2 Keskeisvoimakenttä. 2.1 Newtonin gravitaatiolaki
|
|
- Hannele Palo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 2 Keskeisvoimakenttä 2.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton oletti, että kappale, jolla on massa m 1, vaikuttaa etäisyydellä r 12 olevaan toiseen kappaleeseen, jonka massa on m 2, gravitaatiovoimalla, joka on F 12 = Gm 1m 2 ˆr r , (61) on missä ˆr 12 = r 12 /r 12 = ( r 2 r 1 )/ r 2 r 1 on yksikkövektori ja missä gravitaatiovakio G = 6, N m 2 /kg 2. (62) Ohuen homogeenisen pallokuoren (massa M, säde R) voima pistemäiseen kappaleeseen (massa m) on F = G mm ˆr, r R (63) r2 F = 0, r < R. (64) 15
2 Homogeenisen pallon (massa M, säde R) voima pistemäiseen kappaleeseen (massa m) on F = G mm ˆr, r2 r R (65) F = G mm rˆr, R3 r < R. (66) 2.2 Kappaleen paino Kappaleen paino on kaikkien maailmankaikkeuden massojen yhteisvaikutus kappaleeseen. Lähellä maanpintaa muiden massojen kuin maan vaikutus on häviävän pieni, joten w = m g = G mm E R 2 E ˆr, (67) missä maan massa M E = 5, kg ja säde R E = 6, m. Painovoiman kiihtyvyys lähellä maanpintaa on g = GM E, (68) RE 2 joka on riippumaton kappaleen massasta. Etäisyydellä r R E ylöspäin maanpinnasta, m-massaisen kappaleen paino on w = GM Em r 2. (69) Koska maapallo pyörii eikä se ole täysin pyörähdyssymmetrinen, kappaleen näennäinen paino ei ole aivan sama kuin sen todellinen paino, vaan se riippuu siitä, millä leveysasteella kappale sijaitsee. Tähän kysymykseen palataan, kun tarkastellaan kiihtyvässä liikkeessä olevia koordinaatistoja. 16
3 2.3 Voimakentät Gravitaatiokentän voimakkuus määritellään Homogeeninen gravitaatiokenttä on g( r) = F ( r) m. (70) g( r) = g = vakio. (71) Kenttäviivat kuvaavat sitä, mihin suuntaan testihiukkanen (massa m) lähtisi liikkumaan, jos se vapautettaisiin levosta. Pistemäisen kappaleen muodostama (esimerkiksi homogeenisen pallon ulkopuolella, massa M) gravitaatiokenttä g( r) = G M ˆr. (72) r2 Kenttäviivojen tiheys kuvaa kentän voimakkuutta, eli mitä tiheämmässä kenttäviivoja on, sitä voimakkaampi kenttäkin on. 2.4 Potentiaalienergia Vakiokentän aikaansaama potentiaalienergia Homogeeniselle gravitaatiokentälle 17
4 W 12 = 2 1 F s = 2 1 mgĵ (dx î + dy ĵ) = mg(y 2 y 1 ) = U, (73) joten U = mg(y y 0 ). (74) Koska vain potentiaalienergian muutoksella on merkitystä, gravitaation potentiaalienergian nollakohta voidaan valita vapaasti. r 2 -kentän aikaansaama potentiaalienergia Lähellä maanpintaa, jolloin r = R E + h, missä h R E, gravitaatiovoiman kappaleeseen aiheuttama potentiaalienergia on lähes vakio U = mgh + U 0. (75) Kauempana maanpinnasta potentiaalienergia ei pysykään vakiona, vaan se muuttuu etäisyyden funktiona. Yleisesti gravitaatiovoiman tekemä työ W 12 = r2 r 1 = GmM E r 2 Fg d s = GmM E r2 r 1 dr r 2 GmM E r 1 = U. (76) 18
5 Potentiaalienergiaksi saadaan siis U(r) = GmM E, U = 0, kun r =. (77) r Potentiaalienergian nollakohta U( r 0 ) = 0 kannattaa valita siten, että voima häviää siinä, eli F ( r 0 ) = 0 Pallokuoren potentiaalienergia U(r) = G mm r, r R (78) U(r) = G mm R, r < R. (79) Homogeenisen pallon potentiaalienergia U(r) = G mm r, r R (80) U(r) = G mm ( 3 R 3 2 R2 1 ) 2 r2, r < R. (81) 19
6 Elastinen potentiaalienergia Jousen tekemä työ siirtymässä x 1 x 2 on W = x2 x2 F x dx = kx dx = 1 x 1 x 1 2 k(x2 2 x 2 a) = U, (82) joten jousen potentiaalienergia on U(x) = 1 2 kx2 ja U(0) = 0. (83) 2.5 Planeettaliike Ratojen luokittelu Systeemi on sidotussa tilassa, kun E mek < 0. Tällöin esimerkiksi komeetan rata auringon ympäri on ellipsi. Myös ympyräliike on mahdollinen. Systeemin sidosenergia on E mek, mikä tarvitaan hajoittamaan systeemi. Systeemi on avoin, jos E mek 0. Tällöin komeettaa ei sido mikään, jolloin se voi poistua vapaasti aurinkokunnasta. Komeetta on parabolisella radalla, jos E mek = 0, ja hyperbolisella radalla, jos E mek > 0. Tasainen ympyräliike Gravitaatiovoima pitää kappaleen ympyräradalla. Newton II: Tästä saadaan ratanopeus ja kiertoaika GMm r 2 = mv2 r. (84) GM v = r (85) T = 2πr r v = 2π 3 GM. (86) 20
7 Mekaaninen energia on E mek = K + U = 1 2 mv2 + = 1 2 mgm r GMm r ( GMm ) r = 1 GMm. (87) 2 r Elliptinen liike Yleisessä tapauksessa planeettaliikkeessä on kolme säilyvää suuretta. Mekaaninen energia säilyy E mek = K + U = 1 ( ) GMm 2 mv2 = vakio. (88) r Koska voima F ja planeetan paikka r ovat yhdensuuntaiset vektorit, niin voiman momentti M = r F = 0, joten kulmaliikemäärä säilyy L = m r v = vakio, (89) eli liike tapahtuu tasossa. Koska kahden vektorin muodostaman kolmion pinta-ala voidaan määrittää vektoritulon avulla, niin edellisestä seuraa, että da dt = 1 d r 2 r dt = 1 2 r v = L = vakio. (90) 2m Kolmas säilyvä suure on ns. Laplace Runge Lenz-vektori R = ( v L) GMmˆr = vakio. (91) 21
