Opettjn sähköposti: jouko.teeriho@lpinmk.fi Algebr j geometri 5 op
Os: Sisältö Algebrn lskulit (luvut j lusekkeet) Tärkeimmät yhtälötyypit Suorn yhtälöt, linerinen mlli Toisen steen polynomimlli Muit yhtälötyyppejä, linerinen yhtälöpri Os: Suorkulmisen kolmion geometri Yleinen kolmion rtkiseminen Kurssitvoitteet. Käytännön lskutidon j lskurutiinin kehittäminen käänteisen opetuksen metodi noudtten (trkoitt, että nnetn lskutehtävät, teorin käytetään vähemmän ik, sitä löytyy mm. Moodlest). Lskentn suunniteltujen työvälineohjelmien käytön omksuminen. (Käytetään Online- lskint, jok löytyy osoitteest www.wolfrmlph.com
Trvittvt välineet Tulukkokirj (Mol ti Tekniikn tulukot) Lskin, esim. http://www.lskentvline.fi/ Lskuvihko Huom! Tunneill käytetään useimmiten Online- lskint, jok löytyy osoitteest www.wolfrmlph.com. Knnettv tietokone mukn tunneille.
Arviointi Arvosn-steikko: hyl,,,,4,5 Arvosn määräytyy seurvien suoritusten perusteell: Tehtävien teko koett A. Tehtävien lskeminen (rvosnt,, m ). Kurssin luss jetn lskumoniste, jok sisältää lskutehtäviä koko kurssin lueelt.. Tunneill edetään lskumonisteen mukn ihe-lue (A-M) kerrlln. Lskumonisteen lskujen lskemisell pääsee rvosnoihin. Pisterjt: 0 8 p hyl 9 p 4 7p 8 - p 5 p 4 6 0 p B. Kokeet (kikki rvosnt). Kokeill voi päästä prhimpiin rvosnoihin 4 j 5.. Koe ei voi lske tehtävillä nsittu rvosn.. Bonuspisteitä s läsnäolost (m p) sekä lsketuist lskuist (p), jotk lisätään koekeskirvoon. 4. Kokeist yleensä järjestetään uusintkert prin viikon kuluess C. Itseopiskelumetodi: Opiskelij, joll on hyvät mtemttiset vlmiudet j kyky itsenäiseen työskentelyyn
. Hylätyn kurssin suorittminen Yleisiä uusinttenttipäiviä järjestetään kerrn kuuss Vihtoehtoinen tp prnt rvosn hyväksytyksi on pyytää opettjlt lisätehtäviä. Itseopiskeluvihtoehto Syitä: Työssä käynti opiskelun ohell, perhesit, hyvin suoritetut mtemtiikn pohj-opinnot esim. lukioss, kyky j motivtio itsenäiseen opiskeluun Kurssin voin suoritt lopputentillä kerrn kuukudess järjestettävänä yleisenä tenttipäivänä, johon ilmoittudutn SOLE sovelluksess. Lskukokoelmn lskut pluttmll voi esittää näytön osmisest (m /5) Itseopiskeluun sopivi kirjoj löytyy muutm kpple kirjstost nimellä AMK mtemtiikk (ti vstv). Lukion oppikirjt käyvät myös oppimterilien
Os Potenssien lskusäännöt Murtolukujen lskusäännöt Juurilusekkeet
Ennkkotesti: Potenssien lskusäännöt 5 7.5.5.5 8 ) ( ) ( ) ( 9 ) ( ) ( 6.5 4 4.5 ) ( u u u 7 5 7 5 7 7 c c c c c 6 8 64 8 4 ) ( ) (4 ) ( b b b b b b b b b 4 6 6 ) ( 0 b Säännöt: m n m n m n m n m n m n ) ( m n m y y ) ( 0 n n n n b b ) ( ) ( n n n y y ) ( rtkisut
Testi Sievennä lusekkeet käyttäen potenssien lskusääntöjä 8 5 6 6 6 9 ) ( ) ( b b b 5 4 5 ) 5 ( ) 5 ( 4 4 4 ) ) (( t t t 5 5 y y y y Säännöt: m n m n m n m n m n m n ) ( m m m y y ) ( 0 n n n n b b ) ( ) ( n n n y y ) ( ) 5 ( 0 4 4 6 ) ( ) (4 c b c b bc bc rtkisut
Murtolusekkeiden sievennys lgebrlskimell (esim. Wolfrmlph) Kikki edellä esitetyt esimerkit voidn rtkist lgebrlskimen simplify komennoll, jok trkoitt suomeksi sievennä
Aihe A Potenssien lskusäännöt
Smnkntisten potenssien kertolsku Esimerkki smnkntisten potenssien kertolskust kpl kpl 5 ( )( ) Kertominen voidn suoritt lskemll eksponentit yhteen 5 Yleisesti: n m = m+n
Smnkntisten potenssien jkolsku Esimerkki smnkntisten potenssien supistmisest 7 4 Hvinto: Supistus voidn tehdä vähentämällä eksponentit toisistn 7 = 7 = 4 Yleisesti: n m = n m
Miten määritellään 0:s potenssi 0? Esimerkki smnkntisten potenssien supistmisest, joss osoittjn eksponentti on sm kuin nimittäjän = = 0 Sm esimerkki käyttämällä potenssien osmäärän sääntöä Tuloksen perusteell on määriteltävä, että 0:s potenssi 0 = Yleisesti: 0 =
Negtiivinen potenssi -n Esimerkki smnkntisten potenssien supistmisest, joss osoittjn eksponentti on suurempi kuin nimittäjän 5 5 = 5 = Sm esimerkki käyttämällä potenssien osmäärän sääntöä Esimerkin perusteell - trkoitt sm kuin Yleisesti: Luvun negtiivinen potenssi määritellään luvun positiivisen potenssin käänteisluvuksi n = n
Perättäiset potenssiin korotukset Esimerkki smnkntisten potenssien kertolskust ( ) ( )( )( ) 6 Lsku voidn suoritt kertomll eksponentit keskenään ( ) 6 Yleisesti: ( n ) m = mn
Tulon korottminen potenssiin Esimerkki : (b) ( b)( b)( b) bbb b Siis: tulo korotetn potenssiin siten, että kukin tulon tekijä korotetn erikseen ko. potenssiin Yleisesti: (b) n = n b n
Osmäärän korottminen potenssiin Esimerkki : ( b ) b b b bbb b Osmäärä korotetn potenssiin siten, että osoittj j nimittäjä korotetn erikseen ko. potenssiin Yleisesti: ( b )n = n b n
Murtoluvun negtiivinen potenssi Esimerkki : ( b ) b b b b ( b ) Murtoluvun negtiivinen potenssi on sm kuin sen käänteisluvun vstv positiivinen potenssi Yleisesti: ( b ) n = ( b )n Esim. ( ) = ( ) = 9 4
Yhteenveto perussäännöistä m n m n m n m n m n m n ) ( m n m y y ) ( 0 n n n n y y ) ( ) ( n n n y y ) (
