TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,, @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) 7 7 7 b) 7 9 7 7 6 c) 0 0 7 0 00 7 0 00 70 0. ) 6 6 86 b) 6 6 5 00 00 5 8. ) Joo 0. jäse lsket sijoittmll 0 yleise jäsee lusekkeesee. 0 0 0 8 b) Luku 6 o joo jäse, jos löytyy sellie positiivie kokoisluku, joll 6. Muodostet j rtkist yhtälö. 6 6 6 : ( ) 6 6,5 Kosk yhtälö rtkisu olev luku 6,5 ei ole positiivie kokoisluku, luku 6 ei ole joo jäse. Vstus: ) 0 8 b) ei ole @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Luku 5 o joo jäse, jos löytyy sellie positiivie kokoisluku, joll 5. Muodostet j rtkist yhtälö. 5 6 + 5 5 5 6 8 : 6 8 Kosk yhtälö rtkisu olev luku 8, o positiivie kokoisluku, luku 5 o joo jäse, 8 5. b) Luku 80 o joo jäse, jos löytyy sellie positiivie kokoisluku, joll 80. Muodostet j rtkist yhtälö. 80 6 + 5 80 5 6 75 : 6 75 6,5 Kosk yhtälö rtkisu olev luku,5 ei ole positiivie kokoisluku, luku 80 ei ole joo jäse. Vstus: ) o, 8 5 b) ei ole 5. Yleise jäsee tulee oll suurempi kui 000. Muodostet j rtkist epäyhtälö (lskimell). > 000 5 > 000 < 0, uuri positiivie kokoisluku, jok toteutt ehdo < 0, o 0, jote lukujoo 0 esimmäistä jäsetä ovt suurempi kui 000. Vstus: 0 @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) Piirretää lukujoo kuvj yleise jäsee lusekkee vull. b) Kuvj pistee esimmäie koorditti kertoo jäsee järjestysluvu j toie koorditti kertoo jäsee rvo. Etsitää kuvjlt piste, jok esimmäie koorditti o 50. Piste o (50,95), jote 50 95. c) Etsitää kuvjlt piste, jok toie koorditti ylittää esimmäise kerr rvo 500. Lukujoo 6. jäse o esimmäie, jok rvo o suurempi kui 500, jote 6 esimmäise jäsee rvo o pieempi kui 500. Vstus: b) 50 95 c) 6 jäsetä @ tekijät j om Pro Oy 06
7. Etsitää kuvjlt piste, jok toie koorditti ylittää esimmäise kerr rvo 6 000. Lukujoo 9. jäse o esimmäie, jok rvo o suurempi kui 6000. @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) Etsitää kuvjlt piste, jok esimmäie koorditti o 8. Piste o (8, 5), jote 8 5. b) Etsitää kuvjlt piste, jok toie koorditti litt esimmäise kerr rvo 000. Lukujoo. jäse o esimmäie, jok rvo o pieempi kui 000, jote lukujoo esimmäise rvo o suurempi kui 000. Vstus: ) 8 5 b) jäsetä @ tekijät j om Pro Oy 06
9. ) Joo. jäse lsket sijoittmll yleise jäsee lusekkeesee. 00 00 96 Joo. jäse lsket sijoittmll yleise jäsee lusekkeesee. 00 00 8 9 Joo. jäse lsket sijoittmll yleise jäsee lusekkeesee. 00 00 88 b) Kuvjst hvit että lukujoo 50. jäse s rvo 0 j o lukujoo viimeie jäse. Eli 50 0. @ tekijät j om Pro Oy 06
0. Lukujoo 0. jäse lsket sijoittmll 0 yhtälö j rtkist vkio k. yleise jäsee lusekkeesee. Muodostet 0 00 k 0 5 00 + 5 k 0 5 : 0 (5 k 5 0 k. ) Yleie jäse voi oll esimerkiksi: 5 ( ). b) Yleie jäse voi oll esimerkiksi: 6 + ( ) +. c) Yleie jäse voi oll esimerkiksi: + ( ). @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Kirjoitet lukujoo esimmäisiä jäseiä äkyvii.. jäse:. jäse: +. jäse: + + +. jäse: + + + + Hvit, että joo yleie jäse o + ( ) + +. b) Rtkist millä : rvoll yleie jäse o. + : Emmi tuo. mtklt simpukkuort. Vstus: ) +,,,, b). mtklt @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Lsket kolme kerrokse tölkkimäärä eli joo. jäse. 7 8 7 Kolmess kerroksess o tölkkiä. b) Tölkkie lukumäärä tulee oll positiivie. Muodostet j rtkist epäyhtälö (lskimell). > 0 7 8 > 0 < 9,65 uuri positiivie kokoisluku, jok toteutt ehdo < 9,65 o 9. Kosk joo 9 esimmäistä jäsetä ovt positiivisi, o rkeelmss o 9 kerrost. c) Viimeisessä kerroksess olevie tölkkie määrä o joo 9. jäse. 9 7 8 9 7 5 Rkeelm viimeisessä kerroksess o 5 tölkkiä. Vstus: ) tölkkiä b) 9 kerrost c) 5 tölkkiä @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Lsket kuudee rivi istumpikkoje määrä eli joo 6. jäse. 6 0 6 + 0 80 + 0 0 Kuudeell rivillä o 0 pikk. b) Rtkist kuik moeell rivillä pikkoj o 880 eli rtkist yhtälö 880. 880 0 + 0 880 8 Ktsomoss o 8 riviä. Vstus: ) 0 pikk b) 8 riviä @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) Kirjoitet lukujoo esimmäisiä jäseiä äkyvii.. jäse:,0. jäse:,0 + 0,. jäse:,0 + 0, + 0,,0 + 0,. jäse:,0 + 0, + 0, + 0,,0 + 0, Hvit, että joo yleie eli :s jäse o,0 + 0, ( ),0 + 0, 0,,6 + 0,. b) Mustikoide määrä tulee oll yli litr. Muodostet epäyhtälö j rtkist se (lskimell). >,6 + 0, > >,5 Piei positiivie kokoisluku, jok toteutt ehdo >,5 o. Jote. kerrll Lott keräsi yli litr mustikoit. Vstus:,6 + 0, b). kerrll @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) Lsket kuudee lyheykse jälkeise li määrä eli joo 6. jäse. 6 00 50 6 00 900 00 Jooll o kuude lyheykse jälkee li 00. b) Li lkuperäie määrä sd lskemll lukujoo esimmäie jäse j lisäämällä siihe esimmäie mksettu lyheys 50. + 50 00 50 + 50 00 Joo otti 00 li. c) Lopuksi li jäljellä olev määrä tulee oll 0. Muodostet yhtälö j rtkist se. 0 00 50 0,... Trvit siis eemmä kui lyheyskert. Joo pitää lyhetää li kert. d) Viimeie lyheykse määrä sd lskemll kuik pljo li o jäljellä lyheyskerr jälkee. 00 50 00 50 50 Viimeie lyheykse suuruus o 50. Vstus: ) 00 b) 00 c) lyheyskert d) 50 @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) Kirjoitet lukujoo esimmäisiä jäseiä äkyvii.. jäse (tulos vuode kuluttu): 0 000,05. jäse (tulos vuode kuluttu): 0 000,05,05 0 000,05. jäse (tulos vuode kuluttu): 0 000,05,05,05 0 000,05 Hvit, että joo yleie jäse o 0 000,05. b) Lsket yritykse tulos 0 vuode kuluttu eli joo 0. jäse. 0 0 0000,05 577,89... 600 Yritykse tulos 0 vuode kuluttu o. 600. Vstus: ) 0 000,05 b) 600 @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) k k k 6 k 0 k 5 5 b) Pisteikössä o kksi kert kolmioluku k. Toislt pisteikö leveys o + pistettä j korkeus o pistettä. d yhtälö, jost void rtkist kolmioluvu k luseke. k ( + ) : k ( + ) c) k 000 000(000 + ) 000 00 500 00 500 500 @ tekijät j om Pro Oy 06
