan suurta virtaa. Intuitiivisesti tiedämme, että energia varastoituu sähköiseen muotoon, koska systeemi muistuttaa kondensaattoria. Siispä sähkökenttä dominoi ja kyseessä on elektrokvasistaattinen systeemi (EQS). Koska magneettikenttä on heikosti kytkeytynyt systeemiin, se ei vaikuta oleellisesti sähkökentän muodostumiseen, joten saamme SLIDE 10 mukaisen Faradayn lain ja yhtälön sähkökentän muutokselle. Nämä yhtälöt sisältävät vain ensimmäisen asteen derivaattoja ja ovat huomattavasti helpompia ratkaista kuin täy-
Petriina Paturi - Turun yliopisto 9 Slide 9 i + v - UVUVUVUVUVUVUVUV UTUTUTUTUTUTUTUT UTUTUTUTUTUTUTUT UTUTUTUTUTUTUTUT UVUVUVUVUVUVUVUV UVUVUVUVUVUVUVUV UVUVUVUVUVUVUVUV µ,ε,σ ο UTUTUTUTUTUTUTUT UVUVUVUVUVUVUVUV UTUTUTUTUTUTUTUT UVUVUVUVUVUVUVUV w d h delliset Maxwellin yhtälöt. Koko aikaisempi analyysi perustui siihen, että johtimien välissä oleva aine on eriste, jossa energia varastoitui sähköiseen muotoon. Jos kyseessä olisikin ohminen johde, jossa virta pääsee kulkemaan suhteellisen vapaasti, energia varastoituisi pääasiassa magneettiseen muotoon. Tällöin on kyse magnetokvasistatiikasta (MQS). Tutkitaan tämän vaihtoehtoisen tapauksen vaikutusta Maxwellin lakeihin (SLIDE 11). Näitä voi verrata tavallisen RLC-piirin analyysiin. Koska suprajohteissa virrat kulkevat erittäin vapaasti, keskitytään jatkossa vain MQS-approksimaatioon. Käytettäessä MQS-approksimaatiota on tärkeää laskea ensin magneettikentät ja vasta sitten niiden indusoimat sähkökentät Faradayn laista 1. SLIDE 11:n mukaiset yhtälöt kuvaavat kenttiä ja virtoja bulkkimateriaalissa, mutta usein tarvitaan myös reunaehtoja. Täydellisistä Maxwellin yhtälöistä saadaan johdettua SLIDE 12:n mukaiset reunaehtoja kuvaavat yhtälöt, missä W on pintavirta ja X on yksikkövektori, joka osoittaa alueesta 1 alueeseen 2. Nämä yhtälöt kertovat meille, että reunan suuntaisen magneettikentän voimakkuuden eron eri puolilla pintaa aiheuttaa paikallinen pintavirta, ja että reunan yli kohtisuoraan virran ja magneettikentän tiheys pysyy vakiona. Luennolla tähän väliin lasketaan pari esimerkkiä, be there. 2.2 Londonin ensimmäinen yhtälö Edellisessä kohdassa näimme, miten hyvää sähkönjohdetta approksimoitiin kuvittelemalla se täydelliseksi, jossa sähkökenttään ei varastoidu lainkaan energiaa. Suprajohteita käsiteltäessä haluaisimme tietenkin mallin, joka kuvaa oikeasti täydellistä johdetta, mutta SLIDE 13.
