031021P Tilastomatematiikka (5 op)

Transkriptio

1 031021P Tilastomatematiikka (5 op) Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Käytännön asioita Luennot (yht h) ti ja to 8-10 (ks. tarkempi opetusohjelma Oodista tms.) Harjoitukset (yht h) alkavat viikolla 3 Suorittaminen: Kurssin voi suorittaa joko 1. loppukokeella (4-5 tehtävää á 6 pistettä, max pistettä) 2. kahdella välikokeella (21.2. ja klo 9-12). Välikokeiden pistesummaan voi saada lisäpisteitä osallistumalla aktiivisesti laskuharjoituksiin. Laskuharjoituspisteet (harjoituksia 11) Laskuharjoitusten lkm Laskuharjoituspisteet Kurssin läpäisyn välikokeilla ratkaisee välikoepisteiden ja laskuharjoituspisteiden summa. 1. vk:sta voi saada max. 24 pistettä (4 tehtävää, kukin 6 p) ja 2. vk:sta 30 p. Maksimipistemäärä on = 59. Varma läpipääsy 27 pisteellä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 2 / 48

3 Mitä tilastomatematiikka on? Tilastomatematiikan pyrkimyksenä on hallita satunnaisilmiöitä todennäköisyyslaskennan avulla. Tilastollisessa tutkimuksessa kerätään havaintoja, joista pyritään tekemään mahdollisimman luotettavia johtopäätöksiä. Tarvittaessa havaintoja joudutaan muokkaamaan niin, että tietyn todennäköisyysmallin oletukset tulevat voimaan, minkä jälkeen tehdään kyseisen mallin avulla johtopäätöksiä tutkimuksen kohteesta. Nykyään todennäköisyysmalleja käytetään ilmiöiden kuvailussa käytännöllisesti katsoen kaikilla tieteenaloilla. Opintojakson tavoitteena on antaa teoreettiset perusvalmiudet satunnaisilmiöiden mallintamiseen ja tilastollisten menetelmien opiskeluun. Jukka Kemppainen Mathematics Division 3 / 48

4 Satunnaiskoe vs. deterministinen koe Koe, jonka lopputulos voidaan alkutilanteen ja ilmiön mekanismin perusteella ennustaa tarkkaan, on deterministinen. Satunnaiskokeella tarkoitetaan ilmiötä, jossa (1) koetta voidaan toistaa samoissa oloissa (2) kokeella on useampi kuin yksi lopputulos, jonka määrää satunnainen mekanismi (3) kun koetta toistetaan, esiintyy lopputuloksissa tilastollista säännönmukaisuutta suorituskertojen lukumäärän kasvaessa. Jukka Kemppainen Mathematics Division 4 / 48

5 Esimerkki Esim. 1 Onko seuraavissa kyse deterministisestä kokeesta vai satunnaiskokeesta? (1) Tämän illan Kärpät-Pelicans-ottelun lopputulos? (2) Satunnaisesti valitun miehen sosiaaliturvatunnuksen toiseksi viimeinen merkki on parillinen luku? (3) Perheeseen syntyvä lapsi on tyttö? (4) Auringonnousun ajankohta Oulussa ? (5) Differentiaaliyhtälön y (x) = y(x) ratkaisu alkuehdolla y(0) = 1? (6) Tilastomatematiikka-kurssin läpäiseminen keväällä 2015? Jukka Kemppainen Mathematics Division 5 / 48

6 Otosavaruus ja tapahtuma Määr. 1 Satunnaiskokeen E mahdolliset lopputulokset ovat alkeistapahtumia ja kaikkien alkeistapahtumien e joukko on otosavaruus S. Määr. 2 Satunnaiskokeessa tapahtuma on otosavaruuden S osajoukko. Tapahtumasysteemi E on kaikkien tapahtumien muodostama joukko. Huomautus 1 Myös tyhjä joukko φ on tapahtuma. Tapahtumasysteemi on siis otosavaruuden osajoukkojen muodostama joukko E = {A A S}. Jukka Kemppainen Mathematics Division 6 / 48