Luku 5. 9. ) Lukujoo jäseet toisest jäseestä lke sd sääö vull. 6 0 0 Lukujoo eljä esimmäistä jäsetä o,, 0 j. b) Lukujoo jäseet toisest jäseestä lke sd sääö vull. ( ) 6 6 8 ( 8) 5 Lukujoo eljä esimmäistä jäsetä o, 6, 8 j 5. Vstus: ),, 0 j b), 6, 8 j 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
50. Lukujoo jäseet toisest jäseestä lke sd sääö + + + + + vull. + + 5 5 Lukujoo eljä esimmäistä jäsetä o,, j. 5 5. Lukujoo jäseet toisest jäseestä lke sd sääö 5 5 5 5 ( ) 5 + 7 5 5 7 9 5 5 5 ( 9) Lukujoo 5 jäse o eli 5. vull. 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) Lukujoo kolme esimmäistä jäsetä o 5, j. Kosk toisest jäseestä lke joo jokie jäse sd lisäämällä edellisee sm luku, j void päätellä, että lisättävä luku o. 5 5 + + + 7 b) Kosk lukujoo seurv jäse toisest jäseestä lke sd lisäämällä luku edellisee jäseee, ii rekursiokv o 5 +,,,,... Vstus: ) 7 b) 5 +,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) Lukujoo kolme esimmäistä jäsetä o 00, 50, 5. Kosk toisest jäseestä lke seurv jäse sd kertomll edellie jäse smll luvull, void päätellä, että kertoj o. 00 00 50 50 5 5,5 b) Kosk lukujoo seurv jäse sd toisest jäseestä lke kertomll edellie jäse luvull, ii rekursiokv o 00,,,,... Vstus: ),5 b) 00,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) j. Kolmest jäseestä lke lukujoo jäseet sd sääö + vull. + + 7 + 7 + 5 + + 7 76 Lukujoo viides jäse o 76. b), j. Neljäestä jäseestä lke lukujoo jäseet sd sääö ( + ) vull. ( + ) ( + ( )) ( ) 5 ( + ) ( + ) Lukujoo viides jäse o. Vstus: ) 5 76 b) 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
55., j. Neljäestä jäseestä lke lukujoo jäseet sd sääö + vull. + + 5 5 5 5 + 5 + 7 7 Lukujoo viides jäse o. Vstus: 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
56. ) Kosk lukujoo o rekursiivie, 0 jäsee määrittämiseksi trvit kikki 9 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull.. yötä esimmäisee srkkeesee esimmäiselle riville esimmäie jäse.. Kirjoit toiselle riville kv, joll st lskettu toise jäsee rvo. Kirjoit kv soluviittuste vull. A + Kirjoit kv käyttäe soluviittust.. Kopioi kv ii mot kert, että st rivillä 0 olev jäsee äkyvii. A 0 6889 Lukujoo 0. jäse o 68 89. b) Jtket edellistä tehtävää, että sd lukujoo 6 jäse. A 0 6889 6 5075 Lukujoo 6. jäse o 50 75. Vstus: 0 68 89 b) 6 50 75 @ tekijät j om Pro Oy 06
57. ). Toisest jäseestä lke lukujoo jäseet sd sääö + vull. + + + + 7 + 7 + 577 7 08 + 577 + 665857 08 577 708 08 5 b) Kosk luku 5 665857 verrt lukuu, perusrvo o. Lsket kuik mot 708 prosetti 5 poikke rvost. 665857 708 0,... 0, 0, 0 %. iis 5 ero 0, 0 % luvust. Vstus: ), 7, 577 j 577. b), 0 08 08 0 %. @ tekijät j om Pro Oy 06
58. ) Kosk lukujoo o rekursiivie, 0. jäsee määrittämiseksi trvit kikki 9 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull. A 9 0 968 Joo 0. jäse o,0... 0 968 Kirjoit kv käyttäe soluviittust. b) Kosk lukujoo o rekursiivie, 0. jäsee määrittämiseksi trvit kikki 9 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull. A 0 5 6 6 Kirjoit kv käyttäe soluviittuksi. Joo 0. jäse o 5 0,8.... 6 Vstus: ) 0 b) 0 5 968 6 @ tekijät j om Pro Oy 06
59. ) Kosk lukujoo o rekursiivie, 0. jäsee määrittämiseksi trvit kikki 9 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull. A Kirjoit kv käyttäe soluviittuksi. 0 7 Joo 0. jäse o 7. b) umm sd lskettu tulukkolsketohjelm vull. A B 0 7 summ(a:a0) 605 umm kv voi oll myös esimerkiksi 'sum(:0)' Vstus: ) 0 7 b) 6 05 @ tekijät j om Pro Oy 06
60. ) Kosk lukujoo o rekursiivie, 0. jäsee määrittämiseksi trvit kikki 9 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull. A + 0,56 Kirjoit kv käyttäe soluviittust. Joo 0. jäse o,56. b) umm sd lskettu tulukkolsketohjelm vull. A B 0,56 summ(a:a0) 6,9 umm kv voi oll myös esimerkiksi 'sum(:0)' Vstus: ) 0,56 b) umm o. 6,9 @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) + +,,5,6,... b) Kosk lukujoo o rekursiivie, 8. jäsee määrittämiseksi trvit kikki 7 edellistä jäsetä. Trkstell lukujoo tulukkolsketohjelm vull. A + + Kirjoit kv käyttäe soluviittuksi 8 95 c) umm sd lskettu tulukkolsketohjelm vull. A B + + 8 95 summ(a:a8) 76 umm kv voi oll myös esimerkiksi 'sum(:8)' Vstus: ) + +,,5,6,... b) 8 9 5 c) summ o 76 @ tekijät j om Pro Oy 06
6. Lukujoo kolms jäse sd esimerkiksi kertomll khde esimmäise jäsee summ luvull. Tällöi rekursiokvksi käy esimerkiksi 5 ( + ), ku,,5,... jolloi, 5 9 j 6 5. 6. ) 0 j 5 + 0 + 5 5 + 5 + 5 0 5 + 0 + 5 65 b) j + + + + + 5 + + 7 Vstus: ) 5, 0, 5 65 b), j 5 7 @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) Esimmäiseä vuo lueell susi o 50, jote lukujoo esimmäie jäse 50. Aluee susikt ksv keskimääri 0 % vuodess eli tulee vuositti,-kertiseksi (00 % + 0 % 0 %,). Ku lueelt kdet 8 sutt, kuv susie määrää luseke, 50 8. iis, 50 8, 8. Vstvsti, 8. Lukujoo rekursiokv o 50, 8, ku,,,... b) Lukujoo 6. jäse kuv susie määrää 5 vuode kuluttu. Kysytty susie määrä o siis lukujoo 6. jäse, jok void lske tulukkolske vull. A 50, 8 5 9 5 vuode kuluttu lueell o siis 9 sutt. Vstus: ) 50, 8, ku,,,... b) 9 sutt @ tekijät j om Pro Oy 06
65. ) Aiett o luss 00 g, jote lukujoo esimmäie jäse 00. Aiee mss puolittuu jok tuti, jote iee mss tui päästä kuv luseke 00. iis 00. Vstvsti. Lukujoo rekursiokv o 00, ku,,,... b) Lukujoo. jäse kuv rdioktiivise iee määrää tui kuluttu. Kysytty rdioktiivise iee määrä o siis lukujoo. jäse, jok void lske tulukkolske vull. A 00 / 0,0 0,0 g mg tui kuluttu iett o jäljellä mg. Vstus: ) 00, ku,,,... b) mg @ tekijät j om Pro Oy 06