8 Tämän avulla voidaan johtaa planeetan radan yhtälö napakoordinaateissa (r, φ) α r(φ) = 1 ε cos φ, (92) missä α = L2 ja ε = R 1 + 2L2 E. GMm 2 GMm G 2 M 2 m 3 Saatu tulos on kartioleikkauksen yhtälö. ε on radan eksentrisyys (epäkeskisyys). Kun ε = 0, tuloksena on ympyrä, kun 0 < ε < 1, niin ellipsi, kun ε = 1, niin paraabeli ja kun ε > 1, niin tuloksena on hyperbeli. Elliptisessä liikkeessä isoakselin puolikas a = α ja pikkuakselin puolikas b = α 1 ε 2 1 ε 2. Radan kiertoaika on nyt T = rata dt = 2m L rata da = 2m L (πab) = 2π GM a 3/2. (93) Keplerin lait Keplerin 1. laki: Kaikki planeetat liikkuvat auringon ympäri pitkin elliptisiä ratoja, joiden toisessa polttopisteessä aurinko sijaitsee. (Yhtälö (92), kun 0 < ε < 1.) Keplerin 2. laki: Planeetan ja auringon välinen jana pyyhkäisee aina samansuuruisen pinta-alan samassa ajassa. (Yhtälö (90)) Keplerin 3. laki: Planeetan kiertoajalle on voimassa T 2 = Ca 3, jossa a on isoakselin puolikas ja C = vakio. (Yhtälö (93)) 2.6 Keskeisvoimakenttä Gravitaatio on esimerkki keskeisvoimakentästä. Yleisessä keskeiskentässä voima on F ( r) = f(r)ˆr (94) ja vastaava potentiaalienergia määritellään yhtälöllä f(r) = du(r). (95) dr 22
9 Konservatiivisessa keskeisliikkeessä mekaaninen energia säilyy. voidaan kirjoittaa napakoordinaateissa (r, φ) Mekaaninen energia E = K + U = 1 2 m(ṙ2 + r 2 φ2 ) + U(r). (96) Kulmaliikemäärä säilyy ja se voidaan nyt kirjoittaa napakoordinaattien avulla L = mr 2 φ. (97) Systeemin energia voidaan kirjoittaa kulmaliikemäärän avulla muotoon E = 1 2 mṙ2 + U eff (r), (98) missä efektiivinen potentiaalienergia on U eff (r) = U(r) + L2 2mr 2. (99) Yhtälöstä (98) voidaan ratkaista aika t = ±( 1 2 m)1/2 dr [E U eff (r)] 1/2 + t 0, (100) josta kääntämällä saadaan ratkaistua etäisyys r ajan funktiona. Sijoittamalla tämä yhtälöön (97) saadaan ratkaistua kulma φ ajan funktiona φ = Lm 1 dt [r(t)] 2 + φ 0. (101) Ratkaisuksi on siis saatu muodollisesti r(t) ja φ(t), mitkä antavat keskeisliikkeen yleisen ratkaisun. Usein ei kuitenkaan olla kiinnostuneita suureiden aikariippuvuudesta. Tällöin riittää ratkaista r:n ja φ:n riippuvuus toisistaan. Ketjusääntö antaa ṙ = dr dφ dφ dt = dr L dφ mr, (102) 2 joka voidaan sijoittaa yhtälöön (98). Tästä saadaan edelleen ratkaistua radalle yhtälö φ(r) = ±L(2m) 1/2 dr r 2 [E U eff (r)] 1/2 + φ 0. (103) Gravitaatiokentässä tästä saadaan integroitua radan yhtälö napakoordinaateissa r = α 1 + ε cos(φ φ 0 ). (104) 23
10 Saadaan siis sama tulos kuin aikaisemminkin, jolloin planeettaliike ratkaistiin Laplace Runge Lenz-vektorin avulla näennäisesti ilman integrointia. Laplace Runge Lenz-vektori säilyy vain, jos f(r) = Cr 2, missä C on vakio. Muilla keskeiskentillä R kiertyy liikkeen tasossa. Muiden planeettojen vaikutus tai yleisen suhteellisuusteorian korjaukset aiheuttavat planeettojen liikkeeseen perihelin prekession (aurinkoa lähinnä olevan radan pisteen kiertymän). 2.7 Redusoitu massa Tarkastellaan kahta vuorovaikuttavaa kappaletta (massat m 1 ja m 2 ). Systeemin massakeskipistevektori on R C valitun origon O suhteen ja r 21 = r 1 r 2 r on kappaleen 1 paikka suhteessa kappaleeseen 2. Kappaleiden vuorovaikuttaessaan keskenään niiden toisiinsa vaikuttavat voimat ovat yhtäsuuret mutta vastakkaissuuntaiset F 21 = F 12 F. (105) Kappaleiden liikeyhtälöt ovat Näistä saadaan ratkaistua yhtälöt suureille R C ja r m 1 d 2 r 1 dt 2 = F (106) m 2 d 2 r 2 dt 2 = F. (107) d 2 dt (m 1 r m 2 r 2 ) = 0 (108) m 1 m 2 d 2 r m 1 + m 2 dt 2 = F. (109) Edellisessä käytetään massakeskipisteen määritelmää ja jälkimmäisessä määritellään ns. redusoitu massa 24
