c Pekk Alestlo 214 1 Tso- j vruuskäyrät Tässä luvuss tutustutn tso- j vruuskäyriin, niiden krenpituuteen j krevuuteen. Lopuksi käsitellään sklri- j vektorikenttien viivintegrlej. Tähdellä merkityt kohdt kuuluvt (kurssist riippuen) oheislukemistoon. Huom: Luennoll lsketn lisää esimerkkejä j piirrellään kuvioit. 1.1 Käyrän prmetrisointi Käyriä esiintyy moniss mtemtiikn sovelluksiss: Tsoss ti vruudess liikkuvn kppleen pikk jn funktion muodost kppleen rtkäyrän; termodynmist kiertoprosessi voidn kuvt umpinisell käyrällä T S-koordintistoss, ti ideliksun tpuksess V p-koordintistoss. Termodynmiikn I pääsäännön de = T ds p dv vull voidn lske esimerkiksi näiden prosessien hyötysuhteit viivintegrlien vull. Käyrällä trkoitetn joukko R n, jok voidn esittää muodoss = {r(t) t I}, missä I R on väli j funktio r: I R n on jtkuv. Tässä r on käyrän prmetrisointi j I on vstv prmetriväli. Käytännössä voidn jtell, että n = 2 ti n = 3, mutt ei ole välttämätöntä rjoittu näihin tpuksiin. Prmetrisoinnin jtkuvuudell trkoitetn sen koordinttifunktioiden jtkuvuutt, kuten seurvst esimerkistä käy ilmi. Esimerkki 1.1 Jos n = 3, niin kyseessä on vruuskäyrä, jolle r(t) = (x(t), y(t), z(t)) R 3. Tässä x, y, z ovt prmetrisoinnin koordinttifunktioit, j jtkuvuus trkoitt yksinkertisesti sitä, että nämä ovt jtkuvi funktioit jollkin prmetrivälillä I. Prmetrisointi r = r(t) kirjoitetn usein koordinttimuodoss x = x(t) y = y(t) t I z = z(t) j joskus myös vektorimuodoss r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k. Tässä monisteess itse prmetrisoinnit kirjoitetn pääsääntöisesti koordinttimuodoss, kun ts niihin liittyvien tngenttivektorien kohdll on luontev käyttää vektorimuoto. Tpuksess n = 2 kyseessä on tsokäyrä, jolloin yllä z-koordintti jää pois. 1
Usein prmetriväli on suljettu väli [, b]. Jos tällöin r() = r(b), niin kyseessä on umpininen käyrä. Prmetrisointi määrää käyrälle positiivisen suunnn, jolloin r() on käyrän lkupiste j r(b) sen päätepiste. Annetust prmetrisoinnist voidn muodost myös vstkkinen prmetrisointi, joss vstv käyrä pysyy smn, mutt sen kulkusuunt vihtuu. Tällöin myös prmetrisointiin liittyvät lku- j päätepiste vihtvt pikk. Tpuksess r: [, 1] vstkkinen prmetrisointi r sdn helposti kvll r (t) = r(1 t), t [, 1]. Esimerkki 1.2 ) Ellipsi x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 voidn prmetrisoid muodoss { x = cos t y = b sin t, missä t [, 2π]. Tpuksess = b = R sdn R-säteisen origokeskisen ympyrän prmetrisointi. b) Jos f : I R on jtkuv yhden muuttujn funktio, niin sen kuvj {(x, y) x I, y = f(x)} on tsokäyrä, joll on prmetrisointi r(t) = (t, f(t)), t I. c) Pisteiden r = (x, y, z ) j r 1 = (x 1, y 1, z 1 ) välisen yhdysjnn prmetrisointi voidn kirjoitt vektorimuodoss r(t) = r + t(r 1 r ), kun t [, 1]. Tästä sdn myös koordinttimuoto x = x + t(x 1 x ) = (1 t)x + tx 1 y = y + t(y 1 y ) = (1 t)y + ty 1 z = z + t(z 1 z ) = (1 t)z + tz 1. d) Sykloidi on tsokäyrä, jok kuv esim. vierivään renkseen trttuneen kiven rt. Jos renkn säde on j prmetriksi vlitn ik, niin kselin liikettä kuv prmetrisointi x = vt, y =. Kiven pyöriminen kselin suhteen tphtuu vierimisehdon perusteell kulmnopeudell ω = v/ j pyörimissuunt on negtiivinen. Jos vielä jn nollkoht vlitn selliseen hetkeen, kun kivi koskett mt, niin pyörimisliikettä kuv prmetrisointi { x = cos( (vt/ π/2)) = sin(vt/) y = sin( (vt/ π/2)) = cos(vt/). Kiven rt sdn yhdistämällä kselin liike j pyöriminen toisiins, joten sykloidin prmetrisointi on muoto { x = vt sin(vt/) y = (1 cos(vt/)). Mtemttisesti loogisemp on vlit prmetriksi t renkn kiertokulm, jolloin vierimisehdon perusteell v =, j lusekkeet yksinkertistuvt hiukn. 2