66. Toukokuu luss ltsee istutet 5000 kirjoloht, jote lukujoo esimmäie jäse 5000. Viiko ik lt kirjolohist pyydetää oi 0 %, mikä jälkee kirjolohist o jäljellä 80 %. Kirjolohie määrä tulee siis 0,8-kertiseksi. Ku ltsee lisätää seurv viiko luss 00 uutt kirjoloht, kuv ltss olevie kirjolohie määrää toise viiko luss luseke 0,8 5000 + 00. iis 0,8 5000 + 00 0,8 + 00. Vstvsti 0,8 + 00. Lukujoo rekursiokv o 5000 0,8 + 00, ku,,,... Lukujoo. jäse kuv lt kirjolohimäärää 0 viiko kuluttu. Kysytty kloje määrä o siis lukujoo. jäse, jok void lske tulukkolske vull. A 5000 0,8 + 00 55,88 55,88... 550 Altss o oi 550 kl klstussesogi päätyttyä. Vstus: 550 kl @ tekijät j om Pro Oy 06
67. ) Yritykse tulos esimmäiseä vuo oli 0 000, jote lukujoo esimmäie jäse 0 000. Yritykse tulos ksv 5 % vuodess, jote tulos tulee,05-kertiseksi (00 % + 5 % 05 %,05). Yritykse tulost toise vuode luss kuv luseke,05 0000. iis,05 0000,05. Vstvsti,05. Lukujoo rekursiokv o 0 000,05, ku,,,... b) Lsket lukujoo jäseiä tulukkolsketohjelmll. elvitetää kuik moes jäse o esimmäie, jok o oi 0000 0000. A 0000,05 5 9598,6 6 578,56 5. vuote yritykse tulos o likimi 0 000, jote yritykse tulos o kksikertistuut vuode kuluttu. Vstus: 5. vuote eli vuode kuluttu @ tekijät j om Pro Oy 06
Luku 5. 68. ) Joo esimmäie jäse. Kosk seurv jäse sd lisäämällä edellisee jäseee luku, o joo differessi d. Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) + + 9 b) Lsket joo differessi. d 0 6 Muodostet joo yleise jäsee luseke. 0 + ( ) ( 6) 0 6 + 6 6 + 6 Vstus: ) + 9,,,, b) 6 + 6,,,, @ tekijät j om Pro Oy 06
69. ) Joo esimmäie jäse j differessi d. Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) + + b) Joo esimmäie jäse j differessi d 5. Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) 5 + 5 5 5 Vstus: ) +,,,, b) 5,,,, 70. ) Lsket differessi. d 0 8 Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) 8 + 8 8 8 6 b) Lsket differessi. d 7 ( ) 5 Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) 5 + 5 5 5 7 Vstus: ) 8 6,,,, b) 5 7,,,, @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) Esimmäie jäse 5. Joo differessi o d 9 5. Muodostet yleise jäsee luseke. 5 + ( ) 5 + + Lsket 0. jäse sijoittmll 0 yleise jäsee lusekkeesee. 0 0 + 9 b) Jos luku o tämä joo jäse, o olemss positiivie kokoisluku site, että. Muodostet yhtälö j rtkist. + : 58,5 Kosk yhtälö rtkisu ei ole positiivie kokoisluku, luku ei ole tämä lukujoo jäse. c) Yleise jäsee tulee oll pieempi kui 0 000. Muodostet j rtkist epäyhtälö. < 0000 + < 0000 < 9989 : < 997,5 uuri positiivie kokoisluku, jok toteutt ehdo < 997,5 o 997. iis lukujoo 997 esimmäistä jäsetä ovt pieempiä kui 0 000. Vstus: ) +, 0 9 b) ei ole c) 997 jäsetä @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) Lukujoo esimmäie jäse j differessi d. Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) ( ) + + 8 Kosk luku 50 o joo jäse, o olemss positiivie kokoisluku site, että 50. Muodostet yhtälö j rtkist se. 50 + 8 50 8 58 : ( ) Jote luku 50 o joo. jäse. b) Lukujoo esimmäie jäse 000 j differessi d. Muodostet yleise jäsee luseke. 000 + ( ) 000 + 00 Kosk luku 50 o joo jäse, o olemss positiivie kokoisluku site, että 50. Muodostet yhtälö j rtkist. 50 00 50 + 00 8 : 6 Jote luku 50 o 6. jäse. Vstus: ). jäse b) 6. jäse @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) Lukujoo esimmäie jäse 95 j differessi d 7. Muodostet yleise jäsee luseke. 95 + ( ) ( 7) 95 7 + 7 7 + 0 Luku 0 o joo jäse, jos o olemss positiivie kokoisluku site, että 0. Muodostet yhtälö j rtkist. 0 7 + 0 0 7 0 : ( 7),57 Kosk yhtälö rtkisu ei ole positiivie kokoisluku, luku 0 ei ole tämä lukujoo jäse. b) Luku 6 o joo jäse, jos o olemss positiivie kokoisluku site, että 6. Muodostet yhtälö j rtkist. 6 7 + 0 6 0 7 8 : ( 7) 6 Kosk yhtälö rtkisu o positiivie kokoisluku 6, ii luku 6 o lukujoo 6. jäse. c) Yleise jäsee tulee oll suurempi kui 600. Muodostet j rtkist epäyhtälö. > 600 7 + 0 > 600 0 7 > 70 : ( 7) < 00,8... uuri positiivie kokoisluku jok toteutt ehdo < 00,8... o 00. Lukujoo 00 esimmäistä jäsetä ovt suurempi kui 600. Vstus: ) ei ole b) o (6. jäse) c) 00 @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) Lukujoo esimmäie jäse j differessi d 5. Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) 5 + 5 5 5 Lsket 0. jäse sijoittmll 0 yleise jäsee lusekkeesee. 0 5 0 00 97 b) Luku 5 o joo jäse, jos o olemss positiivie kokoisluku site, että 5. Muodostet yhtälö j rtkist. 5 5 5 + 5 55 : 5 Kosk yhtälö rtkisu o positiivie kokoisluku, luku 5 o lukujoo jäse. c) @ tekijät j om Pro Oy 06
75. Yleise jäsee määrittämiseksi trvit joo esimmäie jäse j differessi d. Kirjoitet lukujoo 0. jäse. jäsee 0 + (0 ) d + 7d + 7d j differessi d vull. Kosk 0 9, void d rtkist yhtälö vull. + 7d 9 + 7d 8 : 7 d Aritmeettise joo yleie jäse o muoto + ( ) d, jote lukujoo kolms jäse o + ( ) ( ) 8. Kosk, void rtkist yhtälö vull. 8 + 8 Muodostet joo yleise jäsee luseke. + ( ) ( ) + + Yleise jäsee luseke o siis +,,,,... Vstus: +,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
76. ) Yleise jäsee määrittämiseksi trvit joo esimmäie jäse j differessi d. Kosk + ( ) d + d j toislt 0, void d rtkist yhtälö vull. + d 0 d 0 d 8 : d 6 Muodostet joo yleise jäsee luseke. + ( ) d + ( )6 + 6 6 6 Joo yleise jäsee luseke o siis 6,,,,... b) Luku 60 o joo jäse, jos o olemss positiivie kokoisluku site, että 60. Muodostet yhtälö j rtkist. 60 6 60 6 60 + 6 6 : 6 6 0 0 6 6 Kosk yhtälö rtkisu ei ole positiivie kokoisluku, ii luku 60 ei ole lukujoo jäse. Vstus: ) 6,,,,... b) ei ole @ tekijät j om Pro Oy 06
77. ) Määritetää joo yleise jäsee luseke. Yleise jäsee lusekkee määrittämiseksi trvit joo esimmäie jäse j differessi d 7. Aritmeettise joo 9. jäse o 9 + ( ) d + (9 )( 7) 56 j toislt 9 5. Muodostet yhtälö j rtkist. 56 5 5+ 56 5 Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) d 5 + ( ) ( 7) 5 7 + 7 7 + 500 sd sijoittmll 500 yleise jäsee lusekkeesee. 500 7 500 + 0 88 b) Vstus: ) 500 0 88 @ tekijät j om Pro Oy 06
