1. Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi ja asettele alkiot siihen.

Transkriptio

1 Joukko-oppia Matematiikan mestariluokka, syksy 2010 Harjoitus 1, vastaukset Otetaan perusjoukoksi X := {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Piirrä seuraaville kolmelle joukolle Venn-diagrammi asettele alkiot siihen. Merkitse kuvaan A \ B A B C. A := {0, 1, 2, 3} B := {0, 3, 4, 5} C := {0, 1, 5, 6} Muistutus: Joukon C komplementti, merkitään C, tarkoittaa niiden alkioiden jotka eivät kuulu joukkoon C joukkoa. Kuva 1: Joukot A, B C Kuva 2: A \ B Kuva 3: A B C 2. Olkoon A i := {x R 0 x < 1/i}, 1

2 missä i = 1, 2, 3,.... Tarkoittaa sitä, että joukko A i koostuu sellaisista reaaliluvuista x x R joille pätee ehto 0 x < 1/i. Kun käsitellään tämänlaisia reaalilukukokoelmia oletetaan erikseen sitä mainitsematta että perusjoukko eli kaikkien olemassaolevien lukujen joukko on R, kaikkien reaalilukujen joukko. Hahmottele lukusuoralle A 2 A 3. A 1 on jo kuvassa; avoin pallo tarkoittaa että kyseinen piste ei kuulu joukkoon suljettu että kuuluu. 0 1/4 1/2 3/4-1 Etsi pienin sellainen i että luku 1/10 ei kuulu joukkoon A i. Sitten etsi pienin sellainen i että luku d, missä d on hyvin pieni luku ei kuulu joukkoon A i. Päättele edelläolevan nolla mitä luku on joukossa eli joukkojen A i leikkauksessa eli siinä joukossa jonne kuuluvat ne luvut jotka kuuluvat jokaiseen joukkoon A i. Vastaus: A i Kuva 4: Joukot A 1, A 2 A 3 Jos 1/10 ei kuulu joukkoon A i, niin 1/i 1/10. 1/i = 1/10 käy, sillä piste 1/i ei kuulu joukkoon A i ; sillehän ei päde että 0 1/i < 1/i. Kertomalla tämän epäyhtälön molemmat puolet luvuilla i 10 saadaan, että 10 i, pienin luku mille tämä pätee on i = 10. Samoin jos halutaan että d > 0 ei kuulu joukkoon pitää i valita siten, että 1/i d eli 1/d i. Koska ollaan oletettu että d on hyvin pieni, niin erityisesti d < 1 jolloin 1/d > 1 joten tämä on järkevä ehto koska i:n on oltava kokonaisluku, i = 1, 2, 3,...; pieni käypä i saadaan kun valitaan pienin i joka toteuttaa epäyhtälön 1/d i. Huomaa että mitä pienempi d on, sitä suurempia ovat 1/d näin ollen myös vaadittava i. Koska d voi olla hyvinkin kummallinen luku, eli ole mitään takuuta siitä että 1/d olisi kokonaisluku; näin ollen ei voida valita i = 1/d kuten yllä. Edellinen tapaus oli yksittäinen esimerkki tästä yleisestä tapauksesta, tapaus d = 1/10, jolloin 1/d = 10. Tämän pitkällisen vatvomisen jälkeen voidaan aavistaa, että olipa meillä miten tahansa pieni luku d > 0, sille löytyy kunhan i on riittävän iso joukko A i siten, että d ei kuulu joukkoon A i. Menemättä sen enempää asian syvällisyyksiin on siis selvää että mikään 2

