Todennäköisyyslaskenta

Transkriptio

1 Todennäköisyyslaskenta Syksy 2017 Kerkko Luosto 3. lokakuuta 2017 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

2 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla kaksi noppaa, vihreän ja sinisen. Nopat vaikuttavat samanlaisilta ja toinen niistä on aivan tavallinen symmetrinen noppa, mutta toista voi käyttää peleissä huijaamiseen, sillä se tuottaa väärillä todennäköisyyksillä silmälukuja: Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

3 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla kaksi noppaa, vihreän ja sinisen. Nopat vaikuttavat samanlaisilta ja toinen niistä on aivan tavallinen symmetrinen noppa, mutta toista voi käyttää peleissä huijaamiseen, sillä se tuottaa väärillä todennäköisyyksillä silmälukuja: kukin suurista silmäluvuista (4, 5 ja 6) saadaan todennäköisyydellä 2/9, Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

4 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla kaksi noppaa, vihreän ja sinisen. Nopat vaikuttavat samanlaisilta ja toinen niistä on aivan tavallinen symmetrinen noppa, mutta toista voi käyttää peleissä huijaamiseen, sillä se tuottaa väärillä todennäköisyyksillä silmälukuja: kukin suurista silmäluvuista (4, 5 ja 6) saadaan todennäköisyydellä 2/9, kun taas pienten silmälukujen (1, 2 ja 3) todennäköisyydet ovat kullakin 1/9. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

5 Johdanto Johdantoesimerkki Esimerkki Hannu Huijari ostaa Keijo Kelmiltä Hämärätorilla kaksi noppaa, vihreän ja sinisen. Nopat vaikuttavat samanlaisilta ja toinen niistä on aivan tavallinen symmetrinen noppa, mutta toista voi käyttää peleissä huijaamiseen, sillä se tuottaa väärillä todennäköisyyksillä silmälukuja: kukin suurista silmäluvuista (4, 5 ja 6) saadaan todennäköisyydellä 2/9, kun taas pienten silmälukujen (1, 2 ja 3) todennäköisyydet ovat kullakin 1/9. Kiireessä Hannu unohtaa kysyä Keijolta, kumpi noppa on aito ja kumpi väärennetty. Miten Hannun kannattaa käyttää noppia kilpajuoksupelin tyyppisissä peleissä, joissa vain silmälukujen kertymät merkitsevät, kun vain yhtä noppaa heitetään kerrallaan, mutta kierroksia tulee siis lukuisia? Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

6 Johdanto Ratkaisuidea Hannu Huijarin pitää siis selvittää kokeilemalla, kumpi noppa on väärennetty onnennoppa. Hän ei voi kuitenkaan koskaaan saavuttaa asiasta täyttä varmuutta, koska on mahdollista, että hänellä on vain huonoa onnea parempaa noppaa heittäessään. Hän voi vain tietää, että hänen valintansa on lähes varmasti oikea, ts. tiettyä pientä erehtymistodennäköisyyttä ε vaille. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

7 Johdanto Ratkaisuidea Hannu Huijarin pitää siis selvittää kokeilemalla, kumpi noppa on väärennetty onnennoppa. Hän ei voi kuitenkaan koskaaan saavuttaa asiasta täyttä varmuutta, koska on mahdollista, että hänellä on vain huonoa onnea parempaa noppaa heittäessään. Hän voi vain tietää, että hänen valintansa on lähes varmasti oikea, ts. tiettyä pientä erehtymistodennäköisyyttä ε vaille. Seuraava idea johtaa siihen, että mitä pidemmälle peli etenee, sitä vähemmän Hannu kuluttaa aikaansa tavallisen nopan heittelyyn: Hannu jakaa heittonsa testikierroksiin ja kierroksiin, jolla hän hyödyntää testikierroksien tuloksen. Kun kierrokset indeksoidaan luonnollisilla luvuilla, niin testikierroksella k 2 1 hän heittää vihreätä ja kierroksella k 2 sinistä noppaa (k Z + ). Hyödyntämiskierroksilla hän heittää sitä nopista, joka on tuottanut testikierroksilla siihen saakka parhaan tuloksen (tai vihreätä, jos tilanne on tasan). Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