11 µ = m 1m 2 m 1 + m 2, (110) jolloin saadaan V C = vakio (111) µ d2 r dt 2 = F. (112) Kahden kappaleen ongelma voidaan siis ratkaista tarkastelemalla erikseen massakeskipisteen ja sen suhteen tapahtuvaa liikettä. Liike-energiaksi saadaan K = 1 2 m 1v m 2v 2 2 = 1 2 MV 2 C µv2, (113) missä v = v 1 v 2, eli massakeskipisteen liike-energiaan lisätään suhteellisen liikkeen liike-energia. Potentiaalienergia on U( r 1, r 2 ) = U(r), (114) koska voima vaikuttaa kappaleiden yhdysjanan suuntaisesti ja sen suuruus riippuu vain kappaleiden välisestä etäisyydestä. Mekaaninen energia on siis E = 1 2 MV 2 C µv2 + U(r). (115) Systeemin kulmaliikemäärä massakeskipisteen suhteen on vastaavasti L = µ r v. (116) Kahden kappaleen systeemi voidaan siis redusoida kahdeksi yhden kappaleen ongelmaksi siten, että (i) m 1 + m 2 -massainen kappale on paikassa R C ja liikkuu nopeudella V C ja (ii) µ-massainen kappale liikkuu keskeiskentässä, jonka potentiaalienergia on U(r). Aikaisemmin planeetaliikkeessä laskettiin liike käyttäen planeetan massaa, oikeampi tulos saadaan, kun planeetan massan tilalla käytetään planeetan redusoitua massaa. Samoin kaikissa kahden kappaleen välisissä vuorovaikutuksissa pitää tämä korjaus tehdä, kuten esimerkiksi vetyatomissa ja hiukkasten sironnassa. 25
12 2.8 Sironta Sirontakokeilla voidaan saada tietoa aineen rakenteesta ja vuorovaikutuksen luonteesta. Edellä keskeiskentän tapauksessa tarkasteltiin lähinnä attraktiivista vuorovaikutusta. Tällöin sironta tapahtuu, kun hiukkanen on hyperbolisella radalla. Myös repulsiivisessa vuorovaikutuksessa, kuten samanmerkkisten varattujen hiukkasten tapauksessa, tapahtuu sirontaa. Rata on myös hyperbeli, mutta mekanismi eroaa hiukan attraktiiviseen tapaukseen verrattuna, kuten kuvastakin näkee. Törmäävä tai siroava hiukkanen saapuu äärettömyydestä nopeudella v törmäysparametrilla b kohtiohiukkaseen tai sirontakeskukseen nähden. Sironnan jälkeen hiukkanen liikkuu sirontakulmaan θ kohtiosta poispäin. Törmäysparametria ei voida säätää tarkasti ja siksi kohtiota ammutaankin hiukkassuihkulla, jossa hiukkasilla on erilaisia törmäysparametreja. Kokeissa havaitaan kohtiosta sironneiden hiukkasten jakauma sirontakulman funktiona. Kohtion rakenne sekä törmäävien hiukkasten ja kohtion välinen vuorovaikutus määräävät sirontakulmajakauman, eli törmäysparametrin b ja sirontakulman θ välisen yhteyden. 26
13 Sirontaa kuvaava fysikaalinen suure on sirontavaikutusala, joka kertoo, millä todennäköisyydellä hiukkanen siroaa kohtiosta. Jos kohtion säde on R, niin geometrinen sirontavaikutusala on πr 2. Kuitenkin usein ollaan kiinnostuneita sironnan kulmajakaumasta. Lisäksi kun vuorovaikutus on isotrooppinen, niin törmäyskulmajakauma on aksiaalisymmetrinen. Tällöin avaruuskulmaksi saadaan dω = da = 2π sin θdθ. (117) R2 Differentiaalinen sirontavaikutusala kuvaa sironnan riippuvuutta sirontakulmasta θ, eli se antaa todennäköisyysjakauman hiukkasen sironnalle avaruuskulmaan dω. Differentiaalinen sirontavaikutusala määritellään dσ dω = 2πb db 2π sin θ dθ = b db sin θ dθ (118) missä itseisarvot pitävät huolen siitä, että differentiaalinen sirontavaikutusala on positiivinen suure. Yksiköt [ dσ ] = dω m2. Kokonaissirontavaikutusala on σ tot = dω dσ dω. (119) 27
14 Kovien pallojen sironnassa b = a cos( 1 θ). (120) 2 Differentiaalinen sirontavaikutusala on dσ dω = 1 4 a2, (121) mikä on vakio, eli törmäävät pallot siroavat tasaisesti joka suuntaan törmättyään kohtiopalloon. Kokonaissirontavaikutusala on joka on sama kuin pallon geometrinen sirontavaikutusala. σ tot = πa 2, (122) Rutherfordin sironnassa tutkitaan varattujen hiukkasten (varaus ze ja massa m) sirontaa varatuista ytimistä (varaus Ze ja massa M). Varausten välillä vallitsee Coulombin vuorovaikutus. Törmäysparametriksi saadaan b = k zz e2 µv 2 cot( 1 θ), (123) 2 missä Coulombin vakio k = 1/(4πɛ 0 ). Differentiaalinen sirontavaikutusala on ( ) dσ k zz e 2 2 dω = 4E sin 2 ( 1θ) (124) 2 ja konaissirontavaikutusala on σ tot =, (125) koska Coulombin vuorovaikutuksen kantama on äärettömän pitkä. Todellisessa aineessa, joka on neutraalia, elektronit varjostavat ytimen varausta siten, että vuorovaikutuksella on äärellinen kantama ja siten σ tot <. 28
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque)
5.9 Voiman momentti (moment of force, torque) Voiman momentti määritellään ristitulona M = r F missä r on voiman F vaikutuspisteen paikkavektori tarkasteltavan pisteen suhteen Usean voiman tapauksessa
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio. Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä 1 / 46 Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotLuento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 10: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä
LisätiedotLuento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio
Luento 12: Keskeisvoimat ja gravitaatio Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja esimerkkejä Ajankohtaista Luennon sisältö Gravitaatio Liike keskeisvoimakentässä Keplerin lait Laskettuja
LisätiedotKeskeisvoimat. Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin!