Murtopotenssit Esimerkki : Mitä trkoitt potenssimerkintä Jos vditn, että perättäisten potenssiinkorotusten sääntö on voimss, niin ( ) =. = = Toislt tiedetään, että ( ) = Johtopäätös on se, että potenssi puoli vst neliöjuuren otto Esim. Luku 0 voidn lske lskimell myös 0^(/)
Muit murto- potenssimerkintöjä 4 4 5 5 j.n.e Yleisesti: n n 4 4 j.n.e Yleisesti: n m m n Esim. Luku voidn lske lskimell ^(/)
Aihe B Murtolukujen supistettu muoto Murtolukujen summ, erotus, tulo, osmäärä
Murtolusekkeen supistminen Jos osoittjll j nimittäjällä on jokin yhteinen tekijä, se voidn supist pois Sievennä: b( b ) Yhteinen tekijä b voidn supist b ( ) ( ) b
. Murtolukujen supistminen y y Murtoluku supistetn perusmuotoon siten, että osoittj j nimittäjä jetn tekijöihin (=esitetään tulon). Jos osoittjss j nimittäjässä on yhteisiä tekijöitä, ne voidn supist pois Esim. Supist perusmuotoon 70 4 70 4 7 0 7 6 0 6 5 5 Supistminen voidn tehdä viheittin kuten yllä ti yhdellä kerrll etsimällä osoittj j nimittäjän suurin yhteinen tekijä
. Murtolukujen yhteenlsku. Murtoluvut lvennetn siten, että niille sdn sm nimittäjä (=lkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jettv). Lopuksi osoittjt lsketn yhteen. Esim. Lske 4 + 4 ( (4 9 4 Sekmurtoluvut muunnetn ennen lvennust perusmuotoisiksi murtoluvuiksi. Kokonisluvut lvennetn Esim. Lske + 4 + 4 ( 7 4 ( 0 (4 4 40 85
. Murtolukujen vähennyslsku. Murtoluvut lvennetn siten, että niille sdn sm nimittäjä (=lkuperäisten nimittäjien pienin yhteinen jettv). Lopuksi osoittjt yhdistetään etumerkit huomioiden Esim. Lske - ( ( 9 6 4 6 9 6 4 5 6 Sekmurtoluvut muunnetn ennen lvennust perusmuotoisiksi murtoluvuiksi. Kokonisluvut lvennetn Esim. Lske - + 4 4 ( 5 (4 4 ( 4 0 9 4 0 4 4
. Murtolukujen kertolsku b c d c bd * Murtoluvut kerrotn siten, että osoittjt kerrotn keskenään j nimittäjät kerrotn keskenään. * Supistminen voidn tehdä lopuss ti väliviheess Esim. Lske 4 * 4 7 4 4 7 4 47 7 Sekmurtoluvut muunnetn ennenkertolsku perusmuotoisiksi Esim. Lske 4 * * 4 7 0 * 4 70 ) 5 6
. Murtolukujen jkolsku * Murtoluvut jetn siten, että osoittj kerrotn jkjn käänteisluvull 6 4 7 4 7 4 : 4 Esim. Lske 4 : 4 7 Esim. Lske 5 4 bc d c d b d c b : 8 5 7 5 4 5 7 4 5 5 5 4 4 4 5 4
4. Murtoluvun potenssi ( b ) n b n n Murtoluku korotetn potenssiin niin, että osoittj j nimittäjä kumpikin korotetn ko. potenssiin Esim. ) 4 4 ( 7 64 Esim. Jos potenssi on miinusmerkkinen, kntluvun käänteisluku korotetn vstvn posit. potenssiin ) ( ) ( 9 4
Virheellinen supistus! VÄÄRIN! SUMMASTA EI VOI SUPISTAA, supistminen edellyttää, että osoittj j nimittäjä ovt tulomuodoss Sen sijn seurv supistus on oikein, kosk siinä osoittj on viety ensin tulomuotoon ( ) ( )
Aihe C Murtolusekkeiden supistminen Murtolusekkeiden summ, erotus, tulo, osmäärä
Murtolusekkeen supistminen Jos osoittjll j nimittäjällä on jokin yhteinen tekijä, se voidn supist pois Sievennä: ( )( ) ( ) Yhteinen tekijä + voidn supist ( )( ) ( ) ( )
Onko oikein? Summst ei voi supist, Tämä on VÄÄRIN supistettu! Osoittjn j nimittäjän on oltv tulomuodoss supistettess Seurv sievennys on tehty oikein! ( ) Osoittj. steen polynomi on viety ensin tulomuotoon (+), sitten supistminen :ll on mhdollist
Miten summmuotoinen osoittj ti nimittäjä sdn tulomuotoon? (supistust vrten) Algebrlskimen fctor komennoll: esim. fctor ^+5*b Tpus: Yhteisen tekijän ottminen sulkumerkkien eteen 5b ( 5b) Tpus: Jos osoittj ti nimittäjä on khden neliön erotus (esim. ti 4 ti 9 b ), se voidn kirjoitt tulon, jonk tekijöinä ovt kntlukujen summ j erotus (*) 4 ( )( (*) Kvkirjn kv ( b ) = (+b)(-b) ) Myös kv + b + b = (+b) voidn käyttää
Sievennä supistmll 5 7 h k k h h h 4 4 ) ( b b 4 4 ) ( y y h 7 k k ) 5 ( 5) ( ) ( 4 ) ( 4 h h h h ) ( ) )( ( ) ( b b b b ) (4 4 ) ( ) ( ) )( ( ) ( y y y y y
. Murtolusekkeiden summ. Murtolusekkeet voi lske yhteen vst kun niillä on sm nimittäjä (vtii lvennuksen). Lopuksi osoittjt lsketn yhteen. Esim. Ilmoit yhtenä murtolusekkeen ( 4 h h h h h (h h h h( h ) h( h ) h h( h )
. Murtolusekkeiden vähennyslsku Myös vähennyslsku loitetn lventmll murtolusekkeille sm nimittäjä Esim. - + ( ( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Tehtävässä käytettiin ns. ristiin lvennust, yksinkertisimmilln y b b b y b b y b
4. Murtoluskkeiden kertolsku b c d c bd * Osoittjt kerrotn keskenään j nimittäjät kerrotn keskenään. Lopuss supistetn, jos on trpeen Esim. * b 4y 7 b 4y 7 b 8y yksi supistuu pois
5. Murtolusekkeiden jkolsku * Murtolusekkeell jetn siten, että kerrotn jkjn käänteisluvull Sievennä : y 4 b 4 b y b 8 y b 8y Sievennä ( )
Aihe D Juuret: neliöjuuri, kuutiojuuri,... Juurten sieventäminen Juurten potenssimuoto
Neliöjuuri trkoitt sitä positiivist luku, jonk neliö on ( ) Esim. 4 = kosk = 4 49 = 7 kosk 7 = 49.44 kosk.44*.44 =.00 4 ei ole olemss (minkään luvun neliö ei negt.) Määritelmä voidn ilmist myös siten, että on yhtälön = positiivinen juuri.