8 Johdanto Ratkaisu ja teoria Jotta johdantoesimerkin ratkaisua pystyisi kunnollisesti käsittelemään ja analysoimaan, niin kohtuullinen määrä todennäköisyyslaskennan teoriaa joudutaan kehittämään. Ensinnäkin täytyy ymmärtää, miten käsiteltävä satunnaisilmiö mallinnetaan, jotta sitä ylipäätänsä päästäisiin käsittelemään matematiikan työkaluilla. Täytyy siis selvittää, mitkä ovat tarkasteltavat alkeistapaukset, mistä tapahtumista on kiinnostuttu ja mitkä satunnaismuuttujat ovat tarkastelun kannalta merkityksellisiä. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

9 Johdanto Ratkaisu ja teoria Jotta johdantoesimerkin ratkaisua pystyisi kunnollisesti käsittelemään ja analysoimaan, niin kohtuullinen määrä todennäköisyyslaskennan teoriaa joudutaan kehittämään. Ensinnäkin täytyy ymmärtää, miten käsiteltävä satunnaisilmiö mallinnetaan, jotta sitä ylipäätänsä päästäisiin käsittelemään matematiikan työkaluilla. Täytyy siis selvittää, mitkä ovat tarkasteltavat alkeistapaukset, mistä tapahtumista on kiinnostuttu ja mitkä satunnaismuuttujat ovat tarkastelun kannalta merkityksellisiä. Tämän jälkeen päästään laskemaan ensin yksinkertaisia tunnuslukuja ja vertaamaan tavallisen nopan yksittäisen heiton odotusarvoa ja hajontaa väärennetyn nopan vastaaviin tunnuslukuihin. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

10 Johdanto Pidemmälle menevässä teoriassa tutustutaan siihen, miten tunnusluvut käyttäytyvät toistoissa. Suurten lukujen laki valaisee, mitä tässä tapahtuu. Johdantoesimerkin käsittelyyn riittää T²eby²ovin epäyhtälö. Johdantoesimerkin ratkaisussa testikierrosten lukumäärä voitaisiin vähentää ja Hannu Huijarin ratkaisua siis parantaa, jos valjastettaisiin käyttöön keskeinen raja-arvolause ja siihen liittyvä normaaliapproksimaatio. Tässä kuljetaan jo sillä rajalla, että tällä peruskurssilla nämä asiat saattavat jäädä maininnan varaan. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

11 Johdanto Ratkaisu ja sovellukset Johdantoesimerkki tietenkin yleistyy: On epäoleellista, että noppia on vain kaksi, niitä voisi olla useampiakin. Nopan tilalla voisi olla mikä tahansa toistettava mekanismi, joka tuottaa rajoitetun satunnaismuuttujan. Robotiikan ja koneoppimisen puolella noppien sijasta käytetään esimerkkinä peliautomaattia, jota kutsutaan monikätiseksi rosvoksi. Kyse on siis tilanteista, joissa robotti voidaan ohjata hyödyntämään parasta käytettävissä olevista resursseista. Johdantoesimerkkiin liittyvässä pyrkimyksessä tutkia, kumpi noppa on parempi, voi nähdä myös tilastollisen tutkimuksen aihioita. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

12 Johdanto Historiaa Quando si parte il gioco de la zara, colui che perde si riman dolente, repetendo le volte, e tristo impara; Dante: Divina Commedia, Purgatorio, Canto VI Kun päättyy noppapeli, paikallensa hävinnyt tuskaisena jää ja toistaa taas heittojaan ja murhemielin tutkii. Suom. Eino Leino Gerolamo Cardano kirjoitti 1563 kirjan Liber de ludo aleae, jossa hän käsitteli oikein esimerkiksi kahden nopan heiton todennäköisyyksiä. Blaise Pascal ja Pierre de Fermat kävivät 1600-luvun puolivälissä kirjeenvaihtoa, jonka yhteydessä he kehittivät klassisen todennäköisyyslaskennan perusteet, mm. binomijakauman. Bernoullit ja Abraham de Moivre (The Doctrine of Chances) kehittivät todennäköisyyslaskennan teoriaa eteenpäin 1700-luvulla. Andrei Kolmogorov esitti todennäköisyyslaskennan aksioomat 1933; näin todennäköisyyslaskennasta tuli osa mittateoriaa. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