7 Esimerkkejä Esim. 2 Määrää otosavaruudet seuraaville satunnaiskokeille. (a) Heitetään kolikkoa kolme kertaa. (b) Heitetään kolikkoa, kunnes saadaan ensimmäinen kruuna. (c) Määritetään lampun kestoikä. Esim. 3 Esitä tapahtumat (a) Saadaan vähintään kaksi kruunaa. (b) Korkeintaan 5 heittoa. (c) Vähintään 100 tuntia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 7 / 48

8 Joukko-oppia Kuten edellä jo tuli ilmi, on joukko-oppi hyvin keskeisessä asemassa. Kerrataan sen vuoksi joukko-opin perusoperaatiot. Perusjoukko S (satunnaiskokeessa otosavaruus), A, B S osajoukkoja (A ja B tapahtumia) Joukon komplementti A = S \ A = {x S x / A} ( A ei tapahdu ) Yhdiste A B = {x S x A tai x B} ( A tai B tapahtuvat ) Leikkaus A B = {x S x A ja x B} ( A ja B tapahtuvat ) Erotus A\B = A B = {x S x A ja x / B} ( A tapahtuu, mutta B ei tapahdu ) Jukka Kemppainen Mathematics Division 8 / 48

9 Vennin diagrammi Joukko-opin operaatioita voidaan havainnollistaa Vennin diagrammien avulla. Niistä on apua myös yksinkertaisten todennäköisyyksien laskemisessa. Kuva : Joukon A komplementti A. Kuva : Joukkojen A ja B yhdiste A B. Jukka Kemppainen Mathematics Division 9 / 48

10 Kuva : Joukkojen A ja B leikkaus A B. Kuva : Joukkojen B ja A erotus B \ A. Jukka Kemppainen Mathematics Division 10 / 48

11 Lisää joukko-oppia Määr. 3 Tapahtumasysteemi E on Boolen algebra, jos 1.,S E 2. A E = A E 3. A,B E = A B E 4. A,B E = A B E Jos lisäksi 5. A i E kaikilla i N i=1 A i E, niin tapahtumasysteemiä sanotaan σ-algebraksi. de Morganin kaavat: A B A B = A B = A B Jukka Kemppainen Mathematics Division 11 / 48

12 Satunnaiskokeen malli Satunnaiskoetta mallinnetaan siis matemaattisesti joukko-opin avulla. Kannattaa opetella ilmaisemaan satunnaiskoe joukko-opillisesti ja kääntäen. Havainnollistetaan peruskäsitteitä taulukon avulla: Satunnaiskokeessa Symboli Mallissa Alkeistapausten joukko S Otosavaruus Alkeistapahtuma e i Otosavaruuden alkiot Tapahtuma A S:n osajoukko Tapahtumasysteemi E σ-algebra S:ssä Varma tapahtuma S Otosavaruus Mahdoton tapahtuma φ Tyhjä joukko A tai B sattuu A B Yhdiste A ja B sattuu A B Leikkaus A ei satu A Komplementti A sattuu, mutta B ei A\B erotus Jukka Kemppainen Mathematics Division 12 / 48

13 Mallin hyödyntäminen käytännössä Monia todennäköisyyteen liittyviä ongelmia voidaan ratkoa tapauskohtaisesti ns. maalaisjärjellä. Mallin avulla todennäköisyyksien laskentaa voidaan kuitenkin helpottaa ja nopeuttaa. Joskus se voi olla jopa välttämätöntä (myös koneellisessa laskemisessa), jos suotuisia alkeistapahtumia on valtava määrä. Joukko-opin avulla kiinnostava tapahtuma A voidaan esimerkiksi hajottaa toisensa poissulkeviin osiin A B ja A B, joiden tn:t osataan laskea ja A:n tn. saadaan identiteetistä A = (A B) (A B) Usein myös siirtyminen komplementtiin A voi auttaa, jos A:n tn. voidaan laskea helposti, mutta A:n todennäköisyyttä ei. Jukka Kemppainen Mathematics Division 13 / 48

