Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Transkriptio

1 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Syksy 010 Jukka Maalampi LUENTO 9

2 Paine nesteissä Nesteen omalla painolla on merkitystä Nestealkio korkeudella y pohjasta: dv Ady dm dv dw gdm gady paino Painon lisäksi alkioon vaikuttaa nesteen itsensä aiheuttama voima (molekyylien törmäykset ympäriltä). Paine alapinnalla on suurempi kuin yläpinnalla, koska alapinnan tasolla molekyylitiheys on suurempi. Sivusuunnista tulevat voimat kumoavat toisensa. Tasapainon vallitessa eli kun neste on paikallaan: pa ( p dp) A dw Adp gady dp dy g Paine pienenee tasaisesti nesteen pintaa kohti mentäessä. Kun noustaan matka Δy, paine pienenee määrällä Δp =grδy.

3 Paine-ero p p1 y g( y 1) Jos paine nesteen pinnalla on p 0, paine syvyydellä h on p p 0 gh Hydrostaattinen paine Seuraus: Jos painetta nesteen pinnalla muutetaan, paine syvemmällä muuttuu samalla määrällä. Pascalin laki: Astiassa olevaan nesteeseen (kaasuun) ulkopuolelta kohdistettu paine leviää samansuuruisena kaikkialle nesteeseen ja astian seinämiin. Jos p 0 muuttuu, paine kaikkialla nesteessä muuttuu samalla määrällä.

4 Vuonna 001 Superkamiokandetutkimuslaitteen vedealainen valomonistinputki (lasikuorinen tyhjiöputki, joita on kuvassa vieri vieressä) rikkoutui. Paine nousi hetkellisesti joka puolella vesiallasta Pascalin lain mukaisesti. Seurauksena oli, että lähes kaikki veden alla olleet 7000 putkea rikkoutuivat saman tien.

5 Esimerkki Vesitornin vedenpinta on 40 m korkeammalla kuin keittiön vesihana. Kuinka suuri on paine-ero? Ratkaisu Vesi on varsin kokoonpuristumatonta, joten sen tiheyttä voi pitää vakiona vesitornissa ja pukistossa. Vesitornissa paine veden pinnalla on sama kuin normaali ilmanpaine p 0, hanan kohdalla vaikuttaa sen lisäksi veden painosta johtuva hydrostaattinen paine. Paine-ero on siten p ( p0 g h) p0 g h 3 (9.81 m/s )(1000 kg/m )(40 m) N/m Pa

6 Esimerkki Sukellusvene ui 300 m:n syvyydessä. Mikä on siihen kohdistuva paine? Ratkaisu Merivedentiheys on 1030 kg/m 3. Paine on ilmanpaineen ja hydrostaattisen paineen summa: p p0 gh 5 kg m Pa (1030 )(9.81 )(300 m) 3 m s Pa atm 30.9 atm Sukellusveneen sisällä paine on noin 1 atm, joten sukellusveneen rakenteen tulee kestää noin 30 ilmakehän paine. Rungon muodot ovat pyöreitä, koska se parantaa rakenteen kestävyyttä joka puolelta samanlaisena kohdistuvassa paineessa.

7 Esimerkki Isossa akvaariossa on 1 m x 3.0 m:n kokoinen ikkuna, jonka yläreuna on 1.0 m vedenpinnan alapuolella. Laske paineen aiheuttama voima ikkunaan. Ratkaisu Lasketaan voima kapeaan suiruun ikkunaa, suiru etäisyydellä y vedenpinnasta: df PdA ( gy)( ldy). Huomaa, että ilmanpainetta ei tarvitse nyt huomioida, koska se aiheuttaa saman suuruisen voiman sekä veden välityksellä ikkunan sisäpuolelta että vastakkaisuuntaisena ikkunan ulkopuolelta. Kokonaisvoima saadaan integroimalla y koko ikkunan yli: y.0 m 1.0 m F dy gly gl y 1.0 m y11.0 m 1 3 (1000 kg/m )(9.81m/s )((.0 m) (1.0 m) ) N.

8 Kaksi lakia Toisiinsa yhdistyvien astioiden avoimissa osissa nesteen pinta asettuu kaikkialla samalle korkeudelle Tasapainon vallitessa paine on samalla korkeudella sama kaikkialla nesteessä. Onko mahdollista? Ei staattisena tilanteena. Pohjalle tulisi paine-ero ja neste virtaisi. Onko p 1 > p? Ei. p 1 = p

9

10 Paineen mittaaminen Absoluuttinen paine (p)= todellinen paine Mittapaine (ylipaine, p g ) = todellinen paine ympäröivän ilman paine (n. 1 atm). Rengaspaineen mittari mittaa mittapainetta. Esimerkki Painemittari näyttää veden alla lukemaa p g = 101 kpa. Kuinka syvällä ollaan? p g p 1atm (1atm g d) 1atm g d Ratkaistaan tästä syvyys: d Pa (1000 kg/m )(9.81m/s ) 10.3 m Huomaamme siis, että veden alla paine kasvaa noin 1 atm:n verran jokaisella 10 m:llä. Vrt. sukellusvene-esimerkki.

11 Manometri Paine pisteissä 1 ja yhtä suuri, p 1 = p. p = grh + 1 atm Paine kaasusäiliössä = p eli p gas gh 1atm Paineen voi siis päätellä h:n suuruudesta, kun putkessa olevan nesteen (usein elohopeaa) tiheys tiedetään. Kuvan tilanteessa kaasun paine on suurempi kuin 1 atm. Silloin nesteen pinta on oikeanpuoleisessa putken osassa korkeammalla kuin vasemmanpuoleisessa. Mittari toimii myös tilanteessa p gas < 1 atm. Silloin pinnat ovat toisessa järjestyksessä ja h mitataan alaspäin 1-tasosta.

12 Barometri Käytetään ilmanpaineen mittaamiseen. Putkessa olevan nesteen hydrostaattinen paine on sama kuin altaassa olevan nesteen pintaan kohdistuva ilmanpaine, koska putken yläpäässä on tyhjiö eli nolla-paine. Siis Jos neste on vettä, patsas on noin 10 m korkea, elohopean tapauksessa noin 760 mm: elohopean tiheys kg/m 3, joten p atmos p atmos gh ghgh (9.81 m/s kpa )(13600 kg/m 3 )(0.760 m) 760 elohopeamillimetriä = 1 atm Evangelista Torricelli

13 Verenpaine Yläpaine eli systolinen paine ~10 Hg-mm (veri alkaa virrat kiristyskohdan ohi pyörteisenä) Alapaine eli diastolinen paine ~80 Hg-mm (veri virtaa esteettä, pyörteisyys häviää) Kuunteluun perustuva mittaus, paine nähdään elohopeapatsaasta. Ns. oskillatoriseen menetelmään perustuva mittari.

14 Hydraulinen nosturi Pascalin periaatteeseen perustuva nostolaite. Paineet p = F/A + p 0 ovat sylintereissä samalla tasolla yhtä suuret. Jos nostokorkeus h on pieni, niin silloin on siten F1 F F1 F p0 p0 gh eli A1 A A1 A 0 Autoa nostavaan mäntään vaikuttaa tasapainossa voima A F F1 A1 eli pieni voima F 1 riittää nostamaan raskaan taakan. Koska nesteen oletetaan olevan kokoonpuristumatonta, on mäntien liikkeestä johtuvien tilavuusmuutosten oltava yhtä suuret eli A 1 d 1 = A d eli d d1 A / A 1 d 1 Pientä mäntää on siis liikutettava pitkä matka, jotta iso mäntä saadaan liikkumaan lyhyt matka.