Tiivistelmät kvanttifysiikan monisteen lukuihin 4-7

Transkriptio

1 Tiivistmät kvanttifysiikan monistn ukuihin 4-7 Luku IV: Yhtnvto /6 Ruthrfordin sironta Zz Zz Lyhin kohtaustäisyys : D 4πε E 4πε Mv 0 Kin 0 zz 4 θ Ruthrfordin sirontavaikutusaa : σd () θ sin 4πε 0 Mv 0 4π Kokonaissirontavaikutusaa : σ0 σ (, ) 0 d θ φ dω Makroskooppinn vaikutusaa : Σ ρσ0 ; ρ atomin km tiavuusyksikössä ( ) Suihkun vaimnminn: ρσ x I I I Σ x

2 Luku IV: Yhtnvto /6 Bohrin atomimai Saittujn ratojn sätt : ε0 n hε0 0 Bohrin säd: 0 mz Z πm nh r a a 5,97 0 π n,,3,... m Enrgiatasot Rydbrgin vakio 4 4 R hcz m ;,,3, ε0 mz En n R 8ε h n n 8 h c Fotomissiospktri: Luku IV: Yhtnvto 3/6 RhcZ RhcZ n n n n hf E E RhcZ Kumaiikmäärän kvantittuminn Kumaiikmäärän ˆ z - komponntin L sinθ + sinθ θ θ kvantittuminn sin θ φ ˆ ˆ L LYm ( + ) Y z i m φ missä 0,,,3,.. LY ˆ m Y z m m Y m on paoharmoninn funktio L m m 0, ±, ±,..., ± z

3 Luku IV: Yhtnvto 4/6 Kskisknttäiikkn kumaiikmäärätiat ja niidn dgnraatiot. Sivukvanttiuku Symboi s p d f g h Dgnraatio, g () () P r R r r ytimstä asktun täisyydn yksikköä kohdn. n ktronin siintymistodnnäköisyys Vktorimuodossa M L; M L m µ m z m m m missä Bohrin magntoni µ B m L L z B Luku IV: Yhtnvto 5/6 Normaai Zmanin fkti:enrgia magnttikntässä EBL ML B L B m Vaitaan B & z - aksi EBL L B LzB µ BBm, m m missä m. +,...,, Ektronin spin Kaksi suuntaa ms s, + s, yhdn väin s s / Yksinkrtaisin mahdoisuus : ˆ 3 S χm s( s+ ) χ ; / s m χ s 4 m s s Sˆ χ m χ ; m ± / z m s m s s s 3

4 Luku IV: Yhtnvto 6/6 Ektronin magnttisn momntin ja spinin suhd M g S S m missä gyromagnttinn suhd g,004. Kokonaiskumaiikmäärä J L+ S ( ) ( ) J j j+, Jz m, m± j, ± j,... j ± / Spin-rata vuorovaikutus m ESL ams ML as L L S j ( j ) ( ) s( s ) a E SL j( j+ ) ( + ) s( s+ ) S Luku V: Krtausta /5 Himin ktronin Schrödingrin yhtäö E p 4πε r 4πε r + 4πε r r ( ) ψ( r, r) E pψ( r, r) Eψ( r, r) + + m ja sn aimman krtauvun ratkaisu: ( r, r ) ( r ) ( r ) Ψ φ φ s s Z Ea Eb Es 3,6 V 54,4 V, 4

5 Luku V: Krtausta /5 Kskimääräisn kntän mai ja varjostusfkti "Varjosttut" -ktroninrgiat: ( ) E Z S E., H Varjosttun ktronin Schrödingrin yhtäö: ( ) ( Z S) i ψ r i ψ r i Eψ r i m πε 0ri ( ) ( ) ( ) 4 Hiumin sparoituva kskimääräisn kntän yhtäö varjosttuia potntiaaia: ( Z S) ( ) ( Z S) + ψ ( r, r ) Eψ ( r, r ) m 4πε 0r 4πε 0r Luku V: Krtausta 3/5 Kskimääräisn kntän SCF mntmä: Monn ktronin aatofunktio on yhdn ktronin SCF orbitaain tuo ( r r r ) ( r ) ( r ) ( r ) ψ,,..., N φa φ φx N b Yhdn ktronin orbitaait ratkaistaan itratiivisa mntmää askmaa nsin varjostusfkti. Itraatiota jatktaan kunns orbitaai i nää muutu. Koska atomissa ktronin näkmä kskimääräinn knttä on paosymmtrinn voidaan ktronin rataosaan iittää samat kvanttiuvut nm,, kuin vtyatomissa. 5

6 Luku V: Krtausta 4/5 Frmionin aatofunktio vaihtaa mrkkinsä kun kahdn hiukkastn paikka ja spinkoordinaatit vaihdtaan ksknään Avaruusosa Spinosa φa( r) φb( r) φa( r) φb( r) χ+ () χ+ ( ) χ+ () χ () + χ+ () χ () χ () χ ( ) tai φa φb φa φb χ+ χ χ+ χ ( r ) ( r ) + ( r ) ( r ) () ( ) ( ) () Spinsummattu todnnäköisyystihys i saa muuttua vaihdttassa ktronit. (spinsummattu spinkomponnttiihin iittyvin todn. tihyksin summa) Luku V: Krtausta 5/5 Pauin kitosääntö: Samaa spinorbitaaia i saa oa kahta ktronia Satrin dtrminantti: ( rσ, r σ,.. r σ ) Ψ abc... N N N! () ( ) () () ( ) () () φ ( ) φa φa φa 3... φ φ φ 3... b b b φc c Tuottaa automaattissti oikan vaihtosymmtrian. Uoimpin ktronin hyvät kvanttiuvut ovat nm,,, m sisäkuorin hyvät kvanttiuvut n,, jm, j. Rakntumispriaat: s Atomin järjstysuvun kasvassa spinorbitaait täyttään nrgiajärjstyksssä aimmasta akan. 6