14 Klassinen todennäköisyys Otosavaruus on äärellinen S = {e 1,e 2,...,e N }. Alkeistapahtumat ovat yhtä todennäköisiä eli P(e i ) = 1 N. Satunnaiskokeen tapahtuman B esiintymistodennäköisyys P(B) = m N, missä m = #(B) on joukon B alkioiden lukumäärä. Ilmeisestikin P(S) = 1, 0 P(A) 1, P(A) = 1 P(A), A B P(A) P(B), P(A\B) = P(A) P(A B), P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). Jukka Kemppainen Mathematics Division 14 / 48

15 Esimerkkejä Esim. 4 Olkoot A, B ja C tapahtumia, joille P(A) = 0.8, P(B) = 0.36, P(C) = 0.28, P(A B) = 0.29, P(A C) = 0.24, P(B C) = 0.16 ja P(A B C) = (a) Piirrä tilannetta havainnollistava Vennin diagrammi ja määrää kunkin osan todennäköisyys annettujen tietojen perusteella. (b) Laske todennäköisyys, että tapahtumat A ja B toteutuvat, mutta C ei toteudu. (c) Laske tn., että A toteutuu, mutta B tai C ei toteudu. (d) Laske tn., että mikään tapahtumista A, B ja C ei toteudu. (e) Laske tn. P(A (B C)). Jukka Kemppainen Mathematics Division 15 / 48

16 Esimerkkejä Esim. 5 (de Mérén probleema) Ranskalainen aatelismies de Méré oli innokas uhkapeluri. Hän havaitsi kokeellisesti seuraavaa (a) Kannattaa lyödä vetoa siitä, että heitettäessä 4 noppaa saadaan ainakin yksi kuutonen. (b) Ei kannata lyödä vetoa siitä, että heitettäessä kahta noppaa 24 kertaa saadaan ainakin yksi kuutospari. De Méré ei kuitenkaan kyennyt teoreettisesti selittämään havaintoaan, joten hän kääntyi Pascalin puoleen (n. 1650). Tämä tapahtuma toimi virikkeenä todennäköisyyslaskennan syntyyn. Jukka Kemppainen Mathematics Division 16 / 48

17 Kombinatoriikkaa Olkoon E = {e 1,e 2,...,e n }, missä n N = {1,2,...}. Permutaatio Äärellisen joukon E alkioiden jono (e i1,e i2,...,e in ), jossa jokainen alkio esiintyy täsmälleen kerran. Permutaatioiden lukumäärä on n! = (n 1) n. k-permutaatio on äärellisen joukon E k:n eri alkion jono (e i1,...,e ik ), joiden lukumäärä on n! (n k)!. k-kombinaatio on äärellisen joukon E k-alkioinen osajoukko {e i1,...,e ik }. Näiden joukkojen lukumäärä on ( n) k = n! (n k)!k!. Jukka Kemppainen Mathematics Division 17 / 48

18 Esimerkkejä Esim. 6 (a) Lotossa arvotaan 7 numeroa 39 mahdollisesta. Kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan arpoa? (b) Pokerissa pelaajalle jaetaan 5 korttia 52 mahdollisesta. Kuinka monta erilaista pokerikättä voidaan jakaa? (c) Vakioveikkauksessa valitaan yksi kolmesta eri merkistä {1, X, 2} 13 kohteeseen. Kuinka monta erilaista vakioriviä voidaan veikata? Esim. 7 Tarkastellaan erilaisia pokerikäsiä. Millä tn:llä käsi on (a) ns. hai eli kaikki kortit ovat eri suuruisia eivätkä ne voi olla 5 peräkkäistä (ns. suora) eikä samaa maata (ns. väri)? (b) neloset eli saadaan neljä samansuuruista korttia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 18 / 48

19 Esimerkkejä Esim. 8 Laatikossa on 15 palloa; 4 valkoista, 5 punaista ja 6 mustaa. Laatikosta nostetaan umpimähkään 3 palloa. Millä todennäköisyydellä pallojen joukossa on (a) valkoinen pallo tai punainen pallo? (b) valkoinen pallo ja punainen pallo? (c) valkoinen pallo, mutta ei punaista palloa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 19 / 48

20 Geometrinen todennäköisyys Otosavaruus S on jana, alue tai 3-ulotteinen tila. Tapahtuma A on S:n osajoukko. Tapahtuman A todennäköisyys on P(A) = m(a) m(s), missä m(a) joukon A pituus, pinta-ala tai tilavuus. Jukka Kemppainen Mathematics Division 20 / 48