13 Peruskäsitteitä Satunnaisilmiöstä todennäköisyysavaruuteen Satunnaisilmiön matemaattisessa mallintamisessa on seuraavat vaiheet: Kartoitetaan satunnaiskokeeseen liittyvät alkeistapaukset. Kaikkien alkeistapausten joukko on muodostettavan todennäköisyysavaruuden perusjoukko Ω. Selvitetään, mistä alkeistapausten joukoista on kiinnostuttu eli mitkä ovat tapahtumia. Yksinkertaisissa tapauksissa voidaan valita tapahtumien perheeksi F = P(Ω). Tällöin siis F on joukon Ω potenssijoukko P(Ω) = {A A Ω} eli kiinnostuksen kohteita ovat kaikki perusjoukon osajoukot. Selvitetään, miten todennäköisyys jakaantuu eri alkeistapausten välillä. Yksinkertaisia tapauksia ovat symmetriset todennäköisyysavaruudet, joissa alkeistapauksilla on sama paino. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

14 Peruskäsitteitä Hämärätorin tapaus Esimerkki Hämärätorin tapauksessa alkeistapauksien voidaan olettaa olevan jonoja ((v i, s i )) i N, missä v i N = {1, 2, 3, 4, 5, 6} on vihreän nopan silmäluku kierroksella i ja vastaavasti s i N on sinisen nopan silmäluku tällä kierroksella. Käsittelyä ei haittaa, että vain toista nopista heitetään kierroksella i; toisen nopan heitto jää haamuheitoksi, jolla ei ole vaikutusta tarkasteluun. Lyhyesti joukko-opillisesti kirjoitettuna alkeistapausten joukko eli perusjoukko on siis Ω = N (NxN). Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

15 Peruskäsitteitä Todennäköisyysavaruus Määritelmä Perhe F joukon Ω osajoukkoja on σ-algebra, jos 1 Ω F. 2 Jos A F, niin Ω A F. 3 Jos jokaisella i N pätee A i F, niin A i F. i N Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

16 Peruskäsitteitä Todennäköisyysavaruus Määritelmä Perhe F joukon Ω osajoukkoja on σ-algebra, jos Ω F ja F on suljettu komplementoinnin ja numeroituvien yhdisteiden suhteen. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

17 Peruskäsitteitä Todennäköisyysavaruus Määritelmä Perhe F joukon Ω osajoukkoja on σ-algebra, jos Ω F ja F on suljettu komplementoinnin ja numeroituvien yhdisteiden suhteen. Määritelmä Kolmikko (Ω, F, P) on todennäköisyysavaruus, jos F on Ω:n σ-algebra ja todennäköisyys P: F R toteuttaa seuraavat aksioomat: Kaikilla A F pätee P(A) 0. P(Ω) = 1. Jos jokaisella i N pätee A i F ja tapahtumat A i ovat keskenään erillisiä (eli A i A j = ), niin ( ) P A i = P(A i ). i N i=0 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

18 Peruskäsitteitä Määritelmä (jatkoa) Todennäköisyysavaruuden (Ω, F, P) perusjoukko Ω on alkeistapauksien joukko ja F on tapahtumien perhe. Viimeinen todennäköisyydelle asetettu ehto kertoo, että todennäköisyys on täysadditiivinen. Tällä kurssilla σ-algebran käsitteeseen ei ehditä kunnolla paneutua, mutta näppisääntö on, että järkevällä tavalla määritellyt alkeistapausten joukot ovat tapahtumia. Lisäksi jos todennäköisyysavaruus on numeroituva (ts. Ω on äärellinen tai numeroituvasti ääretön), niin käytännössä on järkevää olettaa, että F = P(Ω). Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

19 Peruskäsitteitä Todennäköisyyden perusominaisuuksia Lause Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus. Tällöin kaikilla tapahtumilla A ja B (eli A, B F) pätee P( ) = 0, Jos A ja B ovat erillisiä, niin P(A B) = P(A) + P(B). Jos A B, niin P(A) P(B). P(A B) = P(A) + P(B) P(A B). P(Ω A) = 1 P(A). P on itse asiassa kuvaus F [0, 1], ts. 0 P(A) 1. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