78. ) Kirjoitet ritmeettise joo 55. jäse 50. jäsee 50 78 j differessi d vull. 55 50 + (55 50) d 78 + 5d Kosk 55 08, void d rtkist yhtälö vull. 78 + 5d 08 d 6 Aritmeettise joo yleie jäse o muoto + ( ) d, jote lukujoo 50. jäse o 50 + (50 ) ( 6) 9. Kosk 50 78, void rtkist yhtälö vull. 9 78 6 Joo esimmäie jäse 6 j differessi d 6. b) Muodostet joo yleise jäsee luseke. 6 + ( ) ( 6) 6 6 + 6 6 + Yleise jäsee luseke 6+,,,,... Vstus: ) 6 j d 6 b) 6+,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
79. Yleise jäsee lusekkee määrittämiseksi trvit joo esimmäie jäse j differessi d. Kosk 7 + (7 ) d + 6d j toislt + 6d 9 6d : 6 d Muodostet yleise jäsee luseke. + ( ) ( ) + + 5 Yleise jäsee luseke + 5,,,,... 7 9 Lsket 0 sijoittmll 0 yleise jäsee lusekkeesee., void d rtkist yhtälö vull. 0 0 + 5 55 Vstus: ) + 5,,,,... b) 0 55 @ tekijät j om Pro Oy 06
80. Aritmeettise joo viides jäse 5 j differessi d. Kosk 5 + (5 ) d + + j toislt 5, ii differessi d void rtkist yhtälö vull. + Lsket joo 9. jäse. 9 + (9 ) d + 8 5 Vstus:, 9 5 8. sd sijoittmll yleise jäsee lusekkeesee +. Määritetää termi +. ) + + + (( ) ) ( + ) ( ) + b) Joo o ritmeettie, jos khde peräkkäise jäsee erotus o i sm. j + o kksi mielivltist peräkkäistä jäsetä. Lsket äide termie erotus. + + ( ( )) + ( + 6) + + 6 Kosk khde peräkkäise jäsee erotus o riippumtt : rvost, o joo ritmeettie. @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) Tutkit oko joo ritmeettie lskemll khde mielivltise peräkkäise termi erotus +. + + + + (8( ) 5) (8 5) 8 8 5 8 5 8 Khde peräkkäise termi erotus o siis i 8 j joo o ritmeettie. Joo jäseet toisest jäseestä lke sd lisäämällä luku 8 edellisee jäseee. Joo esimmäie termi o 8 5. Nyt void muodost joo rekursiivie muoto: + 8,,,,... b) Tutkit oko joo ritmeettie lskemll khde mielivltise peräkkäise termi erotus +. + + + ( ( )) ( ) Khde peräkkäise termi erotus o siis i j joo o ritmeettie. Joo jäseet toisest jäseestä lke sd lisäämällä luku edellisee jäseee. Joo esimmäie termi o. Nyt void muodost joo rekursiivie muoto:,,,,... Vstus: ) + 8,,,,... b),,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
8. Joo o ritmeettie täsmällee silloi ku se peräkkäiste jäseie erotus o vkio. Nyt x, 5 j x +. Muodostet yhtälö j rtkist muuttuj x. 5 ( x ) (x+ ) 5 5 x+ x x+ 7 x x x 7 x 8 x b) Muodostet joo kolme esimmäistä jäsetä. x 0 5 x+ + 0 Artimeettise joo differessi o siis 5 j joo. jäse o + 5 0 + 5 5. Vstus: ) x b) 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) Kosk leki pituus ksv jok viikko yhtä pljo, muodostvt lekkie pituudet ritmeettise joo. Merkitää leki pituude muutost kirjimell d. Joo yleie jäse kertoo leki pituude viikoll. Esimmäie jäse,. Kosk khdekss jäse 8 + (8 )d, + 7d j toislt 8 6,0, void d rtkist yhtälö vull.,+ 7d 6,0 d 0, Toisell viikoll leki pituus o, + 0,,6 (km). b) Lsket leki pituus 0. viikoll eli 0 sijoittmll, j d 0, ritmeettise joo yleise jäsee lusekkeesee. 0 + (0 ) d, + 9 0, 6,8 (km) c) Pisimmillää leki pituus o 0 eli joo jäse 0. Muodostet yhtälö j rtkist se (lskimell). 0 0, +,8 0 8 Joo 8. jäse o 0, jote leki pituus o 0 km 8. viikoll. Vstus: ),6 km b) 6,8 km c) 8. viikoll @ tekijät j om Pro Oy 06
85. Kosk permo rivie pituudet muodostvt ritmeettise joo, ii rivi pituus lisäätyy i yhtä pljo, ku siirrytää rivi eteepäi. Merkitää tätä lisäystä kirjimell d. Jos rivi umero merkitää kirjimell, ritmeettise joo yleie jäse kertoo rivi pituude. Esimmäie jäse o. Kosk 0. jäse 0 + (0 )d + 9d j toislt 0 9, void d rtkist yhtälö vull. + 9d 9 d Lsket viimeise eli 8. rivi pituus sijoittmll j d ritmeettise joo yleise jäsee lusekkeesee. 8 + (8 ) d + 7 9 (m) Vstus: 9 m @ tekijät j om Pro Oy 06
86. ) Kosk li lyheys o jok kuukusi yhtä suuri, pieeee li määrä jok kuukusi yhtä pljo. Jäljellä olev li määrät muodostvt ritmeettise joo, jok esimmäie jäse 00 00 000 j differessi d 00. Muodostet yleise jäsee luseke. 000 + ( ) ( 00) 000 00 + 00 00 00 Yleise jäsee luseke o 00 00,,,,... b) Lopuksi li tulee oll jäljellä 0. elvitetää kuik moes joo jäse o 0. Muodostet yhtälö j rtkist. 0 00 00 0 00 00 : ( 00) Jote kuukude kuluttu Rebekk o mksut li tkisi. Vstus: ) 00 00,,,,... b) kuukude kuluttu @ tekijät j om Pro Oy 06
87. ) Joo esimmäie jäse 00 j joo differessi d 5. Kosk lääkeost pieeetää jok päivä 5 mg, muodostvt lääkeokset ritmeettise joo j d 5. Muodostet yleise jäsee luseke. 00 + ( ) ( 5) 00 5 + 5 5 5 Yleie jäse 5 5,,,,... b) Lsket joo 0. jäse. 0 5 5 0 5 50 75 (mg). c) elvitetää kuik moe päivä jälkee lääkeos o 0 mg. Muodostetyhtälö j rtkist. 0 5 5 0 5 5 : ( 5) 7 7. päivää lääkeos o 0 mg, jote lääkekuuri kestää 6 päivää. Vstus: ) 5 5,,,,... b) 75 mg c) 6 päivää @ tekijät j om Pro Oy 06
88. Kosk hlkoje määrä kerroksiss muodost ritmeettise joo, ii hlkoje määrä väheee i yhtä pljo, ku siirrytää kerros ylöspäi. Merkitää tätä väheystä kirjimell d. Jos kerrokse umero merkitää kirjimell, ritmeettise joo yleie jäse kertoo hlkoje lukumäärä kerroksess. + ( ) d 50 + ( ) d Kuudeess kerroksess hlkoj o 0 kpl, jote 6 0. Yleise jäsee lusekkee vull sd 6 50 + (6 ) d 50 + 5 d. Muodostet yhtälö j rtkist d. 50 + 5d 0 d Ku sijoitet 5 j d joo yleise jäsee lusekkeesee 50 + ( ) d, sd hlkoje määrä 5. kerroksess. 5 50 + (5 ) ( ). Vstus: hlko 89. Muodostet jäseie + j lusekkeet. ( + ) + + + ( ) + + + + Lsket jäseie + j keskirvo. + + ( ) + ( + ) + + Hvit, että jäsete + j keskirvo o. @ tekijät j om Pro Oy 06
90. Moikulmio Kuik moee kolmioo void jk? Kolmio 80 Nelikulmio 60 Viisikulmio 50 Kuusikolmio 70 Moikulmioide kulmie summ lisäätyy i Kulmie summ 80, ku kulmi lisätää. Merkit kirjimell moikulmio kulmie määrää. Ku -kulmio jet kolmioihi, sd kolmioit i kksi vähemmä kui o kulmie määrä, siis kolmiot sd kpplett. ite -kulmio kulmie summ o ( ) 80. Joo yleie jäse o ( ) 80º. Mielivltist :ttä jäsetä seurv jäse o + + (( ) ) 80º ( ) 80º. Lsket äide khde peräkkäise termi erotus. + ( ) 80º ( ) 80º 80º 80º 80º + 80º 80º Kosk peräkkäiste termie erotus o i sm luku 80º, ii lukujoo o ritmeettie. @ tekijät j om Pro Oy 06