Z Z Z A C A C [ Petriina Paturi - Turun yliopisto 10 EQS *,+Y- (12) Slide 10 Käyttäen Maxwellin lakeja saadaan S 7 0 04N[ *98L- " (13) ja S 7 0 04\[ :]" (14) MQS Slide 11 *,+^6 ( (15) *98 ( (16) Käyttäen Maxwellin lakeja saadaan jälleen?c 0 04 / * 6 " (17)
X X + X 8 8-2 ( Petriina Paturi - Turun yliopisto 11 Slide 12 MQS reunaehdot 6^_ / 6a` " _ / 2 _ / ( ` " ` " W (18) (19) (20) (21) Slide 13 Rajoitus Ei ole oikein kuvata täydellistä johdetta aineena, joka "bc toteuttaa Ohmin lain ( kun C dc.
p 7 m Š m y y + = 2 5 5 - Petriina Paturi - Turun yliopisto 12 Tarvitsemme siis uuden tavan lähestyä asiaa. Käytämme Druden mallia kiinteille aineille. Siinä oletetaan, että elektronit ovat pieniä kiinteitä palloja, jotka liikkuvat paikallisen sähkökentän vaikutuksesta. Lisäksi elektronien keskinäiset vuorovaikutukset jätetään tarkoituksella pois. Kun kirjoitetaan tällaisten otusten liikeyhtälö saadaan SLIDE 14, jossa ELegf on siroamisaika, eli aika joka kuluu kahden törmäyksen välillä. Tässä ELegf on puhtaasti kokeellinen parametri, jonka arvo saadaan epäsuorasti kokeista. Esimerkin omaisesti yhtälöstä (27) voidaan laskea siroamisaika kuparille, jonka johtavuus huoneenlämpötilassa C "ih j + S k S/m ja varauksen kuljettajien tiheys suurinpiirtein j h + S >% kpl/m. Tästä saadaan siroamisajalle Elegf "DmnC K\o p " sr + S Uq ẗu O vs s ja voidaan todeta, että ELegf niinkin korkeilla taajuuksilla kuin 1 THz. Eli kuparin johtavuus on lähes = riippumaton taajuudesta. Slide 14 jossa 7 w 4 Druden malli mxwy "bz {&} zu~ l z { } " p zu~ l " / Edellä olevista saadaan m w y w 4-7 Elegf Elegf joka antaa sinimuotoiselle syötölle " ˆ E&egf m y S S 7a "bp - Elegf > Œ Dƒ (22) (23) (24) (25) (26) Soveltamalla edellä laskettua taajuusriippuvaista Ohmin lakia täydelliseen johteeseen, tehdään muutos ELegf c Ž. Systeemiä voidaan verrata RL-piiriin, jossa vastus poistetaan ja jäljelle jää vain ideaalinen kela. Ratkaistaksemme ongelmia täydellisessä johteessa oikein, meidän täytyy käyttää SLIDE 15:n Ohmin lakia ja johtaa näin uudet MQS yhtälöt. Samoin kuin aiemminkin saadaan SLIDE 17. Kun näitä sovelletaan äärellisen paksuiseen äärettömään levyyn (SLIDE 18), joka on ac-magneettikentässä, saadaan SLIDE 19 mukainen magneettikentän jakauma. Valitettavasti suprajohdetta ei voida kuvata täydellisenä johteena. Tämä huomataan seuraavasta ajatuskokeesta (SLIDE 20). Jos pallo, joka on tehty täydellisestä johteesta, jäähdytetään ilman kenttää kriittisen lämpötilan alapuolella, ja sen jälkeen kytketään magneettikenttä päälle, se sulkee magneettikentän sisältään. Näin toimii myös suprajohde. Ero tulee kun pallo jäähdytetään kentässä: täydellinen johde säilyttää kentän sisällään ja suprajohde sulkee sen ulos SLIDE 21. Tämä on
( " m [ = 5 = Petriina Paturi - Turun yliopisto 13 Ensimmäinen Londonin yhtälö Slide 15 Olettaen, että kaikki varauksenkuljettajat käyttäytyvät samoin "bo p saadaan ( y ja edelleen taajuusriippuvainen Ohmin laki Z o p Elegf S S 7 Elegf - "DC S S 7@ Sijoittamalla tähän ELegf c Ž ja olettamalla sinimuotoinen ( saadaan missä "bm lk\ot - " 0 < #( 04 p. Elegf - (27) (28) Slide 16 Täydellisen johteen yli syntyy jännite, jos sitä ajetaan AC virralla.