Tsokäyrän yhtälö voidn usein ilmist myös implisiittisessä muodoss F (x, y) =, missä F on jokin khden muuttujn luseke. Konkreettisi esimerkkejä ovt funktion kuvj y = f(x), jok voidn määritellä muodoss F (x, y) = y f(x) =, j R-säteinen ympyrä x 2 + y 2 R 2 =. Implisiittisen yhtälön F (x, y) = määräämä tsojoukko voi kuitenkin yleisessä tpuksess oll hyvin erikoinen. Jos nimittäin A R 2 on mikä thns tsojoukko (reunpisteetkin mukn), niin funktio F (x, y) = pisteen (x, y) pienin etäisyys joukost A on jtkuv (myöhemmin trksteltvss mielessä), mutt yhtälö F (x, y) = esittää koko lkuperäistä joukko A. Toinen yllättävä seikk on, ettei edes prmetrisoitu käyrä välttämättä "näytä käyrältä". On esimerkiksi olemss jtkuv funktio r: [, 1] N = [, 1] [, 1], jonk kuvjoukko on koko neliö N sisäpisteineen. Neliö N on siis määritelmän mielessä tsokäyrä (ns. Penon käyrä). Tällisist ongelmist päästään eroon, jos prmetrisoinnilt vditn jtkuvuuden lisäksi derivoituvuus, jot käsitellään seurvss kppleess. 1.2 Käyrän tngentti Trkstelln 3-ulotteist prmetrisointi r, jok on jtkuvsti derivoituv. Tämä trkoitt sitä, että jokisen koordinttifunktion täytyy oll derivoituv j derivtn vielä lisäksi jtkuv. Prmetriväliä [t, t + t] vstv käyrän sekntti on vektori r = r(t + t) r(t). Kun t, niin r kääntyy yhä enemmän käyrän tngentin suuntiseksi, mutt smll sen pituus pienenee kohti noll. Sklmll kertoimell t sdn kuitenkin erotusosmäärää vstv luseke, jost nähdään, että rjrvo r r (t) = lim t t on olemss j se voidn käytännössä lske kvll r (t) = x (t)i + y (t)j + z (t)k. Perustelu: Vektorin r/ t ensimmäinen koordintti x(t + t) x(t) t x (t), kun t, j smoin käy muiss koordinteiss. Tngenttivektorin määritelmästä sdn myös jtkoss hyödyllinen pproksimtio: Kosk r (t) r/ t, niin r r (t) t. Määritelmä 1.3 Jos käyrällä R n on jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r, niin pisteessä r(t) käyrän tngenttivektori on r (t) = x 1(t)e 1 + + x n(t)e n, 3
missä funktiot x i ovt prmetrisoinnin koordinttifunktiot j vektorit e i ovt vruuden R n luonnolliset kntvektorit, ts. e 1 = i jne. Jos prmetri t on ik j r(t) kuv jonkin kppleen rt, niin luseke r on sen siirtymä ikvälillä t. Kppleen keskinopeus on siis r/ t, joten tngenttivektorin fysiklinen tulkint on hetkellinen nopeus v(t) = r (t). Vstv trkstelu voidn sovelt uudelleen prmetrisointiin t v(t), jolloin sdn kppleen hetkellinen kiihtyvyys (t) = v (t) = r (t). Termejä nopeus j kiihtyvyys voidn käyttää kikille prmetrisoinneille, vikkei prmetrill t olisikn konkreettist tulkint ikn. Yllä minittu pproksimtio r r (t) t voidn nyt kirjoitt muodoss r v(t) t, ts. siirtymä on likimäärin sm kuin hetkellinen nopeus kerrottun ikvälin pituudell. Esimerkki 1.4 Sykloidin prmetrisointi (kulmn vull) on muoto { x = (t sin t) jost voidn lske tngenttivektori y = (1 cos t), r (t) = (1 cos t)i + sin tj, j kiihtyvyys (t) = r (t) = sin ti + cos tj. On syytä huomt, että (t) = vkio = tsisen pyörimisliikkeen kiihtyvyys. Sykloidiss esiintyy teräviä kulmi (niissä kohdiss, joiss kivi koskett mt). Miten se on mhdollist, kun kerrn tngentti r (t) on määritelty kikill t? Selitys on siinä, että r (2πn) =. Hetkellinen nopeus on siis näissä pisteissä noll, jolloin käyrän suunt voi muuttu jyrkästi. Pisteet, joiss r (t) = ovt ongelmllisi myös sen vuoksi, ettei nollvektori void pitää oiken tngenttivektorin. Tämän vuoksi setetn seurv määritelmä. Määritelmä 1.5 Käyrän prmetrisointi r on säännöllinen, jos se on jtkuvsti derivoituv (mhdollisi prmetrivälin päätepisteitä lukuunottmtt) j r (t) kikill t. Fysiklisesti prmetrisoinnin säännöllisyys trkoitt sitä, ettei kppleen liikkeessä ole pysähdyksiä. Esimerkki 1.6 Prbelill y = x 2 on prmetrisointi x = t, y = t 2, jok on säännöllinen, sillä r (t) = i + 2tj kikill t. 4