Keskeisvoimat Huom. r voi olla vektori eli f eri suuri eri suuntiin! Historiallinen ja tärkeä esimerkki on planeetan liike Auringon ympäri. Se on 2 kappaleen ongelma, joka voidaan aina redusoida keskeisliikkeeksi
Lisätiedot5 Kentät ja energia (fields and energy)
5 Kentät ja energia (fields and energy) Mansfield and O Sullivan: Understanding Physics, kappaleen 5 alkuosa 5.1 Newtonin gravitaatiolaki Newton: vetovoima kahden kappaleen välillä on tai tarkemmin F m
Lisätiedot6. TAIVAANMEKANIIKKA. Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen
6. TAIVAANMEKANIIKKA Antiikki: planeetat = vaeltavia tähtiä jotka liikkuvat kiintotähtien suhteen Näennäinen liike voi olla hyvinkin monimutkaista: esim. ulkoplaneetan suunta retrograadinen opposition
LisätiedotCopyright 2008 Pearson Education, Inc., publishing as Pearson Addison-Wesley.
Newtonin painovoimateoria Knight Ch. 13 Saturnuksen renkaat koostuvat lukemattomista pölyhiukkasista ja jääkappaleista, suurimmat rantapallon kokoisia. Lisäksi Saturnusta kiertää ainakin 60 kuuta. Niiden
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 16.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinetiikka (Kirjan luvut 12.6, 13.1-13.3 ja 17.3) Oppimistavoitteet Ymmärtää, miten Newtonin toisen lain
Lisätiedot5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat
5.13 Planetaarinen liike, ympyräradat Muistellaan menneitä Jo peruskoulussa lienee opetettu tämä Newtonin gravitaatiolaki kahden kappaleen välisestä gravitaatiovoimasta: Tässä yhtälössä G on gravitaatiovakio
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotLuento 10. Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi
Luento 10 Potentiaali jatkuu, voiman konservatiivisuus, dynamiikan ja energiaperiaatteen käyttö, reaalinen jousi Tällä luennolla tavoitteena: Gravitaatio jatkuu Konservatiivinen voima Mitä eroa on energia-
LisätiedotTähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi
Tähtitieteen perusteet, harjoitus 2 Yleisiä huomioita: Tähtitieteessä SI-yksiköissä ilmaistut luvut ovat usein hyvin isoja ja epähavainnollisia. Esimerkiksi aurinkokunnan etäisyyksille kannattaa usein
LisätiedotLUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA
LUENTO 3: KERTAUS EDELLISELTÄ LUENNOLTA Kahden kappaleen suhteellisen liikkeen yhtälö: R m 2 R = µ R r 3 jossa µ = G(m 1 + m 2 ) Liikeyhtälön integraalit m 1 R 1 R 2 k = R R suhteellisen liikkeen imp.mom/massayksikkö
LisätiedotFysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2
Fysiikan valintakoe 10.6.2014, vastaukset tehtäviin 1-2 1. (a) W on laatikon paino, F laatikkoon kohdistuva vetävä voima, F N on pinnan tukivoima ja F s lepokitka. Kuva 1: Laatikkoon kohdistuvat voimat,
LisätiedotDerivoimalla kerran saadaan nopeus ja toisen kerran saadaan kiihtyvyys Ña r
Vuka HT 4 Tehtävä. Lyhyenä alustuksena tehtävään johdetaan keskeiskiihtyvyys tasaisessa pyörimisessä. Meillä on ympyräradalla liikkuva kappale joka pyörii vakiokulmanopeudella ω dϕ säteellä r origosta.
LisätiedotAnalyyttinen mekaniikka
Maanantai 1.9.2014 1/17 Analyyttinen mekaniikka Luennoitsija: Niko Jokela Syyslukukausi 2014 4h/vko luentoja+2h/vko harjoituksia Maanantai 1.9.2014 2/17 Yleistä Luennot ma & to klo 10-12 (E204) sekä viikoilla
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 24.3.2016 Susanna Hurme Rotaatioliikkeen liike-energia, teho ja energiaperiaate (Kirjan luku 18) Osaamistavoitteet Ymmärtää, miten liike-energia määritetään kiinteän
LisätiedotLuku 8. Mekaanisen energian säilyminen. Konservatiiviset ja eikonservatiiviset. Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia.