Kuutiojuuri trkoitt sitä luku, jonk kuutio on ( ) Kuutiojuuren voi ott myös negtiivisest luvust. Juuri on tällöin negtiivinen Esim. 8 = kosk =** = 8 5 = -5 kosk (-5) =(-5)*(-5)*(-5)= -5 0.54 kosk.54 = 0.0 Määritelmä voidn ilmist myös siten, että on yhtälön = juuri.
Muut juuret n trkoitt sitä luku, jonk n:s potenssi on ( n ) n Määritelmä voidn ilmist myös siten, että n on yhtälön n = juuri. Kun n on prillinen, n voidn ott vin positiivisest luvust Kun n on priton, n, juurrettv voi oll myös negtiivinen, jolloin juurikin on negtiivinen
Juurten potenssiesitys voidn esittää potenssimuodoss ( ) j ( ) Ts. Sekä neliöjuuri että potenssiin puoli korotettun toiseen ntvt luvun => neliöjuuri j potenssi puoli ovt smt. Vstvsti =, 4 = 4, j.n.e Lske käyttäen muoto 0.5
Juuret lskimiss kokeile lskimellsi 5 4 8 4 8 * Uudemmt lskimet eivät lske likirvo linkn, jos juurrettvksi nnetn kokonisluku. Likirvon voi sd esim. lisäämällä juurettvn desimlipisteen. Yleisimmät juurinäppäimet lskimiss y Esim. Windowsin lskimess ei ole kuin neliöjuuri: siinä esim. 5. juuri luvust 7 lsketn: 7 ^ ( / 5 ) Ecelissä = 7 ^ (/5)
Juurten sieventäminen, tulo j osmäärä Melkein kikki uudemmt lskimet osvt sieventää juurilusekkeit. Kun syötät lskimeen esim. se vst Sievennys perustuu khteen sääntöön:
Esimerkkejä sievennyksistä Tpus: Juurrettvss on tekijöitä, jotk ovt kokonisluvun neliöitä. Juuren voi ott kustkin tekijästä erikseen. 8 9 9 Tpus: Kun kerrotn kksi juurt, voidn juurrettvt yhdistää ennen juuren otto, jolloin juurrettvn stt muodostu neliötekijäitä 6 4 Tpus: Kun jetn kksi juurt, voidn juurrettvt supist ennen juuren otto => tulos yksinkertistuu 6 9 6 9
Pohdi seurv? Miten kirjoitettisiin juurimerkintää käyttäen seurv potenssi? -/ Vihje: Eksponentin edessä olev miinus merkki trkoitt, että kyseessä on kntluvun vstvn positiivisen potenssin käänteisluku. Vstus seurvll klvoll.
