HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Tehtävä 1 on klassikko. 1. Tässä tehtävässä tapahtumat A ja B eivät välttämättä ole erillisiä. Todista a-, b-kohdan kaavat käyttämällä tn-mitan (äärellistä) additiivisuutta, eli kaavaa (1.2). Kyseessä olevien tapahtumien erillisyyden voit tarkistaa joko Vennin diagrammien avulla tai muulla tavalla. (a) P(A B) P(A) + P(B \ A), (b) P(B) P(A B) + P(B \ A). (c) Tarkista, että ns. yhteenlaskukaava P(A) + P(B) P(A B) + P(A B) on voimassa. (a) Tiedetään, että B \ A B A c, joten joukkoleikkauksen vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden avulla voidaan laskea, että A (B \ A) A (B A c ) A (A c B) (A A c ) B B. Lisäksi käytettiin hyväksi tietoa, että joukon ja sen komplementin leikkaus on tyhjä sekä sitä, että tyhjän joukon leikkaus minkä tahansa joukon kanssa on tyhjä. Siispä tapahtumat A ja B \ A ovat erillisiä. Tn-mitan additiivisuuden mukaan P(A) + P(B \ A) P(A (B \ A)) Vertaamalla tätä tehtävän väitteeseen, huomataan, että väite seuraa, jos A B A (B \ A), sillä tällöin P(A B) P(A (B \ A)) P(A) + P(B \ A). Osoitetaankin, että A B A (B \ A). Koska B \ A B A c B, niin A (B \ A) A B. Toisaalta, jos x A B, niin x A tai x B. Jos x A, niin varmasti x A (B \A). Riittää siis tarkastella tapausta, kun x / A. Koska kuitenkin x A tai x B, niin päättelemme, että tällöin x B. Siispä x B A c B \ A, joten myös nyt x A (B \A). Olemme siis päätelleet, että A B A (B \A) Koska A (B \ A) A B ja A B A (B \ A), niin A B A (B \ A). (b) Kuten edellisessä kohdassa, lähdetään liikkeelle näyttämällä, että tapahtumat (A B) ja (B \ A) ovat erillisiä. Joukkoleikkauksen vaihdannaisuuden ja liitännäisyyden avulla voidaan laskea, että (A B) (B \ A) (A B) (B A c ) (A A c ) (B B) B
Siispä tapahtumat (A B) ja (B \ A) ovat erillisiä. Edellisen kohdan tapaan väitteen osoittamiseksi riittää näyttää, että B (A B) (B \ A), sillä tällöin tn-mitan additiivisuuden mukaan P(B) P((A B) (B \ A)) P(A B) + P(B \ A). Osoitetaan siis, että B (A B) (B \ A). Jos x (A B) (B \ A), niin x (A B) tai x (B \ A). Jos x (A B), niin x B. Jos taas x (B \ A), niin tällöin myös x B. Siispä jos x (A B) (B \ A), niin x B, eli (A B) (B \ A) B. Toisaalta jos y B, niin y (B A) tai y (B A c ) B\A. Siispä tällöin y (A B) (B\A), eli B (A B) (B\A). Näin ollen B (A B) (B \ A). (c) a-kohdan perusteella P(A B) P(A) + P(B \ A) ja b-kohdan perusteella P(A B) P(B) P(B \ A). Nyt P(A B) + P(A B) P(A) + P(B \ A) + P(B) P(B \ A) P(A) + P(B). Siis yhteenlaskukaava on voimassa. 2. Olkoon P(A) 0.5, P(B) 0.4 ja P(A B) 0.3. Laske seuraavien tapahtumien todennäköisyydet, a) B c, b) A B, c) A B c, d) A c B c. (a) Lauseen 1.1 (b) perusteella P(B c ) 1 P(B) 1 0.4 0.6. (b) Yhteenlaskukaavan (lause 1.1 (f)) perusteella P(A B) P(A) + P(B) P(A B) 0.5 + 0.4 0.3 0.6. (c) Koska (A B c ) (B \ A), niin lauseen 1.1 (e) perusteella P(A B c ) P(A \ B) P(A) P(A B) 0.5 0.3 0.2. (d) Koska (A c B c ) (Ω\A) (Ω\B) Ω\(A B), niin lauseen 1.1 (e) perusteella P(A c B c ) P(Ω\(A B)) P(Ω) P(Ω (A B)) 1 P(A B) 1 0.6 0.4. 