Luku 8 Mekaanisen energian säilyminen Konservatiiviset ja eikonservatiiviset voimat Potentiaalienergia Voima ja potentiaalienergia Mekaanisen energian säilyminen Teho Tavoitteet: Erottaa konservatiivinen
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta
Lisätiedotdl = F k dl. dw = F dl = F cos. Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 1 P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl
Kun voima vaikuttaa kaarevalla polulla P 2, polku voidaan jakaa infinitesimaalisen pieniin siirtymiin dl Kukin siirtymä dl voidaan approksimoida suoraviivaiseksi, jolloin vastaava työn elementti voidaan
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike. Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike 1 / 29 Luennon sisältö Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat
LisätiedotEnergia, energian säilyminen ja energiaperiaate
E = γmc 2 Energia, energian säilyminen ja energiaperiaate Luennon tavoitteet Lepoenergian, liike-energian, potentiaalienergian käsitteet haltuun Työ ja työn merkki* Systeemivalintojen miettimistä Jousivoiman
Lisätiedot1.4. VIRIAALITEOREEMA
1.4. VIRIAALITEOREEMA Vaikka N-kappaleen ongelman yleistä ratkaisua ei tunneta, on olemassa eräitä tärkeitä yleisiä tuloksia Jos systeemi on stabiili, eli paikat ja nopeudet eivät kasva rajatta kineettisen
LisätiedotMagneettikenttä. Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän
3. MAGNEETTIKENTTÄ Magneettikenttä Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen sähkökentän lisäksi myös magneettikentän Havaittuja magneettisia perusilmiöitä: Riippumatta magneetin muodosta, sillä on aina
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia. Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia 1 / 22 Luennon sisältö Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan
LisätiedotRatayhtälö ja Keplerin lait
Ratayhtälö ja Kelerin lait ε = LY r = 1 + 2El2 mk 2 K-I Planeettarata on ellisi eli sille ε = 1 + ε cos ϕ ; = l2 mk ε = 0 ymyrä = eksentrisyys; 0 < ε < 1 ellisi ε = 1 araabeli ε > 1 hyerbeli r on etäisyys
LisätiedotLiike keskeisvoimakentässä
Luku 2 Liike keskeisvoimakentässä Keskeisvoimat ja keskeisliike ovat olleet varsin keskeisessä osassa klassisen mekaniikan kehityksessä ja sovellutuksissa. Newton johti mekaniikkansa suurelta osin selittääkseen
LisätiedotVoima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori!
6.1 Työ Voima F tekee työtä W vaikuttaessaan kappaleeseen, joka siirtyy paikasta r 1 paikkaan r 2. Työ on skalaarisuure, EI vektori! Siirtymä s = r 2 r 1 Kun voiman kohteena olevaa kappaletta voidaan kuvata
LisätiedotSuhteellisuusteorian perusteet 2017
Suhteellisuusteorian perusteet 017 Harjoitus 5 esitetään laskuharjoituksissa viikolla 17 1. Tarkastellaan avaruusaikaa, jossa on vain yksi avaruusulottuvuus x. Nollasta poikkeavat metriikan komponentit
LisätiedotJakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti
Jakso 1: Pyörimisliikkeen kinematiikkaa, hitausmomentti Kertausta Ympyrärataa kiertävälle kappaleelle on määritelty käsitteet kulmanopeus ja kulmakiihtyvyys seuraavasti: ω = dθ dt dω ja α = dt Eli esimerkiksi
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,
LisätiedotVoima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen
Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)
LisätiedotLuku 23. Esitiedot Työ, konservatiivinen voima ja mekaaninen potentiaalienergia Sähkökenttä
Luku 23 Tavoitteet: Määritellä potentiaalienergia potentiaali ja potentiaaliero ja selvittää, miten ne liittyvät toisiinsa Määrittää pistevarauksen potentiaali ja sen avulla mielivaltaisen varausjakauman
LisätiedotMekaniikan jatkokurssi Fys102
Mekaniikan jatkokussi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 5 Copyight 008 Peason Education, Inc., publishing as Peason Addison-Wesley. Newtonin painovoimateoia Knight Ch. 13 Satunuksen enkaat koostuvat
LisätiedotNyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi
Nyt kerrataan! Lukion FYS5-kurssi Vaakasuora heittoliike Heittoliikettä voidaan tarkastella erikseen vaaka- ja pystysuunnassa v=(v x,v y ) Jos ilmanvastausta ei oteta huomioon (yleensä ei), vaakasuunnalle
LisätiedotPAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE
PAINOPISTE JA MASSAKESKIPISTE Kappaleen painopiste on piste, jonka kautta kappaleeseen kohdistuvan painovoiman vaikutussuora aina kulkee, olipa kappale missä asennossa tahansa. Jos ajatellaan kappaleen
LisätiedotShrödingerin yhtälön johto
Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä
Lisätiedotg-kentät ja voimat Haarto & Karhunen