3 luku d > 0 ei kuulu joukkoon A i. Koska mikään luku d < 0 ei selvästikään kuulu leikkaukseen, koska d = 0 selvästi kuuluu jokaiseen joukkoon A i, saadaan että A i = {0}. 3. Muistetaan että suljettu väli [a, b] tarkoittaa niitä reaaliluku x joille a x b, avoin väli 1 ]a, b[ niitä luku x joille a < x < b. Välit ovat lukukokoelmia so. joukko. 2 a Mitä alkioita on joukossa [a, b]\]a, b[? b Entä joukossa [a, a]? c Entä joukossa ]a, a[? Vastaus: a Sieventämällä yhdistämällä välien määritelmiä saadaan, että b Samoin kuin yllä c Nyt nähdään heti, että sillä ei tällaisia luku ole! [a, b]\]a, b[ = {x R a x b} \ {x R a < x < b} = {x R a x b x a tai x b} = {x R x = a tai x = b} = {a, b}. [a, a] = {x R a x a} = {x R x = a} = {a}. ]a, b[ = {x R a < x < a} = {x R x > a x < a} = {}, 4. Olkoon a < b c < d. Hahmottele välit [a, b] [c, d] lukusuoralle laske [a, b] \ [c, d] kun a a < c < b < d b b < c c c < a < b < d. Muista että puoliavoin väli, esim. ]0, 1], määritellään {x R 0 < x 1}. Vastaus: a [a, b] \ [c, d] = [a, c[ b [a, b] \ [c, d] = [a, b] c [a, b] \ [c, d] = {} 1 Joskus avointa väliä merkitään myös a, b. Taitaa olla niin että ]a, b[ on eurooppalainen a, b amerikkalainen merkintätapa. 2 Tässä tavallaan oletetaan että a b, sillä on äärimmäisen vaikea löytää luku x joille a x b jos a > b! Tietenkin tällöin voi sanoa että [a, b] = {} eli tyhjä joukko, eli joukko johon ei kuulu yhtään alkiota, mutta tämä on aika mielenkiinnoton tapaus. 3

4 Kuva 5: Joukko [a, b] \ [c, d] Tehtävän 4 kohdassa a Kuva 6: Joukko [a, b] \ [c, d] Tehtävän 4 kohdassa b 5. Olkoon B i := [0, i + 1/i]. Päättele, arvaa, hahmottele tai näytä mitä joukko ovat a B 1 B 2, b B 1 B 2 B 3 c B i. Entä jos joukkojen B i tilalle laitetaan joukot C i, missä C i := [0, i 1/i[? Vastaus: Olkoon B i := [0, i + 1/i]. a, b Nyt selvästikin B 1 B 2 = [0, 2] [0, 3/2] = [0, 2] B 1 B 2 B 3 = [0, 2] [0, 3/2] [0, 4/3] = [0, 2], sillä 2 > 3/2 > 4/3 yleisemminkin i + 1/i > i /i + 1. Tämä tarkoittaa sitä, että A j A i kun j > i, joten n A i = A 1 jokaiselle n, joten A i = A 1 = [0, 2]. Jos nyt tarkastellaan joukko C i = [0, i 1/i], niin C 1 = [0, 0] = {0}, C 2 = [0, 1/2] C 3 = [0, 2/3], joten C 1 C 2 C 3. Tällöin C 1 C 2 = C 2 4