Prmetrisointi ei kuitenkn ole yksikäsitteinen: myös kvt x = t 3, y = t 6, määrittelevät smn prbelin, mutt nyt r (t) = 3t 2 i + 6t 5 j = rvoll t =. Tämä prmetrisointi ei siis ole säännöllinen. Hvitsemme, ettei epäsäännöllinen prmetrisointi välttämättä trkoit käyrässä olevn teräviä kulmi tms. Säännöllisen prmetrisoinnin yhtenä etun on se, että käyrälle voidn määrittää jokiseen pisteeseen yksikkötngenttivektori u(t) = 1 r (t) r (t), jolle siis u(t) = 1 kikill t. Tätä voidn käyttää pun esimerkiksi kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponenttien määrittämiseen seurvll tvll. Trkoituksen on siis kirjoitt kiihtyvyys muodoss = T + N, missä T u j N u. Käytännössä T on kiihtyvyyden vektoriprojektio u vektorin u määräämään suuntn, joten lsketn ensin, j sen vull sdn T = u = ( u)u = (t) r (t) r (t) 2 r (t) N = T. Esimerkki 1.7 Hiukknen liikkuu pitkin Helix-käyrää ("kierrejousi"), joll on prmetrisointi r(t) = (cos t, sin t, t), t R. Määritetään sen kiihtyvyyden tngentti- j normlikomponentit. Nyt r (t) = v(t) = sin ti + cos tj + k j (t) = r (t) = cos ti sin tj, joten T = v sin t cos t sin t cos t v = v 2 sin 2 t + cos 2 t + 1 v =. Kiihtyvyys on siis pelkkää normlikiihtyvyyttä, eli N =. Tutkitn vielä lopuksi trkemmin yksikkötngenttivektori u(t). Kosk u(t) = 1, niin u(t) u(t) = 1 kikill t. Derivoimll tämä yhtälö puolittin prmetrin t suhteen sdn d dt (u(t) u(t)) = d dt 1 =. Tässä d dt (u(t) u(t)) = d dt (u 1(t) 2 + u 2 (t) 2 + u 3 (t) 2 ) = 2u 1 (t)u 1(t) + 2u 2 (t)u 2(t) + 2u 3 (t)u 3(t) = 2u(t) u (t), 5
joten u (t) u(t) kikill t. Jos u (t), niin voidn määritellä n(t) = 1 u (t) u (t), jok on nimeltään käyrän päänormli. Lyhyellä lskull voidn osoitt, että { T = r (t) u(t) N = r (t) u (t) n(t), joten normlikiihtyvyys on in päänormlin suuntinen. Kolmiulotteisess tpuksess yksikkövektorit u(t) j n(t) määräävät sellisen tson, jot käyrä hetkellisesti sivu prhiten. Käyrän kierevyys eli erkneminen ulos tästä tsost tphtuu suuntn u(t) n(t), jok on kohtisuorss vektoreit u(t) j n(t) vstn. Se on myös yksikkövektori j nimeltään käyrän sivunormli. Näiden kolmen yksikkövektorin vull voidn jokiseen käyrän pisteeseen liittää sen kulun knss yhteensopiv suorkulminen koordintisto. Tällöin esimerkiksi vektoreiden u(t), n(t) j u(t) n(t) derivtt voidn esittää linerikombintioin näistä kolmest lkuperäisestä vektorist. Tulokset tunnetn Frenet n kvojen nimellä, mutt emme käsittele niitä tällä kurssill sen trkemmin. 1.3 Krenpituus Olkoon r: [, b] R n käyrän jtkuvsti derivoituv prmetrisointi. Jos käyrää pproksimoidn sen seknteist muodostetull murtoviivll j nnetn pproksimtion tihentyä, voidn olett, että murtoviivojen pituudet suppenevt kohti luku l, jok olisi tutkittvn käyrän krenpituus. Osoittutuu, että näin todell käy j että krenpituus sdn integrlin l() = b r (t) dt. Tämän perustelemiseksi trkstelln välin [, b] tsvälistä jko pisteillä t k = + k t, missä t = (b )/n j n on jkovälien lukumäärä. Tällöin siis t = j t n = b. Jos merkitään r k = r(t k+1 ) r(t k ), niin vstvn murtoviivn pituus on k r k. Jokisell k on voimss joten murtoviivn pituus on likimäärin r k = r(t k + t) r(t k ) r (t k ) t, n 1 r (t k ) t k= b r (t) dt. Voidn osoitt, että rjll n, ts. kun t, murtoviivojen pituuksill on rj-rvon tämä integrli, jok siis esittää kyseisen käyrän krenpituutt. 6