3. Noppaa heitetään kuusi kertaa. Laske todennäköisyys, että saadaan korkeintaan yksi ykkönen. Merkitään tapahtumia A 0 saadaan tasan 0 ykköstä ja A 1 saadaan tasan 1 ykkönen. Nyt tapahtuman A 0 tapahtuminen tarkoittaa, että jokaisen kuuden heiton silmäluku on 2, 3, 4, 5 tai 6. Yhdellä heitolla tällaisen tapahtuman todennäköisyys on tietysti 5 6. Koska nopanheittojen silmäluvut voidaan olettaa toisistaan riippumattomiksi, niin ( ) 5 6 P(A 0 ) 15625 6 46656. Tapahtuma A 1 voidaan lausua kuuden erillisen tapahtuman B i saadaan ykkönen i:nnellä heitolla ja muilla heitoilla ei saada ykköstä
yhdisteenä, missä i 1, 2, 3, 4, 5, 6. Koska silmäluvut voidaan olettaa toisistaan riippumattomiksi, niin kaikilla i, P(B i ) 1 ( ) 5 5 6 3125 6 46656. Nyt koska A 1 on erillisten tapahtumien B i yhdiste, niin 6 3125 P(A 1 ) P(B i ) 6 i1 46656 3125 7776. Kysytty todennäköisyys on erillisten tapahtumien A 0 ja A 1 yhdiste, jolloin sen todennäköisyys on 15625 46656 + 3125 7776 34375 46656 0.737. Tehtävässä houkuttaisi puhua binomijakaumasta, mutta emme halua vielä tässä vaiheessa kurssia puhua mistään sellaisesta :) 4. Noppaa heitetään kerran. Jos nopan silmäluku on vähintään viisi, niin tämän jälkeen lanttia heitetään yhtä monta kertaa, kuin nopan silmäluku. Muussa tapauksessa lanttia heitetään kahdesti. Laske todennäköisyys, että tässä kokeessa lantinheitoissa ei saada yhtään kruunaa. (Vihje: kokonaistodennäköisyys.) Merkitään A 5 : saadaan nopasta silmäluku viisi A 6 : saadaan nopasta silmäluku kuusi ja A 1234 : saadaan nopasta silmäluku 1,2,3 tai 4. Nyt P(A 5 ) P(A 6 ) 1 6 P(A 1234 ) 4. 6 Merkitään B : lantinheitossa ei saada yhtään kruunaa. Tapahtuma B voi tapahtua kolmella tavalla : Kahden kolikon heitossa ei saada yhtään kruunaa eli molemmat ovat klaavoja. Tämä vaatii tapahtuman A 1234 tapahtumisen, eli tapahtuman todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P(B A 1234 ). Koska kolikonheitot voidaan olettaa riippumattomiksi, niin P(B A 1234 ) 1 1 1 2 2 4 Viiden kolikon heitossa ei saada yhtään kruunaa eli kaikki viisi heittoa ovat klaavoja. Tämä vaatii tapahtuman A 5 tapahtumisen, eli tapahtuman todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P(B A 5 ) ja riippumattomuuden nojalla P(B A 5 ) ( 1 2 )5 1 32 Kuuden kolikon heitossa ei saada yhtään kruunaa eli kaikki kuusi heittoa ovat klaavoja. Tämä vaatii tapahtuman A 6 tapahtumisen, eli tapahtuman todennäköisyys on ehdollinen todennäköisyys P(B A 6 ) ja riippumattomuuden nojalla P(B A 6 ) ( 1 2 )6 1 64 Tapahtumat A 1234, A 5 ja A 6 ovat perusjoukon ositus, jolloin ne osittavat tapahtuman B eli B (B A 1234 ) (B A 5 ) (B A 6 ). Näin ollen kokonaistodennäköisyyden kaavalla saadaan P(B) P(A 1234 )P(B A 1234 ) + P(A 5 )P(B A 5 ) + P(A 6 )P(B A 6 ) 4 6 1 4 + 1 6 1 32 + 1 6 1 64 67 384 0.174. ja
