Sähköstatiikasta muuta SISÄLTÖ Sähköinen ipoli Konensaattori Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Sähköinen ipoli Tässä on aluksi samaa asiaa kuin risteet -kappaleen alussa ja lopuksi vähän uutta asiaa luentomonisteesta. Dipolin muoostaa kaksi itseisarvoltaan yhtä suurta vastakkaismerkkistä varausta, jotka ovat lähellä toisiaan. p +q - q a Jos ipolin varauksien itseisarvo on q ja etäisyys a, ipolin ipolimomentti on p qaeˆ. Yksikkövektorin ê suunta on negatiivisesta varauksesta kohti positiivista varausta. Kun ipoli joutuu sähkökenttään, positiivinen varaus pyrkii sähkökentän suuntaan ja negatiivinen varaus vastakkaiseen suuntaan. Jos ipoli on vinossa asennossa sähkökenttään nähen, siihen vaikuttaa voiman momentti p Dipolin potentiaalienergia sähkökentässä on U p.
Luentomonisteessa ipolia kuvataan seuraavalla tavalla: Kuvan merkintöjä käyttäen voiaan johtaa ipolin potentiaali ja sähkökenttä kaukana ipolista pallokoorinaatistossa: pcos 4 r p ja (cos uˆ sin uˆ ) 3 r 4 r Näitä yhtälöitä ei yleensä tarvitse osata ulkoa tentissä, mutta on hyvä osata johtaa nämä. Konensaattori Konensaattori koostuu kahesta johtavasta kappaleesta, jotka on asetettu toistensa lähelle ja jotka on eristetty toisistaan. Jos toiseen kappaleeseen tulee varaus ja toiseen varaus, sanotaan, että konensaattorin varaus on. Jos konensaattorin johekappaleien välillä on potentiaaliero, on konensaattorin kapasitanssi: C rilaisille konensaattoreille kapasitanssi määritetään laskemalla ensin Gausin lain avulla sähkökenttä kappaleien välissä: ilmatäytteiselle konensaattorille eristetäytteiselle konensaattorille S S S sis D S sis ( free) otentiaaliero lasketaan yhtälöllä: ( r ) ( r ) l, jonka jälkeen potentiaalieron ja varauksen avulla voiaan määrittää konensaattorin kapasitanssi yhtälöstä B B C.
Konensaattorin energialle voiaan johtaa yhtälö U Muistanet myös konensaattoreien kytkentäsäännöt: C C Sarjaan kykettyjen konensaattoreien kokonaiskapasitanssi lasketaan seuraavasti: C KOK C C Rinnakkain kytkettyjen konensaattoreien kokonaiskapasitanssi on: C KOK C C Sarjaan kyketyt konensaattorit: Rinnakkain kytketyt konensaattorit: Nämä kytkentäsäännöt voi johtaa siitä tieosta, että peräkkäisillä konensaattoreilla on sama varaus ja rinnakkain kytketyillä sama potentiaaliero. Monet konensaattorin kapasitanssilaskut palautuvat usean rinnan kytketyn tai sarjaan kytketyn konensaattorin laskuksi. simerkiksi levykonensaattoria, jonka levyt ovat vinossa toisiinsa nähen, voiaan kuvata hyvin monella äärettömän pienellä konensaattorilla, jotka on kytketty rinnakkain.