Potenssi -/ juurimuodoss? Vstus :
Polynomien peruslskutoimitukset Summ j erotus Vkioll kertominen Kertolsku Potenssilsku Jkolsku
Polynomit ste, steluku = muuttuj n n + n- n- + + + 0 termejä vkiotermi Esim. + 5 on :nnen steen polynomi, joss on 4 termiä. Vkiotermi on -. Polynomin kertoimet ovt, -, 5 j -
Polynomien yhteenlsku Yhteenlskuss sulkumerkit voi poist suorn. Tämän jälkeen yhdistetään smnsteiset termit lskemll niiden kertoimet yhteen Esim. Lske summ ( 5 + 7 - ) + ( 4 + + 6 ) Sulkuj ei trvit. Yhdistetään smnsteiset termit: 5 + 7 - + 4 + + 6 = ( + 4) 5 + (7 + ) - + 6 = 6 5 + 9 +
Polynomien vähennyslsku Vähennyslskuss vähennettävään lisätään vähentäjän vstpolynomi, joss kikkien termien etumerkit on käännetty. Ts. Vähentäjän edessä olev miinusmerkki kääntää vähentäjän kikkien termien etumerkki Vähennettävä Vähentäjä Esim. Lske erotus ( + 5 - ) - ( 4 - + 6 ) Sulut poistetn kääntämällä vähentäjän termien etumerkit: - + 5 4 + - 6 = - 6 + 7-9 https://www.youtube.com/wtch?v=mgzuae8m5ac
Vkio * polynomi ( b c) b c Polynomi kerrotn vkioll siten, että sen kukin termi kerrotn ko. vkioll Esim. ( + 5) = * + *5 = 6 + 5 Esim. - ( 5 - ) = -*5 + (- )*(-) = - 0 + 4 Polynomi vkio b c c b c Esim. 5 = 5 - = 5 -
Polynomien kertolsku ( b)( c d) c d bc bd Kertolskuss tulon. jäsenen kikill termeillä kerrotn. jäsenen kikki termit (ns. ristiin kertominen). Ts. jos. jäsenessä on termiä j toisess termiä, Kertolsku tuott = 6 tulo, jotk lsketn yhteen Esim. Lske ( + 5) * ( - + ) ( + 5) * ( - + ) = * + *(-)+ * + 5* + 5*(-) + 5 = 6 4 + + 5 0 + 5 = 6 + 9 8 + 5 https://www.youtube.com/wtch?v=npgeguovra
Polynomien potenssi Polynomien potenssi voidn lske ) Muuttmll se kertolskuksi b) Kvston kvoill muodoill (+b) n Esim. Lske ( + ) Tp: ( + ) = (+)(+) = *+*+*+* = + + Tp: Kvkirjn kv ( + b) = + b + b nt kun = j b = ( + ) = +* + = + + Esim. Lske ( - ) Tp: ( - ) = (-)(-) = *+*(-)+ (-)*+(-)*(-) = 4 + 6 + 9 Tp: Kvkirjn kv ( - b) = - b + b nt kun = j b = ( - ) = () - * + = 4-6 + 9 https://www.youtube.com/wtch?v=scjelcrs7q
Polynomien jkolsku Vikehko, ei kokeiss Polynomien jkolsku voidn suoritt jkokulmll, jok muistutt lsteell opittu kokonislukujen jkolskun jkokulm Esim. Suorit jkolsku ( 4 - ) : ( + ) jkj osmäärä jettv Tulos: https://www.youtube.com/wtch?v=7clxghu jkojäännös
Luku : Yhtälöt Os: Ensimmäisen steen yhtälöt
Esimerkki mtemttisest ongelmst, jok rtkistn ensimmäisen steen yhtälön vull: Eräällä kokonisluvull on sellinen ominisuus, että kun lukuun lisätään 0, niin luku kolminkertistuu. Mikä luku on kyseessä? Ongelm muunnettun yhtälöksi Rtkisu: + 0 = 0 = = => = 5
Käytännön tehtävä. steen yhtälön vull Kukolämmön kuukusilsku muodostuu 55 perusmksust + kulutukseen perustuvst energimksust, jonk yksikköhint on 50 /MWh. Erään perheen mliskuun lsku oli 85 Euro. Kuink mont MWh:t energi he kuluttivt mliskuuss? Ongelm muunnettun yhtälöksi Rtkisu: 55 + 50* = 85 ( = kulutettu energi) 50 = 85 55 = 0 = 0/50 =.6 Energin kulutus oli.6 MWh
Ensimmäisen steen yhtälön perustyypit Perustyypit: ) 5 = ) + = 5 Yhtälöt joiss esiintyy sulkuj: ) ( + ) - = 5 ( + ) Yhtälöt joiss esiintyy kokonislukunimittäjiä: 4) Kertoimet voivt oll myös desimlilukuj ti juuri: 5) 5 Kertoimet voivt oll myös symbolej: 6) + = Ensimmäisen steen yhtälöjä esiintyy usein fysiikss: 7) v = v 0 + t rtkise t
Perustyypit ) 5 = = / 5 Tyypin = b rtkisu sdn jkmll :n kertoimell. = b / ) + = 5-5 = - - = - = - /- = / Muuttujien j vkioiden erottminen: Viedään muuttuj sisältävät termit yhdelle puolen yhtälöä j vkiot toiselle puolen. (Termejä siirrettäessä etumerkki vihdetn) Tämän jälkeen kertoimet yhdistetään, jollon tuloksen on perusmuoto = b
Yhtälöt joiss on sulkulusekkeit ( + ) - = 5 ( + ). +. - = 5. + 5. Rtkiseminen lk sulkujen poistoll 6 + = 5 + 0 6-5 = 0 - = 9
Yhtälöt joiss esiintyy kokonislukunimittäjiä ) 6) ) Lvennetn kikkiin nimittäjä 6 ( ) 6 ( ) 6 6 6 Kerrotn kikki 6:ll (+) + 6 = (-) 4 + + 6 = - 4+6- = -- 7 = -5 X = -5/7
( Kertoimet voivt esim. juuri ti symbolej 5 5 ) + = v = v 0 + t 4 - = - ( ) = - => = - v - v 0 = t v v 0 t 4, rtkise t Jetn tuntemttomn t kertoimell
Toisen steen yhtälöt + b + c = 0
Esimerkki mtemttisest ongelmst, jok rtkistn. steen yhtälön vull: Erästä suorkiteen muotoist tontti ympäröi it, jonk pituus on 00 m. Tontin pint-l on 600 m. Määritä tontin sivujen pituudet? Yhtälö : (50 ) = 600 Sievennetään : 50 - = 600 Viedään kikki termit oikelle puolen yhtälöä: 0 = 50 + 600 eli 50 + 600 = 0 Rtkisu koneell: Vstus: Suorkulmion sivut = 0 m j y = 50 0 = 0 m (toinen vihtoehto = 0 m j y=0 m on sm)