21 Esimerkki Esim. 9 Heitetään r-säteistä lanttia neliöruutuiselle tasaiselle alustalle. Oletetaan, että ruutujen sivun pituus on a 2r. Mikä on todennäköisyys, että lantti peittää jonkin ruudun kärjen? Laske likiarvo tn:lle esimerkkitapauksessa a = 2r. Yllä olevalla tavalla voidaan määrätä likiarvo π:lle, kun heittokoe toistetaan useasti. Jukka Kemppainen Mathematics Division 21 / 48

22 Todennäköisyyden aksioomat Määr. 4 Todennäköisyysavaruus on kolmikko {S, E, P}, missä S on epätyhjä joukko, E on σ-algebra ja kuvaus P : E R toteuttaa ehdot 1. 0 P(A) 1 2. P(S) = 1 3. Jos A i E ja A i A j = aina, kun i j ja i,j = 1,2,..., niin P ( ) A i = P(A i ). i=1 Ehtoja 1 3 sanotaan todennäköisyyslaskennan aksioomiksi ja kuvausta P, joka toteuttaa ehdot 1 3, sanotaan todennäköisyydeksi. i=1 Jukka Kemppainen Mathematics Division 22 / 48

23 Todennäköisyyden perusominaisuudet Lause 1 Todennäköisyydelle on voimassa: (i) P( ) = 0; (ii) P(A) = 1 P(A); (iii) Jos tapahtumat {A 1,A 2,...,A n } ovat erillisiä, ts. A i A j =, kun i j, niin P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )+ +P(A n ); (iv) P(A) P(B) aina, kun A B; (v) P(A B) = P(A) P(A B); (vi) P(A B) = P(A)+P(B) P(A B). Jukka Kemppainen Mathematics Division 23 / 48

24 Yleinen yhteenlaskukaava Lause 2 P(A 1 A 2 A n ) n = P(A i ) P(A i A j )+... i=1 +( 1) k 1 1 i<j n 1 i 1 < <i k n +( 1) n 1 P(A 1 A 2 A n ). P(A i1 A ik )+... Jukka Kemppainen Mathematics Division 24 / 48

25 Esimerkkejä Esim. 10 Olkoon P(A) = 3 5, P(B) = 1 2 ja P(A B) = 1 5. Laske todennäköisyydet P(A B), P(A), P(B), P(A B), P(A B) ja P(A B). Esim. 11 Vakioveikataan umpimähkään yksi rivi. Millä todennäköisyydellä saadaan (a) täysosuma? (b) ainakin yksi oikein? Jukka Kemppainen Mathematics Division 25 / 48

26 Ehdollinen todennäköisyys Määr. 5 Olkoon S otosavaruus, A, B S tapahtumia ja P todennäköisyys. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys ehdolla B on jos P(B) > 0. P(A B) = P(A B), P(B) Ehdollista todennäköisyyttä ei ole määritelty, kun P(B) = 0. Tilastollisessa päättelyssä ehdollinen tn. P(A B) on tapahtuman A tn:n P(A) päivitys, kun on havaittu informaatio B. Tapahtuma B voidaan ottaa uudeksi otosavaruudeksi, jolloin funktio P : A P(A B) kaikilla tapahtumilla A on todennäköisyys B:ssä. Jukka Kemppainen Mathematics Division 26 / 48

27 Ehdolllisen todennäköisyyden ominaisuudet Ehdollinen tn. P on siis tn. B:ssä ja P on tn. S:ssä sekä P voidaan laskea alkuperäisen tn:n P avulla. Ehdollinen tn. P täyttää kaikki todennäköisyydeltä vaadittavat ominaisuudet. Esimerkiksi 1. 0 P(A) = P(A B) 1 kaikilla tapahtumilla A 2. P(B) = P(B B) = 1; 3. P(A 1 A 2 ) = P(A 1 A 2 B) = P(A 1 B)+P(A 2 B) aina, kun A 1 A 2 =. = P(A 1 )+ P(A 2 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 27 / 48