Jos käyrän prmetrisointi on inostn ploittin jtkuvsti derivoituv, sdn koko käyrän krenpituus lskemll osien krenpituudet yhteen. Kosk smll käyrällä voi oll useit erilisi prmetrisointej, herää kysymys siitä, onko krenpituus itse käyrään vi pelkästään tiettyyn prmetrisointiin liittyvä luku. Voidn osoitt, ettei krenpituus riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Hiemn täsmällisemmin muotoiltun pätee: jos uusi prmetrisointi sdn muuttujnvihdoll entisestä, niin niitä vstvien krenpituusintegrlien rvot ovt smt. Esimerkki 1.8 Lskemme Helix-käyrän r(t) = (cos t, sin t, t) krenpituuden prmetrivälillä t [, 2π]. Kosk r (t) = sin ti + cos tj + k, niin joten krenpituudeksi sdn r (t) = ( sin t) 2 + cos 2 t + 1 = 2, l = 2π r (t) dt = 2 2π. Esimerkissä prmetrisointi venyttää prmetrivälin pituutt kertoimell 2 2π/2π = 2. Vlitsemll uusi prmetri s = 2t, eli t = s/ 2, sdn toinen prmetrisointi r(s) = (cos(s/ 2), sin(s/ 2), s/ 2), jolle r (s) = 1 kikill s. Tämä trkoitt sitä, että krenpituus itse käyrällä on täsmälleen sm kuin vstvn prmetrivälin pituus. Tällist kutsutn prmetrisoinniksi krenpituuden suhteen j se voidn peritteess muodost kikille käyrille. Tuloksell on kuitenkin vin teoreettist mielenkiinto, kosk krenpituusintegrlej ei yleensä void esittää lkeisfunktioiden vull, vn ne täytyy lske numeerisesti. Esimerkki 1.9 Funktion kuvjn y = f(x) krenpituudelle on olemss jo ennestään tuttu kv. Tutkitn, millinen tulos sdn käyttämällä tämän luvun yleisempää tulost. Kuvj voidn prmetrisoid muodoss x = t, y = f(t), t [, b]. Tällöin r (t) = i + f (t)j j r (t) = 1 + f (t) 2, joten krenpituudeksi sdn b l = 1 + f (t) 2 dt ivn kuten ennenkin. Krenpituutt voidn yleisemmin tutki myös sellisille käyrille, joiden prmetrisointi on muodostettu rjoittmttomll välillä, j krenpituusintegrlist tulee tällöin epäoleellinen. Jos tämä integrli on suppenev, niin käyrää snotn suoristuvksi. 7
Esimerkki 1.1 Onko spirlin x = e t cos t, y = e t sin t, t, krenpituus äärellinen? Lsketn siis r (t) = e t ( cos t sin t)i + e t (cos t sin t)j j edelleen r (t) = e t ( cos t sin t) 2 + (cos t sin t) 2 = 2e t. Näin ollen krenpituudeksi sdn l = joten spirli on suoristuv. r (t) dt = 2 e t dt = 2, On syytä minit, ettei pelkkä jtkuvuus tk edes sitä, että suljetull välillä prmetrisoitu tsokäyrä olisi suoristuv. Tunnetuin esimerkki tällisest on ns. lumihiutlekäyrä, jonk keksi ruotslinen Helge von Koch v. 194; ktso esim. http://mthworld.wolfrm.com/kochsnowflke.html Tässä yleisemmässä tilnteess suoristuvuutt ei void enää tutki integrlin, vn päättelyn täytyy perustu suorn pproksimoivien murtoviivojen pituuksiin. Tutkitn lopuksi krenpituuden lskemist npkoordinttien vull. Tson piste (x, y) voidn esittää npkoordinttien r, θ vull muodoss x = r cos θ, y = r sin θ, missä r j θ R (ti θ [, 2π]). Moni tsojoukkoj on helpompi käsitellä npkoordinttien kuin tvllisten xy-koordinttien vull. Esimerkiksi R-säteisen ympyrän yhtälö npkoordinteiss on muoto r = R. Tutkimme seurvss tsokäyrän r = f(θ), θ θ θ 1, krenpituuden lskemist. Tällinen käyrä voidn prmetrisoid kulmn θ = t vull, jolloin { x = r cos θ = f(θ) cos θ = f(t) cos t y = r sin θ = f(θ) sin θ = f(t) sin t. Tällöin r (t) = (f (t) cos t f(t) sin t)i + (f (t) sin t + f(t) cos t)j j r (t) = f(t)2 + f (t) 2 sievennnysten jälkeen. Krenpituus sdn siis integrlist l = θ1 θ f(t)2 + f (t) 2 dt. Esimerkki 1.11 Lske nelipiln r = cos 2θ, θ 2π, krenpituus. Symmetrin vuoksi riittää lske krenpituus välillä θ [, π/4] j kerto tulos luvull 8. Tällöin myös cos 2θ, mikä helpott lskuj. Nyt siis f(t) = cos 2t j f (t) = 2 sin 2t, joten krenpituudeksi sdn l = 8 π/4 cos 2 (2t) + 4 sin 2 (2t) dt = 8 π/4 1 + 3 sin 2 (2t) dt 9.69. Kyseessä on ns. elliptinen integrli, jok täytyy lske numeerisesti; sillä ei ole lkeisfunktioiden vull esitettävää rvo. Tämä ilmiö toistuu useiss krenpituuteen liittyvissä lskuiss. 8