5. Eräs opiskelija P vastaa monivalintatehtävään. Mikäli P tietää oikean vastauksen, hän valitsee sen. Muussa tapauksessa P arvaa yhden tarjolla olevista kuudesta vaihtoehdoista umpimähkään. P tietää oikean vastauksen todennäköisyydellä 0.7. P vastaa ko. monivalintatehtävään oikein. Millä todennäköisyydellä hän todella tietää oikean vastauksen? (Selvennys: tässä tietenkin kysytään ehdollista todennäköisyyttä.) Merkitään tapahtumaa T P tietää vastauksen tehtävään, jolloin T c P ei tiedä vastausta tehtävään, ja tapahtumaa O P vastaa tehtävään oikein. Tehtävänannosta saadaan P(T ) 0.7 7 ja tästä todetaan, että P(T c ) 3. Koska 10 10 P valitsee oikean vastauksen (eli vastaa oikein), jos hän tietää vastauksen kysymykseen, niin P(O T ) 1. Jos hän taas ei tiedä vastausta, niin hän joutuu arvaamaan ja osuu oikeaan todennäköisyydellä 1. Siis P(O T c ) 1. Nyt T ja T c osittavat O:n, 6 6 eli O (O T ) (O T c ). Siten (kokonais)todennäköisyys, että P vastaa oikein on P(O) P(T )P(O T ) + P(T c )P(O T c ) 7 10 1 + 3 10 1 6 3 4 ja kysytty todennäköisyys saadaan Bayesin kaavalla: P(T O) P(T )P(O T ) P(O) 7 1 10 3 4 14 15 0.933. 6. Heitetään noppaa kahdesti. Olkoon A tapahtuma jompi kumpi silmäluvuista on 1 tai 2 ja olkoon B tapahtuma jompi kumpi silmäluvuista on 3 tai 4. a) Näytä (suoraan laskemalla) määritelmän 1.4 avulla, että A ja B eivät ole riippumattomia. b) Olkoon C tapahtuma ensimmäisellä heitolla saatiin 4,5 tai 6 ja toisella heitolla saatiin 2,5 tai 6. Näytä (suoraan laskemalla) määritelmän 1.6 avulla, että A ja B ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla C. a) Olkoon perusjoukko Ω {1, 2, 3, 4, 5, 6} {1, 2, 3, 4, 5, 6} {(x, y) : x, y {1, 2, 3, 4, 5, 6}}, missä ensimmäinen luku ilmaisee ensimmäisen ja toinen luku toisen heiton tuloksen. Luettelemalla kaikki suotuisat alkeistapaukset ja käyttämällä klassista todennäköisyyttä saadaan P(A B) P( jompi kumpi silmäluvuista on 1 tai 2, ja jompi kumpi silmäluvuista on 3 tai 4 ) P({(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (4, 1), (4, 2)}) 8 6 2 2 9. Tapahtuman A todennäköisyydeksi saadaan P(A) 1 P(A c ) 1 P( kummallakin nopalla saadaan 3, 4, 5 tai 6 ) 1 P({3, 4, 5, 6} {3, 4, 5, 6}) 1 42 6 2 5 9
ja samanlaisella päättelyllä myös tapahtuman B tn:ksi saadaan P(B) 5. 9 Nyt siis P(A B) 2 9 25 81 5 9 5 P(A) P(B), 9 joten tapahtumat A ja B eivät ole riippumattomia. b) Siis tapahtuma C {4, 5, 6} {2, 5, 6} {(4, 2), (4, 5), (4, 6), (5, 2), (5, 5), (5, 6), (6, 2), (6, 5), (6, 6)} ja sen todennäköisyys P (C) 9 6 2. Nyt P((A B) C) P(A B C) P({(4, 2)}) 1/62 9/6 2 1 9 3/62 9/6 3/62 2 9/6 2 P({(4, 2), (5, 2), (6, 2)}) P(A C) P(B C) P(A C) P(B C), eli A ja B ovat ehdollisesti riippumattomia ehdolla C. P({(4, 2), (4, 5), (4, 6)})