20 Peruskäsitteitä Satunnaismuuttuja Määritelmä Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus. Kuvaus X : Ω R on satunnaismuuttuja, jos kaikilla r R on voimassa, että {ω Ω X (ω) r} on tapahtuma eli kuuluu perheeseen F. Satunnaismuuttujalle asetettu ehto on varsin tekninen; tällä peruskurssilla luotetaan siihen, että järkevästi määritellyt kuvaukset X : Ω R ovat satunnaismuuttujia. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

21 Peruskäsitteitä Satunnaisilmiön käsittelyä Oletetaan, että tarkastellaan satunnaisilmiötä, jota mallinnetaan todennäköisyysavaruudella (Ω, F, P) ja kiinnostuksemme kohdistuu tämän avaruuden tapahtumiin A ja B. Satunnaiskoe suoritetaan, ja kaikista mahdollisista alkeistapauksista (eli Ω:n alkioista) realisoituu alkeistapaus ω. Väittämä Joukko-opillinen sisältö Tn-laskennallinen sisältö ω A ω kuuluu joukkoon A A tapahtui ω A ω ei kuulu joukkoon A A ei tapahtunut A B A on B:n osajoukko Jos A tapahtuu, niin myös B tapahtuu A B = A ja B eivät leikkaa A ja B ovat erillisiä tapahtumia Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

22 Peruskäsitteitä Tapahtumien yhdistelyä Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus ja A, B, A i (i N) sen tapahtumia. yhdistetty merkitys tapahtuma Ω A A ei tapahdu A B A ja B A B A tai B A B A mutta ei B i N A i jokin tapahtumista A i, i N, tapahtuu i N A i kaikki tapahtumat A i, i N, tapahtuvat Avataan esimerkiksi toiseksi viimeisen rivin sisältö: Olkoon ω Ω alkeistapaus. Joukko-opillisesti ω i N A i pätee täsmälleen silloin, kun on olemassa i N, jolle ω A i. Jos siis ω on realisoitunut alkeistapaus, niin i N A i on tapahtunut, jos ja vain jos jollakin i N tapahtuma A i on tapahtunut. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

23 Peruskäsitteitä Tapahtumat satunnaismuuttujien avulla Satunnaismuuttujien avulla on luonnollista määritellä tapahtumia. Koska tapahtumat alkeistapauksien joukkona ovat tyypillisesti muotoa {ω Ω }, missä vaakaviiva korvataan kulloisellakin ehdolla, ja satunnaismuuttujaan X yleensä viitataan tässä ehdossa arvolla X (ω), niin vakiintuneen tavan mukaan käytetään todennäköisyyslaskennan kielessä lyhennystapaa, jossa alkeistapaus ω jätetään merkinnässä kirjoittamatta. Alkeistapaukseen viitataan siis vain epäsuorasti. Esimerkiksi satunnaismuuttujan määritelmän ehdon voi kirjoittaa seuraavasti: Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus. Kuvaus X : Ω R on satunnaismuuttuja, jos ja vain jos kaikilla r R pätee {X r} F. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

24 Peruskäsitteitä Esimerkki Vihreää ja sinistä noppaa heitetään. Satunnaiskoetta kuvataan luonnollisella tavalla tn-avaruudella (Ω, P(Ω), P), missä N = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = N N ja kaikki alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä. Vihreän nopan heitto on satunnaismuuttuja V : Ω R, V (x, y) = x ja S : Ω R, S(x, y) = y. Tarkastellaan tapahtumia A : B : C : Silmälukujen summa on 4 Vihreän nopan silmäluku on vähintään kaksinkertainen sinisen nopan silmälukuun verrattuna Noppien silmälukujen neliöiden summa on 25 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

25 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A : Silmälukujen summa on 4 B : Vihreä silmäluku on vähintään kaksinkertainen siniseen verrattuna C : Noppien silmälukujen neliöiden summa on 25 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

26 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} B : Vihreä silmäluku on vähintään kaksinkertainen siniseen verrattuna C : Noppien silmälukujen neliöiden summa on 25 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