g-kentät ja voimat Haarto & Karhunen Voima Vuorovaikutusta kahden kappaleen välillä tai kappaleen ja sen ympäristön välillä (Kenttävoimat) Yksikkö: newton, N = kgm/s Vektorisuure Aiheuttaa kappaleelle
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten
LisätiedotSuhteellinen nopeus. Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää
3.5 Suhteellinen nopeus Matkustaja P kävelee nopeudella 1.0 m/s pitkin 3.0 m/s nopeudella etenevän junan B käytävää P:n nopeus junassa istuvan toisen matkustajan suhteen on v P/B-x = 1.0 m/s Intuitio :
LisätiedotFysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012
Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka Kari Sormunen Kevät 2012 LIIKE Jos vahvempi kaveri törmää heikompaan kaveriin, vahvemmalla on enemmän voimaa. Pallon heittäjä antaa pallolle heittovoimaa, jonka
LisätiedotDIFFERENTIAALIYHTÄLÖN NUMEERISESTA RATKAISEMISESTA 2 1,5 0,5 -0,5 -1,5-2
Differentiaaliyhtälön numeerisesta ratkaisemisesta Olkoot D R 2 alue ja r, f, g : D R jatkuvia funktioita. Differentiaaliyhtälön y r(x, y) suuntaelementtikenttä on kuvaus D R 2, (x, y) (, r(x, y)). Suuntaelementtikenttä
LisätiedotMS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia
MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)
LisätiedotMonissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta
8 LIIKEMÄÄRÄ, IMPULSSI JA TÖRMÄYKSET Monissa fysiikan probleemissa vaikuttavien voimien yksityiskohtia ei tunneta Tällöin dynamiikan peruslain F = ma käyttäminen ei ole helppoa tai edes mahdollista Newtonin
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat θ, ω ja α Yhdistetty liike Luennon sisältö Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike
LisätiedotMagneettikentät. Haarto & Karhunen. www.turkuamk.fi
Magneettikentät Haarto & Karhunen Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän Magneettikenttä aiheuttaa voiman liikkuvaan
LisätiedotLuento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 4: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Pyörimisliikkeestä Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).
LisätiedotW el = W = 1 2 kx2 1
7.2 Elastinen potentiaalienergia Paitsi gravitaatioon, myös materiaalien deformaatioon (muodonmuutoksiin) liittyy systeemin rakenneosasten keskinäisiin paikkoihin liittyvää potentiaalienergiaa Elastinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 2016
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit 2 (alkuviikko) / Syksy 216 Tuntitehtävä 1: Laske sylinterikoordinaatteja käyttämällä sen kappaleen tilavuus,
Lisätiedot&()'#*#+)##'% +'##$,),#%'
"$ %"&'$ &()'*+)'% +'$,),%' )-.*0&1.& " $$ % &$' ((" ")"$ (( "$" *(+)) &$'$ & -.010212 +""$" 3 $,$ +"4$ + +( ")"" (( ()""$05"$$"" ")"" ) 0 5$ ( ($ ")" $67($"""*67+$++67""* ") """ 0 5"$ + $* ($0 + " " +""
Lisätiedot3.4 Liike-energiasta ja potentiaalienergiasta
Työperiaatteeksi (the work-energy theorem) kutsutaan sitä että suljetun systeemin liike-energian muutos Δ on voiman systeemille tekemä työ W Tämä on yksi konservatiivisen voiman erityistapaus Työperiaate
LisätiedotTaivaanmekaniikkaa. Liikeyhtälöt
Taivaanmekaniikkaa Liikeyhtälöt Olkoot kahden kappaleen (esim. Auringon ja planeetan) massat m 1 ja m 2 ja paikkavektorit jossakin kiinteässä inertiaalikoordinaatistossa r 1 ja r 2. Merkitään r:llä planeetan
LisätiedotLuento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia
Luento 6: Suhteellinen liike ja koordinaatistomuunnoksia Suhteellinen translaatioliike Suhteellinen pyörimisliike Tyypillisiä koordinaatistomuunnoksia extraa 1 / 31 Luennon sisältö Suhteellinen translaatioliike
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 17.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Energian, työn ja tehon käsitteet sekä energiaperiaate (Kirjan luku 14) Osaamistavoitteet: Osata tarkastella partikkelin kinetiikkaa
LisätiedotPotentiaali ja potentiaalienergia
Luku 2 Potentiaali ja potentiaalienergia 2.1 Sähköstaattinen potentiaali ja sähkökenttä Koska paikallaan olevan pistemäisen varauksen aiheuttamalla Coulombin sähkökentällä on vain radiaalikomponentti,
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Viereisessä kuvassa leppäkerttu istuu karusellissa,
LisätiedotDiplomi-insinöörien ja arkkitehtien yhteisvalinta - dia-valinta 2013 Insinöörivalinnan fysiikan koe 29.5.2013, malliratkaisut
A1 Ampumahiihtäjä ampuu luodin vaakasuoraan kohti maalitaulun keskipistettä. Luodin lähtönopeus on v 0 = 445 m/s ja etäisyys maalitauluun s = 50,0 m. a) Kuinka pitkä on luodin lentoaika? b) Kuinka kauaksi
Lisätiedot1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa.