Sähköstaattisia laskentamenetelmiä Jos Gaussin lakia ei voi jossakin tilanteessa käyttää, voi sähkökentän yrittää laskea oissonin yhtälön avulla: missä Φ on potentiaali ja ρ varaustiheys. Sähkökenttä saaaan potentiaalista yhtälöllä. oissonin yhtälön ratkaisu on tavallista ifferentiaaliyhtälön ratkaisemista annetuilla alkuarvoilla. Seuraavat operaattorit ovat fysiikan tenteissä jaettavassa kaavakokelmassa: Suorakulmaisessa koorinaatistossa: x y z Sylinterikoorinaatistossa: ( r ) r r r r z cot allokoorinaatistossa: r r r r r r (sin ) Kun pistevaraus tai useampia pistevarauksia tuoaan lähelle johetta, johteeseen inusoituu varauskate, koska tuotu varaus vetää puoleensa (tai hylkii) johteen vapaita varauksia. oissakin tapauksissa tätä varauskatetta voiaan simuloia muutaman pistevarauksen avulla. Nyt sähkökentän ja voiman laskeminen on helppoa, sillä tarvitsee käyttää vain usean pistevarauksen yhtälöitä. Tätä kutsutaan kuvaläheperiaatteeksi eli peilikuvaperiaatteeksi. Tässä menetelmässä tarvitsee vain löytää sopivat kuvavaraukset eli peilivaraukset. eilivarauksien oikeellisuutta testataan esimerkiksi siten, että lasketaan niien aiheuttama potentiaali johteessa. Johteessahan potentiaalin täytyy olla vakio koko alueella. (Näin sähköstatiikassa - sähkövirtojen tapauksessa tilanne on erilainen.) oi käyttää myös sitä ehtoa, että sähkökentän täytyy olla kohtisuorassa johteen pintaa vastaan ja johteen sisällä nolla. eilikuvaperiaatteen käyttö selviää toivottavasti paremmin jäljempänä olevista esimerkeistä.,
simerkki : Kaksi vastakkaismerkkistä pistevarausta q =, μc ja q = -, μc sijaitsevat pisteissä r = (,5 u z )m ja r = (-,5 u z )m. pproksimoi näitä kahta varausta origoon sijoitetulla ipolilla p = q u z, missä =, m. Laske ipolin potentiaali ja sähkökenttä pisteessä r = (3u x + 4u z ) ipolille johettuja potentiaalin ja sähkökentän lausekkeita käyttäen. Ratkaisu:
simerkki : Tasolevykonensaattorin varaus on, nc. Levyjen pinta-ala on cm ja levyjen välinen etäisyys = mm. Mikä on konensaattorin energia? Mikä on levyjen välinen potentiaaliero? Ratkaisu: nergia sähkökentässä on: U Tarvitsemme siis sähkökentän konensaattorilevyjen välissä. Lasketaan yhen varatun tason aiheuttama sähkökenttä Gaussin lain avulla: alitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka päät ovat tason suuntaisia. Sylinterin vaippa on tasoa vastaan kohtisuorassa. Kirjoitetaan Gaussin lain vasen puoli: S S S S S S S S vaippa päät päät päät päät pää saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo on vakio Gaussin sylinterin päitten alueella. aipan kohalla pinta-alkiovektori ja sähkökenttä ovat kohtisuorassa, joten siellä integraalista tulee. Integraali: S kuvaa pelkkää päitten yhteistä pinta-alaa, joka on S. päät
Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: Tarvitaan Gaussin pinnan sisään jäävää varaus. Sylinterin sisään jää tasosta alue, jonka pintaala on S. Jos tasolla on pintavaraustiheys eli varauskate σ, Gaussin pinnan sisään jää varaus sis = Sσ. Gaussin lain oikeaksi puoleksi tulee silloin: S Yhisteään Gaussin lain vasen ja oikea puoli, jolloin voiaan ratkaista sähkökentän lauseke: S S Sähkökenttä konensaattorilevyjen välissä koostuu kahen levyn aiheuttamista kentistä, jotka ovat yhensuuntaisia, koska levyjen varaukset ovat erimerkkiset. (Katso myöhemmin esitetty kuva!) Kokonaiskenttä konensaattorilevyjen välissä on: Lasketaan konensaattorin energia: U Koska sähkökenttä on konensaattorin levyjen välissä vakio, sähkökentän lauseke voitiin ottaa ulos integraalin lausekkeesta. Integraali tarkoittaa yksinkertaisesti levyjen välistä tilavuutta eli. araus pinta-alaa kohen on muotoon: jolloin energian lauseke saaaan U 9 3 ( C) ( m) 4 s ( m )(8.85 ) m.8 7 ( s) m s m m 3 C 7 J Yksikkötarkastelussa on hyvä muistaa, että s = J.