27 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} B = {ω Ω V (ω) 2S(ω)} C : Noppien silmälukujen neliöiden summa on 25 Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

28 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} B = {ω Ω V (ω) 2S(ω)} C = {ω Ω (V (ω)) 2 + (S(ω)) 2 = 25} Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

29 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} = {V + S = 4} B = {ω Ω V (ω) 2S(ω)} = {V 2S} C = {ω Ω (V (ω)) 2 + (S(ω)) 2 = 25} = {V 2 + S 2 = 25} Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

30 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} = {V + S = 4} = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, B = {ω Ω V (ω) 2S(ω)} = {V 2S} = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}, C = {ω Ω (V (ω)) 2 + (S(ω)) 2 = 25} = {V 2 + S 2 = 25} = {(3, 4), (4, 3)}. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

31 Peruskäsitteitä Esimerkki (jatkoa) A = {ω Ω V (ω) + S(ω) = 4} = {V + S = 4} = {(1, 3), (2, 2), (3, 1)}, B = {ω Ω V (ω) 2S(ω)} = {V 2S} = {(2, 1), (3, 1), (4, 1), (4, 2), (5, 1), (5, 2), (6, 1), (6, 2), (6, 3)}, C = {ω Ω (V (ω)) 2 + (S(ω)) 2 = 25} = {V 2 + S 2 = 25} = {(3, 4), (4, 3)}. Alkeistapauksien lukumääriä laskemalla saadaan P(A) = P{V + S = 4} = A / Ω = 3/36 = 1/12 P(B) = P{V 2S} = B / Ω = 9/36 = 1/4 P(C) = P{V 2 + S 2 = 25} = C / Ω = 2/36. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

32 Peruskäsitteitä Huomautus V ja S ovat tietenkin eri kuvauksia ja siis eri satunnaismuuttuja, ts. V S. Tähän riittää se, että ne saavat jossakin kohdassa eri arvon, mihin riittää, että on olemassa yksi alkeistapaus, jolle V (ω) S(ω), esimerkiksi V (6, 5) = 6 5 = S(6, 5). V S on siis tosi väite, jota ei pidä sekoittaa tapahtumaan {V S}, joka on niiden alkeistapausten joukko, joilla V (ω) S(ω). Toisaalta voidaan todeta, että V S on totta, koska P{V S} = 30/36 = 5/6 > 0. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

33 Peruskäsitteitä Hämärätorilla jälleen Aiemmin on todettu, että Hämärätorin noppiin liittyvää satunnaisilmiötä on syytä kuvata todennäköisyysavaruudella, jonka perusjoukko on Ω = N (NxN) ja mielivaltainen alkeistapahtuma muotoa ω = ((v i, s i )) i N. Vihreän ja sinisen nopan silmäluvun kierroksella n N kertovat satunnaismuuttujat V n, S n : Ω N, joille V n (((v i, s i )) i N) = v n ja S n (((v i, s i )) i N) = s n. Testit suunniteltiin niin, että vihreätä noppaa testataan k:nnen kerran kierroksella k 2 1, jolloin testin tulos on siis V k2 1. Vastaavasti sinisen nopan k:s testi on S k 2. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

34 Peruskäsitteitä Tarkastellaan tapahtumaa T k : k testikierroksen jälkeen vihreä noppa vaikuttaa paremmalta eli k-kertaisessa testissä vihreän nopan silmälukujen summa on vähintään sinisen nopan silmälukujen summa. Ko. vihreän nopan heittojen silmälukujen summa on satunnaismuuttuja k V j 2 1; j=1 k vastaava summa siniselle nopalle on j=1 S j 2. Siis { k T k = V j 2 1 j=1 k j=1 S j 2 }. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

35 Peruskäsitteitä Riippumattomuus Määritelmä Todennäköisyysavaruuden tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos Tätä merkitään A B. Lause P(A B) = P(A)P(B). Olkoon (Ω, F, P) todennäköisyysavaruus sekä A ja B sen tapahtumia. Oletetaan, että A B. Tällöin a) B A, b) A Ω B, c) Ω A Ω B. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