1.4 Krevuus Krevuus liittyy käyrän suunnn muutosnopeuteen. Geometrisesti trksteltun on luontevint selvittää ensin tutkittvss pisteessä käyrän krevuussäde R j määritellä sen vull krevuus K = κ = 1/R. Jott pääsemme mhdollisimmn nopesti myös kolmiulotteiseen tpukseen, trkstelln lähtökohtn seurv esimerkkiä. Esimerkki 1.12 Hiukknen kiertää R-säteistä ympyrärt kulmnopeudell ω. Määritä sen normlikiihtyvyys. Rdn prmetrisointi jn suhteen on muoto x = R cos ωt, y = R sin ωt. Tällöin r (t) = Rω sin(ωt)i + Rω cos(ωt)j j r (t) = Rω. Jälkimmäinen yhtälö kertoo myös kulmnopeuden yhteyden hiukksen vuhtiin. Kiihtyvyydeksi sdn (t) = Rω 2 cos(ωt)i Rω 2 sin(ωt)j = ω 2 R 1 R r(t), joten N = j N = ω 2 R = r (t) 2 /R. Jälkimmäinen muoto stt oll ennestään tuttu keskeiskiihtyvyyden luseke lukiofysiikst. Se nt myös viitteen siitä, että yleisen käyrän krevuussäde voitisiin lske kvll R = r (t) 2 / N vertmll käyrän kulku hetkellisesti pyörimisliikkeeseen. Osoittutuu, että tämä joht käytännölliseen määritelmään, mutt sitä ennen trvitn normlikiihtyvyydelle N konkreettinen luseke, jok sdn seurvll tvll. Kosk r = = T u + N n, niin muodostmll vektorin u ristitulo yhtälön molempien puolten knss sdn u r = T u u + N u n = N u n. Tässä u n on yksikkövektori (itse siss sivunormli), joten N = u r = r r. r Yhdistämällä sdut kvt päädytään seurvn määritelmään. Määritelmä 1.13 Jos r = r(t) on kolmiulotteisen käyrän säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi, niin käyrän krevuus pisteessä r(t) on κ = r (t) r (t) r (t) 3 = j vstv krevuussäde R = 1/κ. v(t) (t) v(t) 3 9
Ennen esimerkkejä tutkitn, mitä krevuus trkoitt tsokäyrille, jotk sdn vruuskäyrien erikoistpuksen settmll z(t). Tällöin i j k r (t) r (t) = x (t) y (t) x (t) y (t) = (x (t)y (t) x (t)y (t))k j r (t) = x (t) 2 + y (t) 2, joten kksiulotteinen krevuus voidn määritellä seurvll tvll. Määritelmä 1.14 Trkstelln tsokäyrää, joll on säännöllinen kksi kert jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r(t) = (x(t), y(t)). Tällöin pisteessä r(t) käyrän krevuus on κ = x (t)y (t) x (t)y (t) r (t) 3 j vstv krevuussäde on R = 1/κ. Molempi tuloksi voidn sovelt myös erikoistpuksiin 1/ = j 1/ =. Huomttkoon, että tsokäyrän krevuuden osoittjst on jätetty itseisrvot pois. Kokeilemll hvitn, että κ >, jos tsokäyrä krtuu positiiviseen suuntn kuljettess vsemmlle, j κ < oikelle suuntutuvss krteess. Kolmiulotteisess tpuksess vstv geometrist tulkint on vikempi muotoill. Tsokäyrän krevuussäteen luseke voidn perustell myös seurvll tvll. Kosk ympyrän kksi normli leikkvt in ympyrän keskipisteessä, niin ehkäpä yleisen tsokäyrän kksi lähekkäisiin pisteisiin piirrettyä normlisuor leikkisivt toisens lähellä krevuuskeskipistettä? Määritetään siis tutkittvn pisteen r(t ) kutt kulkev normli j muodostetn vstv normli lähellä olevn pisteeseen r(t + t). Lsketn normlien leikkuspisteen koordintit j niistä rj-rvo, kun t. Tämän pisteen etäisyys tutkittvst käyrän pisteestä on etsitty krevuussäde. Väliviheet ovt peritteess suorviivisi, mutt teknisesti hiemn hnkli, j johtvt smn tulokseen kuin yllä! Esimerkki 1.15 Lsketn ellipsin x 2 / 2 + y 2 /b 2 = 1 krevuus pisteessä (, ). Ellipsillä on prmetrisointi x = cos t, y = b sin t j trksteltv piste vst prmetrin rvo t =. Nyt siis x (t)y (t) x (t)y (t) ( sin t)( b sin t) ( cos t)b cos t (x (t) 2 + y (t) 2 ) 3/2 = ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2 = b ( 2 sin 2 t + b 2 cos 2 t) 3/2, joten rvoll t = sdn κ = b b = 3 b. 2 Huomttkoon, että tpuksess = b = R tuloksest sdn R-säteisen ympyrän krevuudeksi 1/R, kuten pitääkin. 1