Toisen steen yhtälön rtkisumenetelmiä HUOM!. Toisen steen yhtälöitä joudutn rtkisemn usein eri oppiineiss. Knntt hnkki lskin, jok os rtkist utomttisesti. steen yhtälöt, kun lskimeen syötetään sen kertoimet, b j c Tp: Rtkisukvn käyttö (toimii in). Viedään yhtälö perusmuotoon + b + c = 0. Sijoitetn kertoimet, b j c kvn b b 4 c Esim. Rtkise yhtälöstä.7 + 5. -. = 0 kertoimet 5. 5. 4.7(.).7 Sievennetään juurilusekett 5. 0. 5. 0.6.4.4 = - 4.5 ti =.46
Toisen steen yhtälön rtkisumenetelmiä Tp: Grfinen rtkisu: Piirretään lusekkeen + b + c kuvj j luetn juurten likirvot kuvjst Juuret likimin - 4.6 j.4
Villininen. steen yhtälö ( tpus c = 0) Ei trvit lrtkisukvn käyttöä. Yhtälö on muoto + b = 0 Fktoroidn vsen puoli: ( + b ) = 0 joko = 0 ti + b = 0 Juuret: = 0 ti = - b/ Näissä toinen juuri on in = 0 Toinen juuri sdn tulomuodon toisen tekijän + b nollkohdst. Esim. Rtkise 5 = 0 ( 5 ) = 0 = 0 ti 5 = 0 = 0 ti = 5/ plot 5
Villininen. steen yhtälö ( tpus b = 0) Ei trvit rtkisukvn käyttöä. Yhtälö on muoto + c = 0 Rtkistn luksi yhtälöstä smn tpn kuin. steen yhtälöä rtkistess = - c = -c/ Otetn neliöjuuri: Jos oike puoli < 0, rtkisu ei ole Jos oike puoli > 0, rtkisun c Näissä toinen juuri on in = 0 Toinen juuri sdn tulomuodon toisen tekijän + b nollkohdst. Esim. Rtkise 5 = 0 = 5 = 5/ = 5.6 Plot - 5
A. Perusmuoto j rtkisukvn käyttö Muut muotoon + b + c = 0 j merkitse tulukkoon kertoimet, b j c ) 5 = ) + = 5 ) - = 7 4) ( ) ( + ) = 0 Rtkise edellä olleist tehtävistä ) j ) ilmn rtkisukv Villinnisen. steen yhtälönä b) 5 = b) - = 7 5 =0-5 +=0 ) - - 7 =0 + -0=0 + =0 b c 5 0 - b c -5 b c - -7 0 b c - Mitkä ovt, b j c seurvss yhtälössä, joss rtkistv muuttuj on t 5) = v 0 t + ½ t b c
Yhtälön + b + c = 0 juurten lukumäärä Rtkisukvss b b 4 c b 4 c on nimeltään diskriminntti Juurten lukumäärä riippuu neliöjuuren sisällä olevn ns. diskriminntin rvost Kun b 4 c > 0, yhtälöllä on erisuurt juurt kuvj leikk kseli khdesti Kun b 4 c < 0, yhtälöllä ei ole relijuuri kuvj ei leikk -kseli Kun b 4 c = 0, yhtälöllä on yksi juuri kuvj sivu -kseli
Funktion y = + b + c kuvj Kuvj on prbeli > 0 => prbeli uke ylös < 0 => prbeli uke ls Kolme tärkeää pistettä: Nollkohdt: b b 4 c Huipun koordintti b nollkohtien keskirvo:
Aihe H Suorn yhtälö
Suorn yhtälön perusmuoto y = k + b Esim. Piirrä suor y = + k = kulmkerroin b = vkiotermi Esimerkissä kulmkerroin k = - Se kertoo y:n muutoksen, kun ksv yhdellä Vkio b = - Vkio kertoo kohdn, missä suor leikk y kseli.
Suorn yhtälö kun kulmkerroin k j yksi suorn piste ( 0,y 0 ) tunnetn y y k( 0 0 ) Esim. Määritä sen suorn yhtälö, jonk kulmkerroin on j jok kulkee pisteen (, ) kutt y ( ) Poistetn sulut y 6 y 8
Suorn yhtälö kun kksi sen pistettä (,y ) j (,y ) tunnetn. Kulmkerroin määritetään kvll. Suorn yhtälö on y y k( ) Esim. Määritä sen suorn yhtälö, jok kulkee pisteiden (, ) j (-, 7) kutt kulmkerroin Suorn yhtälö k y ( ) y 7 k 6 4 y 9 y y
Aihe I Linerinen mlli = jokin käytännön probleem ti tilnne, jot voidn kuvt yhtälöllä y = k + b
Esimerkkinä mikä thns plvelu, joss hint muodostuu kiinteästä perusmksust+ kulutuksest riippuvst osst Esim. Rovniemellä omkotitlon kukolämmön kuukusimksu koostuu 55 perusmksust + energimksust, joss yksikköhint on 50 /MWh Esitä kuukusilskun loppusumm Y energin kulutuksen X (MWh) funktion y 50 55
Esim. Vuosittinen vesimksu koostuu liittymämksust + veden kulutukseen perustuvst osst. Esim. Eräs siks mksoi vuodess 85 Euro vesimksu. Hän kulutti vettä 5 m. Mikä oli vuotuinen liittymämksu, jos vesikuution hint on 5.0 Euro y 5. 0 b Sijoitettn pri = 5 j y = 85 yhtälöön j rtkistn vkio b, jok on kysyttty liittymämksu 85 5.05 b b 85 55 00
Määritä kupungin kukolämmön kk- mksu j perusmksu sikkn lskujen perusteell Mttisen perheen lsku oli 46,40 kun kulutus oli,70 MWh, Sipoln lsku oli 8,0 kun kulutus oli,5 MWh. Määritä perusmksu j energin yksikköhint ( /MWh) TAPA: Muodostetn suorn yhtälö, kun suor kulkee pisteiden (.5, 8.) j (.70, 46.4) kutt k y y 46.4 8..7.5 8. 0.5 y 46.4 5.0(.7) y 46.4 5.0 88.4 y 5.0 58.0 5.0 kulmkerroin Perusmksu = 58 J energimksu 5
TAPA: Sijoitetn (, y ) prit ( = kulutus, y = lsku) Yhtälöön y = k + b j rtkistn yhtälöprist k j b Mttinen,7 MWh 46,40 Eur Sipol,5 MWh 8,0 Eur 46. 4 = k *.7 + b 8. = k*.5 + b Kerrotn lempi yhtälö :llä, Lsketn yhtälöt yhteen, jolloin b eliminoituu 46. 4 = k *.7 + b -8. = -k*.5 b ================== 8. =.7k.5k = 0.5 k Jetn 0.5 : llä k = 8. / 0.5 = 5 Sijoitetn k = 5 ensimmäiseen yhtälöön 46.4 = 5*.7 + b => b = 46.4 5*.7 = 58.0