36 Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyys Klassinen todennäköisyyslaskenta käsittelee äärellisiä todennäköisyysavaruuksia, joissa alkeistapaukset ovat yhtä todennäköisiä. Näitä käsiteltäessä pitää laskea erilaisten alkeistapausten lukumääriä, joten klassisen todennäköisyys pohjautuu mitä suurimmassa määrin laskennalliseen kombinatoriikkaan. Ensimmäiseksi valjastetaan: Summaperiaate. Olkoot A ja B äärellisiä joukkoja, jotka ovat erillisiä eli A B =. Tällöin A B = A + B. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

37 Klassinen todennäköisyys Summaperiaateeseen pohjautuu: Lause Olkoon Ω epätyhjä äärellinen joukko. Asetetaan P: P(Ω) R, Tällöin (Ω, P(Ω), P) on todennäköisyysavaruus. P(A) = A Ω. Määritelmä Äärellinen todennäköisyysavaruus (Ω, P(Ω), P) on symmetrinen, jos kaikilla A Ω pätee P(A) = A Ω. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

38 Klassinen todennäköisyys Yhtäpitävästi äärellinen todennäköisyysavaruus (Ω, P(Ω), P) on symmetrinen, jos ja vain jos kaikilla alkeistapauksilla ω Ω pätee P({ω}) = 1/ Ω. Tämä seuraa todennäköisyyden additiivisuudesta. Huomautus Symmetrisen todennäköisyysavaruuden tapauksessa riittää tuntea avaruuden perusjoukko Ω, sillä tapahtumien perhe on automaattisesti suurin mahdollinen eli P(Ω) ja todennäköisyys määräytyy yksikäsitteisesti perusjoukon perusteella. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

39 Klassinen todennäköisyys Tuloperiaate ja riippumattomuus Tuloperiaate. Kun A ja B ovat äärellisiä joukkoja, niin karteesisen tulon A B = {(a, b) a A, b B} koko on A B = A B. Tuloperiaatteesta seuraa varsin suoraan: Lause Olkoon (Ω, P(Ω), P) symmetrinen todennäköisyysavaruus, jonka perusjoukko on karteesinen tulo Ω = Ω 0 Ω 1. Tarkastellaan tapahtumia A = C Ω 1 ja B = Ω 0 D. Tällöin A B. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

40 Klassinen todennäköisyys Potenssi ja kertoma Tuloperiaatteesta seuraa myös induktiolla, että joukon A B := {f f : A B} koko on A B = B A. Kun kaikkien kuvausten joukkoa rajoitetaan sopivasti, saadaan permutaatioita. Palautettakoon mieleen, että kuvaus f : A B on injektio, jos se kuvaa eri alkiot eri alkioille eli f (x) f (y), kun x, y A ja x y. Kuvaus f : A B on surjektio, jos f [A] := {f (a) a A} = B. Kuvaus f : A B on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Määritelmä Joukon A permutaatiolla tarkoitetaan mitä tahansa bijektiota f : A A. Kun n N, niin luvun n kertoma n! on joukon {0, 1,..., n 1} permutaatioiden lukumäärä. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

41 Klassinen todennäköisyys Kertomapotenssi ja binomikertoimet Määritelmä a) Olkoon A joukko ja k N. Joukon A k-variaatiolla tarkoitaan mitä tahansa toistotonta jonoa (a 0,..., a k 1) joukon A alkioita. Joukon A k-kombinaatoilla tarkoitetaan osajoukkoa B A, jossa on k alkiota eli B = k. Joukon A k-kombinaatioiden perheelle käytetään merkintää [A] k. b) Olkoon n, k N. Tällöin luvun n k:s kertomapotenssi (n) k on joukon {0, 1,..., n 1} k-variaatioiden lukumäärä. Binomikerroin ( n k) on puolestaan joukon {0, 1,..., n 1} k-kombinaatioiden lukumäärä. Itse asiassa kahdessa edellisessä määritelmässä on epäoleellista, että näissä määritelmissä on kiinnitetty tarkasteltava n-alkioinen joukko joukoksi {0, 1,..., n 1}. Siis jos A on äärellinen joukko ja n = A, niin joukon A permutaatioiden lukumäärä on n!. Jos lisäksi k = B N, niin (n) k on injektioiden f : B A lukumäärä ja [A] k = ( n k). Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