Luku 5. 9. Aritmeettie summ void lske summkv vull, ku tiedetää: yhteelskettvie määrä 0, esimmäie jäse j viimeie jäse. 0 Määritetää differessi d j viimeie jäse. 0 d 7 0 + (0 ) + 6 9 Lsket 0 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 0 + 9 0 0 0 0 0 0 Vstus: 0 @ tekijät j om Pro Oy 06
9. yhteelskettvie määrä 0 esimmäie jäse differessi d Määritetää viimeie yhteelskettv. 0 0 + (0 ) 8 0 Lsket 0 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 0 + 0 0 0 0 0 Vstus: 0 0 @ tekijät j om Pro Oy 06
9. ) Joo yleie jäse 5. Yhteelskettvie määrä 8. Määritetää summ esimmäie j viimeie yhteelskettv jäse, j 8. 5 5 8 8 8 Lsket 8 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 8 + 8 8 6 8 8 8 b) Joo yleie jäse 6. Yhteelskettvie määrä 8. Määritetää summ esimmäie j viimeie yhteelskettv jäse, j 8. 6 8 6 8 0 Lsket 8 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 8 + ( 0) 8 8 ( ) 8 8 Vstus: ) 6 b) @ tekijät j om Pro Oy 06
9. ) yhteelskettvie määrä esimmäie jäse viimeie jäse 5 Lsket jäsee summ summkv vull. + + 5 7 97 b) yhteelskettvie määrä 7 esimmäie jäse 90 viimeie jäse 7 60 Lsket 7 jäsee summ summkv vull. + 7 90 + ( 60) 7 7 50 7 ( 75) 55 7 7 c) Lsket yhtee 9 999 esimmäistä positiivist kokoisluku, jote yhteelskettvie määrä 9 999, esimmäie jäse j viimeie jäse 9999 9 999. Lsket 9 999 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 9999 9999 9 999 + 9 999 9 999 9 999 5 000 9 995 000 Vstus: ) 97 b) 55 c) 9 995 000 @ tekijät j om Pro Oy 06
95. ) Aritmeettie summ void lske summkv vull, ku tiedetää yhteelskettvie määrä 50, esimmäie jäse j viimeie jäse. 50 Määritetää differessi d j viimeie jäse. 50 d 5 + (50 ) + 7 59 50 Lsket 50 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 50 50 + 59 75 50 50 b) yhteelskettvie määrä 50 esimmäie jäse 0 viimeie jäse 50 Määritetää differessi d j viimeie jäse. 50 d 7 0 50 0 + (50 ) ( ) 0 67 97 Lsket 50 esimmäise jäsee summ summkv vull. + 50 0 + ( 97) 50 95 50 50 Vstus: ) 75 b) 95 @ tekijät j om Pro Oy 06
96. Aritmeettie summ void lske summkv vull, ku tiedetää yhteelskettvie määrä, esimmäie jäse 0 j viimeie jäse 76. elvitetää yhteelskettvie lukumäärä ritmeettise joo yleise jäsee vull. Määritetää differessi d j yleie jäse. d 0 0 + ( ) 0 + + 6 Rtkist yhteelskettvie määrä viimeise yhteelskettv 76 vull. + 6 76 6 0 : 0 Lsket summ rvo ritmeettise summ kvll. + 0 0 0 + 76 0 6 0 58 580 0 0 Vstus: 580 @ tekijät j om Pro Oy 06
97. ) umm esimmäie jäse j viimeie jäse 96. elvitetää yhteelskettvie lukumäärä ritmeettise joo yleise jäsee vull. Määritetää differessi d j yleie jäse. d 8 ( ) + ( ) + 6 Rtkist yhteelskettvie määrä viimeise yhteelskettv 96 vull. 96 6 96 : Lsket summ rvo ritmeettise summ kvll. + + 96 056 b) Esimmäie jäse j viimeie jäse 507. elvitetää yhteelskettvie lukumäärä ritmeettise joo yleise jäsee vull. Määritetää differessi d j yleie jäse. d 9 6 + ( ) 6 + 6 6 6 @ tekijät j om Pro Oy 06
Rtkist yhteelskettvie määrä viimeise yhteelskettv 507 vull. 507 6 507 6 50 :6 95 Lsket summ rvo ritmeettise summ kvll. + 95 95 + 507 7 75 95 95 Vstus: ) 056 b) 7 75 @ tekijät j om Pro Oy 06
98. Merkitää trvittvie jäseie lukumäärä kirjimell. Joo esimmäie jäse o Viimeie yhteelskettv jäse sd yleise jäsee lusekkeell. Määritetää joo differessi d j yleie jäse. d 69 ( 7) 7 + ( ) 7 + 75 7. Aritmeettie summ void lske summkvll, ku tiedetää yhteelskettvie lukumäärä, esimmäie yhteelskettv 7 j viimeie yhteelskettv 75. Muodostet summlle luseke. 7 + 75 7 7 Piirretää summlusekkee kuvj j etsitää kuvjlt koht, joss summ rvo ylittää esimmäise kerr rvo 0. O lskettv yhtee 50 jäsetä. Vstus: 50 jäsetä @ tekijät j om Pro Oy 06
99. Merkitää trvittvie jäseie lukumäärä kirjimell. Joo esimmäie jäse o Viimeie yhteelskettv jäse sd yleise jäsee lusekkeell. Määritetää joo differessi d j yleie jäse. d 7 ( 5) 5. 5 + ( ) ( ) 5 + Aritmeettie summ void lske summkvll, ku tiedetää yhteelskettvie lukumäärä, esimmäie yhteelskettv 5 j viimeie yhteelskettv. Muodostet summlle luseke. 5 + ( ) 5 ( ) @ tekijät j om Pro Oy 06
Piirretää summlusekkee kuvj j etsitää kuvjlt koht, joss summ rvo litt esimmäise kerr rvo 600. O lskettv yhtee vähitää. jäsetä. Vstus: vähitää jäsetä @ tekijät j om Pro Oy 06
00. ) Merkiästä ähdää, että Joo yleie jäse o esimmäie yhteelskettv o viimeie yhteelskettv o 5 5 9 yhteelskettvi o 5 kpplett. Lsket ritmeettie summ. 5 5 + 9 55 5 b) Merkiästä ähdää, että Joo yleie jäse o + esimmäie yhteelskettv o + 7 viimeie yhteelskettv o 0 0 + yhteelskettvi o 7 kpplett. Lsket ritmeettie summ 7 7 7 + 7 0 70 Vstus: ) 5 b) 70 @ tekijät j om Pro Oy 06
0. ) Lsket joo differessi d j muodostet ritmeettise joo yleise jäsee luseke. d 7 5 5 + ( ) 5+ + Viimeise yhteelskettv järjestysluku o 9. Nyt void merkitä 9 ( + ). b) Lsket joo differessi d j muodostet joo yleise jäsee luseke. d 7 0 0 + ( ) ( ) 0 + + Viimeise yhteelskettv järjestysluku o 7. Nyt void merkitä 7 ( + ). c) Lsket joo differessi d j muodostet ritmeettise joo yleise jäsee luseke. d 5 + ( ) + + Viimeise yhteelskettv järjestysluku o 6. Nyt void merkitä 6 +. @ tekijät j om Pro Oy 06
0. Joo summ o 6, esimmäie yhteelskettv jäse j viimeie yhteelskettv jäse. Muodostet ritmeettise summ kv vull yhtälö j rtkist yhteelskettvie lukumäärä. 6 + 6 6 6 6 : 8 Vstus: 8 0. Aritmeettisess summss o yhteelskettv eli, viimeie yhteelskettv o 9 j summ rvo o 96. Muodostet yhtälö j rtkist. 96 + 9 96 6( + 9) 96 : 6 + 9 6 6 9 Vstus: ) @ tekijät j om Pro Oy 06