7 Luku VI: Krtausta /4 Tärkimmät sidokst: Kovanttinn, ioni, mtai, van dr Waas, vty. Sidostn muodostumispriaat. Vapaidn atomin nrgia on suurmpi kuin stabiiissa mokyyissä ovin atomin nrgia. Ionisidos ionisaationrgia, ktroniaffinittti, dissosiaationrgia. Bornin ja Oppnhimrin approksimaatio Kovanttinn sidos: LCAO mntmä, symmtrist ja antisymmtrist tiat, parittti, hyvät kvanttiuvut -atomisissa mokyyissä. LCAO-main sovtaminn vty-ioniin. Luku VI: Krtausta /4 Diatomia aksiaaisymmtrinn potntiaai - hyvät kvanttiuvut kaksiatomisissa mokyyissä nm m. Orbitaaimrkinnät : 0 ± ± ±3... m λ : Symboi: σ π δ φ... ψ ψ 3 4 s ( s px py pz) ( s px py ( s px py ( s px py pz) ψ + sp 3 hypridisaatio mtaanissa ψ + + 7

8 Luku VI: Krtausta 3/4 Rotaationrgiat: Er ( + ) Bhc( + ); 0,,,.. I Transitionrgiat: Erot ( + ) Erot ( ) ( + ) I I µ r 0 ; µ M M /( M + M ) (diatomi) Sähködipoisiirtymän vaintasäännöt: ± Värähtynrgiat: n ( ) E n+ ω 0 d E p Voimavakio: k dr r r0 Kumataajuus: ω 0 k / µ ; µ M M /( M + M ) (diatomi) Luku VI: Krtausta 4/4 Värähtyn sähködipoisiirtymän vaintasääntö: ± n Fotonin nrgia yhdisttyssä ktroni-rotaatio-värähty siirtymässä: E Ei E f E + Ev + Er Frankin ja Gordonin priaat: Ektronisn transition suuri nopus pakottaa ytimin iikkn soputumaan yhtäkkissti uutn potntiaainrgiaan ja sn ominaistioihin. Kassinn oskiaattori vittää suurimman osan ajastaan käännpistissä. Jos ktronin aku- ja opputiaan iittyvät ytimn värähtyn käännpistt ovat kohdakkain transition todnnäköisyys kasvaa. 8

9 Luku VII: Tiivistmä /5 Kitidn pruskäsittt,akiskoppi, akishiavktorit, Bravaisin hia, kuutioist hiat: yksinkrtainn (SC), tahkokskinn FCC, koppikskinn (BCC), timanttihia, sinkkiväkhia. Ionikitidn kohsionrgia: n α R0 R0 E p 4πε 0R0 R n R Hiavärähtyt monoatominn ktju: Liikyhtäö M n d ξ dt ( ) ( ) ( ) β ξ ξ β ξ ξ β ξ + ξ ξ n+ n n n n+ n n Disprsioraatio: ω β M sin Akustinn raja: Luku VII: Tiivistmä /5 ka ω β Mka vastaa kassisn utraäänn tnmistä kitssä. Kaksiatominn ktju disprsioraatiot: 4sin ka ω β + ± β + M A M B M A M B M AM B / 9

10 Pitkäaatorajat: Luku VII: Tiivistmä 3/5 Akustinn haara: β k a ω M A + M B Optinn haara: ω 0 β + M A M B Optist fononit tärkä vaon vaimnmismkanismi. (Fotonia on suuri nrgia iikmäärään nähdn). Vapaaktronimain ktronitihys: 3 ( m ) 3 0 8π n E f ( E) de h 3 h 3n π T Frminrgia: ε F Kmiainn potntiaai µ ( T ) ε F 8m π Θ F Luku VII: Tiivistmä 4/5 Bochin tormaa priodisssa potntiaaissa iikkuva ktroni: ψ () x ikx u () x missä u ( x a) u ( x) k Ks myös Bochin torman todistus. k + on hiapriodinn funktio Briouinin vyöhykkt - ktronin takaisinhijastus kun k Enrgia-aukot. Efktiivinn massa m* d E dk Hiaiikmäärä pav k + p u, av k. π. a 0

11 Luku VII: Tiivistmä 5/5 Tiukkasidosaapproksimaatio (LCAO-mntmä äärttömä kit) n ikna ( ) ψ φ x na Totuttaa Bochin torman! Enrgian odotusarvo ja pitkäaatoraja k 0 (nrgiavyön runa) ˆ E E ka E a k E ψ ψdx missä E0 E α β vyön runan nrgia ja * ψ Hψdx p av α β cos * at 0 + β 0 + * at m Efktiivinn massa m * β a