42 Klassinen todennäköisyys Rekursiosäännöt Lause Määritellyt kombinatoriset funktiot noudattavat seuraavia rekursiosääntöjä: Kun n, k N, niin { 0! = 1 (n + 1)! { = n! (n + 1), (n) 0 = 1 (n) k+1 = (n) k (n k) ja ( ) n ( 0 ) n + 1 k + 1 ( ) n = = 1 ( n) ( ) n n = + k k + 1 (Pascalin sääntö) Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

43 Klassinen todennäköisyys Kombinatoristen funktioiden väliset suhteet Lause Olkoot k, n N. Tällöin n! = (n) n, (n) k = n!/(n k)!, ja ( ) n = (n) k n! = k k! k!(n k)!. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

44 Tuloavaruudet Äärellisen monen avaruuden tulo Lähtökohtana on tilanne, jossa halutaan yhdistää äärellisen monta satunnaiskoetta. Yksittäistä satunnaiskoetta kuvattakoon todennäköisyysavaruudella (Ω i, F i, P i ), missä i {0,..., n 1}. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

45 Tuloavaruudet Äärellisen monen avaruuden tulo Lähtökohtana on tilanne, jossa halutaan yhdistää äärellisen monta satunnaiskoetta. Yksittäistä satunnaiskoetta kuvattakoon todennäköisyysavaruudella (Ω i, F i, P i ), missä i {0,..., n 1}. Lisäksi (syystä tai toisesta) koetaan, ettei näiden satunnaiskokeiden välillä ole yhteyksiä, joten eri yksittäisten satunnaiskokeiden avulla määritellyt tapahtumat voidaan olettaa riippumattomiksi. Tällaisessa tapauksessa avaruudet voidaan yhdistää tuloavaruudeksi. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

46 Tuloavaruudet Äärellisen monen avaruuden tulo Lause Olkoot (Ω 0, F 0, P 0 ),..., (Ω n 1, F n 1, P n 1) todennäköisyysavaruuksia. Merkitään F:llä suppeinta σ-algebraa, joka sisältää kaikki suorakulmiot n 1 i=0 A i = A 0 A 1 A n 1, missä A i F i jokaisella i {0,..., n 1}. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

47 Tuloavaruudet Äärellisen monen avaruuden tulo Lause Olkoot (Ω 0, F 0, P 0 ),..., (Ω n 1, F n 1, P n 1) todennäköisyysavaruuksia. Merkitään F:llä suppeinta σ-algebraa, joka sisältää kaikki suorakulmiot n 1 i=0 A i = A 0 A 1 A n 1, missä A i F i jokaisella i {0,..., n 1}.Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sellainen todennäköisyyskuvaus P: F [0, 1], että kaikille yo. suorakulmioille pätee P ( n 1 i=0 A i ) = n 1 i=0 P i (A i ) = P 0 (A 0 ) P n 1(A n 1) ja ( n 1 i=0 Ω i, F, P) on siis todennäköisyysavaruus. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

48 Tuloavaruudet Numeroituvasti ääretön tulo Lause Olkoot (Ω i, F i, P i ), missä i N, todennäköisyysavaruuksia. Merkitään F:llä suppeinta σ-algebraa, joka sisältää kaikki sylinterijoukot n 1 i=0 missä A i F i jokaisella i {0,..., n 1}. A i j=n+1 Ω j, Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33

49 Tuloavaruudet ja ( n 1 i=0 Ω i, F, P) on siis todennäköisyysavaruus. Kerkko Luosto Todennäköisyyslaskenta 3. lokakuuta / 33 Numeroituvasti ääretön tulo Lause Olkoot (Ω i, F i, P i ), missä i N, todennäköisyysavaruuksia. Merkitään F:llä suppeinta σ-algebraa, joka sisältää kaikki sylinterijoukot n 1 i=0 A i j=n+1 missä A i F i jokaisella i {0,..., n 1}.Tällöin on olemassa yksikäsitteinen sellainen todennäköisyyskuvaus P: F [0, 1], että kaikille yo. sylinterijoukoille pätee n 1 P A i i=0 j=n+1 Ω j Ω j, = n 1 i=0 P i (A i )