1.5 Sklrikentän viivintegrli Sklrikentällä trkoitetn usen muuttujn funktiot f : A R, missä funktion määrittelyjoukko A R n. Täsmällisemmin voidn sno, että kyseessä on n:n muuttujn funktio. Funktion f rvo pisteessä (x 1,..., x n ) kirjoitetn muodoss f(x 1,..., x n ), kun (x 1,..., x n ) A. Fysiklisist suureist sklrikenttiä ovt esimerkiksi kppleen lämpötil u = u(x, y, z, t) j sen tiheys ρ = ρ(x, y, z). Esimerkki 1.16 Sklrikenttä f : R 2 R määritellään kvll f(x, y) = xy x + 2y + 3. Tällöin f( 1, 2) = 6. Ryhdymme tutkimn, kuink pitäisi määritellä sklrikentän integrli pitkin prmetrisoitu käyrää. Johdttelevn esimerkkinä tutkitn, kuink lsketn epähomogeenisen mutkittelevn metllilngn mss. Esimerkki 1.17 Lngll on prmetrisointi r = r(t), missä t [, b], j sen pituustiheys ρ = ρ(r(t)) tunnetn kusskin pisteessä. Approksimoi lngn kokonismss. Trkstelln lyhyttä lngnpätkää, jok vst prmetriväliä [t, t + t]. Vstv käyrän os voidn pproksimoid erotusvektorill Tämän lngn osn mss on siis r = r(t + t) r(t) r (t) t. m ρ(r(t)) r ρ(r(t)) r (t) t. Jos koko prmetriväli jetn tsvälisesti jkopisteillä = t, t 1,..., t n = b, niin koko lngn msslle sdn pproksimtio m n 1 m ρ(r(t k )) r (t k ) t. k= Kun jko tihentyy, eli t, niin summn rj-rvon sdn integrli b ρ(r(t)) r (t) dt, jok ilmeisesti prhiten kuv koko lngn mss. Esimerkin perusteell setetn seurv määritelmä, joss tämän kurssin trpeisiin riittävät tpukset n = 2 j n = 3. Määritelmä 1.18 Olkoon R n käyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r = r(t), t [, b]. Jos f : R on sklrikenttä, niin sen viivintegrli käyrää pitkin on b f ds = f(r(t)) r (t) dt. 11
Seurviin seikkoihin on syytä kiinnittää erikseen huomiot: Ploittinen säännöllisyys näkyy lskuiss niin, että integrli jkntuu erikseen lskettviin osiin. Trksti otten täytyy vielä olett, että funktio t f(r(t)) on inkin ploittin jtkuv, jott sitä voidn integroid. Tämä plutuu itse sklrikentän f jtkuvuuteen, jot käsitellään myöhemmin. Viivintegrlin rvo ei riipu prmetrisoinnin vlinnst eikä sen suunnst. Funktio f on usein määritelty muullkin kuin pelkästään käyrän pisteissä r(t), mutt näillä rvoill ei ole mitään merkitystä tulokseen. Differentili ds = r (t) dt voidn tulkit krenpituuslkioksi. Jos f 1, niin b 1 ds = r (t) dt = l on käyrän krenpituus. Lusekett 1 f ds l kutsutn funktion f keskirvoksi käyrällä. Jos on umpininen käyrä, niin viivintegrlille käytetään myös merkintää b f ds = f ds = f(r(t)) r (t) dt. Tämä ei siis vikut mitenkään itse integrlin rvoon eikä sen lskemiseen. Esimerkki 1.19 Lske sklrikentän f(x, y, z) = 2x+4y viivintegrli pitkin prmetrisoitu vruuskäyrää r(t) = (t, t, t 2 ), t [, 1]. Nyt siis r (t) = i+j+2tk, joten r (t) = 1 + 1 + (2t) 2 = 2 + 4t 2. Lisäksi f(r(t)) = f(x(t), y(t), z(t)) = 2t + 4t = 6t, joten f ds = 1 6t 2 + 4t 2 dt = 1 2 1 / (2 + 4t 2 ) 3/2 = 3 6 2. Trkstelln vielä luvun lopuksi funktion keskirvon lskemist. Esimerkki 1.2 Määritä prbelin kren y = x 2, x [ 2, 2], ) keskikrevuus; b) keskikrevuussäde. Suorviivisin prbelin prmetrisointi on muoto x = t, y = t 2, t [ 2, 2]. Tällöin r (t) = i + 2tj j r (t) = 1 + 4t 2, joten krenpituudeksi sdn 2 2 l = 1 ds = 1 + 4t2 dt = 2 1 + 4t2 dt = 2 17 1 2 ln( 17 4) 9.3, 2 12
missä integrli lskettiin sijoituksell t = 1 sinh u. Prbelin pisteessä r(t) 2 sen krevuus on muoto κ(r(t)) = x (t)y (t) y (t)x (t) ( x (t) 2 + y (t) 2 ) 3 = Kohdss ) sdn keskikrevuudeksi 1 κ ds = 1 2 κ(r(t)) r (t) dt = 4 l l 2 l = 4 l 2 2 dt 1 + 4t = 2 rctn 4.285, 2 l missä integroinnin pun käytettiin sijoitust t = u/2. Kohdss b) sdn keskikrevuussäteeksi 2 ( 1 + 4t 2 ) 3. 1 ( 1 + 4t 2 ) 3 1 + 4t 2 dt 1 R ds = 1 2 R(r(t)) r (t) dt l l 2 = 1 2 ( 1 + 4t 2 ) 3 1 + 4t l 2 2 dt = 1 l 2 2 (1 + 4t 2 ) 2 = 1886 15l 13.5. Huom, että yksittäisessä pisteessä R = 1/κ, mutt b-kohdn tulos poikke huomttvsti rvost 1/.285 3.5. 