Suorien leikkuspiste sdn grfiikst ti yhtälöprist Esim. Kuink mont km vuodess pitää vähintään j, jott diesel uto tulisi edullisemmksi kuin bens-uto. kulutus litrhint Vero Km- kustnnus Bens-uto 5.8 L/00 km.8 /L 5 5.8*.8/00 = 0,080 Dieseluto 4.8 L /00 km.5 /L 450 4.8*.5/00 = 0,060 Tp: Merkitään vuotuisi jokilometrejä X: llä. Kokoniskustnnukset ovt tällöin Bens- utolle: Y = 0.080 X + 5 Diesel-utolle : Y = 0.060 X + 450 Etsitään sellinen km- määrä X, joss suort risteävät: Y = 0.080 X + 5 - Y = - 0.060 X - 450 ==================== 0 = 0.00 X - 5 => X = 5/0.00 = 650 km
Tp: Grfinen rtkisu Grfiikss lempi suor kuv bens-uto j ylempi dieseliä Dieselin kokoniskustnnukset menevät bensuton kustnnuksen lle n 6 tkm:n kohdll
Tp: Päättely. Kilometrikustnnusten ero on 0.08 0.06 = 0.0 Eur/km. Veroiss on ero 450 5 = 5 Euro. On jettv niin mont kilometri, että tästä kertyy 5 Euro. Jos kilometrimäärää merkitään X:llä niin bens- j dieselutojen kustnnukset ovt smt kun 0.0 * X = 5 Jost X = 5/0.0 = 650 km
Aihe J Verrnnot j verrnnollisuus http://www.youtube.com/wtch?v=uqnvx80jppa
Verrnnoll rtkevi lskuj. 45 m sunto eräässä kerrostloss mks 64 000. Pljonko mks 68 m sunto smss rpuss jos neliöhint on sm? l hint 45 64000 68 64000Eur 68m 45m 68 45 64000Eur 967Eur. Uim-ltn täyttö pumppusnopeudell 0 ltr/min kestää 4.0 h. Kunko täyttö kestää pumpull, jonk nopeus on 0 ltr/min nopeus ik 0 L/min 4 h 0 L/min L 0 4h L 0 4h. h 0 0 min min Hintojen suhde = lojen suhde ti myös Hint / l = vkio Täyttönopeus kert täyttöik = vkio
RISTIIN KERTOMINEN b c Nimitykset: Lukuj j snotn verrnnon äärijäseniksi Lukuj b, c snotn verrnnon keskijäseniksi Kun hlutn rtkist verrnnon jokin jäsen, yleensä loitetn ns. ristiin kertomisell: Ääriäsenten tulo = keskijäsenten tulo. bc sdn jkmll toinen puoli sen kertoimell = bc/
Tvllisimmt verrnnollisuustyypit Verrnnollisuustyyppi Ominisuus Kvn X j Y suorn verrnnolliset Y/X = vkio y = k X j Y kääntäen verrnnolliset X*Y = vkio y = k Y verrnnollinen X:n neliöön Y/X = vkio Y = k Y kääntäen verrnnollinen X:n neliöön Y*X = vkio Y = k Fysiikn kvoj, joiss esiintuu verrnnollisuutt: s = v t P = R I F = G Mm r
Esim. Oletetn, että uton polttoineen kulutus (L/00 km) suurimmll vihteell jettess on verrnnollinen uton nopeuden neliöön. Jos nopeudell 90 km/h kulutus on 5.8 L/00km, mikä se on nopeudell 0 km/h jettess? Polttoineen kulutus y k v Kumpi seurvist on oikein? k = jokin vkio Kulutus hint 5.8 90 km/h Y 0 km/h A y 5.8 0 90 y 0 5.8 7. 90 7 L 00km B y 5.8 0 90 0 90 L y 5.8 0. 00km
d m h Sylinterin tiheyden kv 4 m d h m = mss d = pohjn hlkisij h = korkeus Millinen verrnnollisuus on tiheyden j korkeuden h välillä? Kääntäen verrnnollisi: tulo ρ h = vkio Millinen verrnnollisuus on tiheyden j hlkisijn d välillä? Tiheys on kääntäen verrnnollinen hlkisijn neliöön: tulo ρ d = vkio Millinen verrnnollisuus on tiheyden j mssn m välillä? Suorn verrnnollisi: ρ/m = vkio
Verrntojen käyttöesimerkkejä Metllilngn Resistnssi Ohmein R k d s k = metllist riippuv vkio s = johdon pituus d = johdon pksuus Eräästä metllilngst leiktun 5 m johdon resitnssi on mω. Mikä on smst lngs leiktun 60 m johdon resitnssi? Resistnssin kvst hvitn, että R on suorn verrnnollinen pituuteen. R S mω 5 m X 60 m 60m 5m 5 60 60 5 65m
Metllilngn Resistnssi Ohmein R k Eräs metllilnk, jonk pksuus on.00 mm j resistnssi 50 moh, korvtn yhtä pitkällä lngll, jonk pksuus on 0.60 mm. Mikä on resistnssi nyt? d Mikä seurvist on oike rtkisu? s k = metllist riippuv vkio s = johdon pituus d = johdon pksuus R d 50 mohm.00 mm X 0.60 mm 50 0.60.0 500.6 0m 0.6mm 50m.0mm 0.6 50 8m (0.6mm) 50m(.0mm) 0.6 50 9m 50 0.60.0 500.6 8m R d vkio
Hrjoituksi : Rtkise ristiin kertomll Rtkise T yhtälöstä Rtkise T yhtälöstä p GMT T G M r pv T 4r T 4 r r 4 r 4 r r T GM GM 4 V T pvt T pvt p V pv T
Aihe J Mittkv
Mittkvn liittyviä kysymyksiä (Vnhoj monimuotokoulutuksen pääsykoetehtäviä) 5 cm 50 cm Kuink monikertinen on isommn huen tilvuus (j mss) pienempään verrttun? ) Kksinkertinen b) 4- kertinen c) 6 - kertinen d) 8 - kertinen Kuink monikertinen on vrjostimen kuvn pintl verrttun lkuperäiseen kun projektori siirretään kksinkertiselle etäisyydelle? ) Al on kksinkertinen b) Al on 4- kertinen c) Al on 6- kertinen d) Al on 8 - kertinen
Yhdenmuotoiset kuviot j kppleet Yhdenmuotoisiss kuvioiss j kppleiss vstinjnojen suhteet ovt smt
Mittkv k Yhdenmuotoisien kuvioiden vstinjnojen suhde on vkio, jot kutsutn mittkvksi j merkitään k:ll Alkuperäinen kuvio Yhdenmuotoinen kuvio Kuvss olevn oikenpuolimmisen kolmion mittkv lkuperäiseen nähden on 6cm k cm Kolmion lojen suhde A /A = k = 4
Alojen j tilvuuksien suhde Oikenpuolimmisen kuution mittkv lkuperäiseen nähden on : eli k = Kuutioiden yhden thkon pint-lojen suhde on 9 : = = k Kuutioiden tilvuuksien suhde on 7 : = = k YLEISSÄÄNTÖ: Olkoon kpple B yhdenmuotoinen kppleen A knss mittkvss k. Tällöin kppleiden B j A vstinpint-lojen suhde on k j kppleiden tilvuuksien suhde on k.