Lasketaan levyjen välinen potentiaaliero: x + _ ( ) ( x ) () / x ( ) 9 3 ( C) ( m) 4 s ( m )(8.85 ) m ( 565 l ) 6 ( C ) ( x)ˆ i x x simerkki 3: Tasolevykonensaattorin varaus on, nc. Levyjen pinta-ala on, cm ja levyjen välinen etäisyys =, mm. Levyjen välillä on eristeainetta, jonka eristevakio on ε =,. a) Mikä on konensaattorin kapasitanssi? b) Mikä on konensaattorin energia? c) Mikä on polarisoituma eristeaineessa? ) Mikä on polarisaatiovarauksen tiheys eristeaineessa? e) Mikä on varauskate eristeaineessa? Ratkaisu: a) Laskemme ensimmäiseksi sähkökentän konensaattorilevyjen välissä. aratun tason aiheuttama sähkökenttä voiaan laskea Gaussin lain avulla samalla tavalla kuin aikaisemmin, mutta nyt täytyy ottaa huomioon myös sähkökentän inusoimat varaukset eristeaineeseen. Käytämme Gaussin laista esitysmuotoa, jossa polarisaatiovaraukset on automaattisesti huomioitu: S D S f
ektori D kuvaa sähkövuon tiheyttä ja skalaari ρ f vapaitten varauksien tiheyttä. (Sähkökentän eristeaineeseen inusoimat varaukset eivät ole vapaita varauksia.) alitaan Gaussin pinnaksi sylinteri, jonka päät ovat tason suuntaisia. Sylinterin vaippa on tasoa vastaan kohtisuorassa. Kirjoitetaan Gaussin lain vasen puoli: D S D S D S DS DS D S D S S vaippa päät päät päät päät pää D saatiin ottaa pois integraalimerkin sisältä, sillä sähkökentän itseisarvo D on vakio Gaussin sylinterin päitten alueella. aipan kohalla pinta-alkiovektori ja sähkökenttä ovat kohtisuorassa, joten siellä integraalista tulee. Integraali S kuvaa pelkkää päitten yhteistä pinta-alaa, joka on S. päät Gaussin lain vasen puoli saatiin kuntoon. Nyt oikea puoli: f Tämä tarkoittaa Gaussin pinnan sisään jääviä vapaita varauksia. risteaineessa ei ole vapaita varauksia. Siellä ρ f on nolla. apaita varauksia on ainoastaan tasolla. Sylinterin sisään jää tasosta alue, jonka pinta-ala on S. Jos tasolla on varaustiheys σ, Gaussin pinnan sisään jää varaus sis = Sσ. Gaussin lain oikeaksi puoleksi tulee silloin: S
Yhistetään Gaussin lain vasen ja oikea puoli, jolloin voiaan ratkaista sähkövuon tiheyen lauseke: D S S D -kentän ja D-kentän välillä on yhteys: D risteaineessa varatun tason lähellä on siis sähkökenttä: D Konensaattorilevyjen välinen kenttä koostuu kahen varatun levyn kentistä, jotka ovat yhensuuntaisia, koska varaukset ovat erimerkkisiä. Lasketaan konensaattorilevyjen välinen potentiaaliero: x + _ ( ) ( x ) () ( ) / x l ( ) ( ) ( x)ˆ i x x Kapasitanssi on nyt: C 4 s ( m ) s 8.85 3.54 3 m ( m) 3. 5pF
b) Lasketaan eristetäytteisen konensaattorin energia: U D D 9 ( s) 7 7.4 s.4 J s 3.54 D-kenttä ja -kenttä ovat yhensuuntaisia. Siksi niien pistetulo on D. akiot otettiin ulos integraalin lausekkeesta, jolloin jäi integraali, joka tarkoittaa yksinkertaisesti levyjen välistä tilavuutta eli. ( ) c) Kun eristeaine joutuu sähkökenttään, tässä tapauksessa varatun konensaattorin levyjen väliin, siihen inusoituu pieniä ipoleja. Näitten ipolien määrää kuvaa polarisoituma. Huomaa, että tämä on vektorisuure! Kun sähkökenttä ja eristevakio tieetään, polarisoituma voiaan laskea: ( ) setetaan konensaattori koorinaatistoon seuraavan kuvan mukaisesti: C x olarisoituma on: + _ 9 ( ) ( s) C ( ) iˆ iˆ iˆ 5. iˆ ( ) 4 m m ) olarisaatiovarauksen tiheys on p iˆ x y ˆj kˆ z iˆ x
e) Inusoituneen polarisaatiovarauksen aiheuttama varauskate eristeen ulkopinnalla lasketaan yhtälöllä: p nˆ + - x lus-levyn puoleisella eristeen pinnalla: p nˆ iˆ ( iˆ) p C 5. m Miinus-levyn puoleisella pinnalla: p nˆ iˆ iˆ p C 5. m