1.6 Vektorikentän viivintegrli Sklrikenttien jälkeen siirrymme vektorikenttiin, joit ovt mm. eriliset nopeuskentät, sähkökentän voimkkuuus j mgneettivuon tiheys. Yleisesti vektorikentällä trkoitetn vektorirvoist funktiot F: A R k, missä A R n. Jokisell r A vektorikentän rvo F(r) R k, joten se voidn kirjoitt muodoss F(r) = F 1 (r)e 1 + + F k (r)e k luonnollisen knnn yksikkövektoreiden vull. Funktiot F i : A R ovt n:n muuttujn funktioit j niitä kutsutn vektorikentän F koordinttifunktioiksi. Esimerkki 1.21 Tson vektorikentän F(x, y) = (x + y)i + xyj koordinttifunktiot ovt F 1 (x, y) = x + y j F 2 (x, y) = xy. Kentän rvoj ovt esim. F( 1, 2) = i 2j j F(1, 1) = 2i + j. Trkoituksen on seurvksi määritellä vektorikentän viivintegrli käyrää pitkin. Tulost voidn motivoid jttelemll voimn tekemää työtä, kun kpple liikkuu sen vikutuksest nnettu käyrää pikin. Kosk tämä tehtiin jo luennoll, siirrytään suorn määritelmään. 13
Määritelmä 1.22 Olkoon R n käyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi r = r(t), t [, b]. Jos F: R on vektorikenttä, niin sen viivintegrli käyrää pitkin on b F dr = F(r(t)) r (t) dt. Esimerkiksi kksiulotteisess tpuksess on r (t) = x (t)i + y (t)j, joten F(r(t)) r (t) = (F 1 (r(t))i + F 2 (r(t))j) (x (t)i + y (t)j) = F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t), j integrliksi sdn b F(r(t)) r (t) dt = b (F 1 (r(t))x (t) + F 2 (r(t))y (t)) dt. Jälkimmäinen muoto joht tulkinnoill dx = x (t) dt, dy = y (t) dt viivintegrlin vihtoehtoiseen merkintään F dr = F 1 dx + F 2 dy, joss koordinttifunktiot ovt suorn näkyvillä. Kolmiulotteisess tpuksess mukn tulee vielä termi F 3 dz. Perinteisistä syistä kvss ei ole tpn käyttää sulkuj. Sklrikentän viivintegrli koskevt huomutukset voidn toist vektorikentän viivintegrlille yhtä lukuunottmtt. Jos nimittäin käyrän prmetrisoinnin suunt vihdetn vstkkiseksi, niin vektorikentän viivintegrlin rvo viht merkkiä, kun ts vstvll toimenpiteellä ei ole vikutust sklrikenttien viivintegrleihin. Tämä ilmiö on helppo ymmärtää sen vuoksi, että vstkkiselle prmetrisoinnille r tngenttivektori r (t) on kusskin käyrän pisteessä vstkkissuuntinen lkuperäiseen verrttun, j tämä viht integroitvn funktion etumerkin. Sklrikentän tpuksess etumerkki ei muutu lusekkeen r (t) vuoksi. Vektorikentän viivintegrli lskettess on siis tunnettv myös käyrän positiivinen suunt. Esimerkki 1.23 Lske viivintegrli F dr, kun F(x, y) = yi + xj j käyrä on yksikköympyrä positiiviseen suuntn kierrettynä. Käytämme lskuss viivintegrlin jälkimmäistä muoto y dx + x dy. Prmetrisointi on muoto x = cos t, y = sin t, t [, 2π], joten dx = sin t dt j dy = cos t dt. Integrliksi sdn siis 2π 2π y dx + x dy = (( sin t) ( sin t) + cos t cos t) dt = 1 dt = 2π. 14
Pistetulomuodoss lsketn ensin F(r(t)) r (t) = ( sin ti + cos tj) ( sin ti + cos tj) = 1, jost integrli sdn smll tvll. Toisen esimerkkinä käsitellään hiemn hnklmp tilnnett, joss integrointi täytyy tehdä khdess osss. Esimerkki 1.24 Lske viivintegrli F dr, kun F(x, y) = x 2 i + y 2 j j käyrä koostuu oskäyrist 1 = {(x, sin πx) x 1} j 2 = [(, ), (1, )] (pisteet (, ) j (1, ) yhdistävä jn) myötäpäivään kierrettynä. Nyt F dr = F dr + F dr, 1 2 jotk on lskettv erikseen. Käyrällä 1 on prmetrisointi x = t, y = sin(πt), t [, 1], jolloin dx = dt j dy = π cos(πt) dt. Integrliksi sdn siis 1 F dr = x 2 dx + y 2 dy = (t 2 1 + sin 2 (πt) π cos(πt)) dt 1 ( 1 1 = / 3 t3 + 1 ) 3 sin3 (πt) = 1 3. Käyrä 2 on hiemn helpompi prmetrisoid vstkkiseen suuntn siten, että (, ) on lkupiste j (1, ) päätepiste. Tällöin x = t, y = j t [, 1]. Integrliksi sdn 1 joten positiiviseen suuntn tulos on Yhteensä sdn siis t 2 1 dt = 1 3, 2 x 2 dx + y 2 dy = 1 3. x 2 dx + y 2 dy = 1 3 1 3 =. Yllä olevn esimerkin tulos ei ole sttum, vn itse siss kyseessä olevn vektorikentän viivintegrli kikki umpinisi käyriä pitkin on noll. Jos nimittäin r = r(t) on umpinisen tsokäyrän ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi välillä [, b], niin x() = x(b) j y() = y(b). Tällöin b x 2 dx + y 2 dy = (x(t) 2 x (t) + y(t) 2 y (t)) dt = / b 1 3 (x(t)3 + y(t) 3 ) =, 15