Krtn mittkv. Kuink pitkä on mstoss jn, jok krtll on.5 cm? 5000*.5 cm = 500 cm =5 m. Arvioi krtll olevn stdionin pint-l, kun sen pint-l krtll on.5 cm. cm =.0 cm 5000 * cm = 75 000 000 cm = 7500 m = 0.75 h :5000 trkoitt, että cm krtll = 5000 cm eli 50 m mstoss
Yksikkömuunnokset m 0 dm 00 cm 000 mm m 00 dm 0000 cm 000000 mm m 000 dm (ltr) 000000 cm 0 9 mm
Tlon pienoismlli Todellinen tlo pienoismllin mittkv :60 5 cm. Mikä on pienoismllin mittkv? ) Muodoss : X b) Desimlilukun 5/ 900= :60 0.0667 9.00 m. Todellisen tlon pohjn l on 56 m ) Mikä on pienoismllin pohjn l? b) Mikä on pienoismllin leveys? (/60) * 560000 cm = 56 cm 56 cm / 5 cm = 0.4 cm. Tlon olohuoneen tilvuus on 70 m Mikä on pienoismllin olohuoneen tilvuus? 70 00 00 00 cm*(/60) = 4 cm
Suorkulmisen kolmion geometri Nimitykset: α,β = terävät kulmt c = hypotenuus,b = kteetit
Suorkulmisen kolmion kvt 90 c b Pythgorn luse jost rtkistun c b b c Jo kreikkliset huomsivt, että suorkulmisen kolmion terävä kulm määrää sivujen suhteet. He mittsivt, lskivt j tulukoivt sivujen suhteet kikille kulmille 0 90 o. Nykyisin ne löytyvät lskimest näppäimillä sin, cos j tn. sin cos c b c Kulmn α sini = kulmn vstisen kteetin suhde hypotenuusn Kulmn α kosini = kulmn viereisen kteetin suhde hypotenuusn tn b Kulmn α tngentti = kulmn vstisen kteetin suhde viereiseen kteettiin
Suorkulmisen kolmion rtkiseminen Kun suorkulmisest kolmiost tunnetn kksi os, joist vähintään toinen on sivu, voidn kikki muut sivut j kulmt rtkist käyttäen esitettyjä kvoj. Tätä kutsutn kolmion rtkisemiseksi.
sin, cos vi tn? Oikein vi väärin? Väite Oikein Väärin sin(β) = 5 / 5.8 X tn(α) = 5 / 5 X cos(β) = 5 / 5.8 X sin(α) = 5.8 / 5 X tn(β) = 5 / 5 X cos(α) = 5 / 5.8 X 5 = 5.8 5 5.8 = 5 + 5
Perustidot Sivun rtkiseminen, kun terävä kulm j jokin muu sivu tunnetn. sin( 70) 80 80 sin(70) 85. Kulmn rtkiseminen kun kksi sivu tunnetn tn( ) 8 0.49 tn (0.49). Lskin DEG moodiin
Esim. Rtkise kuvn kolmioss, sekä kulmt α j β Kun tunnetn sivu, on helpoint rtkst. sivu Pythgorn luseell. Sen jälkeen voidn käyttää mitä thns sivujen suhdett sin, cos ti tn kulmn lskemiseksi. Rtkistn Pythgorn luseest ( + 4 = 0 ) 0 4 4. Kulm α voidn rtkist esim. yhtälöstä cos(α) = 4/0 = 0.7 Sen rtkisu on α = cos - (0.7) = 45.57 o Toinen terävä kulm β = 90 o - 45.57 o = 44.4 o
Esim. Rtkise tuntemttomt sivut j kulmt Toinen terävä kulm α = 90 o - 6 o = 7 o Kun tunnetn sivu, j jokin kulmist, lsketn ensin toinen terävä kulm. Sen jälkeen käytetään sellist sivujen suhdett, joss tunnettu sivu esiintyy toisen sivun lskemiseen. Viimeinen sivu voidn lske Pythgorn luseell Kun tunnetn kulm α j sen viereinen kteetti (b), voidn käyttää kvoj tn(α) = /b j/ti cos(α) = b/c muiden sivujen rtkisemiseen tn( 7) / 5 5tn(7).548 c 5.548 5.6
Vihjeitä tehtäviin: Suorkulmisi kolmioit löytyy monist pikoist 6 h 0 Tskylkisestä kolmiost Toisin sivuvien ympyröiden väliltä Pyrmidin sisältä Tehtävät 6-69 rtkistn suorkulmisi kolmioit käyttäen.