0. ) Kosk seurv kerros sisältää i khdeks ltt vähemmä kui edellie, ii lttoje määrät kerroksiss muodostvt ritmeettise joo, jok differessi d 8. Määritetää joo yleie jäse. + ( ) ( 8) 8 + 8 8 + Lsket joo yleise jäsee vull, missä kerroksess lttoje määrä o 88. Muodostet yhtälö j rtkist. 88 8 + 88 8 Jote 8. kerros o yli kerros. b) Lsket lttoje määrä ritmeettise summ. + 8 8 + 88 808 8 8 Lttoj o siis yhteesä 808. Vstus: ) 8. kerros b) 808 ltt @ tekijät j om Pro Oy 06
05. ) Kosk tuottee myyti ksv jok viikko 5 kppleell, tuottee myyit eri viikoill muodostvt ritmeettise joo, jok differessi d 5. Määritetää joo yleie jäse. 5 + ( ) 5 5 + 5 5 5 + 00 Lsket joo 0. jäse. 0 5 0 + 00 50 0. viikoll tuotett myytii 50 kpl. b) Lsket joo 8. jäse. 8 5 8 + 00 550 Lsket myytyje tuotteitte määrä ritmeettise sum. + 8 8 5 + 550 6 075 8 8 Liike tilsi tuotett 6 075 kpl. Vstus: ) 50 kpl b) 6 075 kpl @ tekijät j om Pro Oy 06
06. ) Kosk lääkeost pieeetää 5 mg jok päivä, lääkeokset eri päiviä muodostvt ritmeettise joo, jok differessi d 5. Määritetää joo yleie jäse. 5 + ( ) ( 5) 5 5 + 5 0 5 Rtkist, kuik moes joo jäse o 0 (mg). 0 0 5 0 5 0 : ( 5) 6 Kosk 6. päivää lääkeos o 0 mg, ii lääkekuuri kestää 5 päivää. b) Lukujoo 6. jäse o 0. Lsket 6 esimmäise jäsee muodostm ritmeettie summ. + 6 6 6 6 5 + 0 65 Virte syö lääkettä yhteesä 65 mg. Vstus: ) 5 päivää b) 65 mg @ tekijät j om Pro Oy 06
07. Kosk istuimie määrä ksv i :llä, ii istuite määrät eri pekkiriveillä muodostvt ritmeettise joo, jok differessi d. Määritetää joo yleie jäse. + ( ) + + 8 Muodostet ritmeettie summ, joss esimmäie jäse, viimeie jäse + 8 j jäseie lukumäärä o. + + + 8 + 0 Piirretää summlusekkeest kuvj j etsitää kuvjlt koht, joss summ rvo o 5. Ku yhteelskettvie lukumäärä, ii summ rvo o 5. Vstus: pekkiriviä @ tekijät j om Pro Oy 06
08. ) Li lyheetää jok vuosi yhtä pljo j koko li pitää mks 6 vuodess. Lyheyskertoj o siis 6 j yhde lyheykse suuruus o 60 000 6 0 000. d ritmeettie joo: 60 000, 50 000, 0 000,, 0 000 b) Mksettvt korot muodostvt ritmeettise joo. Aritmeettie summ void lske summkv vull, ku tiedetää: yhteelskettvie määrä 6, esimmäie jäse j viimeie jäse. Lsket esimmäie yhteelskettv jäse j viimeie yhteelskettv jäse. 0,06 60 000 7 60 6 0,06 0 000 60 Lsket summkv vull koro määrä. + 6 7 60 + 60 6 6 560 6 6 Vstus: ) 60 000, 50 000, 0 000,, 0 b) 6 560 @ tekijät j om Pro Oy 06
09. ) Muodostet. jäse x+ ( ) x + x + 9 b) Rtkist summkv vull esimmäie jäse. Muodostet yhtälö j rtkist x. + x+ ( x+ 9) x iis joo esimmäie jäse o. Vstus: ) x + 9 b) @ tekijät j om Pro Oy 06
0. Esimmäie yhdeksällä jollie eliumeroie luoollie luku o 008. Eli 008. Viimeie yhdeksällä jollie eliumeroie luoollie luku o 9 999. Joo differessi d 9. Muodostet joo yleie luseke j lsket kuik moes jäse o 9 999. 008 + ( ) 9 9 + 999 9 999 9 + 999 9999 999 9 9000 : 9 000 Lsket ritmeettise summ kvll kikkie eliumeroiste yhdeksällä jolliste luoolliste lukuje summ. + 9999 000 000 008 + 9 999 000 5 50 500 Vstus: 5 50 500 @ tekijät j om Pro Oy 06
. Joo differessi d j joo 0 esimmäise jäsee summ 0 8 700. Joo yleise jäsee määrittämiseksi pitää selvittää joo esimmäie jäse. Muodostet viimeie yhteelskettv jäse 0. + (0 ) + 9 0 Muodostet 0 esimmäise jäsee summ. + ( + 9) 0 0 0 + 8 580 Muodostet yhtälö j rtkist. 0 8 700 0 + 8 580 8 700 Muodostet lopuksi joo yleie jäse. + ( ) + 8 Yleie jäse o 8,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
. Joo esimmäie jäse j joo kolme esimmäise jäsee summ. Tehtävässä pitää selvittää joo 0. jäse, jok void lske mikäli tiedetää joo differessi. Rtkist esi joo kolms jäse summkv vull. + Rtkist seurvksi joo differessi d kolme jäsee vull. + d + d d Nyt void lske joo 0. jäse. 0 + (0 ) 9 Lsket lopuksi joo 0 esimmäise jäsee summ. + 0 0 + 9 80 0 0 Vstus: 80 @ tekijät j om Pro Oy 06
. Tiedetää esimmäie yhteelskettv jäse 089 j viimeie yhteelskettv jäse 769. Lsket summkv vull yhteelskettvie lukumäärä. Muodostet yhtälö j rtkist. 6 6 089 + 769 6 6 9 Rtkist joo differessi yhdeksäe jäsee 769 vull. 9 + ( 9) d 769 089 + 8d d 0 b) Määritetää joo yleie jäse. Piirretää joo kuvj j etsitää joo piei positiivie jäse. Joo yleie jäse 089 + ( ) 0 0 + 879 Joo piei positiivie kokoisluku o 99. HUOM: Esimmäie koorditti 8 trkoitt, että lukujoo piei positiivie jäse 99 o yhdeksä jäsetä tksepäi esimmäisestä jäseestä, jok lskettii summ muk. Vstus: ) d 0 b) 99 @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) umm lkuperäisessä järjestyksessä: + + +... + + +. umm kääteisessä järjestyksessä: + + +... + + +. ) Lsket summt yhtee termeittäi: + + +... + + + +... + + ( + ) + ( + ) +... + ( + ) + ( + ) ) Lsket kohdss ) sdut summt: + + + ( + d) + ( d) + + ( + ( ) d) + ( ( ) d) + + + Kikki summt ovt siis yhtä suuret +. ) + + + +... + + + + + + + +... + + + + kpplett + : + @ tekijät j om Pro Oy 06
Luku 5.5 5. Geometrie joo o lukujoo, jok khde peräkkäise jäsee suhde o i sm. ), 6,5 Kosk khde peräkkäise jäsee suhde ei ollut sm, ii joo ei voi oll geometrie. b) 8, 6 8 Joo voi oll geometrie. c), 6 Joo voi oll geometrie. d), Kosk khde peräkkäise jäsee suhde ei ollut sm, ii joo ei voi oll geometrie. @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) q 0 5 b) q 7 9 (6 c) q 7 d) ( q :( ) 6 6 7. ) Lukujoo esimmäie jäse. Joo suhdeluku q. Muodostet yleise jäsee luseke.,,,,... b) Lukujoo esimmäie jäse. Lsket joo suhdeluku. ( q 6 6 Muodostet yleise jäsee luseke. 6,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) q 6. b) ( ),,,,... c) ( ) ( ) ( ) 7 5 9. ) q 5 : 5 0 0 b) c) 0,,,,... 0 0 0 000 500 5 5 0. ) q 50 5 50 b) q 50 5 : 5 50 c) q 50 5 : 5 0 d) 0 5,,,,... @ tekijät j om Pro Oy 06