1. Kuinka paljon Maan kiertoaika Auringon ympäri muuttuu vuodessa, jos massa kasvaa meteoroidien vaikutuksesta 10 5 kg vuorokaudessa. Vuodessa Maahan satava massa on 3.7 10 7 kg. Maan massoina tämä on
LisätiedotKerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)
Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman
LisätiedotLuento 3: Käyräviivainen liike
Luento 3: Käyräviivainen liike Kertausta viime viikolta Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike 2015-09-14 13:50:32 1/40 luentokalvot_03_combined.pdf (#36) Luennon
LisätiedotLuku 27. Tavoiteet Määrittää magneettikentän aiheuttama voima o varattuun hiukkaseen o virtajohtimeen o virtasilmukkaan
Luku 27 Magnetismi Mikä aiheuttaa magneettikentän? Magneettivuon tiheys Virtajohtimeen ja varattuun hiukkaseen vaikuttava voima magneettikentässä Magneettinen dipoli Hallin ilmiö Luku 27 Tavoiteet Määrittää
Lisätiedotkertausta Esimerkki I
tavoitteet kertausta osaat määrittää jäykän kappaleen hitausmomentin laskennallisesti ymmärrät kuinka vierimisessä eteneminen ja pyöriminen kytekytyvät osaat soveltaa energiaperiaatetta vierimisongelmiin
LisätiedotMuutoksen arviointi differentiaalin avulla
Muutoksen arviointi differentiaalin avulla y y = f (x) y = f (x + x) f (x) dy y dy = f (x) x x x x x + x Luento 7 1 of 15 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto Muutoksen arviointi differentiaalin
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Huom: luvun 4 kohdalla luennolla ei ollut laskuesimerkkejä, vaan koko luvun 5 voi nähdä kokoelmana sovellusesimerkkejä edellisen luvun asioihin! Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen
LisätiedotLuento 7: Voima ja Liikemäärä. Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä
Luento 7: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä 1 / 36 Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait
LisätiedotLuvun 5 laskuesimerkit
Luvun 5 laskuesimerkit Esimerkki 5.1 Moottori roikkuu oheisen kuvan mukaisessa ripustuksessa. a) Mitkä ovat kahleiden jännitykset? b) Mikä kahleista uhkaa katketa ensimmäisenä? Piirretäänpä parit vapaakappalekuvat.
LisätiedotVedetään kiekkoa erisuuruisilla voimilla! havaitaan kiekon saaman kiihtyvyyden olevan suoraan verrannollinen käytetyn voiman suuruuteen
4.3 Newtonin II laki Esim. jääkiekko märällä jäällä: pystysuuntaiset voimat kumoavat toisensa: jään kiekkoon kohdistama tukivoima n on yhtäsuuri, mutta vastakkaismerkkinen kuin kiekon paino w: n = w kitka
LisätiedotLuento 9: Potentiaalienergia
Luento 9: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Laskettuja esimerkkejä ELEC-A3110 Mekaniikka (5 op) Sami Kujala Syksy 2015 Mikro- ja nanotekniikan
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotSähköstatiikka ja magnetismi
Sähköstatiikka ja magnetismi Johdatus magnetismiin Antti Haarto 19.11.2012 Magneettikenttä Sähkövaraus aiheuttaa ympärilleen sähkökentän Liikkuva sähkövaraus saa aikaan ympärilleen myös magneettikentän
LisätiedotNopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit
Nopeus, kiihtyvyys ja liikemäärä Vektorit Luento 2 https://geom.mathstat.helsinki.fi/moodle/course/view.php?id=360 Luennon tavoitteet: Vektorit tutuiksi Koordinaatiston valinta Vauhdin ja nopeuden ero
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 15.3.2016 Susanna Hurme Päivän aihe: Translaatioliikkeen kinematiikka: asema, nopeus ja kiihtyvyys (Kirjan luvut 12.1-12.5, 16.1 ja 16.2) Osaamistavoitteet Ymmärtää
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa
MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila
LisätiedotLuento 5: Voima ja Liikemäärä
Luento 5: Voima ja Liikemäärä Superpositio Newtonin lait Tasapainotehtävät Kitkatehtävät Ympyräliike Liikemäärä Johdanto Dynamiikka tutkii voimia ja niiden aiheuttamaa liikettä Newtonin liikelait (Newton
Lisätiedot766320A SOVELTAVA SÄHKÖMAGNETIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua
7663A OVLTAVA ÄHKÖMAGNTIIKKA, ohjeita tenttiin ja muutamia teoriavinkkejä sekä pari esimerkkilaskua 1. Lue tenttitehtävä huolellisesti. Tehtävä saattaa näyttää tutulta, mutta siinä saatetaan kysyä eri
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedot6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions)
6 Monen kappaleen vuorovaikutukset (Many-body interactions) 6.1 Newtonin III laki Voimme laskea kappaleen liiketilan Newtonin II lain avulla, jos tunnemme kaikki kappaleeseen vaikuttavat voimat. Jos kappaleita
Lisätiedotellipsirata II LAKI eli PINTA-ALALAKI: Planeetan liikkuessa sitä Aurinkoon yhdistävä jana pyyhkii yhtä pitkissä ajoissa yhtä suuret pinta-alat.
KEPLERIN LAI: (Ks. Physica 5, s. 5) Johannes Keple (57-60) yhtyi yko Bahen (546-60) havaintoaineiston pohjalta etsimään taivaanmekaniikan lainalaisuuksia. Keple tiivisti tutkimustyönsä kolmeen lakiinsa
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian pedagogiikan perusteet (mat/fys/kem suunt.), luento 1 Kari Sormunen Vuorovaikutus on yksi keskeisimmistä fysiikan peruskäsitteistä
LisätiedotVUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN. Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, luento Kari Sormunen
VUOROVAIKUTUKSESTA VOIMAAN JA EDELLEEN LIIKKEESEEN Fysiikan ja kemian perusteet ja pedagogiikka, 1.-2. luento Kari Sormunen Mitä yhteistä? Kirja pöydällä Opiskelijapari Teräskuulan liike magneetin lähellä
LisätiedotLuento 10: Työ, energia ja teho
Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Ajat pyörällä ylös jyrkkää mäkeä. Huipulle vie kaksi polkua, toinen kaksi kertaa pidempi kuin
LisätiedotLuento 11: Potentiaalienergia
Luento 11: Potentiaalienergia Potentiaalienergia Konservatiiviset voimat Voima potentiaalienergiasta gradientti Esimerkkejä ja harjoituksia Ajankohtaista Konseptitesti 1 Kysymys Levossa oleva kappale lähtee
Lisätiedota) Piirrä hahmotelma varjostimelle muodostuvan diffraktiokuvion maksimeista 1, 2 ja 3.