28 Kertolaskusääntö Ehdollisen todennäköisyyden määritelmä voidaan esittää kahtena kertosääntönä P(A B) = P(B)P(A B),jos P(B) > 0 P(A B) = P(A)P(B A),jos P(A) > 0 Täydellisellä induktiolla voidaan todistaa: Lause 3 Olkoot A 1,A 2,...,A n E siten, että P(A 1 A n 1 ) > 0. Tällöin on voimassa P(A 1 A 2 A n ) =P(A 1 )P(A 2 A 1 )P(A 3 A 2 A 1 ) P(A n A 1 A n 1 ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 28 / 48

29 Esimerkkejä Esim. 12 Tuotteessa voi olla materiaalivika (tapahtuma A) tai käsittelyvika (tapahtuma B). Tuote on susi, jos siinä on molemmat viat. Olkoot P(A) = 0,1, P(B) = 0,06 ja P(A B) = 0,005. Mikä on todennäköisyys, että (a) tuote on susi ehdolla, että siinä on ainakin yksi vika? (b) tuotteessa on materiaalivika ehdolla, että siinä on tarkalleen yksi vika? Esim. 13 Pokerissa kullekin pelaajalle jaetaan viisi korttia. Jos pelaajia on 2, niin millä todennäköisyydellä molemmat saavat 2 ässää? Jukka Kemppainen Mathematics Division 29 / 48

30 Kokonaistodennäköisyys Olkoon {A 1,A 2 } on otosavaruuden S ositus eli A 1 A 2 = ja A 1 A 2 = S. Oletetaan, että P(A i ) > 0, i = 1,2. Olkoon B tapahtuma, jolle P(B) > 0. Tällöin (A 1 B) (A 2 B) = B (A 1 B) (A 2 B) = ja P(B) = P(A 1 B)+P(A 2 B). Toisaalta kertolaskusäännön nojalla i = 1, 2: P(A i B) = P(B A i )P(A i ). (1) Jukka Kemppainen Mathematics Division 30 / 48

31 Kokonaistodennäköisyys Edellä osituksen {A 1,A 2 } tapauksessa saadaan kokonaistodennäköisyydeksi P(B) = P(A 1 )P(B A 1 )+P(A 2 )P(B A 2 ) Yleisesti, jos {A 1,A 2,...,A n } on ositus, saadaan Lause 4 (Kokonaistodennäköisyyden kaava) n P(B) = P(A k )P(B A k ). k=1 Jukka Kemppainen Mathematics Division 31 / 48

32 Esimerkki Esim. 14 Korttipakan 52 kortista nostetaan umpimähkään takaisinpanematta kaksi korttia. Mikä on todennäköisyys, että toinen kortti on pata? Jukka Kemppainen Mathematics Division 32 / 48

33 Bayesin kaava Käyttämällä kaavaa (1) saadaan ehdolliselle todennäköisyydelle Bayesin kaava P(A k B) = P(A k B) P(B) = P(B A k)p(a k ), P(B) joka kokonaistodennäköisyyden kaavaan mukaan voidaan kirjoittaa muodossa Lause 5 (Bayesin kaava) P(A k B) = P(B A k )P(A k ) n k=1 P(A k)p(b A k ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 33 / 48

34 Bayesin kaava (2/2) Todennäköisyyttä P(A k ) sanotaan priori-todennäköisyydeksi. - prior (lat.) (edeltävä, aikaisempi) - Käsityksemme tapahtuman A k tn:stä ennen kuin tiedetään, onko B sattunut vai ei. P(A k B) sanotaan posteriori-todennäköisyydeksi - posterior (lat.) (jälkeen tuleva, myöhempi) - Päivitetään tapahtuman A k tn., kun tiedetään, että B on sattunut. P(B A k ) sanotaan uskottavuudeksi (likelihood) - Mikä on tapahtuman B tn., kun havaitaan A k, eli B:n uskottavuus ehdolla A k ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 34 / 48