.) Lsket lukujoo suhdeluku. q 5 7. 5 Muodostet lukujoo yleie jäse. 5 7,,,,... b) Lsket lukujoo 7. jäse. 7 6 7 5 7 5 7 588 5.) Lsket lukujoo suhdeluku. q 6 Muodostet lukujoo yleie jäse. ( ),,,,... Nyt void lske joo 9. jäse. 9 8 9 ( ) ( ) 78 7 b) Lsket lukujoo suhdeluku. q : ( ) Muodostet lukujoo yleie jäse.,,,,... Nyt void lske joo 9. jäse. 9 8 9,05 0 6556 768 5 @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) ijoitet 5 yleise jäsee lusekkeesee. 5 5 5,6 0 5 b) Piirretää lukujoo kuvj yleise jäsee lusekkee vull. c) Etsitää jäljitys-toimio vull se lukujoo jäse, jok o esimmäise kerr pieempi kui 000 000. Lukujoo 0. jäse o esimmäie, jok rvo o pieempi kui 000 000. @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Lsket lukujoo suhdeluku. q 6 Muodostet yleise jäsee luseke.,,,,... b) ijoitet 5 yleise jäsee lusekkeesee. 5,85 0 5 5 c) Piirretää lukujoo kuvj yleise jäsee lusekkee vull. d) Etsitää jäljitys-toimio vull se lukujoo jäse, jok o viimeise kerr pieempi kui 000 000. Lukujoo 6 esimmäistä jäsetä ovt pieempiä kui 000 000. @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) Lsket lukujoo suhdeluku. q. 8 Muodostet joo yleise jäsee luseke. 8,,,,... ijoitet 0 yleise jäsee lusekkeesee. 0 8 8, 0 0 9 9 b) Tutkit, oko olemss sellie positiivie kokoisluku, että 57 6. 57 6 8 57 6 : 8 9 68 log 9 68 9 0 Yhtälö void rtkist lskimell. Kosk rtkisu o positiivie kokoisluku, luku 57 6 o lukujoo 0. jäse. @ tekijät j om Pro Oy 06
6. ) Yleise jäsee lusekkee määrittämiseksi trvit geometrise joo esimmäie jäse j suhdeluku q. Määritetää joo suhdeluku. 7 q 867 768 6 Joo kuudes jäse o toislt 6 ( ) 5 j toislt 6 7 86. Rtkist. 768 ( ) 5 768 ( 0) : ( 0) 7 Yhtälö void rtkist lskimell. Muodostet joo yleise jäsee luseke. 7 ( ),,,, b) @ tekijät j om Pro Oy 06
7. ) q 0000 0000 b) Joo kolms jäse o toislt Rtkist. j toislt 0 000. 0 000 0 000 60 000 Yhtälö void rtkist lskimell. c) Muodostet joo yleise jäsee luseke. 60 000 Lsket joo 9. jäse. 9 60 000 65 8 @ tekijät j om Pro Oy 06
8. ) Lukujoo esimmäie jäse 5,0 (m). Kosk pompu korkeus o i jok suhdeluku q. 5 5 edellise pompu korkeudest, muodostuu geometrie joo, Muodostet lukujoo yleise jäsee luseke. 5,0 5,,,, b) Lsket lukujoo 0. jäse. 0 0 9 5,0 5,0 0,670... 0,67 5 5 Kymmeee pompu korkeus o 67 cm. c) Pompu korkeus pieeee jokisell pompull. Rtkist, moeell pompull jäse olisi 0,5 m. 0,5 5,0 0,5 5,8... Rtkist yhtälö lskimell. iis. pomppu o esimmäie, jok korkeus o lle 50 cm. @ tekijät j om Pro Oy 06
9. ) Lukujoo esimmäie jäse 6. Kosk solut jktuvt khti kerr tuiss, muodostuu geometrie joo, jok suhdeluku q. Muodostet yleise jäsee luseke. 6,,,, b) Lsket lukujoo. jäse. 6 65 56 c) Khdess vuorokudess o 8 tuti. Lsket lukujoo 8. jäse. 8 5 8 6,50 0 0. ) Kosk mtkustjmäärä lskee vuositti 8 %, seurv vuode mtkustjmäärä sd, ku edellie kerrot prosettikertoimell 0,9. Muodostuu geometrie joo, jok esimmäise jäse 0 900 j suhdeluku q 0,9. Muodostet joo yleise jäsee luseke. 0900 0,9,,,,... b) Lsket lukujoo 0. jäse. 0 0 0 900 0,9 7,8... 70 @ tekijät j om Pro Oy 06
. Lukujoo esimmäie jäse,0 (m ). Joo suhdeluku q. Muodostet joo yleise jäsee luseke.,0,,,, A-rki pit-l o joo 5. jäse. 5,0 0,065 A-rki pit-l o 0,065 m 65 cm.. ) Kosk suksmäärä ksv jok vuosi, %, seurv vuode suksmäärä sd, ku edellie kerrot prosettikertoimell,0. Muodostuu geometrie joo, jok esimmäie jäse 500 j suhdeluku q,0. Muodostet yleise jäsee luseke. 500,0,,,,... b) Asuksmäärä ksv jok vuosi. Rtkist, miä vuo jäse olisi 0 000. 0000 500,0 0000 7,978... Rtkist yhtälö lskimell. Joo 8. o esimmäie jäse, jok ylittää rvo 0 000. Kosk trkoitt vuott 05, ii 8 trkoitt vuott 0. @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Kosk Topikse pio pieeee jok kuukusi,0 %, seurv kuukude pio sd kertomll edellie prosettikertoimell 0,99. Muodostuu geometrie joo, jok esimmäie jäse 95 (kg) j suhdeluku q 0,99. Muodostet yleise jäsee luseke. 95 0,99,,,,... Lsket lukujoo. jäse. 95 0,99 8,06... 8 Topis pi vuode kuluttu 8 kg. b) Pio lskee jok kuukusi. Rtkist, kuik moete kuukute jäse olisi 80. 80 95 0,99 80 8,098... Rtkist yhtälö lskimell. Joo jäseistä 9. o esimmäie, jok rvo o pieempi kui 80. Topis pi lle 80 kilogrmm 8 kuukude kuluttu. @ tekijät j om Pro Oy 06
. ) Muodostet lukujoo, jok ilmisee uusie vstottjie määrä :ellä kierroksell. Muodostuu geometrie joo, joss j q. Muodostet yleise jäsee luseke.,,,,... Lsket lukujoo 0. jäse. 9 0 56 b) jie määrä suureee jokisell lähetyskierroksell. Rtkist, millä kierroksell jäse o 00 000. 00000 00000 7,0... Rtkist yhtälö lskimell. 00 000: vstottj rj ylittyy 8. lähetyskierroksell. c) Lsket vstottjie kertymä 0:llä lähetyskierroksell. + + + + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 0 + 6 + + + 8 + 96 +9 + 8 + 768 + 56 069 Kymmee lähetyskierrokse jälkee ketjukirjee o sut 069 hekilöä. @ tekijät j om Pro Oy 06
5. ) Kosk suodti poist epäpuhtuksist 75 % jokisell suodtuskerrll, seurv epäpuhtuksie määrä sd kertomll edellie prosettikertoimell 0,5. Muodostuu geometrie joo, jok esimmäie jäse b (mg/l) j suhdeluku q 0,5. Muodostet yleise jäsee luseke. b 0,5,,,, b) Lsket joo 9. jäse. 8 9 b 0,5 b 0,00005... 0,00005b Epäpuhtuksie määrä o tullut 0,00005-kertiseksi. Epäpuhtuksi o jäljellä 0,005 %. 6. ) q 8 8 8 6 b) 6,,,,... c) 8 7 6 6 8 6 6 @ tekijät j om Pro Oy 06
7. Lukujoo o geometrie, jos se khde peräkkäise jäsee suhde o i sm. Muodostet lukujoo peräkkäiset jäseet j +, j lsket iide suhde. + ( + ) + ( ) + Kosk khde peräkkäise jäsee suhde o i, lukujoo o geometrie. @ tekijät j om Pro Oy 06
Luku 5.6 8. ) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. 700 q 900 700 Muodostet summkv. 700 Muodostet lukujoo yleie jäse. q 700 Muodostet summmerkitä. 700 @ tekijät j om Pro Oy 06
b) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. 5 q 5 5 7 Muodostet summkv. 7 7 5 Muodostet lukujoo yleie jäse. q 5 Muodostet summmerkitä. 7 ( 5 ) c) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. q 6 6 Muodostet summkv. 6 6 ( ) ( ) Muodostet lukujoo yleie jäse. q ( ) Muodostet summmerkitä. 6 ( ( ) ) @ tekijät j om Pro Oy 06
9. ) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. q Lsket summ. 8 80 0 0 b) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. q 5 Lsket summ. 5 5 ( ) + ( ) c) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. ( ) q 8 5 Lsket summ. 5 ( ) + 5 ( ) + @ tekijät j om Pro Oy 06
0. ) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. 96,0 96 q,0 96 Lsket summ. (, 0) 96 9,58... 0,0 b) Määritetää suhdelukuluku q, esimmäie yhteelskettv j yhteelskettvie määrä. 0,7 8 0,7 8 q 0,7 0,7 8 Lsket summ. (0,7) 0,7 8,885...,9 0,7 @ tekijät j om Pro Oy 06
. ummkv q q trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 6 yhteelskettvie lukumäärä 7 eitsemä esimmäise jäsee summ o 7 7 86. ) ummkv q q trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 6 yhteelskettvie lukumäärä 8 Khdeks esimmäise jäsee summ o 8 8 765 b) ummkv q q trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 5 5 5 yhteelskettvie lukumäärä 8 Khdeks esimmäise jäsee summ o 8 ( ) 8 5 8 00 ( ) @ tekijät j om Pro Oy 06
. ummkv q q trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 0, yhteelskettvie lukumäärä 7 eitsemä esimmäise jäsee summ o 7 7 0, 9,967... 0,0 0,. Geometrise summ lskemiseksi trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q yhteelskettvie lukumäärä. Yhteelskettvie lukumäärä void selvittää geometrise joo yleise jäsee vull. Määritetää yleie jäse. q Rtkist yhteelskettvie lukumäärä viimeise yhteelskettv 96 608 vull. 96608 9 Rtkist yhtälö lskimell. Lsket summ. 9 9 6 @ tekijät j om Pro Oy 06
5. Geometrise summ lskemiseksi trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 6 8 yhteelskettvie lukumäärä. 8 Yhteelskettvie lukumäärä void selvittää geometrise joo yleise jäsee vull. Määritetää yleie jäse. q 8 Rtkist yhteelskettvie lukumäärä viimeise yhteelskettv 6 8 vull. 8 68 Rtkist yhtälö lskimell. Lsket summ. 8 760 @ tekijät j om Pro Oy 06
6. Geometrise summ lskemiseksi trvit esimmäie yhteelskettv 90000 suhdeluku q 980000 90000 yhteelskettvie lukumäärä. Yhteelskettvie lukumäärä void selvittää geometrise joo yleise jäsee vull. Määritetää yleie jäse. q 90000 Rtkist yhteelskettvie lukumäärä viimeise yhteelskettv 88,5 vull. 90000 88,5 6 Rtkist yhtälö lskimell. Lsket summ. 6 6 90000 5590 50000 @ tekijät j om Pro Oy 06
7. Geometrise summ lskemiseksi trvit esimmäie yhteelskettv suhdeluku q 9 yhteelskettvie lukumäärä. Geometrise summ tulee oll vähitää 9 999. Muodostet epäyhtälö j rtkist. > 9999 > 9999 > 8,0 Rtkist epäyhtälö lskimell. Luku 9 o esimmäie kokoisluku, jok toteutt ehdo > 8,0. Joo lust o lskettv yhtee 9 esimmäistä jäsetä. 8. Kosk myytitulot pieeivät jok viikko %, seurv viiko myytitulot sd kertomll edellie prosettikertoimell 0,96. Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv 500 suhdeluku q 0,96 yhteelskettvie lukumäärä 9. Lsket summ. 9 9 0,96 500 690,75... 6 900 0,96 Koko kesä myytitulot olivt 6 900. @ tekijät j om Pro Oy 06
9. Kosk louhitu mlmi määrä lskee jok vuosi 5 %, seurv vuode mlmi määrä sd kertomll edellie prosettikertoimell 0,95. Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv 50 suhdeluku q 0,95 yhteelskettvie lukumäärä 6. Lsket summ. 6 6 0,95 50 6,908... 60 0,95 Esimmäise kuude vuode ik mlmi louhit 60 toi. 50. Kosk sdemäärä ksv jok päivä 8 %, seurv päivä sdemäärä sd kertomll edellie prosettikertoimell,08. Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv suhdeluku q,08 yhteelskettvie lukumäärä 7. Lsket summ. 7 7,08 5,69 6,08 Vettä stoi viiko ik 6 mm. @ tekijät j om Pro Oy 06
5. Kosk heiluri heilhdusmtk lyheee 0 % jok heilhduksell, seurv heilhdusmtk o 0,8-kertie. Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv 8 suhdeluku q 0,8 yhteelskettvie määrä 0. Lsket summ. 0 0 0,8 8 8,85... 0 0,8 Heiluri pää kulkee 0 heilhdukse ik 0 cm. 5. Kosk jokie kerros sisältää % vähemmä kiveä kui edellise, seurvss kerroksess kive määrä o 0,78-kertie. Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv 6000 suhdeluku q 0,78 yhteelskettvie määrä 5. Lsket summ. 5 5 0,78 6000 777,6... 7000 0,78 Pyrmidiss o yhteesä 7 000 toi kiveä. @ tekijät j om Pro Oy 06
5. Trkstell jokist 500 tlletust erilliseä pääom. Jokise tlletukse rvo,07-kertistuu vuodess. Tlletuste loppurvoist muodostuu geometrie joo. 500,07 500,07 500,07 8 500,07 8 Muodostuu geometrie summ, jok esimmäie yhteelskettv 500,07 suhdeluku q,07 yhteelskettvie määrä 8. Lsket summ. 8 8,07 500,07 80,0... 80,,07 Pääom o 80,. @ tekijät j om Pro Oy 06
5. Rtkist geometrise joo esimmäie termi. 0 8 775 0 8775 08575 8775 955 8775 : 955 Yhtälö void rtkist lskimell. Muodostet joo yleie termi. q Lsket joo 0. termi. 0 0 8858 Joo esimmäie termi o j kymmees termi 88 58. 55. Geometrise summ suhdeluku q esimmäie yhteelskettv yhteelskettvie määrä 6 Rtkist. 6 576606 6 576606 996795 576606 655765 576606 :655765 0, Yhtälö void rtkist lskimell. @ tekijät j om Pro Oy 06
56. ) Kuutioide särmä pituudet muodostvt geometrise joo, joss (m) 0,5 (m) 0,5 0,5 (m) 0,5 (m). b) Pio korkeus o geometrie summ, jok suhdeluku q 0,5 esimmäie yhteelskettv yhteelskettvie määrä 0 Lsket summ rvo. 0 0 0,5,9980...,9980 0,5 Pio korkeus o,9980 metriä. Lsket pio korkeude rvot, ku kuutioit o,, j. 0,5,9990 0,5 0,5,9995 0,5 0,5,9998 0,5 0,5,9999 0,5 Pio korkeus äyttää lähestyvä rvo m. @ tekijät j om Pro Oy 06
57. ) Kerrot summ suhdeluvull q. q ( + q+ q + q ) q q+ q + q q ) Muodostet j sieveetää erotus q. q + q+ q + q ( q+ q + q q ) q ) Rtkist yhtälöstä. q q ( q) ( q ) : ( q) ( q ) q q q @ tekijät j om Pro Oy 06