Ohjeita: Tee jokainen tehtävä siististi omalle sivulleen/sivuilleen. Merkitse jos tehtävä jatkuu seuraavalle konseptille. Kirjoita ratkaisuihin näkyviin tarvittavat välivaiheet ja perustele lyhyesti käyttämästi
LisätiedotGravitaatio ja heittoliike. Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike
Gravitaatio ja heittoliike Gravitaatiovoima Numeerisen ratkaisun perusteet Heittoliike KERTAUS Newtonin lait Newtonin I laki Kappale, johon ei vaikuta voimia/voimien summa on nolla, ei muuta liiketilaansa
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 15. syyskuuta 2016 Vektorianalyysi (Ulaby, luku 3) Viiva-, pinta- ja tilavuusalkiot Nablaoperaatiot Gaussin ja Stokesin lauseet Nabla on ystävä
LisätiedotLuento 5: Käyräviivainen liike
Luento 5: Käyräviivainen liike Käyräviivainen liike Heittoliike Ympyräliike Kulmamuuttujat,! ja Yhdistetty liike Ajankohtaista Konseptitesti 1 http://presemo.aalto.fi/mekaniikka2017 Kysymys Sotalaivasta
LisätiedotMassakeskipiste Kosketusvoimat
Massakeskipiste Kosketusvoimat Luennon tavoitteet Kosketusvoimia Kitka Tukivoima Jännitys Jousivoima Massakeskipisteen käsite ja sillä laskeminen (Resonanssi tiedottaa tarjoavansa kahvia luentotauolla)
LisätiedotLuento 6: Liikemäärä ja impulssi
Luento 6: Liikemäärä ja impulssi Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste Muuttuva massa Laskettuja esimerkkejä Luennon sisältö Liikemäärä ja impulssi Liikemäärän säilyminen Massakeskipiste
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 26. syyskuuta 2016 Sähköstatiikka (Ulaby, luku 4.1 4.5) Maxwellin yhtälöt statiikassa Coulombin voimalaki Gaussin laki Potentiaali Dipolin potentiaali
LisätiedotTarkastellaan tilannetta, jossa kappale B on levossa ennen törmäystä: v B1x = 0:
8.4 Elastiset törmäykset Liike-energia ja liikemäärä säilyvät elastisissa törmäyksissä Vain konservatiiviset voimat vaikuttavat 1D-tilanteessa kappaleiden A ja B törmäykselle: 1 2 m Av 2 A1x + 1 2 m Bv
LisätiedotKJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka. Luento Susanna Hurme
KJR-C1001 Statiikka ja dynamiikka Luento 31.3.2016 Susanna Hurme Dynamiikan välikoe 4.4.2016 Ajankohta ma 4.4.2016 klo 16:30 19:30 Salijako Aalto-Sali: A-P (sukunimen alkukirjaimen mukaan) Ilmoittautuminen
LisätiedotNEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI MEKANIIKAN II PERUSLAKI MEKANIIKAN III PERUSLAKI
NEWTONIN LAIT MEKANIIKAN I PERUSLAKI eli jatkavuuden laki tai liikkeen jatkuvuuden laki (myös Newtonin I laki tai inertialaki) Kappale jatkaa tasaista suoraviivaista liikettä vakionopeudella tai pysyy
Lisätiedot4. Käyrän lokaaleja ominaisuuksia
23 VEKTORIANALYYSI Luento 3 4 Käyrän lokaaleja ominaisuuksia Käyrän tangentti Tarkastellaan parametrisoitua käyrää r( t ) Parametrilla t ei tarvitse olla mitään fysikaalista merkitystä, mutta seuraavassa
LisätiedotLuku 7 Työ ja energia. Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia
Luku 7 Työ ja energia Muuttuvan voiman tekemä työ Liike-energia Tavoitteet: Selittää työn käsite Mallittaa voiman tekemä työ Mallittaa liike-energian ja työn keskinäinen riippuvuus Esitiedot Newtonin lait
Lisätiedotinfoa Viikon aiheet Potenssisarja a n = c n (x x 0 ) n < 1
infoa Viikon aiheet Tentti ensi viikolla ma 23.0. klo 9.00-3.00 Huomaa, alkaa tasalta! D0 (Sukunimet A-) E204 (Sukunimet S-Ö) Mukaan kynä ja kumi. Ei muuta materiaalia. Tentissä kaavakokoelma valmiina.
Lisätiedot6. Taivaanmekaniikka. Vektorin r suuntainen yksikkövektori puolestaan on ˆr = r/r.
6. Taivaanmekaniikka Taivaanmekaniikka tutkii taivaankappaleiden liikkeitä. Lähdemme liikkeelle Newtonin laeista ja johdamme niistä liikelait. Planeettojen liikettä kuvaavat Keplerin lait tosin määritettiin
Lisätiedot