.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti trkoitt sitä, että joo lust luetell trpeellie määrä joo jäseiä j et sitte yleie säätö, jok vull joo jäse void lske edelliste jäsete vull. Tällist säätöä sot rekursiiviseksi sääöksi ti rekursiosääöksi. Ku joo määritellää tmll lskukv, jok vull mikä ths joo jäse void lske järjestysumeros vull, sot, että joo o määritelty lyyttisesti ti että se o määritelty lyyttise sääö vull. Alyyttie lukujoo: Jäse lsket kv vull järjestysluvust. Alyyttie lukujoo voi oll päättyvä ti päättymätö Rekursiivie lukujoo (recursive sequece, recurrece sequece): Jäse lsket joo ikisempie jäsete vull. Rekursiivie lukujoo voi oll päättyvä ti päättymätö Kuuluisimm rekursiivise joo mie et yleesä Fibocci lukujoo tuetulle joolle. Leordo Pislie lis Filius Bocci ( Boccio poik ) Fibocci. Hä oli kuppis, jok eli oi vv. 80-50. Motko kiiipri sytyy vuodess, jos luksi o yksi pri j jos kuki pri tuott kuukudess uude pri, jok tulee sukukypsäksi khdess kuukudess? Tämä tehtävä joht Fibocci jooo, jok khde peräkkäise jäsee suhde 5 lähestyy luku, ku ksv rjtt. Tämä luku o ii sotu kultise leikkukse suhde eli ure sectio. j Fiboccci lukujoo esiityy luooss. Esimerkkeiä vikkp puu oksie lukumäärät, kse kuore muhkuroitte lukumäärie jkutumie j kuuse kävy suomuje lukumäärie jkutumie. Op väitetty, että jos rkeukse mittsuhteet tehdää oudttmll kultist leikkust, se miellyttää useimpie tyylitju. Fibocci lukujoo void määritellä myös seurvll tvll. Aloitet tmll joo kksi esimmäistä jäsetä. Ne ovt j. Toisi soe, jos o Fibocci joo, ii = j =. Jtket tmll joo rekursiivie säätö. Se o, ku. Fibocci joo lkiot kolmest eteepäi sd siis lskemll kksi edellistä yhtee. Joo 0 esimmäistä jäsetä ovt:,,,, 5, 8,,, 4, 55. Huom, että rekursio lk : rvost. (6)
.7 Rekursiivisist lukujooist Luooss o moi ilmiöitä, joide kuvmie juuri rekursiivise joo vull o helppo. Tällisi ovt muu muss popultio ksvu hrm ltikko yllä sekä solu jkutumie. Usei void vlit, hluko määritellä lukujoo lyyttisesti vi rekursiivisesti. Edellä muu muss Esimerkeissä j lukujoo määriteltii rekursiivisesti. Molemmiss tpuksiss sm lukujoo oli kuiteki määriteltävissä myös lyyttisesti. Myös Fibocci 5 5 joo void määritellä lyyttisesti:, =,,... 5 Esimerkki 7 Lske joo viisi esimmäistä jäsetä, ku j. Rtkisu Joo jäse sd siis edellisestä lisäämällä tähä kksi. Siis: 4 4 6 4 6 8 8 0 5 Vstus: Joo viisi esimmäistä jäsetä ovt, 4, 6, 8 j 0. Esimerkki 8 Lske joo viisi esimmäistä jäsetä, ku, j, ku 4. Rtkisu Kosk joo kolme esimmäistä jäsetä o ettu, lskettviksi jäävät eljäs j viides jäse. 4 4 4 5 5 5 Vstus:,,, 4 j 5 Esimerkki 9 Etsi joo joki lyyttie j joki rekursiivie säätö, ku joo viisi esimmäistä jäsetä ovt: ), 4, 7, 0,. b), 4, 8, 6,. c),, 7, 5,. Rtkisu ) Tämä joo peräkkäiste jäsete erotus o vkio:, jote joo rekursiivie säätö o j, =,, 4, Joo o siis ritmeettie. (6)
.7 Rekursiivisist lukujooist Kosk : ksvttmie yhdellä lisää i kolmose joo jäseee, ii lyyttie säätö o, =,,, 4, Se void sievetää muotoo, =,,, 4, Tiivistetää tämä vielä tulukoksi. Alyyttie säätö Rekursiivie säätö 4 + 7 4+ 4 0 4 7+ 5 5 0+ Vstus: Rekursiivie säätö j, =,, 4, j lyyttie, =,,, 4, b) Kosk joo jäsee merkki vuorottelee, muk o toistuv egtiivisell luvull kertomie. Lisäksi jäsee itseisrvo kksikertistuu, ku ksv yhdellä. Täte jäse sd edellisestä miius khdell kertomll. Tästä voi tehdä esimerkiksi seurv tuluko. Alyyttie säätö o siis, ku =,,, j rekursiivie säätö o, ku =,, 4 j Alyyttie säätö Rekursiivie säätö 4 8 4 4 6 4 8 5 5 6 Vstus: Alyyttie säätö o j, ku =,, 4, ku =,,,, rekursiivie säätö o c) Tutkit peräkkäiste jäsete erotuksi. Ne ovt:, 4, 8 j 6. Jokie o pitsi kksi kert ii suuri kui edeltävä ii erityisesti vielä kkkose potessi. Mite se puet lyyttise sääö suu? Hmm jokisee jäseee tulee siis kkkose potessi. Kokeill pelkkiä kkkose potessej, tulee:, 4, 8, 6,. Koko j siis ykköe liik. No, väheetää se pois:, 4, 8, 6,. Eräs lyyttie (6)