35 Esimerkkejä Esim. 15 Neljä teknikkoa tekee säännöllisesti korjauksia, kun eräällä automaatiolinjalla ilmenee vika. Teknikko 1 tekee 20% korjauksista, mutta tekee virheen keskimäärin yhdessä korjauksessa suorittamissaan 20 korjauksessa, teknikko 2 tekee 60% korjauksista ja tekee yhden virheen 10 korjauksessa, teknikko 3 tekee 15% korjauksista ja tekee virheen 1 tapauksessa 10:stä ja teknikko 4 tekee 5% korjauksista ja virheen 1 tapauksessa 20:sta. Automaatiolinjalla ilmenee vika ja sen diagnosoidaan johtuvan virheellisestä korjauksesta. Millä todennäköisyydellä korjauksen on tehnyt teknikko 1? Jukka Kemppainen Mathematics Division 35 / 48

36 Esimerkkejä Esim. 16 Tiedetään, että eräässä perheessä on 2 lasta. (i) Jos toinen lapsista on poika, niin millä todennäköisyydellä myös toinen lapsi on poika? (ii) Jos lapsista valitaan satunnaisesti toinen ja se on poika, niin millä todennäköisyydellä myös toinen on poika? Jukka Kemppainen Mathematics Division 36 / 48

37 Esimerkkejä Esim. 17 Tutkimusten mukaan HIV esiintyy väestössä todennäköisyydellä 0,0004. Sairautta tutkitaan verikokeella, jossa on seuraavat virhemahdollisuudet: (i) sairaan henkilön testitulos on negatiivinen todennäköisyydellä 0,001; (ii) terveen henkilön testitulos on positiivinen todennäköisyydellä 0,002. Millä todennäköisyydellä satunnaisesti valitulla, positiivisen testituloksen saaneella henkilöllä todella on HIV? Jukka Kemppainen Mathematics Division 37 / 48

38 Esimerkkejä Esim. 18 Tenttitehtävässä on väittämiä, joista kuhunkin tenttijän pitää vastata valitsemalla toinen kahdesta vaihtoehdosta (kyllä tai ei). Turo Teekkarin asiat ovat niin kehnosti, että hän tietää vastauksen vain 60 % väittämistä ja loput hän veikkaa täysin umpimähkään. (a) Millä todennäköisyydellä Turo vastaa oikein (tietämällä tai veikkaamalla) satunnaisesti valittuun väittämään? (b) Jos Turo vastasi oikein satunnaisesti valittuun väittämään, niin mikä on todennäköisyys, että hän päätyi oikeaan vastaukseen tietämällä eikä veikkaamalla? Jukka Kemppainen Mathematics Division 38 / 48

39 Riippumattomuus Määr. 6 Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos Huomautus 2 P(A B) = P(A)P(B). (2) Tulosääntöä (2) voidaan käyttää vain riippumattomille tapahtumille! Tilastollinen riippumattomuus on todennäköisyysfunktion ominaisuus ja on eri asia kuin joukko-opillinen erillisyys. Jukka Kemppainen Mathematics Division 39 / 48

40 Esimerkki Esim. 19 Valitaan korttipakasta satunnaisesti yksi kortti. Olkoot A = kortti on pata ; B = kortti on ässä ; C = kortti on hertta. tapahtumia. Tutki, ovatko (a) A ja B riippumattomia. (b) A ja C riippumattomia. (c) B ja C riippumattomia. (d) A, B ja C riippumattomia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 40 / 48

41 Riippumattomien tapahtumien ominaisuuksia Jos P(B) = 0, niin B on riippumaton mistä tahansa tapahtumasta A. Jos P(B) > 0, niin Lause 6 A ja B ovat riippumattomia P(A B) = P(A). eli B:n esiintyminen ei vaikuta tapahtuman A todennäköisyyteen. Tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, jos ja vain jos mikä tahansa seuraavista ominaisuuksista on voimassa (a) A ja B ovat riippumattomia. (b) A ja B ovat riippumattomia. (c) A ja B ovat riippumattomia. Jukka Kemppainen Mathematics Division 41 / 48

42 Usean tapahtuman riippumattomuus Määr. 7 Tapahtumat A 1,...,A n ovat (keskinäisesti) riippumattomia, jos kaikille indeksijoukoille {i 1,...,i k } {1,...,n} P(A i1 A ik ) = P(A i1 )P(A i2 )...P(A in ). Tulosääntö pätee kaikille osajoukoille. Ei riitä, että tulosääntö pätee pareittain P(A i A j ) = P(A i )P(A j ) kaikillai j. Jukka Kemppainen Mathematics Division 42 / 48