ˆ? Š Petriina Paturi - Turun yliopisto 14 Slide 17 MQS yhtälöt täydelliselle johteelle *,+ *,+^6 "9/ * 6 " *,+ / * 0 0 4 6 " ( (29) (30) Slide 18 H app z y x 2a ε,µ,λ o
c Petriina Paturi - Turun yliopisto 15 Täydellinen johde magneettikentässä (a) H z Slide 19 -a a y -a a y H z J x J x (b) -a a y -a a y Meissnerin ilmiö. 2.3 Londonin toinen yhtälö Kuten edellä todettiin suprajohde ei käyttäydy kuin täydellinen johde, vaan kuin täydellinen diamagneetti, joka sulkee kentän sisältään. Tämä tulee esiin, kun suprajohde jäähdytetään magneettikentässä kriittisen lämpötilansa alapuolelle. Tarkastellaan uudelleen ääretöntä levyä magneettikentässä (SLIDE 18). Aiemmin tulimme tulokseen, että tällaisen levyn sisällä oleva vuo riippuu alkutilanteesta. Kun oletamme, että alussa vuo levyn sisällä on nolla, saamme SLIDE 19:n mukaisen jakauman. On huomattava, että koska yhtälön (30) ei riipu taajuudesta, vuon jakauma levyn sisällä ei riipu taajuudesta. 2 oskilloi nopeammin tai hitaammin levyn sisällä, mutta se avaruudellinen jakauma ei muutu. Siispä voimme laskea taajuutta mielivaltaisesti ja jakauma ei muutu, myös. Mutta on huomattava, että kun c yhtälö (30) on identtisesti tosi, ja kuitenkin = tiedämme, että jakauma näytteessä = on edelleen sama. Huomaamme siis, että staattinen kenttä noudattaa yhtälöä (31). Tietysti vuon jakauma, joka noudattaa tätä yhtälöä, toteuttaa myös (30):n. Jos määrittelemme (31):n pätevän kaikilla taajuuksilla, otamme huomioon suprajohteen diamagneettisen käytöksen. Tämä yhtälö ei ole johdettavissa Maxwellin laeista tai aiemmista yhtälöistä kuten Londonin ensimmäinen yhtälö oli. Itse asiassa toinen Londonin yhtälö vain takaa sen, että integrointivakio (30):ssä on aina nolla. Londonin toinen yhtälö on konsistentti Meissnerin ilmiön kanssa, ja sitä voidaan käyttää kuvaamaan suprajohteen käytöstä. Tässä välissä jälleen esimerkkejä.
Petriina Paturi - Turun yliopisto 16 Jäähdytys ilman kenttää Jäähdytys kentässä Täydellinen johde Suprajohde Suprajohde Täydellinen johde T > T c T > T c Slide 20 T < T c T < T c Slide 21 Täydellinen johde on vuon säilyttävä aine Suprajohde on vuota hylkivä aine
Z [ 2 2 5 Petriina Paturi - Turun yliopisto 17 Slide 22 Londonin toinen yhtälö S / * P " KN? missä P". Gaussin ja Ampèren lakeja käyttämällä saamme Londonin toisen yhtälön *,+ < #( "9/ (31) (32) 2.4 Vuon kvantittuminen Ajatellaan suprajohtavaa onttoa sylinteriä SLIDE 23. Jos kenttä pistetään päälle kun sylinteri on jo suprajohtavassa tilassa, suprajohde indusoi suojausvirran ulkoreunalleen ja vuo ei pääse tunkeutumaan reikään ja tulos on yläkuvan mukainen. Jos taas kenttä on jo päällä sylinteriä jäähdytettäessä, indusoituu virta sekä ulko- että sisäreunalle ja tulos on keskimmäisen kuvan mukainen. Jos nyt poistetaan ulkoinen kenttä, jää sylinterin läpäisevä vuo ennalleen ja näin vuo on pysyvästi jumiintunut. Koska