5 Kuva 7: Joukko [a, b] \ [c, d] Tehtävän 4 kohdassa c C 1 C 2 C 3 = C 3. Joukon C i oikea ra on i 1/i eli 1 1/i, joka on a pienempi kuin 1, b mielivaltaisen lähellä lukua 1 kunhan i on riittävän iso. Tämän päättelyn tekemiseksi täydellä matemaattisella tarkkuudella tarvittaisiin matemaattisen ra-arvon käsitettä, 3 joten tyydytään sellaiseen järkevältä vaikuttavaan vertaa tehtävä 2 atukseen että jos d on luku siten että 0 d < 1, niin kun i on tarpeeksi iso, niin d kuuluu joukkoon A i. Koska jokainen i 1/i < 1 jokaisella i, ei 1 eikä mikään sitä suurempi luku kuulu mihinkään joukkoon A i. Näin ollen C i = [0, 1[. 6. Olkoon Laske D i := [ 1/i, 1/i]. D i \ D i. Vihje. Tässä yhteydessä laske tarkoittaa hahmottele tilannetta sen verran että voit tehdä hyvät arvaukset siitä mitä alkioita kuulu joukkoihin D i yhdiste; kuuluu johonkin joukoista D i D i leikkaus; kuuluu jokaiseen joukoista D i. Koska matematiikassa pelkkä hyvä arvaus ei riitä, näytä sen jälkeen arvauksesi todeksi jos esimerkiksi olet sitä mieltä että D i = [ 2, 2], niin näytä että a mielivaltainen luku x [ 2, 2] kuuluu johonkin joukoista D i joten se kuuluu niiden yhdisteeseen, b mielivaltainen luku x D i, eli x D i jollekin i, on pelkän tämän oletuksen nolla välillä [ 2, 2]. 4 Leikkausta D i voi tutkia esim. tutkimalla erikseen sitä, kuuluvatko luvut x < 0, x = 0 x > 0 jokaiseen joukoista D i vaiko eivät. Vastaus: Olkoon D i := [ 1/i, 1/i]. Tällöin D 1 = [ 1, 1], D 2 = [ 1/2, 1/2], D 3 = [ 1/3, 1/3], niin edelleen. Kun luku i kasvaa, joukon D i rat hiipivät kohti lukua 0. Erityisesti joukot D i pienenevät pysyvät sisäkkäin, eli D j D i kun j > i. 1 Näin ollen jos x on mielivaltainen luku siten, että x D i, niin x kuuluu johonkin joukkoon D i, i 1. Tällöin x kuuluu joukkoon D 1. Näin ollen, jos nyt mielivaltainen joukon D i luku kuuluu joukkoon D 1, tiedetään että D i D 1. 3 Eli muutamaa ylimääräistä tuntia aikaa puhua harjoitella; mutta ei näin kesken joukko-opin takerruta siihen. 4 Ja ei, D i [ 2, 2]. 5

6 Jos taas oletetaan että x D 1, niin tietenkin x D i. Näin ollen D 1 D i. Tämä on mahdollista vain kun D i = D 1 = [ 1, 1]. 2 Olkoon x > 0. Tällöin voidaan aina löytää 5 kokonaisluku i siten, että 1/i < x. Näin ollen jokaiselle x > 0 on olemassa D i siten, että x / D i. Tällöin kaikille x > 0 pätee, että x / D i; jos x ei kuulu yhteen joukoista D i se ei kuulu niiden kaikkien yhteiseen osaan. Samoin voidaan päätellä luvuille x < 0 että yksikään niistä ei kuulu joukkojen D i leikkaukseen. Nollalle puolestaan nähdään heti, että 0 D i jokaiselle i. Koska näin on tutkittu erikseen kaikki reaaliluvut x < 0, x = 0 x > 0, tiedetään että 3 Kohtien 1 2 perusteella D i \ D i = {0}. D i = [ 1, 1] \ {0}. 7. Olkoon F i = [i, i + 1]. Onko totta, että n F i = n F i? Vastaus: Lasketaan väitetyn yhtälö kumpikin puoli auki pala palalta. Ensinnäkin, n F i = [1, 2] [2, 3] [3, 4]... [n, n + 1] = [1, n + 1]. Tässä n on tarkemmin määräämätön kokonaisluku. Näin ollen n F i = [1, n + 1] = [1, 2] [1, 3] [1, 4]... = [1, 2]. Toisaalta taas n F i = [1, 2] [2, 3] [3, 4]... [n, n + 1]. Se, mitä tämä leikkaus on, riippuu siitä miten suuri luku n on. Jos n = 1, niin 1 F i = F 1 = [1, 2]. 5 Tämä ei ole täysin mielenkiinnoton huomio, mutta reaali- rationaalilukujen keskeisten ominaisuuksien omituisuuksien tutkiminen söisi helposti useammankin mestariluokan. 6

