ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia! x = 1 rec τ Vihje: F rec = τ sinc ( f τ) x -. Esiä kuvassa anneun signaalin x() yhälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. 1 f xbg 1 f f 3. Laske x(), kun X ( f ) = sinc ( f τ) e sinc ( f τ) e j π f τ j π f τ 4. Laske konvoluuion avulla seuraava kääneismuunnos x() x 1 1 = F ( 1+ jω) = 1+ jω vihje: F e u 1 1, missä u() on yksikköaskel-funkio.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu /11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia! x 1 rec = τ Vihje: F rec = τ sinc ( f τ) x - Esimerkkirakaisu, ehävä 1. x 1 rec = (1) ässä siis rec on suorakaidepulssi, jonka leveys on. ehävä saadaan rakaisua sien, eä pulssi derivoidaan kaheen keraan. ällöin voidaan käyää sekä suorakaidepulssin eä impulssifunkion muunnoksia. Derivoidaan pulssi keraalleen ja saadaan ' x = rec () Rec ei derivoidu, koska sen ehävänä on vain rajaa signaali haluulle aika-alueelle. x ' bg Huomaa epäjakuvuuskohda ajanhekillä ja, siis yh äkkise muuokse ampliudeissa. Derivoidaan pulssi oiseen keraan ja saadaan '' x = ( ) ( ) rec δ + + δ (3)
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 3/11 '' xbg Eli oinen derivaaa muodosuu kahdesa -korkuisesa impulssisa sekä - -korkuisesa suorakaidepulssisa. Impulssi muodosuva epäjakuvuuskohiin sien, eä impulssin korkeus on epäjakuvuuskohdan korkeus (eli signaalin muuos epäjakuvuuskohdassa). Epäjakuvuuskoha = signaali muuuu sen kohdassa ääreömän nopeasi arvosa oiseen. Seuraavaksi muunneaan oinen derivaaa. Impulssifunkion muunnos on F { } 1 δ = (4) Impulssifunkio siis siälää kaikkia aajuuksia arvon 1 verran. Sovelleaan aikasiiroa j f x = X f e π (5) ja saadaan ajassa siirreylle impulssille jπ f { δ ( )} 1 F = e (6) Lisäksi arvisemme suorakaidepulssin muunnoksen (löyyy kaavakokoelmasa) F rec = f sinc (7) ' ' Kaavojen (6) ja (7) peruseella voimme kirjoiaa muunnoksen signaalille x ( ) { } 4 '' jπf jπf π = + sinc ( ) cos ( π f ) = e + e F x e e f j f j π f = 4 4 cos ( f ) sinc ( f ) π (8) Lopuksi käyämme derivoinieoreemaa n d n = π n ( ) F x j f X f d (9) eli voimme kirjoiaa 4 4 cos ( πf ) sinc ( f ) = ( jπ f ) X ( f ) (1) ja saamme loppuuloksen
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 4/11 4 1 X ( f ) = sinc ( f ) cos ( πf ) 4π f ( ) ( π ) ( π f ) sinc f cos f = (11) Kuva 1. Kaavan (11) funkio aajuusalueessa, ampliudi- ja vaihespekri. Arvoksi on aseeu =,5 ms. Kuvaaja on laskeu ja ehy Malabilla. Vaihekulma on nolla asea kaikilla aajuuden f arvoilla, koska muunnos on kokonaan reaalinen. 15 x 1-4 Ampliudi/V/Hz 1 5 1 3 4 5 6 7 8 9 1 aajuus/hz 15 1 Vaihekulma/asea 5-5 -1-15 - 1 3 4 5 6 7 8 9 1 aajuus/hz. Esiä kuvassa anneun signaalin x() yhälö aika-alueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. 1 f xbg 1 f f
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 5/11 Esimerkkirakaisu, ehävä. Signaali x() koosuu kahdesa kosiniaallosa. Ensimmäinen kosiniaalo on voimassa kaikkialla muualla paisi 1 1 välillä f < < f, joka korvaaan kosiniaallolla, jolla on sama ampliudi mua kaksinkerainen aajuus f. Signaali voidaan kirjoiaa aika-alueessa muooon x Acos f Arec cos f Arec cos f = ( π ) ( π ) + ( 4π ) (1) missä = ja suorakaidepulssi f 1, < rec =, > Yhälön (1) ensimmäinen ermi määrielee f aajuisen kosiniaallon koko aika-alueeseen. oinen ermi vähenää :n piuisen päkän signaalia origon kohdala, jonka jälkeen signaali on välillä < <. Kolmas ermi lisää vasaavaan kohaan kosiniaallon aajuudella f. Superposiion peruseella voimme muunaa signaalin ermeiäin. Ensimmäinen ermi voidaan hajoaa eksponenimuooon eli A j ( πf j πf ) Acos π f = e + e () Ny voimme käyää Fourier-muunnoksen aajuussiiro-ominaisuua eli F jπf ( ) x e X f f (3) Vakion muunnos on vakion korkuinen impulssi nollaaajuudella, joen kaavojen () ja (3) peruseella saadaan yhälön (1) ensimmäisen ermin muunnokseksi -puoleisessa aajuusalueessa A { ( π )} = δ ( ) + δ ( + ) F Acos f f f f f (4) oinen ermi yhälössä (1) saadaan muunneua lausumalla kosiniermi jälleen eksponenimuodossa. ällöin voidaan lausua A A Arec cos f rec e rec e π π ( π ) = + j f j f (5) Suorakaidepulssin muunnos on F rec = f sinc (6)
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 6/11 Yhälöiden (3), (5) ja (6) peruseella saadaan yhälön (1) oinen ermi muunneuksi A F A rec cos ( π f ) = sinc ( f f ) + sinc ( f + f ) (7) Samalla meneelmällä saadaan myös yhälön (1) kolmas ermi muunneua A F A rec cos ( 4π f) = sinc ( f f ) + sinc ( f + f ) (8) Keräään loppuulos yhälöisa (4), (7) ja (8), jolloin A A X ( f ) = ( f f ) ( f f ) sinc ( f f ) sinc ( f f ) δ + δ + + + A + sinc ( f f ) + sinc ( f + f ) (9) Xbg f A f f f f f 3. Laske x(), kun Esimerkkirakaisu, ehävä 3. X f = sinc f τ e sinc f τ e j π f τ j π f τ ässä ehävässä käyeään hyväksi konvoluuion muunnosa F v w V ( f ) W ( f ) (1) ehävässä on anneu sinc sinc ( ) X f f e f e j π f τ j π f τ = τ τ () Viiväseyn suorakaidepulssin muunnos on F rec d = sinc f e j πfd (3)
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 7/11 jossa on siis yhdisey suorakaidepulssin muunnos ja aikasiiro-eoreema. Näin ollen saadaan τ 1 1 τ x rec rec v w τ τ τ τ = = (4) Eli ehävänämme on laskea kahden suorakaidepulssin konvoluuio. Konvoluuioinegraali määriellään seuraavasi (aika on korvau inegroinnin ajaksi ermillä lambda, siis ns. yhjä muuuja) v w = v w( ) d (5) Konvoluuion laskeminen liiyy simulaaioihin ieokoneella. On siis mahdollisa laskea eukäeen lähösignaalin muoo eri ulosignaaleille, kun järjeselmän ominaisuude unneaan (järjeselmän impulssivase). Konvoluuion laskemisessa kannaaa käyää apuna graafisa esiysä. Melko hyvän käsiyksen konvoluuion muodosamisesa saa osoieesa hp://www.jhu.edu/%7esignals/convolve/index.hml löyyvän simulaaorin avulla. Kokeile! Kaksi konvoloiavaa pulssia voidaan esiää graafisesi seuraavasi. wbg 1/ τ 1/ τ τ τ Seuraavaksi ehdään muuujanvaihdokse, ja esieään pulssi v ( ) sekä w. Jälkimmäinen pulssi muodoseaan sien, eä ensin käänneään pulssi ajassa peilaamalla se y-akselin suheen ( saranakoha on w. Lopula siirreään pulssia :n ajanhekellä = ). Sien lausuaan pulssi :n funkiona ja saadaan verran oikealle ja saadaan w ( ) = w( ). Kun arkaselemme pulsseja -alueessa eri :n arvoilla, voidaan ajaella pulssin w( ) liukuvan vasemmala oikealle. ällöin synyy 5 eri apausa.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 8/11 1) Kun <, pulssi näyävä -alueessa seuraavila. wb g τ τ ällöin pulssi eivä eivä leikkaa ja v w reunassa. Konvoluuion ulos piiryy :n osoiamaan kohaan. =. Huomaa, eä ajan symboli on käänneyn pulssin oikeassa ) kun < < τ ova pulssi osiain päällekkäin alla olevan kuvan mukaisesi wb g τ ällöin konvoluuio on τ 1 1 1 v w v w d d τ τ τ = ( ) = = (6) ulee siis arkasella, milloin pulssi ova päällekkäin. Näin saadaan inegroiniraja määrielyä. 3) Kun τ < < τ saadaan alla olevan kuvan ilanne wb g τ τ jolloin pulssi ova päällekkäin alueella < < τ, ja konvoluuiosa ulee 1 1 1 v w v w d d τ τ τ τ = ( ) = = (7) Inegroiniulos on siis vakio ajasa riippumaa.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 9/11 4) Kun τ < < 3τ, saadaan ilanne wb g ja konvoluuiosa τ τ 1 1 3 v w v w d d τ τ τ τ τ = ( ) = = (8) τ Jälleen on huomioiava se, milloin pulssi ova päällekkäin. 5) Kun > 3τ saadaan ilanne, missä pulssi eivä ole päällekkäin wb g τ τ ja konvoluuio v w v w d = ( ) = (9) Lopuksi keräämme ulokse kohdisa 1-5, ja saamme vasauksen, < 1, < τ τ 1 x ( ) =, τ < τ τ 3, τ < 3τ τ τ, 3τ 1 τ xbg τ τ 3τ (1)
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 4. Laske konvoluuion avulla seuraava kääneismuunnos x() x = 1+ jω vihje: F e u 1 1 1 1 = F ( 1+ jω), missä u() on yksikköaskel-funkio Esimerkkirakaisu, ehävä 4. Kysyy signaali voidaan kirjoiaa muooon 1 1 1 1 1 x = F F = ( 1+ jω) ( 1+ jω ) ( 1+ jω ) (1) Ise asiassa kyse on kahdesa peräkkäin kykeysä RC-alipääsösuodaimesa, joiden välillä on erousvahvisin (jonka vahvisus on 1). Nimiäin RC-alipääsösuodaimen siirofunkio eli maemaainen 1 1 mallinne aajuusalueessa on H ( jπ f ) = H ( jω ) = =. ehävän apauksessa 1+ jπ f RC 1+ jπ f τ aikavakio au = 1 (s). ehävässä anneun vihjeen avulla voidaan kirjoiaa 1 1 v = F = e u ( 1+ jω) () jossa u() on yksikköaskel. Edelleen saadaan x = v v (3) Konvoluuioinegraali on muooa v w = v w( ) d (4) joen voimme kirjoiaa v v = v v ( ) d (5) Käyeään samaa meneelmää kuin edellisessä ehävässä, eli oinen pulssi käänneään ajan suheen, ja pulsseja liueaan oisensa yli. ällä keraa arkaselavia alueia on vain.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 11/11 1) Kun <, saadaan seuraava ilanne b g b g v u ubg eli pulssi eivä ole päällekkäin ja konvoluuio v v v v d = ( ) = (6) ) Kun >, saadaan ilanne ubg b g b g v u ja konvoluuioinegraalisa ulee ( ) = ( ) = (7) v v v v d e e d eli inegroidaan välillä < <, eli alueella, jossa pulssi leikkaava. Inegroimalla saadaan e x = (8) Kun vielä oeaan huomioon, eä pulssi alkaa hekellä = saadaan loppuulos x = e u (9) bg bg x = e u 1