tällainen varastoitunut vuo voidaan mitata hyvin tarkasti sitä tuhoamatta, on tehty kokeita, joissa vuo on varastoitu vuosiksi ilman, että siinä on huomattu mitään vähenemistä. Näillä kokeilla on siis voitu todeta tarkemmin kuin millään resistanssin mittauksella, että suprajohteen DC resistanssi on nolla. Edellä huomasimme, että suprajohderenkaan sisälle voidaan varastoida magneettivuo. Voiko tämä vuo olla mielivaltaisen pieni? Vastaus on ei, mutta sen ymmärtämiseksi joudumme käsittelemään nopeasti suprajohtavuuden kvanttimekaanisia ominaisuuksia. (Joudumme perehtymään tähän nyt, jotta myöhemmin ymmärtäisimme Josephson-liitoksia käyttäviä sovelluksia). Tarkastelemme Ginzburg- Landau teoriaa SLIDE 24. Vuon kvantittumista SLIDE 25,SLIDE 26 voidaan tutkia kokeellisesti, ja näin varmistua teorian paikkansa pitävyydestä. SLIDE 27:ssa nähdään tulokset Deaverin ja Fairbankin 1961 tekemästä kokeesta, jossa jäähdytettiin suprajohtavaa onttoa sylinteriä eri ulkoisissa kentissä ja mitattiin sen sisälle jumiutunut vuo. Kuten kuvasta huomataan, vuo kasvoi porrasmaisesti ja vielä siten, että portaan korkeus vastasi varauksenkuljettajan varausta qnƒ, mikä vahvisti edelleen BCS-teorian mukaisen oletuksen elektronipareista. Vuon kvantittuminen jakaa suprajohdemateriaalit kahteen luokkaan. Tyypin I
5 4 5 4 5 Petriina Paturi - Turun yliopisto 18 Tulos Slide 23 Jäähdytys ilman kenttää Ulkoinen Indusoitu Tulos Jäähdytys kentässä Ulkoinen Indusoitu Indusoitu London II Ampère Vuon varastoiminen T < T c H = 0 app T > T T < T c c H = 0 H = 0 app app Ginzburg-Landau teoria Slide 24 On olemassa makroskooppinen kvanttiaaltofunktio tai järjestysparametri <; " <; lšœ joka kuvaa kaikkien supraelektronien käytöstä suprajohteessa. Tässä <; "bo on supraelektronien tiheys ja on järjestysparametrin vaihe. (33)
ƒ " 8 " " " Z * * * " / o q * 8 8 8 [ [ 8 Petriina Paturi - Turun yliopisto 19 Vuon kvantittuminen Slide 25 Virtatiheys voidaan kirjoittaa ( ž " p Ÿ p m Z m * / p p m (34) (35) Slide 26 Ajatellaan suprajohderengasta magneettikentässä. Renkaan " sisällä ( ž. Käyttämällä tätä ja Stokesin teoreemaa saadaan m o d ( ž ² w«ª " ² " qnƒ qnƒ qnƒ q\³ w«ª w«ª / qnƒ w ª (36) / qnƒ 2 w ± (37) w«ª (38) µ 8 S Q # K\¹ (39) (40) (41)
Petriina Paturi - Turun yliopisto 20 Slide 27 on energeettisesti helpompaa minimoida suprajohtavan ja normaalin materiaalin rajapinta, kun taas tyypille II on helpompaa maksimoida ko. rajapinta. Tästä seuraa, että tyypillä II esiintyy ns. sekatila ensimmäisen kriittisen kentän yläpuolella, jossa sen sisällä on normaaleja alueita, joita läpäisee yksi vuokvantti. Näitä kutsutaan /» vortekseiksi. Tämä ero aiheuttaa luonnollisesti eron myös º -diagrammiin SLI- DE 28. 2.5 Josephsontunnelointi ja -liitokset Jaan tästä materiaalia luennolla (luku 8 Basic Josephson junctions).
Petriina Paturi - Turun yliopisto 21 Slide 28