Yleinen kolmion rtkiseminen Siniluse j Kosiniluse
Kosiniluse, siniluse, l. Kosiniluse c b bcos myös = b + c b c cosα j b = + c c cosβ. Siniluse: ( kolmion kulmn sinin suhde vstiseen sivuun on vkio ) sin b sin c sin ti sin sin b sin c. Al voidn lske khdell tvll A sin b csin bcsin ½ khden sivun tulo niiden välisen kulmn sini Heronin kv: (sopii silloin kun tunnetn kolmion kikki sivut) A p( p )( p b)( p c) p = kolmion sivujen summn puoliks
Etäisyyksien mittus kolmiomittuksell, esim. Mnmittrin perustyöklut ovt historiss olleet mittnuh j kulmmittri Mnmittrin tehtävänä oli määrittää pisteiden A j B välimtk. Pisteiden välissä on vr, jok kierretään pisteen C kutt, jost on näköyhteys pisteisiin A j B. Määritä jnn AB pituus kuvn mittustuloksien vull. Sovelletn kosinilusett c b bcos AB 50 460 50460cos5.5 4775 AB 4775 688m
Etäisyyksien mittus kolmiomittuksell, esim. Mtti hlusi tietää kuink kukn rnnst on merellä näkyvä sri. (kuvn h) Hän vlitsi rnnlt kksi kiintopistettä A j B, mittsi näiden välimtkksi AB = 780 m. Lisäksi hän mittsi molemmist pisteistä kulmt, joss sri näkyi jnn AB nähden. Kulm kärjessä A : α = 78 o Kulm kärjessä B : β = 5 o 50 o Kolms kulm γ = 80-78-5 = 50 o Väli AC sdn siniluseell AC sin5 780 sin50 AC 780sin5 sin50 80.4m Etäisyys h on kulmn α =78 o vstinen kteetti kolmioss, jonk hypotenuus AC = 80.4 sin78 h AC h AC sin 80.4sin78 785m
Kosinilusett käytetään tvllisesti seurviss tpuksiss: TAPAUS: TUNNETAAN KOLMION KAKSI SIVUA JA VÄLINEN KULMA Rtkise kolmion tuntemttomt sivut, kulmt j l Sivu b rtkistn kosiniluseell: b 0 6 06cos40 0.9 b 0.9 0.5 Seurv tuntemton kulm rtkistn siniluseell: sin sin40 0sin40 sin 0.6 sin (0.6) 0 0.5 0.5 Viimeinen kulm sdn vähentämällä muut kulmt 80 o :st γ = 80 o 40 o 7.7 o = 0. o 7.7 Al: A = ½ 0*6*sin40 o = 5.4
Kosiniluseen käyttö: TAPAUS: TUNNETAAN KOLMION SIVUT MUTTA EI KULMIA Rtkise kolmion kulmt j l A p( p )( p b)( p c) 4(48)(49)(4) 5.5 = 8 b = 9 c = p =(8+9+)/=4 Rtkistn kosiniluseell ensin cosγ, jost sdn kulm γ 8 9 4 44cos cos 89cos 648 44cos 4 0.67 cos (0.67) 80. 4 44 Seurv tuntemton kulm rtkistn siniluseell: sin sin80.4 8sin80.4 sin 0.77 sin (0.77) 8 45.8 γ = 80 o 80.4 o 45.8 o = 5.8 o
ESIM. SINILAUSEESTA Rtkise kolmion tuntemttom sivut j kulmt Todetn ensin että α = 80 o 8 o 5 o = 47 o Puuttuvt sivut lsketn siniluseett käyttäen. 9 c sin 47 sin5 sin8 9sin 47 sin5 8.47 c 9sin8 sin5.47
Muit yhtälötyyppejä Murtoyhtälöt Juuriyhtälöt Potenssiyhtälöt
Perusmenetelmä : ristiinkertominen (ti nimittäjien pois kertominen)... 5 GMT M G r 5 5 5 4 r 4 r T r kerrotn :llä rtkise r kerrotn -:llä 5 0. _ ti _ 0.8 GMT 4 r kerro ristiin GMT 4 4. pv T p V T rtkise T kerro ristiin p V T p V T T pvt p V
.. ( ) 5 5 4 4 5 ( )( ) korot toiseen korot toiseen 0 ( ) 0 Perusmenetelmä : Juurist päästään eroon potenssiin korotuksell (toiseen korotus). Tuloksen on yleensä. ti. steen yhtälö.. Juuriehdokkt =0 j = testtn sijoittmll T 0 0 T m k m k T, rtkise k m k Epätosi: 0 ei käy Tosi: = on juuri 4 m T k 4 m k 4 T 4. 5. korot kolmnteen potenssiin 8 9 4b, rtkise 4 4 4 4b 4b 4b
Potenssiyhtälöt n =b. 5 5.64. 4 7 4 7.6. 6 7 6 7 0 Prillinen potenssi ei ole koskn < 0 =>ei rtkisu 4. 0 0 0 5 5 5.7
Aihe I Toisen steen polynomimlli
Funktio y = + b + c. Funktion kuvj on prbeli. Aukemissuunt ylöspäin, kun > 0 lspäin kun < 0. Juuret (= kohdt, joiss prbeli leikk -kselin) b b 4c Juuri ei ole, jos juuren sisällä olev b 4c < 0. Tällöin prbeli on kokonn kselin ylä- ti lpuolell. 4. Huippu on juurten puolivälissä b Huipun y sdn sijoittmll tämä prbelin yhtälöön y = + b + c
Esim. Ei juuri: (b -4c) = (-7) Juuret -.5 j Juuret j
Esim. Piirrä prbeli y = + 5-7 Rtkisu: Kuvn riittää kolme pistettä: juurt + huippu.. Juuret rtkisukvll ti koneell = ti = - 7/ = -.5. Huippu = - 5 /(*) = - 5/4 = -.5 (toinen tp: juurten keskirvo.5+ = -.5) y = *(-.5) + 5*(-.5) 7 = -0.5
Esimerkki funktion suurimmn rvon määrittämisestä. Olkoon erään älypuhelimen myyntihint X j sen vlmistuskulut 50 Euro. Tällöin tuotto puhelint kohden on X - 50. Myyntimäärä riippuu hinnst kvll 50000 00 X ) Määritä puhelimen myynnistä stv kokonisvoitto X:n funktion b) Lske, millä hinnll X voitto on mksimissn., Hint = myyntimäärä M=(50000-00 ) Rtk. ) Kokonisvoitto = myyntimäärä * tuotto per puhelin Y = (50000 00X) (X 50) b) Sievennetään funktion luseke polynomiksi Y = 50000 X + 500000-00 X + 5000 X Y = - 00 X + 55000 X + 500000 Kuivj on lspäin ukev prrbeli: Huippu on kohdss X = -b/ = -55000/(*-00) = 75 Euro => Tuottoisin hint on 75 Euro