43 Riippumattomien tapahtumien yhdiste ja leikkaus Olkoot tapahtumat A 1,A 2,...,A n riippumattomia. Todennäköisyys tapahtumalle kaikki tapahtumat A i sattuvat on P(A 1 A 2 A n ) = P(A 1 )P(A 2 ) P(A n ) Todennäköisyys tapahtumalle "ainakin yksi tapahtumista A i sattuu" P(A 1 A 2 A n ) =1 P(A 1 A 2 A n ) ( ) ( ) =1 1 P(A 1 ) 1 P(A n ). Jukka Kemppainen Mathematics Division 43 / 48

44 Esimerkki Edellä olevia ominaisuuksia tarvitaan esimerkiksi komponenttien luotettavuuden arvioinnissa. Esim. 20 Systeemi koostuu kolmesta rinnankytketystä identtisestä komponentista. Systeemi toimii, jos ainakin yksi kolmesta rinnakkaisesta komponentista on toimiva. Jokaisen komponentin kestoikä on yli 10 viikkoa todennäköisyydellä 0.2. Millä todennäköisyydellä kokonaissysteemin virheetön toiminta-aika on yli 10 viikkoa? Jukka Kemppainen Mathematics Division 44 / 48

45 Riippumattomuus käytännössä Usein riippumattomuus on käytännössä oletus, joka on ilmiselvästi voimassa. Esimerkiksi kolikonheitto. Heittojen tulokset eivät riipu toisistaan. ottelukierroksen tulokset (vakioveikkauksessa). Pelien lopputulokset ovat riippumattomia toisistaan. Näin oletamme, ellei toisin mainita. Joskus oletukset on syytä asettaa kyseenalaiseksi. Esimerkiksi havaitaan epätavalliset vetosuhteet ottelukierroksella (sopupeli). Jukka Kemppainen Mathematics Division 45 / 48

46 Satunnaismuuttuja (s.15) Useissa luonnon- tai teknistieteellisissä sovellutuksissa satunnaiskokeen lopputulos on numeerinen lukuarvo. Virtapiireissä mitataan jännitteitä ja virranvoimakkuuksia Törmäyskokeissa lasketaan esiintyvien hiukkasten lukumääriä Sähkömagneettisissa sovellutuksissa arvioidaan kentän intensiteettiä Termodynamiikassa määrätään lämpötilajakaumia Tietoliikennetekniikassa oikein koodattujen bittien lukumäärä Jos satunnaiskokeen tulos ei ole valmiiksi reaaliluku, voidaan se usein muuntaa reaaliluvuksi sopivalla funktiolla. Jukka Kemppainen Mathematics Division 46 / 48

47 Satunnaismuuttuja (s.15) Määr. 8 Olkoon S satunnaiskokeen otosavaruus. Satunnaismuuttuja X on funktio, joka liittää reaaliluvun X(e) jokaiseen alkeistapahtumaan e S ja jos kaikilla x R pätee {X x} = {e S X(e) x} E. (3) Kaikki kuvaukset X : S R eivät siis ole satunnaismuuttujia. Kuvaus on satunnaismuuttuja vain, jos Määritelmän 8 ehto (3) toteutuu. Tällä kurssilla meille riittää mielikuva, että satunnaismuuttuja on funktio otosavaruudelta reaaliluvuksi. Satunnaismuuttujan arvojoukko S X voidaan tulkita satunnaismuuttujan otosavaruudeksi. Satunnaismuuttujan arvoa x sanotaan satunnaismuuttujan realisaatioksi. Jukka Kemppainen Mathematics Division 47 / 48

48 Esimerkki Esim. 21 Tarkastellaan satunnaiskoetta E = pistelukujen summa kahden nopan heitossa. Määrää satunnaiskoetta vastaavan satunnaismuuttujan arvojoukko ja arvoja vastaavat tapahtumat. Jukka Kemppainen Mathematics Division 48 / 48