sillä sijoitus ylä- j lrjoill nt smn tuloksen. Tämä ominisuus on vin joillkin vektorikentillä, j niitä kutsutn konservtiivisiksi. Termin tustll on jälleen fysiklinen tulkint, jok liittyy siihen, että konservtiivisen voimkentän tekemä työ riippuu vin kppleen lku- j päätepisteestä, muttei siitä, mitä reittiä kpple on kulkenut. Tämä liittyy myös seurvn mtemttiseen tulokseen. Luse 1.25 Vektorikentälle F seurvt ehdot ovt yhtäpitäviä: Vektorikenttä F on konservtiivinen, ts. jokist umpinist käyrää pitkin pätee F dr =. Jos käyrän 1 lkupiste on sm kuin käyrälle 2, j sm pätee niiden päätepisteille, niin F dr = 1 F dr. 2 Tulos voidn perustell helposti seurvn iden vull: Käyristä 1 j 2 voidn muodost umpininen käyrä j sovelt siihen ensimmäistä ehto. Toislt umpininen käyrä voidn jk khteen osn, joill on smt päätepisteet, j sovelt näihin jälkimmäistä ehto. Lisäksi täytyy tutki käyrien suunti j muist, että vstkkinen suunt viht viivintegrlin etumerkin. Seurvn esimerkin vull päädytään tulokseen, jonk mukn tsolueen pint-l voidn lske erään vektorikentän viivintegrlin lueen reun pitkin. Sovelluksen sdn mm. monikulmion pint-llle pelkästään sen kärkipisteistä riippuv kv. Esimerkki 1.26 Lske viivintegrli x dy, kun on pisteet (x, y ) j (x 1, y 1 ) yhdistävä jn. Integroitvn on siis vektorikenttä F(x, y) = xj. Jnll on prmetrisointi { x = (1 t)x + tx 1 y = (1 t)y + ty 1, missä t [, 1]. Tällöin dx = (x 1 x ) dt j dy = (y 1 y ) dt, joten x dy = 1 ((1 t)x + tx 1 ) (y 1 y ) dt = (y 1 y ) 1 = (y 1 y )/ 1 (t t 2 /2)x + 1 2 t2 x 1 ) = 1 2 (x + x 1 )(y 1 y ). ((1 t)x + tx 1 ) dt 16
Tämän lusekkeen itseisrvo esittää sellisen puolisuunnikkn pint-l, jonk rjvt nnettu jn j suort y = y, y = y 1 sekä x =. Jos yleisemmässä tilnteess vstv viivintegrli lsketn peräkkäisten pisteiden (x, y ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ) = (x, y ) määräämän monikulmion reun pitkin positiiviseen kiertosuuntn eli niin, että monikulmion sisäpuoli jää vsemmlle, on tuloksen monikulmion pint-llle kv A = 1 2 n (x k + x k+1 )(y k+1 y k ). k= Tämä voidn perustell geometrisesti jkmll trksteltv lue suorill y = y k puolisuunnikkisiin j soveltmll niihin esimerkin tulost. Trkempi perustelu luennoll. Käytännössä siis esimerkiksi Suomen pint-l voidn lske krtlt rjviivn kärkien koordinteist ilmn, että lue täytyy jk kolmioihin ti muihin yksinkertisiin osiin. Kosk yleisen tsolueen pint-l määritellään pproksimoimll luett monikulmioill yhä trkemmin, ei ole yllättävää, että tulos on voimss yleisemminkin. Luse 1.27 Olkoon umpininen j itseään leikkmton tsokäyrä, joll on ploittin jtkuvsti derivoituv prmetrisointi. Tällöin käyrän rjmn tsolueen pint-l on A = x dy, jos käyrä kierretään positiiviseen suuntn. Kyseessä on erikoistpus ns. Greenin tsokvst, johon pltn myöhemmin tällä kurssill. Vihtmll muuttujien roolit j suorittmll yllä olevt lskut uudelleen nähdään, että pint-l voidn lske myös viivintegrlin A = y dx. 1 1 Tämä selittää mm. sen, miksi ideliksun termodynmisess V p-tson kiertoprosessiss (rnot n sykli) viivintegrli p dv vst syklin sisään jäävää pint-l, j on toislt I pääsäännön mukn sm kuin syklin vtim ti sen tekemä työ, kiertosuunnst riippuen. 17