.7 Rekursiivisist lukujooist säätö o siis, ku =,,, Tämäki tile o helpompi hhmott tuluko vull. Tutkit sitte, mitä sottv meillä o rekursiivisest sääöstä. Ilmeisesti j. Peräkkäiste jäsete erotus siis kksikertistuu jok skeleell j erotuste joo lk kkkosell. Jos siis jäseee lisätää se erotus edeltävä jäsee kss kksikertise, ii smme seurv:,,, 7 7, 5. Näi tulokse o rekursiivie säätö, j, ku =, 4, 5, Alyyttie säätö Rekursiivie säätö 7 4 5 4 7 7 5 5 5 5 Vstus: Alyyttie säätö o siis, ku =,,,, rekursiivie säätö o j, ku =,, 4, Esimerkki 0 Etsi joo joki lyyttie j joki rekursiivie säätö, ku joo viisi esimmäistä jäsetä ovt:, 4, 0,, 46. Rtkisu Peräkkäiste jäsete erotukset kksikertistuvt jok skeleell jällee:, 6,, 4. Tälläki kert kkkose potessi tulee muk, yt seurvll tvll:, 6 =, =, 4 =. Rekursio tää o sm si kui, ku =, 4, 5, Sm säätö siis kui Esimerki 9 c - kohdss! Rtkisev o, että joo lk eri tvll kui miituss c - kohdss. Täydellie rekursiivie säätö o tällä kert seurv:, 4 j, ku =, 4, 5, Kosk khde peräkkäise jäsee ero ksv kksikertiseksi jok skeleell j lk kolmosell, ii lyyttie säätö o. Kvss muk olev sd kokeilemll. Vstus: Alyyttie säätö o, ku =,,, j rekursiivie säätö, 4 j, ku =, 4, 5, 4(6)
.7 Rekursiivisist lukujooist Esimerkki Niilo voitt joulumyyjäiste 007 päävoito 000 000 euro, jotk rht hä tllett tilille. Rht spuvt tilille ii, että esimmäie päivä, jolt iille hyvitetää, korko o..008. Hä päättää: Jo vi! Jtk töissä ii ku kui rh riittää. Hä rvioi, että trvitsee ylöspitoos rh 500 euro jok kuukusi. Tämä summ hä päättää ost i kuu luss. Esimmäise kuukude häe miljoos ksv kuiteki korko ih ruhss, jote esimmäise osto hä tekee..008. Muuteki hä joitt ostos ii, että rh ksv korko i kokoise kuukude. Niilo rht ovt käyttötilillä, jok korko o,50 % p. Muitte tili ehtoje muk korko mkset 66 päivä muk vuo 008. Kuik pljo Niilo tili sldo o..008 ee vuode 009 esimmäistä osto? Rtkisu Kosk tilille hyvitetää korko vuode jok ikiseltä päivältä, ii tmmikuuss Niilo s korko,50% 000000 euro eli 7,49 euro. Ee helmikuu osto tilillä o siis 66 000 000 euro + 7,49 euro eli 00 7,49 euro j osto jälkee 999 67,49 euro. Tämä pääom ksv korko koko helmikuu j ee seurv osto tilillä o 999 67,49 9 euro plus,50% 99967, 49 euro eli 00 597,60 j osto jälkee 999 097,60 66 euro. Trkstelemme tässä lähiä kuki kuukude sldo kuukude koro jälkee j ee seurv kuukude osto. Näistä sldoist muodostuu rekursiivie joo siiä mielessä, että jokie joo jäse void lske yksikäsitteise sääö vull edellisestä, mutt vlitettvsti yksi lukurvoist muuttuu sellise sääö muk, että sitä ei voi t muute kui luettelemll. Yleie säätö o siis ilmistviss vi symbolie vull! Siksi vstuski sd lskemll kuki kuukusi eriksee. Joo rekursiivie säätö o seurv: 00 7,486, t 0,05-500, missä t o vuode. kuukude päivie määrä, jolloi 66 siis t o helmikuu j =,,,.... Tästä sd seurv tulukko. 5(6)
.7 Rekursiivisist lukujooist Alku Loppu tmmikuu 000 000,000 00 7,486 helmikuu 999 67,486 00 597,60 mliskuu 999 097,60 00,78 huhtikuu 998 7,78 000 759,7 toukokuu 998 59,7 000 7,5 kesäkuu 997 87,5 999 98,46 heiäkuu 997 48,46 999 50,66 elokuu 997 00,66 999 4,564 syyskuu 996 64,564 998 68,86 lokkuu 996 8,86 998 9,68 mrrskuu 995 79,68 997 8,88 joulukuu 995,88 997 44,44 Niilo tilillä o joulukuu lopuss rh 997 44,4 euro. Vstus: Kysytty tili sldo o 997 44,4 euro. Kerro helppo jippo, jok t i joo sääö Ei ole olemss mitää yksikertist ohjett, jok tuottisi utomttisesti etu joo muodostmise säätöjä. Ei ik, jos selliseksi ei kelp käytä heuristist eroutt! Aio keio o kirjoitt etut tiedot mhdollisimm selvästi äkyvii esimerkiksi tulukkoo kute edellä j kokeill. Lski, tietokoe j om mielikuvitus ovt oivi puvälieitä tässä työssä, smoi hker hrjoittelu. Huom, että joo jäsetä ei kosk voi kirjoitt itsesä fuktio. Toisi soe, merkitä... o mhdoto. 6(6)