7 Jos n = 2, niin 2 F i = F 1 F 2 = [1, 2] [2, 3] = {2}. Jos n > 2, niin leikkaukseen kuuluvat ainakin joukot F 1, F 2 F 3. Koska jo näillä kolmella joukolla ei ole yhtään yhteistä pistettä ei niitä useamman joukon leikkauksella myöskään ole yhteisiä pisteitä, joten n F i = {}. Näin ollen n F i = [1, 2] {2} {} = [1, 2]. Koska sen molemmista puolista tuli [1, 2], tehtävän yhtäsuuruus pätee. 8. Hahmottele millainen joukko tason pisteitä 6 on G, kun n=3 G := A \ B \ C \ D E \ F A := {x, y R 2 x, y 1}, B := {x, y R 2 x, y < 1/2}, C := {x, y R 2 x > 0}, D := {x, y R 2 y 0}, E := {x, y R 2 1 < y < 1/2} F := {x, y R 2 x > 1/2 tai x < 1}. Huomaa että tässä a, b := a 2 + b 2, jonka voi tulkita tarkoittamaan pisteen a, b etäisyyttä origosta eli pisteestä 0, 0. Kuuluuko piste 1/2, 0 joukkoon G? Entä pisteet 3/4, 1 1, 3/4? Johtuen tehtävien laatin so. OT kyvyttömyydestä erottaa merkkejä \ toisistaan, tapaamisessa ettu vastaus oli joukolle G := A \ B \ C \ D E \ F eikä tehtäväpaperissa olleelle joukolle G := A B \ C \ D E \ F. Alla on kuvat molemmista. 6 Lukin on oltava tässä tarkkana, sillä merkintä a, b voi tilanteesta riippuen tarkoittaa tason pistettä jonka x-koordinaatti on a y-koordinaatti on b, tai sitten amerikkalaiseen tapaan merkittyä avointa väliä lukujen a b välillä, eli sellaisia luku x joille a < x x < b. Kyse on täysin erilaisista yhteensopimattomista olioista, onhan ensimmäinen yksittäinen luku pisteen voi hahmottaa kaksipaikkaisena lukuna, kompleksilukuna, vektorina, jne. toinen puolestaan joukko eli kokoelma olioita, tässä tapauksessa kokoelma luku. Tällaisten sekaannusten välttäminen on osa motivaatiota sille että avointa väliä voidaan merkitä myös eurooppalaisella merkinnällä ]a, b[. Matemaattiset merkinnät ovat pohjimmiltaan täysin mielivaltaisia, niitä on turha käyttää elleivät ne helpota elämää tai omaa riittävästi an mukanaan tuomaa arvovaltaa; ajoittain historiallisista syistä johtuen seuraa tällaisia potentiaalisia sekaannustilanteita. Ja esimerkiksi se että luku merkitään kymmen- eikä kaksitoistajärjestelmää käyttäen, siis kymmenen moninkertoina kymmenet, sadat eli 10 2, tuhannet eli 10 3, jne. eikä kahdentoista moninkertoina kahdettoista, 144:t eli 12 2, 1728:t eli 12 3, jne. on pelkkä historiallinen sattuma eikä mikään seuraus siitä että luku 10 olisi jotenkin erikoinen tai erityisen hyvä; mutta uuden merkintätavan käyttöönotossa voisi ilmetä käytännön hankaluuksia. 7

8 Vastaus 1: Olkoon G := A\B\C \D E \F. Kuva alla. Kuvan avulla nähdään että kysytyt pisteet ovat joukon G reunalla, lukemalla määritelmiä tarkasti nähdään, että 1/2, 0 G, 3/4, 1 / G 1, 3/4 G. Esimerkiksi 1/2, 0 G, koska 1/2, 0 A 1/2, 0 / B sillä 1/2, 0 = 1/2 sekä 1/2, 0 / C \ D koska 1/2, 0 D. Kuva 8: Joukko G := A \ B \ C \ D E \ F Vastaus 2: Olkoon G := A B \ C \ D E \ F. Kuva alla. Kuvan avulla nähdään että kysytyt pisteet ovat joukon G reunalla, lukemalla määritelmiä tarkasti nähdään, että 1/2, 0 / G, 3/4, 1 / G 1, 3/4 G. Esimerkiksi 1/2, 0 / G, koska 1/2, 0 / B; tämän jälkeen riittää atella että koska piste ei ole joukossa B, se ei ole joukkojen A B yhteisessä osassa A B, joten se ei ole sitä pienemmässä joukossa A B \ C \ D; koska se ei selvästikään ole joukossa E \ F, ei se ole joukossa G. Kuvan piirtämisessä voi olla avuksi piirtää ensin jokainen joukoista A F erikseen. 8

9 Kuva 9: Joukko G := A B \ C \ D E \ F 9