simerkki 4: Tasolevykonensaattorin levyjen välissä on ilmaa. Levyjen välinen etäisyys on = 5 mm. lus-levy on potentiaalissa Φ = ja miinuslevy potentiaalissa Φ = -. Mikä on potentiaali ja sähkökenttä plus- ja miinus-levyjen välissä kohassa, joka on yhtä kaukana molemmista levyistä? Ratkaisu: Käytetään oissonin yhtälöä: setetaan plus-levy yz-tasoon: y x + _ Otetaan tasojen välistä mielivaltainen piste, jonka etäisyys plus-levystä on x. Lasketaan oissonin yhtälön avulla potetiaali tässä pisteessä: Nyt x koska on vain yksi muuttuja x. araustiheys ρ on levyjen välissä =. Saamme seuraavanlaisen ifferentiaaliyhtälön: x C Cx C x
Määritetään alkuehoista vakiot C ja C : ( ) C C C ( ) C C Lopullinen potentiaalin lauske konensaattorilevyjen välissä on: ( x ) x Sähkökenttä saaaan ehosta: iˆ iˆ x (Saatiin, että sähkökenttä on vakio konensaattorilevyjen välissä niin kuin pitää ollakin.) Sijoitetaan lopuksi lukuarvot: = 5 mm, Φ =, Φ = - ja x = ½. 5 mm =.5 mm.5mm 5mm 5 iˆ 5mm iˆ mm iˆ m iˆ simerkki 5: Hyvin pitkä johin on taivutettu L-kirjaimen muotoon. araus tuoaan lähelle johinta kuvan mukaisesti. Minkälaisilla peilivarauksilla voiaan kuvata johtimeen inusoitunutta varausta. a a
Ratkaisu: arauksen tuominen lähelle johinta aiheuttaa johtimessa varauksien liikettä, joka johtuu siitä, että :n aiheuttama potentiaali on eri suuri eri kohissa johinta. (erimmiltään on kyse sähköisestä vetovoimasta.) Jos johtimessa on potentiaaliero, varaukset alkavat liikkua. Ne liikkuvat niin kauan, että potentiaaliero tasoittuu. Nyt pitäisi löytää sellaiset pistevaraukset, että potentiaali tulee vakioksi koko johtimen alueella. Sen jälkeen laskuissa voiaan johtimeen inusoituneen varauksen (jonka jakaumaa emme tunne) sijasta käyttää näitä kuvitteellisia pistevarauksia. Helposti voimme keksiä, että tarvitaan varaukset vastakkaiselle puolelle molempia johtimenpuolikkaita: a - - Tämä ei vielä tuota vakiopotentiaalia johtimen molempiin puolikkaisiin, kun lasketaan yhtälöllä: i qi 4 r o i Lisätään systeemin vielä yksi varaus:
- - Nyt näien neljän pistevarauksen aiheuttama potentaali on vakio (= ) johtimen jokaisessa pisteessä. simerkki 6: Sylinterikonensaattori koostuu johtavasta sisäsylinteristä, jonka säe on R ja ohuesta ulkosylinteristä, jonka säe on R. Konensaattorin pituus on L. Sisä- ja ulkosylinterin väli on täytetty puoliksi eristemateriaalilla, jonka eristevakio on ε, siten, että sylinterin toisessa päässä on L/:n pituinen alue, joka on täynnä eristettä ja toinen pää on ilman eristettä. Laske tämän konensaattorin kapasitanssi. (Katso kuvaa!) L/ L/ i eristettä konensaattorin sisällä ristettä konensaattorin sisällä
Ratkaisu:
simerkki 7: a) Laske sähkökenttä, kun sähköstaattinen potentiaali on muotoa ax by c z missä a, b ja c ovat vakioita. b) Laske, millainen varaustiheys aiheuttaa a)-kohan mukaisen potentiaalin. Ratkaisu:
simerkki 8: a) Hyvin laaja tasomainen levy on asetettu siten, että tason alareuna on xztasossa. Levyn paksuus on. Levyn varaustiheys riippuu y-koorinaatista seuraavasti: Ky, missä K on vakio. Laske käyttäen oissonin yhtälöä potentiaali y:n funktiona alueessa <y <. Sähkökenttä xz-tasolla on y -akselin suuntainen ja suuruueltaan. b) Tarkista laskusi Gaussin lakia käyttäen. Ratkaisu: y x
simerkki 9: lla olevassa kuvassa näet ukkospilven varauksineen (jotka on kuvattu pistevarauksina) ja peilivaraukset johtavan maankuoren sisällä. a) Osoita, että peilivaraukset kuvaavat maahan inusoitunutta varausjakaumaa. b) Laske sähköstaattinen potentiaali sellaisen lentokoneen kohalla, jonka etäisyys varauksista on 5 km vaakasuunnassa ja joka on 8 kilometrin korkeuella.
Ratkaisu: