ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op)

ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op) Henrik Wallén Kevät 2018 Tämä luentomateriaali on suurelta osin Sami Kujalan ja Jari J. Hännisen tuottamaa

Luentoviikko 11 Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit lähteet Kahden lähteen interferenssi Interferenssikuvioiden intensiteetti Interferenssi ohutkalvoissa Michelsonin interferometri Yhteenveto Diffraktio (YF 36) Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio yhdestä raosta Yhden raon kuvion intensiteetti Monen raon diffraktio Diffraktiohila Röntgendiffraktio Pyöreät aukot ja erotuskyky Yhteenveto Lähde: http://spiff.rit.edu/classes/phys312/workshops/w9b/dblslit/dblslit_long.html, Jeff Wignall 2 (45)

Interferenssi (YF 35) Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia mitä tapahtuu, kun kaksi aaltoa yhtyy (interferoi) miten tulkita koherenttien valoaaltojen interferenssikuviota miten interferenssikuvion eri kohtien intensiteetti määritetään miten ohutkalvointerferenssi syntyy miten interferenssiä voi käyttää erittäin pienten etäisyyksien mittaamiseen 3 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit lähteet Interferenssi kahdessa tai kolmessa dimensiossa Interferenssi viittaa tilanteeseen, jossa avaruudessa on useita aaltoja päällekkäin tilanteen tarkastelu on fysikaalista optiikkaa Superpositioperiaatteen mukaisesti aaltojen poikkeamat (displacement: amplitudi tai kenttävektori) voidaan laskea yhteen joka pisteessä joka hetki (mahdollista lineaarisessa väliaineessa) Interferenssi-ilmiöt erottuvat parhaiten yhdistämällä yksitaajuisia (monokromaattisia) sininmuotoisia aaltoja (tarkastellaan kahta skalaarista lähdettä S 1 ja S 2 ): A = A 1 cos(k 1 r 1 ω 1 t + δ 1 ) + A 2 cos(k 2 r 2 ω 2 t + δ 2 ) b c S 1 S 2 a 4 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit lähteet Koherentit lähteet Jos kahden yksitaajuisen sininmuotoisen lähteen taajuus on sama ja vaihe-ero on vakio (ω 1 = ω 2, δ 2 δ 1 = vakio) lähteet ovat koherentteja ( vaihe?) tällaisen lähdeparin synnyttämät aallot ovat koherentteja Ääni- ja radiotekniikassa koherentteja lähteitä on helppo toteuttaa Valo muodostuu atomien (lämpöliikkeestä johtuvien) viritysten purkautumisesta Purkautumisen kesto tyypillisesti 10 8 s Purkaukset ovat riippumattomia toisistaan epäkoherentti ja ei-monokromaattinen valo; aurinko ja lamput lähettävät purskeista valoa (ilmassa purske on muutaman mikrometrin pituinen [= koherenssipituus]) Laserissa viritysten purkautumiset riippuvat toisistaan koherentti (eli väistämättä monokromaattinen) valo (kun yksittäiset atomit ovat lähteitä, joiden valon koherenttisuutta verrataan) 5 (45)

Interferenssi ja matkaero Sininmuotoiset samanamplitudiset (!) lähteet A = A 1 cos(k 1 r 1 ω 1 t + δ 1 ) + A 2 cos(k 2 r 2 ω 2 t + δ 2 ) b c r 1 = 4λ r 2 = 2λ S 1 S 2 a Vahvistava interferenssi, kun aallot ovat samanvaiheiset (esim. a, b): k 2 r 2 ω 2 t + δ 2 = k 1 r 1 ω 1 t + δ 1 + 2πm, m = 0, ±1, ±2,... Sammuttava interferenssi, kun aallot ovat vastakkaisvaiheiset ( ) (esim. c): k 2 r 2 ω 2 t + δ 2 = k 1 r 1 ω 1 t + δ 1 + 2π m + 1 2, m = 0, ±1, ±2,...

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ja koherentit lähteet Interferenssiehdot Oletus: lähteet ovat identtisiä eli amplitudit ovat samat miksi? lähteiden taajuus ω on sama aaltojen aallonpituus λ = 2π/k on sama lähteiden alkuvaihe δ on sama (eli lähteet ovat samanvaiheiset) aaltojen polarisaatio on samansuuntainen (jottei tarvita vektorisummausta) Lähteet ovat siis koherentit Edellisen kalvon interferenssiehdot saavat muodon: r 2 r 1 = mλ, m = 0, ±1, ±2,... vahvistava eli konstruktiivinen i. ( r 2 r 1 = m + 1 ) λ, m = 0, ±1, ±2,... sammuttava eli destruktiivinen i. 2 Huomaa rajoitukset, joilla ehdot pätevät! 7 (45)

Interferenssi (YF 35) Kahden lähteen interferenssi Youngin kaksoisrakokoe (1800) Valaistaan rakoa S 0 yksivärisellä valolla Raosta lähtevät (alkeis)aallot osuvat rakoihin S 1 ja S 2 S 1 ja S 2 ovat koherentteja valonlähteitä interferenssikuvio (interferenssijuovia) varjostimella S 0 S 1 S 2 8 (45)

Interferenssi (YF 35) Kahden lähteen interferenssi Kaksoisraon interferenssiehdot Lähettimet samassa vaiheessa Aaltojen matkaero vaihe-ero d sin θ R r 2 r 1 d sin θ, kun r 1, r 2, R d Vahvistava interferenssi, kun d θ r 2 θ y d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2,... Sammuttava interferenssi, kun d sin θ = ( m + 1 ) λ, m = 0, ±1, ±2,... 2 r 1 P 9 (45)

Konseptitesti 11.1 Kaksoisrakokokeen varjostimella näkyy useita kirkkaita interferenssijuovia, kun rakojen välimatka (a) d λ (b) d < λ (c) d λ (d) d > λ (e) d λ (f) on mikä tahansa http://presemo.aalto.fi/smg

Interferenssi (YF 35) Kahden lähteen interferenssi Kaksoisraon interferenssiehdot Jatkoa Maksimikohtien sijainnit varjostimella: y m = R tan θ m Pienillä kulmilla tan θ sin θ, joten saadaan Youngin kaksoisrakokokeen interferenssimaksimien paikat: d θ d sin θ R r 2 θ y y m R sin θ m y m R mλ d r 1 P 11 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssikuvioiden intensiteetti Kahden lähteen interferenssin intensiteetti Lähteiden S 1 ja S 2 interferenssin amplitudi pisteessä P: E 1 = E cos(ωt + φ/2), E 2 = E cos(ωt φ/2) E(t) = E 1 + E 2, missä φ = aaltojen vaihe-ero P:ssä Kosinin summakaavan avulla (kaavakokoelma!) saadaan [ E(t) = E cos(ωt) cos(φ/2) sin(ωt) sin(φ/2) ] + cos(ωt) cos( φ/2) sin(ωt) sin( φ/2) = 2E cos(ωt) cos(φ/2) joten kahden lähteen summakentän amplitudi E P = 2E cos(φ/2) Intensiteetti I = S av = 1 2 ɛ 0cE 2 P = 4 2 ɛ 0cE 2 cos 2 (φ/2) Maksimi, kun φ = 0 on I 0 = 2ɛ 0 ce 2, ja yleensä I = I 0 cos 2 φ 2 12 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssikuvioiden intensiteetti Vaihe-eron ja matkaeron yhteys Aaltojen vaihe- ja matkaerolla on yhteys φ 2π = r 2 r 1 λ φ = 2π λ (r 2 r 1 ) = k(r 2 r 1 ) Jos d R, r 2 r 1 d sin θ Tällöin intensiteetti I = I 0 cos 2 φ 2 = I 0 cos 2 ( πd λ φ = 2πd λ ) sin θ sin θ Jos vielä varjostin on kaukana raoista, y R ja sin θ y/r ( ) πyd I = I 0 cos 2 λr y/r = tanθ 0.5 0-0.5 Kaksoisrakointerferenssi, d = 10λ 0.2 0.4 0.6 0.8 1 I/I 0 13 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ohutkalvoissa Interferenssi ohutkalvossa Heijastuskerroin Tutkitaan heijastusta ja interferenssiä, kun valo osuu ohueen kalvoon (esim. öljyläikkä veden pinnalla tai saippuakupla) 1 2 e n a Kalvon paksuus t n b g n c Fresnelin kertoimet (vrt. luentoviikko 9) kertovat, kuinka suuri osa tulevasta (i) kentästä heijastuu (r) ja läpäisee (t) rajapinnan Kohtisuoralle heijastukselle heijastuskerroin Γ = E r = n i n t E i n i + n t (n i on tulopuolen taitekerroin ja n t läpäisypuolen) 14 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ohutkalvoissa Interferenssi ohutkalvossa Vaihesiirto 1 2 e n a Kalvon paksuus t n b g n c Heijastuskertoimesta seuraa π:n vaihesiirto heijastuneen ja tulevan säteen välille, jos n t > n i ; esim. säde 1: n b > n a E r = n a n b n a + n E i cos(kx ωt) = Γ E i cos(kx ωt + π) b (tapahtuuko säteelle 2 pisteessä (g) vaihesiirtoa?) 15 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ohutkalvoissa Interferenssi ohutkalvossa Matkaero 1 2 e n a Kalvon paksuus t n b g n c Heijastuksessa pisteessä (e) säteelle 1 syntyy vaihesiirto φ 1 = π ja levyn sisällä säteen 2 vaihe muuttuu kulmalla φ 2, joten säteiden 1 ja 2 vaihe-ero δ kohtisuorassa heijastuksessa on δ = φ 2 φ 1 = 2π λ (r 2 r 1 ) π, kun λ on aallonpituus levyssä Matkaero r 2 r 1 2t δ = 2t 2π λ π Huomaa: Vaihesiirto syntyy siinä heijastuksessa, jossa n t > n i 16 (45)

Interferenssi (YF 35) Interferenssi ohutkalvoissa Interferenssi ohutkalvossa Interferenssiehdot Säteiden 1 ja 2 välillä on vahvistava interferenssi, kun (n = n b, n a = n c = 1; λ 0 on aallonpituus ilmassa) δ = 2πm δ = 2t 2πn π = 2πm 4nt 1 = 2m 2t = λ 0 λ 0 n λ 0 ( m + 1 2 ), m = 0, 1, 2,... Sammuttava interferenssi, kun δ = (2m 1)π: 2t = mλ 0, m = 1, 2,... n Huomaa, että nämä tulokset pätevät ainoastaan systeemille, jossa on suhteellinen puolen aallon vaihesiirto (esim. ilma lasi ilma) muille tapauksille ne pitää johtaa erikseen Laskuissa on oltava tarkkana, syntyykö jossain suhteellinen puolen aallon vaihesiirto 17 (45)

Konseptitesti 11.2 Tapahtuuko samanlainen interferenssi-ilmiö, kun valo heijastuu paksusta kalvosta kuten ikkunasta? (a) Kyllä, mutta tasapaksun ikkunan tapauksessa ilmiö ei ole kovin näyttävä. (b) Kyllä, mutta ikkunalasin epätasaisuuksien takia ilmiötä ei huomata. (c) Ei, koska luonnonvalo on epäkoherenttia. (d) Ei, koska ikkunalasi on liian paksu valon koherenssipituuteen verrattuna. (e) Ei, koska ikkunalasi on liian paksu valon aallonpituuteen verrattuna. (f) Ei, koska luonnonvalo on polarisoimaton. http://presemo.aalto.fi/smg

Interferenssi (YF 35) Michelsonin interferometri Michelsonin interferometri Tärkeä interferenssin sovellus Kun peiliä siirretään matka y, ilmaisimen yli pyyhkäisee interferenssijuovamäärä m ja voidaan laskea y tai säteen aallonpituus λ: y = m λ 2 tai λ = 2y m Tuleva valo Säteenjakaja Liikuteltava peili Kiinteä peili Ilmaisin Interferenssijuovista voidaan myös määrittää esim. tuntemattoman kaasun taitekerroin 19 (45)

Yhteenveto luvusta 35 Keskeisiä käsitteitä Koherentit lähteet Vahvistava (konstruktiivinen) ja sammuttava (destruktiivinen) interferenssi Interferenssikuvio ja interferenssijuova Kaavoja? Matkaero mλ Matkaero (m + 1/2)λ interferenssi vahvistava interferenssi sammuttava Suhteellinen λ/2 vaihesiirto heijastuksien takia matkaero toisin päin Ohutkalvointerferenssi Tämän osuuden kaikki kaavakokoelmassa. -kaavat ovat

Diffraktio (YF 36)

Diffraktio (YF 36) Oppimistavoitteet Tavoitteena on oppia mitä tapahtuu, kun koherentti valo valaisee kohteen reunaa tai aukkoa ymmärtämään, miten kapean raon läpi kulkeva koherentti valo synnyttää diffraktiokuvion miten intensiteetti yhden raon diffraktiokuvion eri kohdissa määritetään mitä tapahtuu, kun koherentti valo valaisee lähekkäisten kapeiden rakojen rivistöä miten diffraktiohilaa voi käyttää aallonpituuden tarkkuusmittaukseen miten röntgendiffraktio paljastaa kiteiden atomirakenteen miten diffraktio asettaa rajat pienten yksityiskohtien havaitsemiselle teleskoopilla 22 (45)

Diffraktio (YF 36) Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Geometrisen optiikan rajoitukset Geometrisen optiikan mukaan valonsäde ei taivu kulkiessaan terävän reunan ohi, joten varjon reuna on terävä Valaistu alue Monokromaattinen pistelähde Geometrinen varjo Varjostin Terävä esine Todellisuudessa varjon reuna ei ole terävä, vaan valon ja varjon reunassa on diffraktiokuvio (miksi miten selitettävissä?) 23 (45)

Diffraktio (YF 36) Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Diffraktio ja Huygensin periaate Diffraktio on interferenssi-ilmiö, jota esiintyy reunojen ja aukkojen läheisyydessä Huygensin periaatteen mukaisesti aaltorintaman jokainen piste toimii (toisio)alkeisaaltojen lähteenä (alkeisaallot leviävät joka suuntaan aallon etenemisnopeudella) ja alkeisaaltojen verhopinta myöhempänä ajanhetkenä osoittaa aaltorintaman sijainnin tuolla hetkellä Uuden aallon hetkellinen poikkeama (amplitudi tai kenttävektori) saadaan summaamalla alkeisaaltojen hetkelliset poikkeamat kussakin pisteessä (eli aaltoja tarkastellaan vaihe-eroineen) Interferenssi on pienen lähdemäärän (~kahden lähteen) ilmiö, diffraktio on suuren lähdemäärän tai aukkojakautuman ilmiö kumpikin on seurausta superpositiosta ja Huygensin periaatteesta, joten ilmiöiden jako kahteen luokkaan on osin keinotekoinen 24 (45)

Konseptitesti 11.3 Taipuuko myös ääniaalto diffraktion takia terävän reunan ohi? (a) Kyllä. (b) Tavallaan, mutta ääniaaltojen aallonpituus on niin iso, että ilmiötä ei käytännössä huomata. (c) Tavallaan, mutta ääniaaltojen aallonpituus on niin pieni, että ilmiötä ei käytännössä huomata. (d) Ei, koska ääniaallot ovat pitkittäistä aaltoliikettä. (e) Ei, jonkin muun perustelun takia. http://presemo.aalto.fi/smg

Diffraktio (YF 36) Fresnel- ja Fraunhofer-diffraktio Lähi- ja kaukokenttädiffraktio Lähikenttädiffraktio eli Fresnelin diffraktio = lähde, kohde ja varjostin lähekkäin (raosta lähtevät säteet eivät ole yhdensuuntaisia) Kaukokenttädiffraktio eli Fraunhoferin diffraktio = pitkät etäisyydet (raosta lähtevät säteet ovat liki yhdensuuntaisia) P P f 26 (45)

Diffraktio (YF 36) Diffraktio yhdestä raosta Yksi rako Valaistaan pitkää kapeaa rakoa monokromaattisella valolla (tasoaallolla) ja tarkastellaan kaukaiselle varjostimelle syntyvää kuviota Geometrisen optiikan väite: varjostimella näkyy raon kuva (samanmuotoisena ja -kokoisena) Todellisuudessa varjostimella on diffraktiokuvio, jossa tummat ja valoisat alueet vuorottelevat keskuskuvion laidoilta ulospäin mentäessä (valoisa keskuskuvio saattaa olla jopa leveämpi kuin rako) Huygensin periaatteen mukaisesti raon jokainen pinta-alkio toimii uuden aallon lähteenä (kapean raon tapauksessa lähteet ovat raon pituussuuntaisia suikaleita, jotka tuottavat sylinterialkeisaaltoja) Syntyneet aallot muodostavat uuden aaltorintaman, joka etenee alkuperäisen aallon nopeudella (koska väliaine on sama) Aaltojen intensiteetti varjostimella saadaan summaamalla kaikkien alkeisaaltojen vaikutukset aaltojen vaihe ja amplitudi huomioon ottaen 27 (45)

Tummien juovien suunnat Oletetaan pitkä kapea rako (raon leveys olkoon a; raon pituussuunta on piirroksia vastaan kohtisuorassa ja pituus a) Kaukaiselle varjostimelle osuvat diffraktoituneet säteet ovat lähes yhdensuuntaisia (= Fraunhoferin diffraktio) Diffraktiokuvio tiivistetään sylinterilinssillä, jonka polttoviivalla varjostin on Raon reunalla ja raon keskellä olevista lähdesuikaleista lähteneiden alkeisaaltojen matkaero varjostimella on x = (a/2) sin θ Sammuttava interferenssi, kun x = λ/2; pätee kaikille a/2-etäisyyksisille suikaleille Rako voidaan jakaa neljään, kuuteen jne. suikaleeseen sammuttava interferenssi, kun (m = ±1, ±2, ±3,... ) x = a 2m sin θ = λ 2 sin θ = mλ a a f P a 2 sin θ θ

Tummien juovien paikat Yleensä λ a, joten θ on pieni: sin θ θ = mλ ([θ] = rad) a Raon ja varjostimen etäisyys olkoon x (jos ei ole linssiä; jos linssi on mukana, x = f eli linssin ja varjostimen välimatka) Tumman juovan m paikka (= juovan etäisyys kuvion keskikohdasta) y m = x tan θ xθ y m = x mλ a ; pätee, kun y m x (m = ±1, ±2, ±3,... ) Tyypillisesti λ 500 nm ja a 100 µm Esim. HeNe-laser (λ 633 nm) valaisee kapeaa rakoa. Laske raon leveys, kun x = 6 m ja keskimmäisten tummien juovien välimatka on 32 mm: y 1 = 32 mm 2 a = xλ y 1 0.24 mm a f P a 2 sin θ θ

Diffraktio (YF 36) Yhden raon kuvion intensiteetti Diffraktion kokonaisamplitudi Diffraktiokuvion intensiteetti lasketaan samalla tavalla kuin aiemmin kahden raon interferenssin intensiteetti Kokonaisamplitudi E P (pisteessä P) saadaan raon ylä- ja alareunasta lähteneiden aaltojen vaihe-eron β (radiaaneina!) ja kuvion keskikohdan amplitudin E 0 avulla (E 0 on lähdesuikaleiden säteilemien amplitudien summa, kun aaltojen vaihe-ero on merkityksettömän pieni): E P = E 0 sin(β/2) β/2 I = 1 [ sin(β/2) 2 ɛ 0cEP 2 = I 0 β/2 ] 2 (säteilymaksimi on suunnassa β = 0 rad) Vaihe-ero β saadaan geometriasta: β = 2π λ matkaero Piirroksen mukaan matkaero on a sin θ, joten β = 2π λ a sin θ a θ a sin θ 30 (45)

Diffraktio (YF 36) Yhden raon kuvion intensiteetti Yhden raon diffraktion intensiteetti Yhden raon kuvion intensiteetti on siten ( ) I = I 0 sin πa λ sin θ sin θ πa λ 2 I 1 0.5 0 6 4 2 0 2 4 6 Minimikohdat: I(β) = 0 β = 2πm sin θ = mλ (m = ±1, ±2,... ) a Maksimien selvittäminen onkin konstikkaampaa... Raon leventäminen kaventaa keskusmaksimia! β 31 (45)

Konseptitesti 11.4 Koherenttia sähkömagneettista säteilyä lähetetään 10 µm:n leveän raon läpi. Millä seuraavilla valaisuaallonpituuksilla diffraktiokuviossa ei nähdä intensiteetin nollakohtia? (a) 50 nm:n ultraviolettivalolla (b) 500 nm:n sinisellä valolla (c) 10.6 µm:n infrapunavalolla (d) 10 mm:n mikroaalloilla (e) Vaihtoehdoilla (a) ja (b) (f) Vaihtoehdoilla (a) (c) (g) Vaihtoehdoilla (c) ja (d) (h) Vaihtoehdoilla (b) (d) http://presemo.aalto.fi/smg

Diffraktio (YF 36) Monen raon diffraktio Kaksi rakoa Usean raon kuvio koostuu diffraktiosta (minimit m d = ±1, ±2,...; kunkin raon leveys on a) interferenssistä (maksimit m i = 0, ±1, ±2,...; rakojen on välimatka d) Kokonaisintensiteetti on interferenssin ja diffraktion intensiteettien tulo ) [ ] 2 sin(β/2), missä φ = 2πd λ I = I 0 cos 2 ( φ 2 2πa sin θ ja β = λ sin θ β/2 Diffraktio Interferenssi Yhteisvaikutus (d = 3a) 33 (45)

Diffraktio (YF 36) Monen raon diffraktio Monta rakoa Kun rakoja on N kpl, diffraktiomaksimien välissä on (N 1) minimikohtaa; maksimikohtien intensiteetti I N 2 ja maksimin leveys 1/N Suurten kapeiden maksimikohtien (eli päämaksimien) sijainnit voidaan mitata tarkasti sovellukset 34 (45)

Diffraktio (YF 36) Diffraktiohila Diffraktiohila = Suuri joukko tasavälisiä, yhdensuuntaisia aukkoja tai uria Voidaan tehdä esim. raapimalla timanttiterällä uria lasilevyn pintaan Kaksi tyyppiä: läpäisy- ja heijastushila Intensiteettimaksimien ehto on sama molemmille tyypeille: d sin θ = mλ, m = 0, ±1, ±2,... (esim. m = ±1 -huiput ovat ensimmäisen kertaluvun viivoja) θ θ d d Läpäisyhila Heijastushila 35 (45)

Diffraktio (YF 36) Diffraktiohila Hilaspektrografi Diffraktioehto d sin θ = mλ Tutkittavan valon aallonpituus voidaan määrittää mittaamalla θ (= liu utettavan peilin [2.] asento) Koko spektri saadaan käymällä kaikki kulmat läpi (Kuva: YF) 36 (45)

Diffraktio (YF 36) Diffraktiohila Kromaattinen erotuskyky Spektrografin kromaattinen erotuskyky määritellään suhteena R = λ/ λ, missä λ on pienin erotettavissa oleva aallonpituusero Suurempi R parempi laite Valitaan erottelukriteeri: erotamme lähekkäisten aallonpituuksien maksimit, kun yhden aallonpituuden diffraktiomaksimi osuu toisen aallonpituuden ensimmäiseen diffraktiominimiin Maksimi saadaan, kun vierekkäisten rakojen säteilyn vaihe-ero on φ = 2πm Maksimista päästään lähimpään minimiin kasvattamalla vaihe-eroa lisäyksellä dφ = 2π/N, missä N = rakojen lukumäärä Vierekkäisten rakojen säteilyn vaihe-ero on myös (huomaa: antiikva-d on differentiaalin symboli, kursiivi-d rakojen välimatka!) φ = 2πd sin θ λ d dθ dφ = 2πd cos θ λ dθ 37 (45)

Diffraktio (YF 36) Diffraktiohila Spektrografin erotuskyky Saadaan dφ = Toisaalta maksimeille pätee 2πd cos θ λ dθ = 2π N d cos θ dθ = λ N (vaihe-eron muutos maksimista minimiin) d sin θ = mλ d dλ d cos θ dθ = m dλ (lähekkäisten aallonpituuksien maksimit) Yhdistämällä yhtälöt saadaan (dλ λ) λ N Erotuskyky paranee, kun N kasvaa = m λ R = λ λ = Nm 38 (45)

Diffraktio (YF 36) Röntgendiffraktio Röntgendiffraktio Röntgensäteiden aallonpituus on kiteen atomien välisen etäisyyden suuruusluokkaa, λ 1 Å = 0.1 nm Röntgensäteillä valaistu kide sirottaa säteitä ja sironneista säteistä syntyy diffraktiokuvio kiteen säännöllisen hilan vuoksi (vaikka suurin osa säteistä kulkee kiteen läpi suoraan) Röntgendiffraktio (oikeastaan -interferenssi) on tärkeä menetelmä esim. kiteiden ja proteiinien rakenteen tutkimuksessa Vahvistava interferenssi saadaan, kun vierekkäisistä atomiriveistä sironneiden aaltojen matkaero toteuttaa Braggin ehdon 2d sin θ = mλ, m = 1, 2, 3,... missä θ on tulevan säteen ja pinnan välinen kulma ja d on kiteen atomitasojen välinen etäisyys; lisäksi säteiden tulokulman ja tarkastelukulman pitää olla yhtä suuri ja mλ < 2d (m on jälleen kertaluku) 39 (45)

Diffraktio (YF 36) Röntgendiffraktio Braggin ehto d θ d sin θ d sin θ 40 (45)

Diffraktio (YF 36) Pyöreät aukot ja erotuskyky Pyöreän aukon diffraktiokuvio Valo taipuu pyöreässä aukossa kuten kapeassa raossa Pyöreän raon diffraktiokuviossa on valoisa keskuskiekko sekä valoisia ja tummia renkaita (Kuva: YF) 41 (45)

Diffraktio (YF 36) Pyöreät aukot ja erotuskyky Airyn kiekko Valoisa keskuskiekko on Airyn kiekko Kiekko rajautuu ensimmäiseen tummaan renkaaseen suunnassa θ 1 (aukon halkaisija olkoon D): sin θ 1 = 1.22 λ D [Ylikurssia: Kuvion intensiteetti muuttuu säteittäissuunnassa funktioon (J 1 (ka sin θ)/(ka sin θ)) 2 verrannollisena (a = D/2); J 1 on ensimmäisen kertaluvun ensimmäisen lajin Besselin funktio ja 1.22 on funktion ensimmäinen nollakohta jaettuna piillä] 42 (45)

Erotuskyky Diffraktion takia piste kuvautuu optisissa laitteissa ympyräkiekoksi Optisen kojeen tuottamien kuvapisteiden keskinäiset kulmaetäisyydet ovat samat kuin kohdepisteiden keskinäiset kulmaetäisyydet Kahden lähekkäisen kohdepisteen kuvat ovat vielä erotettavissa toisistaan, jos yhden pisteen diffraktiokuvan huippu on toisen pisteen diffraktiokuvan ensimmäisen minimin kohdalla = Rayleigh n kriteeri kohteidenerotuskyvylle kohteet voi erottaa, jos niiden kulmaetäisyydelle θ pätee sin θ > 1.22 λ D Järjestelmä on diffraktiorajoitteinen, jos erotuskykyä rajoittaa diffraktio

Diffraktio (YF 36) Pyöreät aukot ja erotuskyky Aukon vaikutus erotuskykyyn Rayleigh n kriteeristä seuraa optisten järjestelmien (kulma)erotuskyvyn raja: sin θ = 1.22 λ D Määritelmä on mielivaltainen mutta antaa suuruusluokan Suuren optisen aukon käyttö parantaa erotuskykyä millä hinnalla? Pieni aukko Keskikokoinen aukko Suuri aukko (Kuvissa pistelähteet pysyvät paikoillaan ja optisen järjestelmän aukkoa kasvatetaan: erotuskyky paranee) (Kuvat: YF) 44 (45)

Yhteenveto luvusta 36 Keskeisiä käsitteitä Fresnelin ja Fraunhoferin diffraktio Diffraktiokuvio (erityisesti tummat juovat) Diffraktiohila Hilaspektrografi ja kromaattinen erotuskyky Röntgendiffraktio ja Braggin ehto Airyn kiekko Rayleigh n kriteeri Tärkeitä kaavoja Yhden raon tummat juovat ja intensiteetti sin θ = mλ/a, ( ) I = I 0 sin πa λ sin θ sin θ πa λ Diffraktiohilan intensiteettimaksimit Braggin ehto Rayleigh n kriteeri d sin θ = mλ 2d sin θ = mλ 2 sin θ > 1.22λ/D